Реферат

Тақырыбы: «Логарифмдік теңдеулерді шешу»

Орындаған:

Тексерген:

Орал, 2024

Кіріспе

Еліміздің егемендікке ие болып, Қазақстан өз алдына мемлекет мәртебесіне жетіп, бүкіл әлемге, жер жүзіне өзінің елдігін, саясатын танытатын шаққа жетіп отыр. Еліміздің елдігін танытып, оны жетілдіріп, дамытатын – жас ұрпақ, сондықтан да еліміздің болашағы жас жеткіншектің білім дәрежесінің тереңдігімен өлшенеді. Ал осы балғын жеткіншектерге жол көрсетуші, бағыт беруші – мектеп мұғалімдері.

Осы орайда адал ниет жас жеткіншектерге сапалы білім мен саналы тәрбие есігін ашу мектеп мұғалімдеріне абыройлы да жауапты жұмыс жүктейді. Өйткені білім – тәрбиенің негізі, демек баланың жеке басының қалыптасу кезеңі мектеп қабырғасында қаланады.

ХХІ ғасыр – ғылым мен техниканың, технологияның қарыштап дамыған кезі. Ақпараттандыру, жаһандану және интеграция ғасырында жаңа дүние үшін күрес жолында білім беру бірінші кезекке қойылып отыр. Қазіргі білім беруде математиканың орны ерекше. Жалпы білім беретін мектептерде математиканың жекелеген тараулары бойынша есептер шығаруда оқушыларға қиындық тудыратын тұстары жеткілікті. Бұл Ұлттық бірыңғай тестілеу нәтижелерінде байқалады. ҰБТ-ны енгізу білім беру ұйымдарының қызметін объективті бағалауға, олардың нақты рейтингтерін анықтауға, жалпы орта білім беру мәселелеріне жұртшылықтың назарын күшейтуге, оқушылар мен мұғалімдердің оқу еңбегінің қорытындысын анықтауға, дәлелдеуге мүмкіндік береді.

Қазіргі таңда мектеп бітірушілерді тестілеуден өткізу заман талабына сай жүргізіліп отырғаны белгілі. Осы орайда математика пәні міндетті пәндердің бірі болғандықтан оқушылардың даярлығы да стандарттан төмен болмауы тиіс. Сондықтан тестілеу барысында оқушылардың көпшілігіне қиындық тудыратын есептерге, математиканы оқыту әдістемесіне айрықша көңіл бөлу қажет. Осындай тақырыптардың бірі – логарифмдік теңдеулерді шешу. Мұндай теңдеулердің шешімін тапқанда мүмкін мәндер жиынына кірмейтін мәндерді қабылдамау немесе түрлендіру барысында шешімді жоғалтып алу мәселелері қиындық тудырады.

Теңдеулерді шешуде негізінен екі түрлі тәсіл жиі қолданылады. Бұл екі тәсілде де берілген күрделі теңдеуді бірнеше қарапайым теңдеулер жиынтығына келтіріп шешеді. Сондықтан логарифмдік теңдеулерді түрлендіру барысында олардың теңкүштілігін қадағалай отырып, логарифмдік функцияға тән қасиеттерді де қолдану керек. Әрине, білімімізді кеңейту арқылы ойлау заңдылығының өрбуінің және оның дамуын үйренеміз. Зерттеу нәтижесінде логарифмдік теңдеулерді әр түрлі жолдарымен алынған тәсілінің мәні ашылады.

Логарифмдік функция және оның қасиеттері

Логарифмнің анықтамасы. теңдеуін қарастырайық. Бұл теңдеудің түбірі функциясының графигі мен түзуінің қиылысу нүктелерінің абсциссаларына тең. болғанда қиылысу нүктесі біреу ғана болады, керісінше болғанда графиктер қиылыспайды. Олай болса, болғанда теңдеуінің түбірін негізі а-ға тең болатын b санының логарифмі ретінде алуға болады.

Анықтама. Берілген оң санның берілген негіздегі логарифмі деп осы негіздің берілген санға тең дәреже көрсеткішін айтады, яғни санының негізіндегі логарифмі деп

(1)

теңдігін қанағаттандыратын с санын айтады және арқылы белгілейді.

