«Қысқаша көбейту формулалары»

Аннотация

Бұл жұмыста қысқаша көбейту формулаларының математикалық білім берудегі рөлі, олардың тарихи негіздері және оқу үдерісінде қолданылу мүмкіндіктері қарастырылады. Формулалардың дәлелдеулері, түрлендіру тәсілдері және практикалық есептерді жеңілдетудегі маңызы талданады. Зерттеу оқушылардың логикалық, аналитикалық және танымдық дағдыларын дамытуда қысқаша көбейту формулаларын әдістемелік жүйе ретінде тиімді пайдалануға басымдық береді. Нәтижесінде бұл тақырыптың математикалық сауаттылықты арттырудағы маңызы айқындалып, оқу процесіне енгізудің тиімді жолдары көрсетіледі.

В работе рассматривается значение формул сокращённого умножения в математическом образовании, их историческая основа и возможности применения в учебном процессе. Анализируются доказательства формул, методы преобразований и их роль в упрощении практических задач. Исследование подчёркивает важность использования формул сокращённого умножения как методической модели для развития логического, аналитического и познавательного мышления учащихся. В итоге раскрывается их значимость для повышения математической грамотности и предлагаются эффективные пути внедрения в обучение.

This study explores the importance of algebraic multiplication formulas in mathematics education, their historical background, and their practical applications in teaching. The paper analyzes the proofs of the formulas, various transformation techniques, and their effectiveness in simplifying mathematical problems. It emphasizes the role of these formulas as a methodological tool for enhancing students’ logical, analytical, and cognitive skills. The findings highlight their contribution to improving mathematical literacy and present effective strategies for integrating them into the learning process.

Кіріспе

Математика – нақты ойлауға, дәлелдеуге және есептерді тиімді шешуге үйрететін ғылым. Оның маңызды салаларының бірі – алгебра, ал алгебрадағы ең негізгі құралдардың бірі – қысқаша көбейту формулалары (ҚКФ). Бұл формулалар өрнектерді түрлендіру, ықшамдау және есептерді жеңілдету үшін қолданылады.

Қазіргі мектеп тәжірибесінде оқушылардың алгебралық өрнектермен жұмыс істеу және оларды түрлендіру дағдылары жеткілікті деңгейде қалыптаспаған.

Қысқаша көбейту формулалары математиканың көптеген тарауларында(өрнектерді түрлендіру, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу т.б) кеңінен қолданылады.Сондықтан бұл тақырып оқушылардың математикалық сауаттылықтарын арттыруда ерекше рөл атқарады және өзекті болып табылады.

Әдебиеттерді талдауда белгілі болғандай,қысқаша көбейту формулаларын қолдану стратегияларын дамытуға бағытталған зерттеулер аз.Яғни көптеген зерттеулерде жетіспейтіні осы бағыттың қарастырылмауы.ҚКФ-ны тек есептеу құралы емес, сонымен қатар оқушының аналитикалық ойлауын дамытатын дидактикалық модель ретінде қарастыру қажет.

Бұл зерттеу жұмысының мақсаты-қысқаша көбейту формулаларын қолдану тәсілдерін, стратегияларын, дәлелдеулерін көрсету.Қысқаша көбейту формулаларын меңгерту мен қолдану арқылы оқушылардың логикалық және танымдық қабілеттерін дамыту жолдарын ұсыну.

Бұл зерттеу қысқаша көбейту формулаларын тек есептеу құралы ретінде емес, логикалық және танымдық қабілетті дамытатын әдістемелік жүйе ретінде қарастыруды жөн көреді. Нәтижесінде оқу процесінде оқушылардың тиімді әдіс-тәсілдер жүйесі қалыптасып, оқушылардың математикалық дағдысын арттыруға үлес қосады.Егер ҚКФ оқыту үдерісінде жүйелі, дәлелдеулер мен практикалық есептер арқылы енгізілсе, онда оқушылардың есептеу жылдамдығы мен математикалық сауаттылығы артады.

Пайда болу тарихы

Қысқаша көбейту формулаларының бастамасы ежелгі Грекия мен Үндістан математиктерінің еңбектерінен байқалады.

