Материалдар / Случайная величина. Элементы выборочного метода

Случайная величина. Элементы выборочного метода

Материал туралы қысқаша түсінік

Если случайное событие выражается в виде числа, можно говорить о случайной величине. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные случайные величины.

Позднякова Татьяна Юрьевна

08 Ақпан 2024

165

0 рет жүктелген

Алгебра Конспект 11 сынып

Материал тегін

Тегін турнир Мұғалімдер мен Тәрбиешілерге
Дипломдар мен сертификаттарды алып үлгеріңіз!

Бұл бетте материалдың қысқаша нұсқасы ұсынылған. Материалдың толық нұсқасын жүктеп алып, көруге болады

Материалдың толық нұсқасын
жүктеп алып көруге болады

Случайная величина. Элементы выборочного метода

Если случайное событие выражается в виде числа, можно говорить о случайной величине. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая в результате испытания принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Примеры дискретной случайной величины: запись показаний спидометра или измеренной температуры в конкретные моменты времени.

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.

Любая случайная величина имеет свой закон распределения вероятностей и свою функцию распределения вероятностей.

Законом распределения данной случайной величины Х называется соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями.

Х			…
p			…

Случайная величина (непрерывная или дискретная) имеет численные характеристики:

I. Математическое ожидание М (Х)- это сумма произведений значений случайной величины Х на соответствующие значения вероятностей.

Пример 1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х	4	6	10
р	0,2	0,3	0,5

М(Х)=

Свойства математического ожидания:

М(С)=С, где С-постоянная
М(СХ)=СМ(Х)
Если X,Y,Z-случайные величины, то

II. Отклонением называется разность между случайной величиной Х и её математическим ожиданием М(Х), т.е. Х-М(Х)

III. Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Свойства дисперсии:

D(C)=0, где С-постоянная
D(CX)=
D(X)=M(
Если X и Y случайные величины, то D(X+Y)=D(X)+D(Y)

Пример2: Дискретная случайная величина распределена по закону:

Х	0	1	2	3	4
р	0,2	0,4	0,3	0,08	0,02

Найти D(X).

Решение: D(X)=M( находим математическое ожидание

М(Х)=

IV. Средним квадратичным отклонением для дискретной и непрерывной случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

Пример3: Результаты контрольного взвешивания пакетиков чая приведены в таблице:

Вес	49,0	49,5	50,5	50,0	51,0
Количество проверенных пакетиков	10	30	45	10	5

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Решение: Всего проверено 100 пакетиков. Тогда вероятности вычисляем по формуле:

X	49,0	49,5	50,5	50,0	51,0
p	0,1	0,3	0,45	0,1	0,05

D(X)=M( =2435,25-2435,0225=0,2275

Пример 4: На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равны математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины?

Решение. Пусть X – дискретная случайная величина, равная числу светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки, она может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4.

Случайная величина X принимает значение равное 0, если автомобиль попал на запрещающий сигнал на первом же светофоре, вероятность этого P(X = 0) = 0,5 .

Случайная величина X принимает значение равное 1, если автомобиль проехал на первом светофоре и попал на запрещающий сигнал на втором светофоре, вероятность этого P(X =1) = 0,5×0,5 = 0,25 .

Случайная величина X принимает значение равное 2, если автомобиль проехал на первом и втором светофоре и попал на запрещающий сигнал на третьем светофоре, вероятность этого P(X = 2) = 0,5×0,5×0,5 = 0,125.

Случайная величина X принимает значение равное 3, если автомобиль проехал на первом, втором и третьем светофоре и попал на запрещающий сигнал на четвертом светофоре, вероятность этого P(X = 3) = 0,5×0,5×0,5×0,5 = 0,54 = 0,0625 .

Случайная величина X принимает значение равное 4 если автомобиль проехал на всех 4 светофорах, вероятность этого P(X = 4) = 0,54 = 0,0625 .

Таким образом, закон распределения случайной величины X имеет вид:

Х	0	1	2	3	4
р	0,5	0,25	0,125	0,0625	0,0625

Математическое ожидание:

Дисперсия:D(X)=M( =

Решить самостоятельно:

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х	4,3	5,1	6,2	3,1
р	0,2	0,3	0,4	0,5

Ресми байқаулар тізімі

Республикалық байқауларға қатысып жарамды дипломдар алып санатыңызды көтеріңіз!