Сандардың бөлінгіштік белгілері

Ғылыми жоба

Тақырыбы: Натурал сандардың бөлінгіштік белгілері

Орындаған: Болат Аиза.

Сыныбы: 6 “Б”

Жетекшісі: Кабдолданова А.Р.

1

8

9

Натурал сандардың

бөлінгіштік белгілері

3

5

0

7

6

2

4

Мақсаты

Натурал сандардың бөлінгіштік белгілерін зерттеп, қарастыру.

МАЗМҰНы

1.Кіріспе

2.Зерттеу бөлімі

3. Сандардың бөлінгіштік белгісі

4. Натурал сандардың 7-ге бөлінгіштік белгісі

5. Натурал санның 11-ге бөлінгіштік белгісі

6. Бөлінгіштік белгілеріне есептер

жинағы мен ұсыныстар

7.Қорытынды

8.Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

Зерттеу жұмысын талдау кезінде

Кіріспе

Натурал сандардың 2,3 және 5 сандарына бөлінгіштік белгілері ерте кезден белгілі болған. 2-ге бөлінгіштік белгісін ерте египеттіктер б.з.д. екі мың жыл бұрын білген, ал 9-ға бөлінгіштік белгісін б.э.д. үшжүзінші жылдары гректер білген. Алғаш рет 2,3 және 5 сандарына бөлінгіштік белгісін Италия математигі Леонардо Фибоначчи толық талқылап,жазып кеткен. Атақты француз математигі және физигі Блез Паскаль жас кезінде бөлінгіштік белгісінің жалпы түрін қорытып шыққан. Біз натурал сандардың 2, 3, 9 және 5,10 сандарына бөлінгіштік белгілерін қарастырған кезде натурал сандардың басқа бөлінгіштік белгілері бар ма екен? -деген сұрақ туындады. Ғылыми жоба жұмыстарын орындау барысында математикалық есептеу жұмыстары мен модельдеу, талдау әдісі тәрізді жалпы ғылыми әдістер қолданылды. Бұл әдістердің сипаттамалары зерттеу бөлімінде баяндалады.

Зерттеу бөлімі

Сандардың бөлінгіштік белгісі

Екі натурал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісін әрқашанда натурал сандар, бұл жағдайды кейде қосу, азайту, көбейту амалдарына қатысты натурал сандар жиынының «тұйықтығы» деп атау қабылданған. Бөлу амалын қарастырсақ. Бүтін сандарды бір-біріне бөлу, әрқашанда бүтін сан болмайды, яғни сандардың тұйық жиыны болмайды.Сондықтан сандарды бөлуге қатысты жағдайларды қарастырғанда,екі санның бөлінгіштігі туралы сұрақ туындайды.Енді біз жұмыста «сан» деген сөзді «бүтін сан» ұғымы ретінде қабылдап отырамыз. Бізге белгілі бүтін теріс емес сандарды натурал сандар деп айтқанда барлық натурал сандар жиынын айтамыз.

Анықтама Егер a=b·c теңдігі орындалатын a саны

табылатын болса, онда a саны b санына бөлінеді деп айтамыз.

Бұл жағдай a санының b санына бөлінгіштігі деп аталып,

былай белгіленеді: a:b

2-ге бөлінгіштік белгісі.

3-ке бөлінгіштік белгісі.

Цифрларының қосындысы 3-ке тең натурал сандар 3-ке бөлінеді.

Егер сан жұп цифрымен аяқталса, сол сан 2-ге бөлінеді

5-ке бөлінгіштік белгісі.

6-ға бөлінгіштік белгісі.

4-ке бөлінгіштік белгісі.

Егер берілген сан 2-ге және 3-ке бөлінсе, онда берілген сан да 6-ға бөлінеді.

Жазылуы 0 цифрымен немесе 5 цифрымен аяқталатын натурал сандар 5-ке бөлінеді.

Егер санның соңғы екі цифрынан құралған сан 4-ке бөлінсе, онда

берілген сан да 4-ке бөлінеді.

7-ге бөлінгіштік белгісі.

8 –ге бөлінгіштік белгісі.

Берілген сан 7- ге бөлінетінін білу үшін: ол санды оңнан солға қарай үш – үштен топтаймыз да, тақ нөмірлі санды минуспен, ал жұп нөмірлі санды плюспен жазып, өрнектің мәнін табамыз. Егер өрнектің нәтижесі 7 – ге бөлінсе, онда берілген сан да 7 –ге бөлінеді.

Егер берілген санның соңғы үш орынды саны 8 –ге бөлінсе, берілген сан да 8 –ге бөлінеді.

9- ға бөлінгіштік белгісі.

Цифрларының қосындысы 9-ға тең натурал сандар 9-ға бөлінеді.

10-ға бөлінгіштік белгісі.

Жазылуы 0 цифрымен аяқталатын натурал сандар 10-ға бөлінеді.

11-ге бөлінгіштік белгісі.

Санның 11-ге бөлінетінін білу үшін: ол санды оңнан солға қарай екі –екіден топтаймыз да қосындысын табамыз. Сонда берілген сан 11- ге бөлінсе, берілген санда 11-ге бөлінеді.

13- ке бөлінгіштік белгісі.

Берілген сан 13- ке бөлінетінін білу үшін: ол санды оңнан солға қарай үш – үштен топтаймыз да тақ нөмірлі санды минуспен, ал жұп нөмірлі санды плюспен жазып, өрнектің мәнін табамыз. Егер өрнектің нәтижесі 13-ке бөлінсе, онда берілген сан да 13-ке бөлінеді.

19- ға бөлінгіштік белгісі.

Сан 19- ға бөлінуі үшін ол санның ондықтары мен екі еселенген бірліктерінің қосындысы 19- ға бөлінуі керек.

25 – ке бөлінгіштік белгісі.

Сан 25- ке бөліну үшін, ол 00, 25, 50, 75, т.с.с. сандардың бірімен аяқталуы керек.

0 онда а≥в. 2) Егер а в және в а, онда а=в. 3) Егер а в және в с, онда а с. 4) Егер а с және в с, онда кез келген m және n натурал сандар үшін (ma+nв) c, егер ma nв болса, онда (ma-nв) c. 5) Егер а в және k≠0, онда ak вk. 6) Егер ak вk және k≠0, онда а в. " width="640"

33-ке , 99-ға бөлінгіштік белгісі.

Сан 33-ке, 99-ға бөліну үшін, оның цифрларын оңнан солға қарай екі орыннан бөлгенде шыққан қосындысы 33-ке, 99-ға бөлінуі керек.

101-ге бөлінгіштік белгісі.

Егер берілген санның, оңнан солға қарай есептегенде екі –екіден бөлінген цифрларының тақ орындағылардың қосындысы мен жұп орындағылардың қосындысын бірінен –бірін ажыратқанда айырма не 0-ге, не 101 –ге тең болса ол сан 101 –ге бөлінеді.

Анықтама.

а натурал саны в натурал санына бөлінеді, егер а=b*c теңдігі орындалатындай с натурал саны табылса.

Сандар бөлінгіштігінің қасиеттері:

• 1) Егер а в және а0 онда а≥в.

• 2) Егер а в және в а, онда а=в.

• 3) Егер а в және в с, онда а с.

• 4) Егер а с және в с, онда кез келген m және n натурал сандар үшін (ma+nв) c, егер ma nв болса,

онда (ma-nв) c.

• 5) Егер а в және k≠0, онда ak вk.

• 6) Егер ak вk және k≠0, онда а в.

Сандардың 7 –ге бөлінгіштік белгісі

Кейбір кезде «берілген сан тағы да басқа бір санға бөліне ме екен?» деген сұрақ туындайды. Мұндай кезде көптеген есептеулер орындалмай-ақ сан қалдықсыз бөлінетін бөлінгіштік белгісін қолданған жөн. Мүмкіндігінше шарт оңай болу керек және тексеру бөлуден қиын болмауы тиіс. Бөлінгіштік ішінде ең қиыны 7-ге бөлінгіштік белгісі. Біз бұл жұмысымызды қарастырып көрейік. Қарастырып отырған санды оң жағынан бастап басынан екі цифрдан бөліп шығамыз. Шыққан екі орынды сандарға кезегімен 7-ге бөліп, бөлгеннен шыққан қалдықты 2–ге көбейтеміз және мәнін ретімен санға қосамыз. Санды 7-ге бөліп, қалдықты 2-ге көбейтеміз де үшінші санмен қосамыз, тағы сол сияқты жалғастырамыз. Егер қосындының мәні 7-ге бөлінсе,онда қарастырып отырған сан 7-ге бөлінеді.

М ы с а л ы

1-мысал: 1 43 94 73 санын қарастырайық

1·2=2 2+43=45 45:7=6(3қ) 3·2=6 6+94=100 100:7=14(2) 2·2=4 73+4=77 77:7=11

Бұл белгі мына теңдеуге негізделген10+1=7 · 11 · 13

2-мысал: 46 14 61 саны 7-ге бөлінеді,себебі:

46:7=6(4) 4·2=8 8+14=22 22:7=3(1) 1·2=2 61+2=63 63:7=9

3-мысал: 62 98 33 саны 7-ге бөлінбейді, себебі:

62:7=8(6) 6·2=12 12+98=110 110:7=14(12) 12·2=24 33+24=57 57:7=8(1)

Сандардың бөлінгіштік белгісіне есептер жинағы мен ұсыныстар

№ 1. 3-ке, 7-ге, 13-ке қалдықсыз бөлінетін ең кіші алты орынды санды табыңыз.

Шешуі: Ойланған сан 3 · 7 · 13=273 санына бөлінеді, ал ең кіші алты орынды сан 100000=366 · 273+82. Егер осы санға 191-ді қоссақ, онда

100191=367 · 273-ті аламыз. Бұл сан 7-ге бөлінеді.

№ 2. Кез келген бес орынды санға оң жағынан (сол жағынан) сол санның өзін тіркеп жазса, онда шыққан санның 11-ге бөлінетіндігін дәлелдеңіз.

Дәлелдеу: Айталық а бес орынды сан болсын. Оған дәл сондай санды тіркеп жазғанда 100001 а санын аламыз. 100001 саны 11-ге бөлінетін

болғандықтан 100001:11=9091, онда 100001 а саны 11-ге бөлінеді.

№ 6. Сегіз натурал санның ішінде ең болмаса екеуінің айырмасы 7-ге

бөлінетін сандар бар болатындығын дәлелдеңіз.

Дәлелдеу: 7-ге бөлген кезде қалатын қалдықтар 0,1,2,3,4,5,6. Шарт бойынша 8 сан бар, онда 7-ге бөлгенде бірдей қалдық қалатын екі сан бар

болады. Сондықтан олардың айырмасы 7-ге бөлінеді.

Қорытынды

Жұмысты орындау барысында натурал сандардың қарапайым бөлінгіштік белгілерін қарастырудан бастадық. Натурал сандардың7-ге, 11-ге бөлінгіштік белгілерін натурал сандарды жай көбейткіштерге жіктеуге және ең кіші ортақ еселігін, ең үлкен ортақ бөлгішін табуға қолдануды қарастырдық.Сандарды көбейткіштерге жіктеу үшін олардың бөлінгіштік белгілерін біліп, дұрыс қолдану керек. Бұл жұмысты орындау барысында жай сандарды қарастырдық. Ғылыми жоба жұмыстарын орындау барысында математикалық есептеу жұмыстары, модельдеу, талдау сияқты жалпы ғылыми әдістер қолдандым. Бұл әдістердің сипаттамалары зерттеуде қолданылды.Осы ғылыми жұмысты сандардың бөлінгіштік белгілерін бүтін сандар үшін қолдануды жалғастыруды көздеп отырмын. Натурал сандар бөлінгіштігі» тақырыбы математикада есептеу жұмысын жеңілдетуге, бөлінгіштік белгілерінің көмегімен сандар сырына үңілуге, дәлелдеуге берілген есептерді шығаруға көмектеседі. Сандар бөлінгіштігі натурал сандармен шектелмейді.Сондықтан, болашақта «Сандар бөлінгіштігі» тақырыбы әлі де зерттеліп, толықтырылады.

Әр баланың мақсаты – өзінің   білім  деңгейін  көтеру, сабаққа деген қызығушылығын арттыру,  іздену. Осы  мақсатты  іске  асыру  барысындағы   міндетім  сол   тақырыпты  игерумен  қатар, кең  ауқым-ды есептерді  шешуді зерттеу,ойлау  қабілетімді  машықтыру.

Ойлау – шығармашылық, ойлау – еңбек. Бұны  іске асырудың  бір жолы  қызықтыратын тапсырмалар таңдай білу. Ойлау барысында менің дербес жұмыс істеу мүмкіндігім, көңіл қоя білу қабілетім дамыды. Математиканың сан алуан сырын, сандар әлемінің қызық құбылысын, ойлау  элементтерімен өрнектеген зертеу жұмысы қызықты, әрі ұтымды. Зерттеу барысында жүргізілетін жұмыстар қарапайымнан басталып, біртіндеп қиындап, танымдық қызметін белсендіруге назар аударылады. Зерттеу жұмыстарын жүргізу барысы  менің зор ынтамды тудырды, білгенімді тереңдетіп, жаңа іс-қимылға жетеледі.

Сонымен, кейбір бүтін  сандарының  бөлінгіштігі, натурал сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші мен ең кіші ортақ еселігін жай көбейткішке жіктеу арқылы табуға болатындығы   қарастырылды.

Шапшаң есептеудің әртүрлі әдістеріне мүмкіндігіншіе тоқталдым. Ауызша есептеу дағдылары математикалық білімнің маңызды элементі болып табылады. Соңғы жылдардағы компьютер, калькулятордың өмірге көптеп енуі оқушылардың шапшаң есептеу дағдыларына, ойлау қабілетінің тежелуіне әсер етуде. Осындай жайттарды ескерген әрбір оқушы өз бетінше шапшаң есептеу, ауызша жаттығуларға уақыт бөліп отырғаны жөн. Сондықтан мен өзімнің  шығармашылық  жобамды жан-жақты  ізденіп, теориялық  білімімді  өмірмен  ұштастырып, шапшаң есептеуді  жүзеге асыруды  әр түрлі  есептерді  шығару арқылы   дәлелдеуге тырыстым.

Қазіргі  заман математика  ғылымының   өте  кең, жан-жақты  тараған  кезеңі. Ал  талапқа  сай математикалық  білімімді  көтеру  үшін  оқушылардың  әрқайсысының  үлкен  ізденісте  жүруі  шарт, яғни ғылыми  жобамды  басқа  оқушылар керегіне  қолданады  деп  ойлаймын.