Сонымен, анықтама бойынша (1) теңдіктен

(2)

теңдігін аламыз. (2) формула логарифмнің негізгі тепе-теңдігі деп аталады.

Мысал. 1) ; 2) өрнектерінің мәнін табу керек.

Шешуі. 1) , онда анықтама бойынша .

2) , онда анықтама бойынша .

Логарифмнің қасиеттері. Енді логарифмнің негізгі қасиеттерін атап өтейік.

Кез келген және b, c сандары үшін:

1º. ;

2º. ;

3º. ;

4º. ;

5º. ;

6º. ;

7º. теңдігінен теңдігі шығады;

8º.

қасиеттері орындалады.

Логарифмдік функция және оның қасиеттері. Енді логарифмдік функцияға анықтама берейік.

Анықтама. түрінде берілген функцияны негізі а болатын логарифмдік функция деп атайды.

Логарифмдік функцияның қасиеттері:

1º. Логарифмдік функцияның анықталу облысы жиыны болады.

2º. Логарифмдік функцияның мәндер жиыны жиыны болады.

3º. Егер болса, онда функциясы өспелі болады.

4º. Егер болса, онда функциясы кемімелі болады.

Логарифмдік теңдеулерді шешу

Логарифм белгісі астында немесе (және) оның негізінде белгісізді қамтитын теңдеу логарифмдік теңдеу деп аталады. Қарапайым логарифмдік теңдеу деп түріндегі теңдеуді атаймыз.

Логарифмдік теңдеулерді шешу барысында логарифмдік функцияныңмонотондық және кез келген мәнді қабылдайтын қасиеттерін қолданамыз. Сонымен қатар логарифмдердің анықталу облыстарын да бақылап отыру керек:

1) логарифмнің айнымалы аргументі оң болуы шарт;

2) логарифмнің айнымалы негізі оң болып, 1-ге тең болмауы шарт.

1-есеп. теңдеуін шешіңіз.

Шешуі. Екі логарифм төмендегі теңсіздіктер жүйесі орындалған жағдайда

яғни болғанда анықталады.

Теңдеудің құрамындағы барлық функциялардың анықталу облыстарының қиылысуы осы теңдеудің мүмкін мәндер жиыны (ММЖ) деп аталады. Осылайша, біздің теңдеу үшін ММЖ жиыны болады.

ММЖ тапқаннан кейін теңдеуді түрлендіруге көшеміз.

Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді біріктіріп,

квадрат теңдеуін аламыз. Оның түбірлері 1 мен 4 болады. Бұл жағдайда 1 саны ММЖ-ға кірмейді, сондықтан бастапқы теңдеудің түбірі бола алмайды.

Жауабы: 4.

2-есеп. Теңдеуді шешіңіз:

(3)

Шешуі. ММЖ тапқан кезде бірнеше қиындыққа тап боламыз. Біріншісі: үшмүшесінің түбірлері иррационал сандар екенін байқаймыз. Екіншісі: түрлендіруден кейін шығатын теңдеудің түбірлерін ММЖ-ға тиістілігін тексеру оңайға соқпайтыны.

Алайда бұндай қиындықтарды айналып өтудің жолы бар.

Берілген (3) теңдеу

(4)

жүйемен теңкүшті екенін атап өтейік. Шынында да, (3) теңдеудің кез келген түбірі (4) жүйені қанағаттандырады. Керісінше, (4) жүйенің шешімі болсын. Онда логарифмнің анықтамасына сәйкес,

теңсіздігі орындалады. теңсіздігін ескере отырып, аламыз және (3) теңдеудің шешімі болады.

Сонымен, (4) жүйенің теңдеуін шешіп, түбірлерінің ішінен теңсіздігін қанағаттандыратын түбірлерін іріктеп алуымыз керек.

(4) жүйенің теңдеуін мына түрде жазып алайық:

.

функциясының монотондығы негізінде жоғарыдағы теңдеуден

шығады. Түрлендіруден кейін

квадрат теңдеуін аламыз. Оның түбірлері

болады. Енді осы түбірлер теңсіздігін қанағаттандыратынын немесе қанағаттандырмайтынын анықтауымыз керек. саны бұл теңсіздікті қанағаттандыратыны көрініп тұр, өйткені . Демек, – бастапқы (3) теңдеудің шешімі болады. санын тексерейік:

.

