Пример 4: На
пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает
дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти ряд
распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой
остановки. Чему равны математическое ожидание и дисперсия этой
случайной величины?
Решение.
Пусть X –
дискретная случайная величина, равная числу светофоров, пройденных
автомобилем до первой остановки, она может принимать значения 0, 1,
2, 3, 4.
Случайная величина X принимает значение равное 0, если автомобиль
попал на запрещающий сигнал на первом же светофоре, вероятность
этого P(X =
0) = 0,5 .
Случайная величина X принимает значение равное 1, если автомобиль
проехал на первом светофоре и попал на запрещающий сигнал на втором
светофоре, вероятность этого P(X =1)
= 0,5×0,5 = 0,25 .
Случайная величина X принимает значение равное 2, если автомобиль
проехал на первом и втором светофоре и попал на запрещающий сигнал
на третьем светофоре, вероятность этого P(X =
2) = 0,5×0,5×0,5 = 0,125.
Случайная величина X принимает значение равное 3, если автомобиль
проехал на первом, втором и третьем светофоре и попал на
запрещающий сигнал на четвертом светофоре, вероятность
этого P(X =
3) = 0,5×0,5×0,5×0,5 = 0,54 = 0,0625 .
Случайная величина X принимает значение равное 4 если автомобиль
проехал на всех 4 светофорах, вероятность этого
P(X =
4) = 0,54 = 0,0625 .
Таким образом, закон распределения случайной
величины X имеет вид:
Х
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
р
|
0,5
|
0,25
|
0,125
|
0,0625
|
0,0625
|
Математическое ожидание:
Дисперсия:D(X)=M( =
|
|
|