Роль задач в формировании знаний, умений и навыков студентов по математике

Роль задач в формировании знаний, умений и навыков студентов по математике

Преподаватели математики ТОО «Колледж Есенова»

Сактаганова А.Ж.

Процесс формирования знаний, умений и навыков у студентов не может обойтись без решения задач по конкретной дисциплине. Решение задач – это умственная работа по усвоению информации, полученной на уроке, и установление системы связей между изученными понятиями.

Умение решать задачи является основным показателем уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Поэтому на уроке математике любая проверка знаний содержит решение задач. Для того чтобы задача была решена, студенту необходимо понять структуру задачи и найти метод ее решения.

Каждая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь на условия задачи. Основное место в решении задачи занимает ее анализ. С помощью этой логической операции студент не только изучает условие, ищет ход решения, но и формирует свои знания, умения и навыки по определенной теме, разделу. Это позволяет выявить элементы знания, которые усвоены хорошо , а над которыми необходима дальнейшая работа.

После того как студент задачу осмыслил и проанализировал, он выбирает путь ее решения. Выбор метода решения задачи зависит от ее условия. Но процесс решения любой задачи можно представить в виде:

задача

анализ задачи

п оиск решения

анализ решения

п лан решения

о существление плана решения

проверка

запись ответа

Такой процесс решения может исключать компоненты или дополняться другими. В процессе решения всегда нужно учитывать вид задачи. Различают следующие виды задач:

п о характеру объектов

реальные математические

п о отношению к теории

стандартные нестандартные поисковые

п о характеру требования

нахождение искомых преобразование или построение доказательство или объяснение

Особое внимание должно уделяться оформлению задачи. Потому что в этом процессе, на предварительном этапе, выделяются основные характеристики задачи и подбирается методика ее решения. Задача по геометрии должна содержать чертеж (эскиз). Чертеж представляет собой схематический рисунок основного объекта задачи с обозначением всех элементов фигуры. Задача по алгебре должна содержать все необходимые для решения формулы. Правильно сделанный рисунок, схема или верно найденная формула значительно облегчают осмысление задачи и ее анализ, а самое главное, поиск решения.

Оформление задачи по математике можно производить следующим способом:

Дано:

Найти (доказать):

Решение (доказательство):

Ответ:

В настоящее время появилась необходимость вводить в процесс обучения нестандартные задачи, что позволяет повысить уровень знаний, уровень развития логического мышления, умение анализировать условие задачи, способности студентов применять знания по математике в других дисциплинах. Стандартные же задачи очень ограничены информацией. Нередко стереотип решения стандартных задач приводит студентов в тупиковые ситуации.

Методы решения нестандартных задач можно разбить на три группы:

1.Расчленение задачи на стандартные или более простые,

2. Замена данной задачи равносильной,

3. Введение вспомогательных элементов.

При такой классификации определяется схема поиска решения нестандартной задачи.

з адача

а нализ решения и построения вспомогательной модели

в ыбор метода по классификации

преобразование условия задачи

решение задачи с учетом ее особенностей

нахождение ответа и его запись

Наиболее наглядными, в этом плане, являются задачи стереометрии, которые предполагают для своего решения знание планиметрии, тригонометрии, алгебры и начал анализа. Такие задачи обычно решаются путем разбиения на более простые.

Задача. Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 4 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найти ее высоту.

Дано: PABCD – пирамида, - равнобедренная трапеция, BC = 4 см, AD = 6 см, AP = BP = CP = DP = 13 см.

Найти: высоту пирамиды.

Решение:

Р

E

B

O

А D

F

Рисунок 1 – Пирамида РАВСD

Анализ задачи.

Боковые ребра пирамиды равны, значит вершина пирамиды Р равноудалена от вершин основания. Таким образом точка Р будет проектироваться в центр описанной окружности около равнобедренной трапеции, то есть точку пересечения диагоналей , обозначим эту точку буквой O.В этом случае отрезок РО будет высотой пирамиды .Задача сводится к нахождению высоты пирамиды из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора. Один катет такого треугольника является частью диагонали основания, а гипотенуза – боковое ребро пирамиды. Изобразим пирамиду и сделаем выноску (вид сверху).