• Ежелгі грек математигі Евклид (б.з.б. III ғ.) өз еңбектерінде геометриялық түрде (a + b)² = a² + 2ab + b²формуласын дәлелдеген.

• Үнді математигі Брахмагупта және кейінірек әл-Хорезми алгебралық өрнектермен жұмыс істеуді дамытып, формулаларды есептеуде қолданған.

• Орта ғасырда бұл формулалар Батыс Еуропаға таралып, қазіргі алгебраның негізгі ережелеріне айналды.

• Қазіргі педагогикалық әдебиеттерде ҚКФ тақырыбын оқыту әдістемесі аз қарастырылған. Негізінен есеп шығару дағдыларын дамыту мақсатында қолданылады, бірақ когнитивтік дағдыларды дамыту аспектісі толық зерттелмеген.

Қысқаша көбейту формулалары — көпмүшелерді көбейтудің және түрлендірудің ықшам түрінде жазылатын ережелері.

Олардың негізгі түрлері мыналар:

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²

2. (a - b)² = a² - 2ab + b²

3. (a + b)(a - b) = a² - b²

4. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

5. (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

6. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

7. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Бұл формулалар алгебрадағы көптеген амалдарды оңайлатуға және есептеу жылдамдығын арттыруға мүмкіндік береді.

Қысқаша көбейту формулалары және олардың дәлелдеулері

1. Қосындының квадраты:
   (a + b)² = a² + 2ab + b²
   Дәлелдеуі:
   (a + b)² = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

2) Айырманың квадраты:
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Дәлелдеуі:
(a − b)² = (a − b)(a − b) = a(a − b) − b(a − b) = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b²

3) Қосынды мен айырманың көбейтіндісі:
(a + b)(a − b) = a² − b²
Дәлелдеуі:
(a + b)(a − b) = a(a − b) + b(a − b) = a² − ab + ab − b² = a² − b²

4) Қосындының кубы:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Дәлелдеуі:
(a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) = a(a² + 2ab + b²) + b(a² + 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

5) Айырманың кубы:
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Дәлелдеуі:
(a − b)³ = (a − b)(a − b)² = (a − b)(a² − 2ab + b²) = a³ − 2a²b + ab² − a²b + 2ab² − b³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

6) Кубтардың қосындысы:
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Дәлелдеуі:
(a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³

7) Кубтардың айырмасы:
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Дәлелдеуі:
(a − b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³

Қысқаша көбейту формулаларын қолдану тәсілдері

1) Есептерді жылдам шығару үшін қолдану

Қысқаша көбейту формулалары арифметикалық және алгебралық есептерді тез орындауға мүмкіндік береді.
Мысалы:
(25)² = (20 + 5)² = 20² + 2·20·5 + 5² = 400 + 200 + 25 = 625

2) Өрнектерді ықшамдау

Ұзын өрнектерді ықшамдап, қарапайым түрге келтіру үшін қолданылады.
Мысалы:
(a + b)² - (a - b)² = 4ab

3) Математикалық өрнектерді түрлендіру

Формулалар өрнектерді басқа түрге айналдыруға, факторлауға немесе көбейткіштерге жіктеуге мүмкіндік береді.
Мысалы:
a² - b² = (a - b)(a + b)

4. Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде қолдану

Теңдеулер мен теңсіздіктерде өрнектерді ықшамдау немесе көбейткішке жіктеу арқылы шешу жолын жеңілдетеді.
Мысалы:
x² - 9 = 0 ⇒ (x - 3)(x + 3) = 0 ⇒ x = ±3
Немесе:
(x + 2)² ≥ 0 — барлық x үшін дұрыс

Есептер:

1)Мысал:(2x + 3y)² - (x - 2y)² өрнегін ықшамдаңдар.

Шешуі: (2x + 3y)² - (x - 2y)² = (4x² + 12xy + 9y²) - (x² - 4xy + 4y²) = 3x² + 16xy + 5y²

2)Мысал:(3a - 2b)(3a + 2b) + 4b² өрнегін ықшамдаңдар.

