Рационал функцияларды Остроградский әдiсi бойынша интегралдау

Рационал функцияларды Остроградский әдiсi бойынша интегралдау
ОСТРОГРАДСКИЙ ӘДІСІ ТУРАЛЫ ЖАЛПЫ ҰҒЫМ
1.1 Рационалды функцияларды Остроградский әдісі бойынша
интегралдау
Рационалды функцияларды интегралдау проблемасының ең маңызды
мәселелерінің бірін шешкен орыс халқының атақты математигі
Остроградский. Рационал функциядан алынған интегралдын рационал
бөлігін, g(x) көпмүшенің түбірлерін білмей-ақ элементар алгебралық
амалдардың көмегімен-ақ табуды Остоградский тұңғыш рет көрсетті.
Остоградскийдің бұл әдісін, рационал бөлшектен алынған интегралдың
?(?)
рационал бөлігін интеграл бөлігінен айыру деп атайды. Мына ?(?) дұрыс
?(?)

бөлшектің интегралын қарайық: ∫ ?(?) dx. Мұндағы ?(?) және ?(?) көпмүшелер.
Остоградскийдің әдісі бойынша:
?(?)

φ(?)

∫ ?(?) dx = ( ψ(?) )' + ∫

Φ(?)
?(?)

(1.1)

??

мұндағы ψ(?), φ(?), ?(?), Φ(?)- көпмүшелер, ψ(?) - мына ?(?) пен
оның туындысының ортақ ең үлкен бөлгіші, ?(?) мына ?(?)-ті ψ(?)
бөлгендегі шығатын бөлінді. Егер ψ(?) көпмүшенің дәреже көрсеткіші р
болса, онда φ(?) - дәреже көрсеткіші р-1-ден аспауы керек.
Бір мысал келтірейік: ∫

2

3

3

∫

әдісі

3

2

?(? +1)

демек ψ(?) = ? + 1. Сонда ?(?) =
Остоградскийдің

3

? +1
?(?)
ψ(?)

бойынша

2

??. Мұндағы ?(?) = ?(? + 1) ,
3

= ?(? + 1).
2

∫

? +1
3

2

?(? +1)

??

=

(

2

?? +??+?
3

? +1

)' +

2

?1? +?1? +?1?+?1
3

?(? +1)

??. Мұндағы A, B, C, ?1, ?1, ?1, ?1 - белгісіз

коэффиценттер. Оларды табу үшін кейінгі теңдіктің екі жағынан туынды
алып, келесі теңбе-теңдікті құрамыз:
2

? +1
3

2

?(? +1)

=(

3

2

?? +??+?
3

? +1

)' +

2

?1? +?1? +?1?+?1
3

?(? +1)

2

? +1
3

2

?(? +1)
2

? +1
3

2

?(? +1)

3

3

2

2

=
=

2?? +2??+?? + ?−3?? −3?? −3??

3

? +1
4

3

4

3

3

2

?1? +?1? +?1?+?1

(2??+?)(? +1)−3? (?? +??+?)

+

3

?(? +1)
3

2

+

2

(? +1)

2

?1? +?1? +?1?+?1
3

?(? +1)

Оң жағын ортақ бөлімге келтіріп, екі жақтың алымдарын теңестірейік:
4

3

4

3

2

4

3

3

?(2?? + 2?? + ?? + ? − 3?? − 3?? − 3?? ) + (? + 1)
3

2

5

2

2

(?1? + ?1? + ?1? + ?1) = ? + 1
4

5

6

5

2?? + 2?? + ?? + ?? − 3?? − 3?? − 3?? + ?1? + ?1? +
4

3

3

2

2

+ ?1? + ?1? + ?1? + ?1? + ?1? + ?1 = ? + 1
5

2

4

Осы теңсіздікті ары қарай ықшамдасақ: − ?? + 2?? − 2?? + ?? −
3

6

5

4

3

3

2

2

− 3?? + ?1? + ?1? + ?1? + ?1? + ?1? + ?1? + ?1? + ?1 = ? + 1
?-тің бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттерді теңестіру арқылы
теңдеулер жүйесін құрамыз:
6

? | ?1 = 0
5

? | − ? + ?1 = 0
4

? | − 2? + ?1 = 0
3

? | − 3? + ?1 + ?1 = 0
2

? | 2? + ?1 = 1
1

? | ? + ?1 = 0
0

? | ?1 = 1
1
3

Бұдан шығатыны: A =
2

∫

? +1
3

2

?(? +1)
2

? +1
3

3? +3

+

2

∫

? +3
3

?(? +1)

?? =
1
3

2

1
3

, B = 0, C =

1

? +3
3

? +1

+∫

1
3

1
3

2

? +1
3

?(? +1)

1
3

, ?1 = 0, ?1 =
1
3

?? =

(

2

? +1
3

? +1

)+

1
3

,?1 = 0, ?1 = 1.
2

∫

? +3
3

?(? +1)

?? =

2

∫

?? =

? +3
3

?(? +1)
?
?