Осылайша саны бастапқы теңдеудің түбірі болмайды.

Жауабы: .

3-есеп. теңдеуін шешіңіз.

Шешуі. болатынын байқасақ, нәтижесінде

шығады. алмастыруын орындап, t-ға қатысты квадрат теңдеу аламыз:

.

Оның түбірлері 1 мен болады. Кері алмастырайық:

Жауабы: .

4-есеп. теңдеуін шешіңіз.

Шешуі. Логарифмдердің барлығын негізі 3 болатындай етіп жазайық.

немесе

.

Бұдан

.

Демек,

Жауабы: .

5-есеп. Теңдеуді шешіңіз: .

Шешуі. Негізі 2 болатындай етіп түрлендіреміз:

.

алмастыруын орындаймыз:

немесе

.

Бұл теңдеудің түбірлері: . Кері алмастыруды орындаймыз:

Жауабы: .

6-есеп. Теңдеуді шешіңіз: .

Шешуі. Логарифмнің анықтамасы бойынша бұл теңдеу төмендегі теңдеумен теңкүшті болады:

.

алмастыруын орындап,

теңдеуін аламыз, одан

.

Соңғы теңдеудің түбірлері болады. теңдеуінің шешімі жоқ. теңдеуінің болатын жалғыз түбірі бар.

Жауабы: 2.

7-есеп. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі. 2 деген негізге көшеміз:

немесе

.

Бұл теңдеудің барлық шешімдері шартын қанағаттандырады. Бірақ болғанда мына теңдік орындалады:

,

сондықтан бұл теңдеу төмендегі теңдеумен теңкүшті болады:

.

алмастыруын орындаймыз:

Шыққан теңдеуді шешу қиындық тудырмайды. Бұл теңдеудің түбірлері: . Кері алмастыруды орындаймыз:

Жауабы: .

8-есеп. Теңдеуді шешіңіз: .

Шешуі. Логарифмнің негізгі тепе-теңдігіне сәйкес болады. Онда берілген теңдеу төмендегідей болып түрленеді:

.

Бұдан

,

яғни

.

Демек, немесе .

Жауабы: .

9-есеп. Теңдеуді шешіңіз: .

Шешуі. Берілген теңдеудің салдары төмендегі теңдеу болады:

,

яғни

.

Бұл теңдеудің түбірлері 0 мен –3 болады. Алайда егер болса, онда логарифмнің негізі 1-ге тең болады, ал егер болса, онда логарифмнің негізі теріс сан болады (екі шешім де логарифмнің анықтамасына қайшы келеді). Демек, берілген теңдеудің түбірі жоқ.

Жауабы: шешімі жоқ.

Қорытынды

Рефераттағы мәліметтер мен есептерді жинақтай келе келесі қорытындыларды жасауға болады.

Логарифмдік теңдеулер оқушылардың қызығушылығын тудырады. Логарифмдік теңдеулерді шешу барысында оқушылардың логикалық ойлау және жүйелеу дағдылары қалыптасады және шешудің дұрыс әдісін тапқан жағдайда олардың шығармашылық ойлау қабілеттері артады. Оқушылар үшін мұның маңызы зор.

Логарифмдік теңдеулердің әрбір түрі үшін рефератта оның ең тиімді шешу әдісі қарастырылған. Есеп шығару барысында кездескен қиындыққа сәйкес дұрыс әдісті таңдап алудың маңызы ерекше.

Пайдаланылған әдебиеттер

1. Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н., Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие, М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2008. – 352 с.

2. Шыныбеков Ә.Н., Алгебра және анализ бастамалары. Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы 11-сыныбына арналған оқулық. – Алматы: Атамұра. – 2020. – 198 б.

3. Әбілқасымова А.Е., Корчевский В.Е., Жұмағұлова З.Ә., Алгебра және анализ бастамалары. Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы 11-сыныбына арналған оқулық. – Алматы: Мектеп. – 2019. – 254 б.

4. Гейдман Б.П., Логарифмические и показательные уравнения и неравенства (3-е, стереотипное), М.: МЦНМО, 2013. – 48 с.

5. https://mathus.ru/math/logun.pdf