Сызықты түрлендірудің әртүрлі базистегі байланысы

Базистен базиске көшу матрицасы

Кез келген R кеңістігі берілсін. Берілген кеңістіктің төмендегі екі базисін қарастырайық:

І базис:

ІІ базис:

R кеңістігінің кез келген элементі І базис бойынша жіктелінеді. Сондықтан, ІІ базистің кез келген элементі І базис бойынша жіктелсін:

(6)

Анықтама.

Б ерілген

жүйенің а_ij коэффициенттерінен анықталған квадрат кесте

І базистен ІІ базиске көшу матрицасы (қысқаша көшу матрицасы) деп аталады.

R кеңістігінің кез келген бір х элементінің екі базистегі координаттарының арасындағы байланысын анықтайық. Ол үшін хR элементінің І-базистегі координаттары болсын, яғни

(9)

ал осы элементтің ІІ-базистегі координаттары ₁, ₂,…, _n болсын,

(10)

Екі теңдіктен (11)

теңдігін аламыз. Енді (6) теңдікті (11) теңдіктің оң жағына апарып қоямыз:

(12)

немесе матрица түрінде былай жазылады:

(13)

Сонымен, (13) формуладан мынадай қорытындыға келеміз: кез келген элементінің І-базистегі _i координаттары осы элементтің ІІ-базистегі _i координаттарымен А матрицасының А^/ транспонирленген матрицасы арқылы өрнектелінеді.

Сызықты түрлендірудің әртүрлі базистегі
матрицаларының байланысы. Кері түрлендіру

Кез келген сызықты R кеңістігінде сызықты түрлендіруі мен

(14) (15)

базистері берілген. Онда болғандықтан, әрбір базисін (14) базис бойынша жіктеуге болады:

(16)

м ұндағы А матрица (14) базистен (15) базиске көшу матрицасы деп аталады және болады, яғни базистен базиске көшу матрицасының А^-1 кері матрицасы бар.

 түрлендіруінің (14) базистегі матрицасы В, ал оның (15) базистегі матрицасы С болсын, яғни (2) формула бойынша:

(17)

(18)

мұндағы

Ендігі мақсат А, В, С матрицаларының арасындағы байланысты табу.

1-теорема.

Егер сызықты түрлендірудің (14) базистегі матрицасы В=(b_ij) және (15) базистегі матрицасы С=(с_ij) болса, онда В мен С матрицалар арасындағы байланыс мына төмендегі формуламен өрнектеледі:

С = A^-1 B  A немесе B = A^-1  C A, (19)

мұндағы А матрица (16) формуламен өрнектеледі және .

М ысал.

 түрлендіруінің l₁, l₂ базистегі матрица

болсын. түрлендіруінің f₁,f₂ базистегі матрицасын табдыңдар, мұндағы f₁=2 l₁+3 l₂, f₂=2l₁ + 3l₂.

l₁, l₂ базистен f₁, f₂ базиске көшу А матрицасы

Сондықтан, А матрицаның кері матрицасы бар. Кері матрицаны элементар түрлендіру көмегімен анықтайық:

  

Я ғни А^-1 =

С онда C = A^-1BA = =

А нықтама. Сызықты түрлендіруі ерекше емес деп аталады, егер теңдігі х  0 болғанда ғана орындалса, ал бұл теңдік x 0 болғанда орындалса, онда ол ерекше түрлендіру деп аталады.

2 -теорема. сызықты түрлендіру ерекше емес түрелдіру болу үшін,  түрлендіруінің А матрицасы ерекше емес болуы, яғни қажетті әрі жеткілікті.

Осы сияқты мына теореманы дәлелдеуге болады.

3 -теорема. Сызықты түрлендіру ерекше болу үшін,  түрлендіруінің А матрицасы ерекше болуы, яғни , қажетті әрі жеткілікті.

Анықтама.

С ызықты R кеңістігінің  түрлендіруі сызықты  түрлендіруінің кері түрлендіруі деп аталады, егер  бірлік түрлендіру мен кез келген xR элемент үшін немесе xR теңдігі орындалса және  түрлендіруінің кері турлендіруі ^-1 таңбасымен белгіленеді, яғни,

н емесе xR. (21)

берілген  сызықты түрлендіруінің кері түрлендіруде ^-1 сызықты.

4-теорема. Сызықты R кеңістігінің сызықты  түрлендіруінің кері ^-1 турлендіруі бар болу үшін, оның ерекше емес болуы қажетті және жеткілікті.

Мысал.

 (x)=x түрлендіруінің кері турлендіруін анықтайық, мұндағы болсын. Берілген түрлендіркдің матрицасын алайық:

Осыдан

С ондықтан, ^-1 (х) = .