+

??

?
?+1

+

??+?
2

? −?+1

болғандықтан:

Оң жағын ортақ бөлімге келтіріп, екі жақтың алымдарын теңестірейік:
2

2

(? + 1)(? − ? + 1)? + ??(? + 1)(? − ? + 1) + ?(?? + ?)
2

(? + 1) = ? + 3

3

3

2

3

2

2

2

?? + ? + ?? − ?? + ?? + ?? + ?? + ?? + ?? = ? + 3
?-тің бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттерді теңестіру арқылы
теңдеулер жүйесін құрамыз:
3

? |? + ? + ? = 0
2

? |− ? + ? + ? = 1
1

? |? + ? = 0
0

? |? = 3
Бұдан шығатыны: A = 3, B = −
2

∫

? +3
3

?(? +1)
2

∫

? +3
3

?(? +1)

?? = 3∫

??
?

−

4
3

∫

4
3

?? = 3??(?) −

??
?+1

4
3

+

5
3

,C= −
1
3

∫

−5?+4
2

? −?+1
1
3

??(? + 1) +

4
3

,? =

.

??
2?−1

( 3?????(

3

)−

2

−

5??(? −?+1)
2

∫

? +3

2

3

?(? +1)

)+?
4
3

?? = 3??(?) −

??(? + 1) +

Енді ары қарай жалғастырмыз: ∫
2

? +1
3

3? +3

+

2

∫

? +1
3

2

?(? +1)

1
3

(3??(?) −

?? =

2

? +1
3

3? +3

4
3

3?????(

2

+ ??(?) −

2

?(? +1)

??(? + 1) +
4??(?+1)
9

3

)

2

−

3

? +1
3

2?−1

?? =
3?????(

2

? +1
3

3? +3
2?−1
3

)

3

+

+

3?????(
9

5??(? −?+1)
6
1
3

+?

2

∫

? +3
3

?(? +1)

?? =

2

−
2?−1
3

5??(? −?+1)
6
)

)

2

−

5??(? −?+1)
18

+?

1.2 Остроградский әдiсi бойынша теориялар
Әрбiр рационал бөлшектiң (функцияның) алғашқы функциясы
элементар болса да, оны есептеуде мынадай қиындықтар кездесуі мүмкін.
Бiрiншiден, бөлiмiнiң барлық түбiрлерiн (ретiмен бiрге) білу керек:
алгебраның негiзгi теоремасы тек қана олардың бар болуын
тұжырымдайды да, түбiр табудың кейбiр дербес жағдайлары болмаса,
ешқандай жалпы әдістерін бермейді. Екіншіден, бөлімінің барлық
түбiрлерiн бiлгенде де, интегралды есептеп шығу көлемдi жұмыс болуы
мүмкін. Сондықтан, кейбiр дербес жағдайлар үшiн осы қиындықтарды
бәсеңдететін әдістер берілген. Соның бiрi - Остроградский әдiсi.
?(?)
Егер ?(?) көпмүшелігінің еселі түбірлері бар болса, онда ?(?) дұрыс
бөлшегінің интегралын М. В. Остроградский формуласы бойынша табуға
болады:

∫

?(?)
?(?)

?? =

?1(?)
?1(?)

? (?)

+∫ ?2(?) ??

(1.2)

2

Мұндағы: ?1(?) көпмүшелігі - ?(?) пен оның ?'(?) туындысының ең
үлкен ортақ бөлгіші; ?2(?) = ?(?) : ? (?); ?1(?) пен ?2(?) - реттері
1

сәйкесінше ?1(?) пен ?2(?) реттерінен 1-ге кем көпмүшеліктер. Олар
? (?)

= ( ?1(?) )' +
1

?2(?)

?(?)
?(?)

теңбе-теңдігінен белгісіз коэффициенттер әдісі бойынша

?2(?)

анықталады. Бұл формула интегралдауға кіріспей-ақ және бөлшектің
бөлімін көбейткіштерге жіктемей-ақ интегралдың рационал бөлігін
ажыратуға мүмкіндік береді.
Алгебрадан белгілі:
1. Әрбір қайталанбайтын (? − ?) типті көбейткішке жүйелеудегі

?
?−?

бір

қарапайым бөлшек сәйкес келеді.
?

2. n типті кез-келген бөлшек қосындысы (? − ?) түріндегі көбейткішке
сәйкес келеді

?1
?−?

+

?2

+..... +

2

(?−?)

??
?

(?−?)

2

.

3. ? + ?? + ? көбейткішке бір элементар

??+?
2

? +??+?

бөлшек сәйкес келеді.

?

2

4. (? + ?? + ?) түріндегі көбейткішке n - элементінің жиынтығы жауап
береді:

??+?
2

? +??+?

+

?2?+?2
2

2

(? +??+?)

+...... +

???+??
2

?

.

(? +??+?)