Выбор метода решения задачи.

Для нахождения высоты пирамиды геометрическое тело разобьем на планиметрические фигуры: треугольники и равнобедренную трапецию. Таким образом задача решается разбиением на более простые. Введем новый элемент. Пусть часть высоты основания равна х, тогда другая – равна (5-х), т.к. высота основания равна 5 см.

Осуществление решения задачи. ОЕ = х (см) , OF = (5-х) (см)

По свойствам равнобедренной трапеции точки F и Е будут являться серединами оснований трапеции. Из прямоугольных треугольников FOA и ЕОВ по теореме Пифагора ОВ² = ОЕ² + ВЕ² = х² + (2 )² = х² + 24 , ОА² = (5-х)² + 3² .

Треугольники ВОС и АОD подобны по первому признаку подобия. треугольников. Из подобия следует ВО:АО = 4 : 6, 3 ВО = 2 , 9ВО² = 24 АО² 3ВО² = 8АО². Получаем уравнение 3(х² +24)=8(х²-10х+36). После преобразований уравнение имеет вид х² – 16х + 40 = 0. Решая уравнение, получаем корни х₁ = 3, х₂ = 12 , но х₂ не подходит по смыслу задачи, т.к. х < 5. OF= 2 см, ОВ= 5,2 см, ОА =3,6 см. Из прямоугольных треугольников АОР и ВОР

по Теореме Пифагора с одной стороны РО = = = 12,4 см, с другой стороны РО = = 11,9 см.

Т.к. в пирамиде РО единственная высота, то возьмем среднее арифметическое от двух результатов. РО = = 12 см.

Ответ: высота пирамиды равна 12 см.

Перечислим понятия и теоремы, которые используются при решении задачи:

1. Многогранник,

2. Пирамида

3. Равнобедренная трапеция,

4. Прямоугольный треугольник,

5. Боковое ребро,

6. Основание пирамиды,

7. Проекция точки на плоскость,

8. Высота пирамиды,

9. Высота основания,

10. Квадратное уравнение,

11. Теорема Пифагора,

12. Признаки подобия треугольников,

13. Среднее арифметическое.

С помощью решения задач по математике можно не только систематизировать знания студентов по определенной теме, но и выработать отдельные умения и навыки в действиях, стимулировать постоянный анализ деятельности, выделять в задачах общие подходы и методы, теоретически осмыслять задачи и практически обосновывать их решения. Задачи дают возможность планомерно формировать умения и навыки, искать короткие и рациональные решения, использовать приобретенные ранее знания, находить такие подходы, при которых задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение – как объект конструирования и изобретения. Нужно понимать, что только в результате самостоятельной можно научиться такому сложному умению, как умение решать задачи.

Литература:

1. Безрукова В.С. Педагогика. Издательство Свердловского инженерно – педагогического института,2015.

2. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике : Учеб. Пособие для техникумов , - 3-е изд. , перераб. и доп. - М.: Высш.шк. ,2006.-495с.:ил.

3. Башмаков М. И. Математика : Эксперимент .учеб. пособие для СПТУ .-М.: Высш. Шк.,2015.-463 с.:ил.

4. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа .-М.: Просвещение ,2008.-416 с.: ил.

5. Лисичкин В.Т. , Соловейчик И. Л. Математика . Учеб. пособие для техникумов .-М.: Высш. Шк. ,2016.-480 с.: ил.

6. Математика для техникумов . Алгебра и начала анализа : Учебник Ч 1: Под ред. Яковлева Г. Н. ,- 3-е изд. ,перераб. - М.: Наука , Гл. Ред. Физ. - мат. Лит.,2005.-464 с.

7. Геометрия: Учеб. для 10 –11 кл., общеобразоват. учреждений / Л.С. Атаносян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 4-е изд. - М.: Просвещение, 2009-207 с.:ил.

8. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи.