Шектеулі қосындыларды есептеу

А вторы: Шинасилова Сауле Сыздыковна

Алматы қаласы КеАҚ Республикалық физика-математика мектебі математика пәні мұғалімі

Шектеулі қосындыларды есептеу

Қосындыларды есептеудің әр түрін қарастырайық. Алдымен натурал сандардың алғашқы мүшелерінің, олардың квадраттарының, кубтарының қосындысын есептеу формулаларын қорытып шығарайық. Содан соң, осы формулаларды біле отырып, кейбір шектеулі қосындыларды есептейік.

1. Натурал сандардың алғашқы мүшелерінің қосындысы:

(1)

(қорытылуы оқулықта бар;).

2. Қосындыны есептеңдер:

;

Шешуі. Келесі теңдіктерді жазайық.

;

;

;

…

;

Осы теңдіктерді мүшелеп қосып,

түрлендірейік:

;

Осыдан, натурал сандардың алғашқы мүшелерінің квадраттарының қосындысын табамыз:

;

(2)

Жауабы: .

3. Қосындыны есептеңдер:

(оқулықта бір тәсілі көрсетілген);

Шешуі. Келесі теңдіктерді жазайық.

;

;

;

…

;

Енді осы теңдіктерді мүшелеп қосып, ықшамдап:

түрге келеміз.

Осыдан, (1) және (2) формулаларын пайдаланып, ықшамдап, натурал сандардың алғашқы мүшелерінің кубтарының қосындысын табамыз:

=

; Сонымен,

(3)

Жауабы:.

4. Қосындыны есептеңдер:

.

Шешуі. деп, –ші мүшесінің формуласын белгілейік.

;

;

;

…

;

Осы теңдіктерді мүшелеп қосайық:

;

деп белгілеп, (1) және (2) формулаларын қолданып, келесіні аламыз:

.

Жауабы:

5. Қосындыны есептеңдер: .

Шешуі. ;

;

;

;

…

;

Осы теңдіктерді мүшелеп қоссақ, мына түрге келеміз:

;

(1), (2) және (3) формулаларын қолданып, түрлендіреміз.

;

Жауабы: .

6. 1, 2, 3, …, n-ге дейінгі натурал сандардың қос-қостан көбейтінділерінің қосындысын есептеңдер.

Шешуі.

формуласын қолданайық. Осыдан ізделінді қосындыны келесі түрде жазамыз.

;

деп белгілеп, (1) және (2) формулаларын қолданып, түрлендіреміз.

;

Жауабы: .

7. Қосындыны есептеңдер: .

Шешуі. ;

;

;

;

…

;

Осы теңдіктерді мүшелеп қосып, мына түрге келеміз:

, мұндағы

қосындылары геометриялық прогрессияның алғашқы мүшесінің қосындысының формуласы бойынша есептеуге болады.

;

Жауабы: .

8. Қосындыны есептеңдер:

.

Шешуі. формуласын қолданайық. Осыдан келесі теңдіктерді аламыз.

;

;

...

;

Осы теңдіктерді мүшелеп қосып, мына түрге келеміз:

;

Жауабы: .

9. Қосындыны есептеңдер:

.

Шешуі. формуласын қолданайық. Осыдан келесі теңдіктерді аламыз.

;

;

…

;

Осы теңдіктерді мүшелеп қосып, -ді жақша сыртына шығарсақ, мына түрге келеміз:

Жауабы: .

10. –ші мүшесі формуласымен берілген тізбектің алғашқы мүшесінің қосындысын есептеңдер.

Шешуі. –ші мүшесінің формуласын төмендегідей түрлендірейік.

;

;

;

…

;

Осы теңдіктерді мүшелеп қосып жіберсек, келесіні аламыз:

;

Жауабы: .

Өз бетінше орындауға арналған тапсырмалар

Қосындыны есептеңдер:

1. ; Жауабы: .

2. ; Жауабы: .

3. ; Жауабы: .

4. ;

5. ; Жауабы: .

6. ; Жауабы: .

7. ; Жауабы: .

8. ; Жауабы: .

9. ; Жауабы: .

10. –ші мүшесі формуласымен берілген тізбектің алғашқы мүшесінің қосындысын есептеңдер.

Жауабы: .

Қолданылған әдебиет:

1. Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом Избранные задачи и теоремы элементарной математики АРИФМЕТИКА АЛГЕБРА.

2. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич Сборник задач по алгебре 8-9;