Ескерту. ?1(?) көпмүшелігі ?(?) және ?'(?) көпмүшеліктерінің ең
үлкен ортақ бөлгіші болатыны айқын.
Алгебрадан екі көпмүшеліктің ең үлкен ортақ бөлгішін табу туралы
Евклид алгоритмі белгілі. Ол ? мен ?' көпмүшеліктері үшін былай
қолданылады: бірте-бірте бөлу амалдарын жүргізіп келесі
?(?) = ?1(?) ?'(?) + ?2(?),
?1(? )= ?2(?) ?1(?)+ ?3(?),
………………………………………..
??−2(?) = ??−1(?) ??−2(?)+ ??(?)

теңдіктеріне келеміз. Әр қадамда ??(?) (?=1, 2, …) көпмүшеліктерінің
дәрежелері кемитін болғандықтан, белгілі бір ? = ? + 1 үшін ??+1(?) = 0
тепе - теңдігі орындалады. Онда ?1(?) ең үлкен ортақ бөлгіші ретінде ??(
?) көпмүшелігін алу керек екені туралы тұжырым Евклид алгоритмінің дәл
өзі болады. Бұнда ?(?) және ?'(?) көпмүшеліктерінің ең үлкен ортақ бөлімі
болатын ?1(?) көпмүшелігін тапқанда ?(?)-тің түбірлері туралы ешқандай
мәлімет қолданылмағанын ерекше атап өтейік. Бұдан мынадай қорытынды
шығады: Остроградский формуласы бойынша ∫

?(?)
?(?)

?? интегралының

рационал бөлігін ?(?)
көпмүшелігінің түбірлерін білмей-ақ табуға
болады. Расында да, ?1(?) көпмүшелігін Евклид алгоритмі арқылы тауып,
?1(?) көпмүшелігі Остроградский формуласының салдары болатын: ?(?)

[

2

]

?1(?) = ?1'?1(?) − ?1'(?)?1(?) * ?2(?) + ?2(?) ?1(?) тендігінен ?(?)-тің
түбірлерін білуді керек етпейтін анықталмаған коэффициенттер әдісі
?(?)
?1(?)

арқылы табылады (мұнда, ?2(?) =

? (?)

). Сонымен бірге, ∫ ?2(?) ??
2

интегралын, ?2(?)-тің канондық жіктелуін білгеннен кейін ғана таба
аламыз, ал өзге жағдайларда ол тек жуықтап қана табылады.
1.3 Интегралдық есептеудің негізгі формуласы
Әрбiр дұрыс рационал бөлшектiң интегралдануы жай бөлшектердiң
интегралдануына келтiрiлетiнi алдынғы пунктте дәлелденген еді. Енді сол
жай бөлшектерді интегралдағанда қандай функциялар пайда болатынын
дәлірек карастырайық . Егер ? > 1 болса, онда
(??+?)??

∫

=

?

2

(? +??+?)

Бұнда ?1 =

?−

?−1

2

(? +??+?)

??
2
2

2(?−1)(?−

?1?+?1

?
4

)

+ γ1 ∫

?
2(?−1)

, ?1 =−

??
?−1

2

(1.3)

(? +??+?)

, γ1 = (2? − 3)?1. Егер болса,

онда белгілі бір ?2, ?2, γ2 сандық коэффициенттері үшін:
∫

??
2

?−1

(? +??+?)

=

?2?+?2
2

?−2

(? +??+?)

+ γ2 ∫

??
2

?−2

(? +??+?)

(1.4)

(??+?)??

теңдігі орындалады, демек, (3) және (4) бойынша ∫

?

2

=

(? +??+?)
?3?
?−1

2

(? +??+?)

+ δ2 ∫

барлық

??

. Осылай жалғастыра беріп, ? > ? болғанда

?−2

2

(? +??+?)

үшін

? ∈ (− ∞, + ∞)

(??+?)??

∫

?

2

=

(? +??+?)
?2?−1(?)
?−1

2

(? +??+?)

+ δ? ∫

??

теңдігін

?−?

2

қанағаттандыратын

2? − 1

(? +??+?)

дәрежелі ?2?−1(?) көпмүшелігі мен δ? нақты саны табылатынын көреміз.
Мұнан, ? = ? − 1 үшін:
∫

(??+?)??
2

?

(? +??+?)

?2?−3(?)

=

?−1

2

(? +??+?)

??

+ δ?−1 ∫

(1.5)

(? > 1)

2

? +??+?

теңдігіне келеміз.
?(?)
Енді ?(?) дұрыс бөлшегі беріліп,
?1

?(?) = (? − α1)

*...* (? − α?)

??

?1

2

* (? + ?1? + ?1) *...*

??

2

(1.6)

(? + ??? + ??)
оның бөлімінің канондық жіктелуі болып,
?1(?) = (? − α1)

?1−1

??−1

*...* (? − α?)

?1−1

2

* (? + ?1? + ?1)

??−1

2

(1.7)

(? + ??? + ??)
?2(?) =

?(?)
?1(?)