Шешуі: (3a - 2b)(3a + 2b) + 4b² = (9a² - 4b²) + 4b² = 9a²

3)Мысал:(x + 5)³ - (x - 5)³ өрнегін ықшамдаңдар.

Шешуі: (x + 5)³ - (x - 5)³ = (x³ + 15x² + 75x + 125) - (x³ - 15x² + 75x - 125) = 30x² + 250

4)Мысал:(a + 2b)² + (a - 2b)² өрнегін ықшамдаңдар.

Шешуі: (a + 2b)² + (a - 2b)² = (a² + 4ab + 4b²) + (a² - 4ab + 4b²) = 2a² + 8b²

5)Мысал:(2x - 3y)² - 4(x - y)(x - 2y) өрнегін ықшамдаңдар.

Шешуі: (2x - 3y)² - 4(x - y)(x - 2y) = (4x² - 12xy + 9y²) - 4(x² - 3xy + 2y²) = 4x² - 12xy + 9y² - 4x² + 12xy - 8y² = y²

6)Мысал:(x² + 2x + 1)(x² - 2x + 1) өрнегін ықшамдаңдар.

Шешуі: (x² + 2x + 1)(x² - 2x + 1) = (x² + 1)² - (2x)² = x⁴ + 2x² + 1 - 4x² = x⁴ - 2x² + 1

7)Мысал:(3m + 2n)³ өрнегін ықшамдаңдар.

Шешуі: (3m + 2n)³ = 27m³ + 54m²n + 36mn² + 8n³

8)Мысал:(x + 4y)(x² - 4xy + 16y²) өрнегін ықшамдаңдар.

Шешуі: Бұл өрнек (a³ + b³) түрінде, яғни = x³ + 64y³

9)Мысал:(2a - b)³ + (2a + b)³ өрнегін ықшамдаңдар.

Шешуі: (2a - b)³ + (2a + b)³ = 8a³ - 12a²b + 6ab² - b³ + 8a³ + 12a²b + 6ab² + b³ = 16a³ + 12ab²

10)Мысал:(x² - 3x + 2)² - (x² - 3x)² өрнегін ықшамдаңдар.

Шешуі: (x² - 3x + 2)² - (x² - 3x)² = [(x² - 3x) + 2]² - (x² - 3x)² = 4(x² - 3x) + 4 = 4x² - 12x + 4

Қорытынды

Зерттеу жұмысы барысында қысқаша көбейту формулаларының алгебрадағы және жалпы математикалық білім берудегі маңызы жан-жақты қарастырылды. ҚКФ тек есептеу амалдарын жеңілдететін құрал ғана емес, сонымен қатар оқушылардың логикалық ойлауын, талдау және дәлелдеу қабілеттерін дамытатын маңызды дидактикалық элемент екені анықталды.

Жүргізілген теориялық және практикалық талдау нәтижесінде төмендегідей қорытындылар жасалды:

1. ҚКФ формулалары оқушылардың өрнектермен жұмыс істеу дағдысын жүйелеп, есептеу мәдениетін қалыптастырады.

2. Формулаларды дәлелдеумен және көрнекілікпен үйрету оқушылардың пәнге деген қызығушылығын арттырады.

3. ҚКФ-ды жүйелі қолдану есеп шығарудағы уақытты үнемдеп, қателіктер санын азайтады.

4. Оқыту процесінде ҚКФ арқылы логикалық, аналитикалық және шығармашылық ойлау қабілеттері дамиды.

Осылайша, қысқаша көбейту формулаларын меңгерту — математикалық білімнің сапасын арттырудың, функционалдық сауаттылық пен пәнге қызығушылықты дамытудың тиімді жолы болып табылады.

Пайдаланылған әдебиеттер:

1. Математика пәнін оқытуда қысқаша көбейту формулаларының қолдану әдістері. – Ustaz tilegi, 2021.

2. http://bilimdiler.kz/

3. http://esepter.com/

4. https://ust.kz

5. https://infourok.ru

6. https://kitap.kz