Салмақты Лебег кеңістігінде операторлар

Салмақты Лебег кеңістігінде оператордың шенелуі туралы есеп көпшілікке таныс. Бұл есеп бір салмақты кеңістіктен екінші бір кеңістікке әсер ететін оператордың шенелуінің критериін, яғни екі салмақты функцияларға қажетті және жеткілікті шарттарды анықтау болып табылады.

Функционалдық кеңістіктерде интегралдық оператордың шенелуі дифференциялдық операторлар спектрінің дискртетілігімен және онымен байланысты функцияналдық кеңістіктердің бір-біріне енулерімен тығыз байланысты. Жоғарыда айтылған мәселелер жалпы жағдайларда кұрделі болып табылады. Мысалы, Лебег кеңістігінде интегралдық оператордың шенелуі, жалпы айтқанда шешілмеген. Сондықтан көбіне интегралдық операторлардың қандайда бір класын бөліп алып, олардың Лебег кеңістіктерінде шенелуін қарастырып нормаларын бағалайды.

Өткен ғасырдың 2-ші жартысында зерттеушілер Харди типтес операторлар – интегралдық операторлар класын қарастыра бастады. Бұл Г.Х.Хардидің (G.H.Hardy) 1925 жылғы жұмысымен байланысты. Ол жұмысты Г.Х.Харди интегралдық оператордың кеңістігінде шенелуін қарастырып, оның нормасын тең болатынын дәлелдеген.

Дербес туындылы дифференциялдық теңдеулер тоериясында салмақты Лебег кеңістігімен қатар Морри кеңістігі де үлкен роль атқарады. Бұл кеңістікті 1938 жылы C.Morrey енгізіп оны былай анықтаған: үшін дейміз, егер және

болса. Мұндағы кеңістігіндегі центрі 0 нүктесі болатын радиусы r-ге тең шар.

Егер болса, онда болғанда , ал болса, онда кеңістігі нөлге эквивалентті функциялардан тұрады.

Жұмыстың мақсаты.

Лебег кеңістігін Морри типтес кеңістікке енгізу, Морри типтес кеңістікте классикалық Харди типтес теңсіздіктерді қарастыру. Морри типтес кеңістікте Харди операторының шенелу шарттарын қарастыру.

Ғылыми жаңалығы.

Жұмыста салмақты Лебег кеңістігін локальді Морри кеңістігіне енгізу мәселесі қаралған. Егер Лебег кеңістігін анықтайтын параметр біреу болса, Морри кеңістігінде екі парметр бар. Бұл дипломдық жұмыс осы үш параметрдің әр түрлі жағдайларында енгізу шарттарын анықтауға арналған. Алынған нәтижелер жаңа, бұрын қарастырылмаған , айтарлықтай маңызы бар.

Теориялық және практикалық маңыздылығы.

Жұмыстың негізі теориялық сипаттамадан тұрады. Және функциялар теориясында , дифференциялдық теңдеулер және интегралдық операторлар теориясында қолдануға болады.

Диплом құрылымы.

Диплом кіріспеден , үш тараудан , қорытындыдан және әдебиеттер тізімінен тұрады.

Дипломның негізгі мазмұны.

Бірінші тарау салмақты Харди теңсіздігіне шолу болып табылады. Мұнда Харди типтес теңсіздігі жөнінде негізгі белгілі нәтижелер келтіріліп , әр түрлі көрсеткіштеріне байланысты дәлелдемелері ұсынылған.

Екінші тарауда салмақты Лебег кеңістігінің Морри типтес кеңістікке енгізу мәселесі қарастырылған. Бұл тарау екі бөлімнен тұрады. 2.1 бөлімінде жағдайындағы енгізу теоремасы, ал 2.2 бөлімінде жағдайындағы енгізу теоремасы қарастырылған.

Негізгі нәтижелерді келтірейік.

болсын, салмақты функциялар, яғни өлшемді және теріс емес мәнді функциялар. арқылы , нормасы ақырлы болатын функциялар кеңістігін белгілейік. арқылы

нормасы ақырлы болатын функциялар кеңістігін белгілейік.

енгізуін анықтайтын

теңсіздігін қарастырамыз.

Теорема 2.1.1. Егер болса, онда (0.1) теңсіздігі орындалуы үшін болуы қажетті және жеткілікті. Мұндағы

Теорема 2.2.1. Егер болса, онда (0.1) теңсіздігі орындалуы үшін болуы қажетті және жеткілікті. Мұндағы

Теорема 2.3.1. Егер болса , онда енгізуі орындалмайды.

Үшінші тарауда Харди операторының Морри кеңістігінде шенелу шарттары қарастырылған.

Теорема 2.4.1. Харди операторы болғанда Морридің кеңістігінен кеңістігіне шенелген болуы үшін мына шарттың

орындалуы қажетті және жеткілікті.