*...*

2

2

= (? − α1) *... * (? − α?) * (? + ?1? + ?1) *... * (? + ??? + ??)

болса, онда белгілі бір ?1(?) және ?2(?) көпмүшеліктері үшін:
∫

?(?)
?(?)

?? =

?1(?)
?1(?)

? (?)

+∫ ?2(?) ??

теңдігі орындалатынын көрсетейік.
Расында да (бұнда жай бөлшек деп

(1.8)

2

?(?)
?(?)

- тің жіктелуінің жай

бөлшектерін айтамыз):
1. егер ?? = 1 болса, онда α? жай түбіріне сәйкес
?2(?)
?2(?)

қосындысының қосылғышы болады;

??
?−α?

жай бөлшегі

2. егер ?? ≻ 1 болса, онда
??(?)

болады да,

??(1)
?−α?

жай бөлшегі

?2(?)
?2(?)

- тің қосылғышы

(? = 2, 3,..., ?? ) жай бөлшектерінің интегралдары

?

(?−α?)

бойында дұрыс бөлшек болып,
3. егер ?? = 1 болса, онда

?1(?)
?1(?)

??+?

- тің қосылғышы болады;

жай бөлшегі

2

? +???+??

?2(?)
?2(?)

қосылғышы болады;
4. егер ?? ≻ 1 болса, онда әрбір ? = 2, 3, ..., ?? үшін

- тің
??+?
2

?

жай

(? +???+??)

бөлшектерінің интегралдарының (5) теңдігінің оң жағындағы
?2?−3(?)
?−1

2

дұрыс бөлшегі

(? +???+??)

сондағы
?2(?)
?2(?)

δ?−1
2

? +???+??

бөлшегі

?1(?)
?1(?)

?2(?)
?2(?)

- тің қосылғышы болады да, ал

- тің қосылғышы болады.

?1(?)
?1(?)

және

қосындыларының аталғаннан басқа қосылғыштары жоқ.

Сонымен, біріншіден, дұрыс бөлшектердің қосындысы да дұрыс бөлшек
болатындықтан,

?1(?)
?1(?)

және

?2(?)
?2(?)

дұрыс бөлшек болады; екіншіден

?2(?)
?2(?)

қосындысының әрбір қосылғышының интегралы логарифм не логарифм
? (?)

мен арктангенстің қосындысы болғандықтан ∫ ?2(?) ?? рационал бөлшек
2

емес. Сол себептен

?1(?)
?1(?)

рационал бөлшегін ∫

?(?)
?(?)

?? интегралының

рационал бөлігі деп атайды. (8) теңдігі Остроградский формуласы деп
аталады.
Анықталмаған интегралдың анықтамасын ескере отырып, (1.8)
теңдігінің екі жағын да дифференциалдасақ, онда
? (?)

? (?)

= ⎡⎢ ?1(?) ⎤⎥' + ∫ ?2(?)
(1.9)
2
⎣ 1 ⎦
теңдігіне келеміз. Бұдан ?1(?) және ?2(?) көпмүшеліктерін
?(?)
?(?)

анықталмаған коэффициенттер әдісімен табуға болады, демек,
Остроградский формуласының оң жағындағы рационал (алгебралық) бөлігі
деп аталатын бірінші қосынды таза алгебралық жолмен табылады. Екінші
қосындыдағы интеграл астындағы рационал бөлшек бөлімінің канондық
түріндегі көбейткіштер бірінші дәрежелі болады. Сондықтан соңғы
интегралды тапқанда жүргізілетін есептеулердің көлемі алғашқы

интегралды тікелей, яғни (9) формуласын қолданбай тапқанда жүргізілетін
есептеулердің көлеміне қарағанда әлдеқайда шағын.
Сонымен Остроградский формуласы бойынша бөлімінің кейбір
түбірлері еселі болатын кез келген дұрыс рационал бөлшекті интегралдау
мәселесін таза алгебралық жолмен бөлімінің түбірлері жай болатын дұрыс
рационал бөлшекті интегралдау мәселесіне келтіруге болады.

ЕСЕПТЕР ШЫҒАРУ
2.1 Остроградский әдiсiн қолданып есептер шығару
??

Мысалы 2.1: ∫

2

2

интегралын М. Остроградский

2

(?+1) (? +1)

формуласын қолдану арқылы табайық.
2

2

2

?(?) = (?+1) (? + 1)
2

2

2

2

?'(?) = 2 (?+1) (? + 1) +2(? + 1) 2? (?+1)
2

2

2

= 2 (? + 1) (? + 1)
2

[ ? + 1 + 2? (? + 1) ] = 2 (?+1) (? + 1) (3? + 2? + 1), яғни ?1(?) = (
2

2

?+1)(? + 1), ?2(?)=(?+1)(? + 1).
Сондықтан I = ∫

??
2

2

=(

2

(?+1) (? +1)

2

?? +??+?
2

(?+1)(? +1)

2

?? +??+?

)' + ∫

2

(?+1)(? +1)

??.

Мұндағы: A, B, C, D, E, F − әзірге белгісіз коэффициенттер. Теңбе теңдікті дифференциалдаймыз:
1
2

2

2

(?+1) (? +1)

=(

1
2

2

2

(?+1) (? +1)
1
2

2

2

(?+1) (? +1)

2

?? +??+?
2

(?+1)(? +1)

)' +

2

?? +??+?
2

(?+1)(? +1)

2

2

2

=

(2??+?)(?+1)(? +1)−(?? +??+?)(? +1+2? (?+1))

=

(2??+?)(? +? +?+1)−(?? +??+?)(3? +2?+1)

2

2

+

2

(?+1) (? +1)
3

2

2

2

2

2

+

2

(?+1) (? +1)

2

?? +??+?
2

(?+1)(? +1)
2

?? +??+?
2

(?+1)(? +1)

Оң жағын ортақ бөлімге келтіріп, екі жақтың алымдарын теңестірейік:
3

2

2

2

2

2

(2?? + ?)(? + ? + ? + 1) − (?? + ?? + ?)(3? + 2? + 1) +
2

2

(?? + ?? + ?)(? + 1)(? + 1) = 1
3

2

(2?? + ?)(? + ? + ? + 1) − (?? + ?? + ?)(3? + 2? + 1) +
2

3

2

(?? + ?? + ?)(? + ? + ? + 1) = 1
4

3

2

3

2

4

3

2

2?? + 2?? + 2?? + 2?? + ?? + ?? + ?? + B−3?? − 2?? − ?? −
3

2

2

5

4

3

2

4

3?? − 2?? − ?? − 3?? − 2?? − ? +?? + ?? + ?? + ?? +?? +
3

2

3

2

?? + ?? + ?? + ?? + ?? + ?? + ? = 1

2

4

3

Осы теңсіздікті ары қарай ықшамдасақ: ?? + 2?? + B−?? − 2?? −
2

2

5

4

3

2

4

3

2

− ?? − 3?? − 2?? − ? +?? + ?? + ?? + ?? +?? + ?? + ?? +
3

2

+ ?? + ?? + ?? + ?? + ? = 1
?-тің бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттерді теңестіру арқылы
теңдеулер жүйесін құрамыз:
5

? |D=0
4

? |− ? + ? + ? = 0
3

? | − 2? + ? + ? + ? = 0
2

? | ? − ? − 3? + ? + ? + ? = 0
1

? | 2? − 2? + ? + ? = 0
0

? |? − ? + ? = 1
Бұдан шығатыны: A = −
1
4

I=

1

2

(?+1)(? +1)

2

(?+1)(? +1)

?? =

,B=

, C = 0, D = 0, E = −

?? =−

2

(?+1)(? +1)
?
?+1

1
4

3

− 4 ?+ 4

+∫

2

?−3

∫

1

?− 4 ?

1
4

+

??+?
2

? +1

1
4

2

? −?

(

2

(?+1)(? +1)

)−

1
4

,F=

1
4

∫

3
4

.
?−3
2

(?+1)(? +1)

??

болғандықтан:

Оң жағын ортақ бөлімге келтіріп, екі жақтың алымдарын теңестірейік:
2

(? + 1)? + (? + 1)(?? + ?) = ? − 3
2

2

?? + ? + ?? + ?? + ?? + ? = ? − 3
?-тің бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттерді теңестіру арқылы
теңдеулер жүйесін құрамыз:
2

? |? + ? = 0
1

? |? + ? = 1
0

? | ? + ? =− 3
Бұдан шығатыны: A = − 2, B = 2, C = − 1.
∫

?−3
2

(?+1)(? +1)

?? = − 2∫

??
?+1

+∫

2?−1
2

? +1

2

?? = ??(? + 1) − 2??|? + 1|

− ?????? + C.
Енді ары қарай жалғастырмыз: I = −
I=−
I=

1
4

(

2

? −?
3

2

? +? +?+1
2

?−?
3

2

4? +4? +4?+4

) −

−(

1
4

1
4

(

2

? −?
2

(?+1)(? +1)

2

)−

1
4

∫

?−3

(??(? + 1)− 2??|? + 1|− ??????)

2

??(? +1)
4

−

2??|?+1|
4

−

??????
4

)

2

(?+1)(? +1)

??

2

2

?−?

I=

3

2

4? +4? +4?+4

−

??(? +1)
4

+

??|?+1|
2

+

??????
4

+ C.
5

4

2

Мысалы 2.2: Берілуі бойынша ?(?) = 3? + 2? − 7? − 9? + 2,
2

2

2

2

?(?) = (? − 1) (? + ? + 1) демек ?1(?) = ?2(?) = (? − 1)(? + ? + 1)
3

= ? − 1. ?1(?) = ?2(?) көпмүшеліктерінің дәрежесі 3-ке тең болғаны
үшін, ?1(?) пен ?2(?) көпмүшеліктерінің дәрежелерін 3 − 1 = 2-ден
2

аспайтын етіп алу қажет. Сонымен, ?1(?) = ?? + ?? + ?, ?2(?) =
2

?? + ?? + ? болсын. Онда (1.9) бойынша:
5

4

2

2

2

2

2

(?−1) (? +?+1)
5

4

2

3? +2? −7? −9?+2
3

2

?? +??+?
= ⎡⎢
2
⎣ (?−1)(? +?+1)

3? +2? −7? −9?+2

=

2

(? −1)

⎤' + ∫ ?? +??+?
2
⎥
(?−1)(? +?+1)
⎦

3

2

2

(2??+?)(? −1)−3? (?? +??+?)
3

2

(? −1)

+

2

?? +??+?
3

? −1

содан соң, оң

жағын ортақ бөлімге келтіріп, екі жақты теңестіреміз:
5

4

2

3

2

2

3? + 2? − 7? − 9? + 2 = (2?? + ?)(? − 1)− 3? (?? + ?? + ?) +
2

3

(?? + ?? + ?) (? − 1) теңдігіне келеміз.
Бұл теңдікті шығара отырып:
5

4

2

4

3

4

3? + 2? − 7? − 9? + 2 = 2?? − 2?? + ?? − ? − 3??
3

2

5

2

4

3

− 3?? − 3?? + ?? − ?? + ?? − ?? + ?? − ?
5

4

2

4

3? + 2? − 7? − 9? + 2 =
5

2

4

3

2

− 2?? − ? − ?? − 2?? − 3?? +
3

+ ?? − ?? + ?? − ?? + ?? − ? теңдеуін аламыз. Осы теңдеудің
екі жағындағы көпмүшеліктердің ?-тің бірдей дәрежелері алдындағы
коэффициенттерін теңестіру арқылы теңдеулер жүйесін құрамыз:
5

?| ?=3
4

?| −?+?=2
3

? | − 2? + ? = 0
2

? | − 3? − ? =− 7
1

? | − 2? − ? =− 9
0

?| −?−?=2
7
Бұдан A = 3 , B = −

2
3

,C=

сондықтан (1.8) бойынша: J = ∫
2

9? +13?−4
2

(?−1)(? +?+1)

4
3
5

, K = 3, L =
4

2

3? +2? −7? −9?+2
2

2

2

(?−1) (? +?+1)

13
3

2
3

,M=−

?? =

болады,

2

7? −2?+4
2

2

2

(?−1) (? +?+1)

??. Бұны (1.3)-мен салыстырсақ J-дің рационал бөлігі

+

1
3

∫

расында да таза алгебралық жолмен алынғанын көреміз. Енді есептеуді
азайту жолындағы қандай «ұтыстар» болғанын көру үшін, соңғы
интегралды табайық:
2

∫

9? +13?−4
2

(?−1)(? +?+1)

?
?? = ∫⎡⎢ ?−1 +
⎣

??+?
2

? +?+1

⎤??
⎥
⎦

2

? |? + ? = 9
1

? |? − ? + ? = 0
0

? | ? − ? =− 4
Осы жүйені шығара отырып, A=6, B=3, D=10 анықтаймыз.
6
∫⎡⎢ ?−1 +
⎣

⎤?? = 6ln|? − 1| +
⎥
⎦

3?+10
2

? +?+1

3
2

(

2

)

ln ? + ? + 1 +

3

3

2

6−7?−?

Мысал 2.3. Остроградский әдісімен ∫
4

17

4

3

2

? −2? +3? −2?+1

arctg

2?+1
3

+ C.

??.

2

?(?) = ? − 2? + 3? − 2? + 1,
5

2

2

2

?'(?) = 4? − 6? + 6? − 2, яғни ?1(?) = ? − ? + 1, ?2(?) = ? − ? + 1
?1(?), ?2(?) анықталмаған коэффициенттері бар бірінші дәрежелі
көпмүшелер ретінде анықталады. Остроградский формуласы
2

6−7?−?

∫

4

3

2

? −2? +3? −2?+1

??+?

??=

2

? −?+1

??+?

+∫

2

? −?+1

?? түрін алады.

А, В, С, D коэффициенттерін анықтау үшін формуланы ажыратамыз:
2

6−7?−?
4

3

2

? −2? +3? −2?+1

=

2

?( ? −?+1)−(??+?)(2?−1)
2

2

+

( ? −?+1)

??+?
2

? −?+1

.

Оң жағын ортақ бөлімге келтіріп, екі жақтың алымдарын теңестіреміз:
2

2

2

6 − 7? − ? = ?( ? − ? + 1) − (?? + ?)(2? − 1) + (?? + ?)( ? − ? + 1)
2

2

2

3

2

6 − 7? − ? = ? ? − ?? + ? − (2?? − ?? + 2?? − ?) + (?? − ?? +
2

+ ?? + ?? − ?? + ?)
2

2

2

3

2

6 − 7? − ? = ? ? − ?? + ? − 2?? + ?? − 2?? + ? + ?? − ?? + ?? +
2

+ ?? − ?? + ?
2

2

3

2

2

6 − 7? − ? = ? − ?? − 2?? + ? + ?? − ?? + ?? + ?? − ?? + ?.
?-тің бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттерді теңестіру арқылы
теңдеулер жүйесін құрамыз:
3

? |? = 0
2

? | − ? + ? − ? =− 1
1

? | − 2? − ? + ? =− 7

0

? |? + ? + ? = 6
Бұл жүйені шеше отырып A = 2, B = 3, C = 0, D = 1 табамыз. Осылайша
2

6−7?−?

∫

4

3

2

? −2? +3? −2?+1

?? =

2?+3
2

? −?+1

+∫

1
2

? −?+1

?? түрдегі формуласы аламыз.

Оң жақтағы интегралды есептеп, соңында ∫
2
3

?????

2?−1
3

2

6−7?−?
4

3

2

? −2? +3? −2?+1

?? =

2?+3
2

? −?+1

+ ? табамыз.

2.2 Тақырып бойынша тест тапсырмалары
1. ∫
A)

2

? −2?+2
?−1

?? интегралын есептеңіз.

2

(?−1)
2

+ ??(? − 1) + ?

2

C)

(?−1)
+ ??(? + 1) +
3
?−1
+ ??(? + 1) + ?
2

D)

(?−1)
3

E)

(?−1)
2

B)

?

3

− ??(? + 1) + ?

2

− ??(? − 1) + ?

2. Егер ?? = 1 болса, онда

?2(?)
?2(?)

- тің қосылғышының жай бөлшегі.

??+?

A)

2

? +???+??
??+?

B)

?

2

(? +???+??)

C)
D)

??(1)
?−α?
??(?)
?

(?−α?)

E)
3. ∫

δ?−1
2

? +???+??
3

?

2

(?+1)

?? интегралын есептеңіз.

A) 3??(? + 1) +

1
?+1

B) 2??(? + 1) +

2
?−1

2

+

? −4?
2

+

? −4
2

+?

2

+?

+

2

1
? −4?
C) 3??(? + 1) − ?−1 + 2 + ?
2
1
D) ??(? + 1) + ?+1 + ? − 4? + ?

E) 2??(? + 1) +
4. ∫

1
3

2

? −2? +7?−14

A) −
B) −

??(? +7)
22

D)

??(? +7)
22

−

?
(? −1)
1

A) −

2

+?

2

+?

2(? +1)
1
2(? −1)
1

E) −
6. ∫

D)

2

1
?+1
1
?−1

1
?+1
1
?−1

)

11 7
?
7

)

?

?????(

?

11 7

7

??(?−2)
22

+?

+

??(?−2)
22

+?

+

??(?−2)

+?

)

7

−

+?

)

+

11 7
??(?−2)
11

+?

+?

? +? −?−1

B) −
C)

2

(? −1)
?−1

A) −

7

??(?−2)
11

+?

2

2(? +1)
1

3

+

+?

2

2(? −1)
1

D) −

+?

?? интегралын есептеңіз.

2

2

?

?????(

11

+

)

11 7

2?????(

2

5. ∫

7

11 7

+

??(? +7)
22

?

2?????(

2?????(

2

E) −

C)

−

2

C)

B)

−

2

??(? +7)
11

? −4
2

−

?? интегралын есептеңіз.

2

??(? +7)
22

2

1
?+1

?? интегралын есептеңіз.

+?
+?

+?
+?

E) ??(? + 1) + ?
7. Жай бөлшектерді интегралдағанда ? > 1 болатын жағдайдағы пайда
болатын функцияның формуласы.

?1?+?1

(??+?)??

A) ∫

? =

2

2

(? +??+?)
(??+?)??

B) ∫

?

2

C) ∫

(? +??+?)
?1?+?

=

(? +??+?)

(??+?)??

??+?1

? =

E) ∫

??+?

=

?

2

(? +??+?)

(? +??+?)

(??+?)??

?1?+?1

2

3

? +?−1
2

? +2?+1

E) 4??(? + 1) +

?−1

??
2

?−1

(? +??+?)

2

? −4?
2

+
+

3
?−1

? −4?
2

+?

+?

2

+

? −4?
2

+?

2

+

1
?+1

? −4?
2

+?

2

+

? −4
2

+?

?? интегралын есептеңіз.

A)

??(?−1)
2

−

??(?+1)
2

+?

B)

??(?+1)
2

−

??(?−1)
2

+?

C)

??(?−1)
2

+

??(?+1)
2

+?

D)

2??(?+1)
4

E)

??(?−2)
2

10. ∫

??
2

2

4
?−1

D) ??(? − 1) +

? −1

3
?+1

2
?+1

C) 4??(? − 1) +

??

?−1

2

(? +??+?)

?? интегралын есептеңіз.

B) ??(? + 1) +

2

??

+∫

+ γ1 ∫

(? +??+?)

A) 4??(? + 1) +

9. ∫

?−2

2

(? +??+?)

?

2

(? +??+?)

8. ∫

?−1

2

? =

?−1

2

(? +??+?)
??

+∫

+ γ1 ∫

(? +??+?)

(??+?)??

??

(? +??+?)

?

2

(? +??+?)

D) ∫

?−1

2

(? +??+?)

2

+ γ1 ∫

?−1

?(?)
?(?)

??(?−1)
2

−
−

??(?+1)
2

?? =

?1(?)
?1(?)

+?
+?
? (?)

+∫ ?2(?) ?? теңдігінің екі жағын да
2

дифференциалдаған да пайда болатын теңдік.
A)

?(?)
?(?)

? (?)

? (?)

= ⎡⎢ ?1(?) ⎤⎥' + ∫ ?2(?)
2
⎣ 1 ⎦

B)

?(?)
?(?)

? (?)
? (?)
= ⎡⎢ ?1(?) ⎤⎥' + ∫ ?2(?)
2
⎣ 1 ⎦

C)

?(?)
?(?)

= ⎡⎢ ?1(?) ⎤⎥' + ∫ ?2(?)
2
⎣ 1 ⎦

D)

?(?)
?(?)

? (?)
? (?)
= ⎡⎢ ?1(?) ⎤⎥' + ∫ ?2(?)
2
⎣ 1 ⎦

E)

?(?)
?(?)

= ⎡⎢ ?1(?) ⎤⎥' + ∫ ?2(?)
2
⎣ 1 ⎦

? (?)

? (?)

? (?)

? (?)

2.3 Бақылау сұрақтары
1. Алгебрадан екі көпмүшеліктің ең үлкен ортақ бөлгішін табу туралы
Евклид алгоритмі белгілі. Ол ? мен ?' көпмүшеліктері үшін қандай теңдік
арқылы қолданылады.
2. Остроградский формуласының оң жағындағы ………. бөлігі деп
аталатын бірінші қосынды таза алгебралық жолмен табылады.
3. Белгісіз коэффициенттер табу үшін қандай амал қолданамыз.
4. ? > ? болғанда барлық ? ∈ (− ∞, + ∞) үшін қанағаттандырытын
теңдік.
5. ? = ? − 1 болған жағдайдағы теңдікті көрсетіңіз.
6. Анықталмаған интегралдың анықтамасын ескере отырып, (8) теңдігінің
екі жағын да дифференциалдағандағы теңдік.
7. Остоградскийдің әдісінің формуласы.
8. ∫
9. ∫

18??
2

2

??

2

??

(? −1)
24??
2

(? −2)

10. ∫

12??
2

2

(? −6)

??

ҚОРЫТЫНДЫ
Бұл жұмысты жаза отырып рационал функцияларды Остроградский
әдiсi бойынша интегралдарды есептеуді және оның шығару тәсілдерін
зерттедім, білімімді одан әрі шыңдадым. Теориялық материалды жақсы
біліп қана қоймай, әрбір оқулықтағы кез - келген есепті шығаруда оны
тиімді пайдалана білу қажет. Остроградский әдiсін іздестіре отырып, бұл
әдістің шығарылу жолының ұзақ екенін байқадым. Соған қарамастан
тақырыпты меңгеріп, түсініп алдым.
жұмыстың құрылымы кіріспеден, негізгі бөлімнен, қорытынды,
пайдаланылған әдебиеттер тізімінен құралған. Осыған сәйкес менің
зерттеген тақырыбым бойынша қойылған сұрақтарға жауап бере алдым
деп айта аламын.

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
1.
2.
3.
4.

Отаров Х.Т. Математикалық анализ. - Алматы, 2012
Темірғалиев Н. Математикалық анализ 2 том.
Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Ч. II, кн. 2.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Математикалық талдау негіздері, I Бөлім
Мәскеу "Ғылым", 2011 ж.
5. Фихтенгольц Г.М. 3 томдық дифференциалдық және интегралдық
есептеу курсы, II том. (332, 335 т.).
6. Ильин В. А., Поздняк Э. Ж. математикалық талдау негіздері. 1 бөлім-М.:
Физматлит, 2010-648 Б.
7. Лунгу К. Н. Жоғары математикадан есептер жинағы. 1 курс Лунгу к. Н., Д.
Т. письменная, С. Н. Федин.- 6-шы басылым. - М.: Ирис пресс, 2007.
8. Ефимова А. В., Демидовича Б. П. Сызықтық алгебра және математикалық
талдау негіздері. М.: "Ғылым", 2011.
9. Демидович В. П. Математикалық талдау бойынша есептер мен жаттығулар
жинағы. - М.: Ғылым, 2012. - 528 Б.
10. Шипачев В. С. Высшая математика. - М.:" Жоғары Мектеп", 2015.