Сызықтық теңдеу, квадраттық теңдеу және оған келтірілген теңдеу. Рационал- дәрежелі теңдеу

№ 2 Тақырыбы: Сызықтық теңдеу, квадраттық теңдеу және оған келтірілген теңдеу.
Рационал- дәрежелі теңдеу
Атыханов Талғат Атыханұлы
(асты сызылған курсив сөздердердің орнында оқушы дәптерінде бос орын қалдырылады)
Оң жақ бағандағы
тапсырмаларды
құрастырушы
мұғалімдердің есіне:

І кезең. Мұғалім алғашқы 7-10 минутта: а) ұйымдастыру сәтін өткізеді; б) өткен
тақырып бойынша берілген деңгейлік тапсырмаларды үйде аяқтап орындап келу
дәрежесі тексеріледі; в) төмендегі «Көпір» тапсырмаларын тексереді (алдымен жеке
тексеріп шығады, сосын фронталды тексереді).

«Көпір» (жеке
жұмыс)
тапсырмалары
өткен тақырыптар
бойынша жаңа
сабақты
меңгеруге негіз
болатын қайталау
тапсырмалары

Сұрақтаға жауап бер.
1. ax + b = 0 түріндегі теңдеуді сызықтық теңдеу деп атаймыз. мұндағы x − айнымалы,
a және b − қандайда бір тұрақты сандар.
2. Егер a = b = 0 болса, онда ax + b = 0 теңдеуінің шешімі кез – келген сан.
3. Егер a = 0 және b ≠ 0 болса, онда теңдеудің шешімі жоқ.
4. Егер a ≠ 0 болса, онда ax + b = 0 теңдеуі сызықтық теңдеу деп аталады және оның
жалғыз шешімі
болады.
5.
түріндегі теңдеуді квадрат теңдеу деп атайды, мұндағы а, b және с –
кез келген сандар, а≠0.
6. а, b және с сандарын теңдеудің коэффициенттері деп атайды. а санын бірінші
коэффициент немесе бас коэффициент, b – екінші коэффициент, с – бос мүше деп
аталады.
7. Квадрат теңдеулерді шешу үшін дискриминантын табамыз: D=b2–4ас
8. D > 0 болса, онда теңдеудің әр түрлі екі түбірі болады:

√
⁄

9. D=0 болса, онда теңдеудің бір ғана түбірі бар болады:

;

;

10. D<0 болса, онда теңдеудің нақты сандар жиынында түбірі болмайды.
11. Егер a+b+c=0 теңдігі орындалса, онда теңдеудің түбірі:
теңдігі орындалса, онда теңдеудің түбірі:

, ал a-b+c=0

;

12. b немесе с, немесе b мен с нөлге тең болатын дербес жағдайдағы квадраттық теңдеу
толымсыз квадрат теңдеу деп аталады.
13. Егер бір айнымалысы теңдеу Р(х) =0 түрінде жазылса, мұндағы Р(х) – стандарт
түрдегі көпмүше, онда бұл көпмүшенің дәрежесін теңдеудің дәрежесі деп атайды.
14. Иррационал сан дегеніміз не ?
Шексіз, периодсыз ондық бөлшек сандардан құралған сандарды айтамыз .
15.Нақты санның n ші дәрежелі түбір дегеніміз не ?
а санының n –ші дәрежелі түбірі деп n-ші дәрежесі а санына тең болатын b санын
айтады: √
; мұндағы
16.n-ші дәрежелі түбірдің қасиеттерін атаңдaр:

√
√√

√

√ ;

√

√
√

;

( √ )

√ ; (√ )

√

;

√ ;

17.Теңдеу дегеніміз не?
Құрамында әріппен белгілеген белгісізі (айнымалысы) бар теңдік теңдеу деп аталады.
18.Теңсіздік дегеніміз не?
Өрнектің сол және оң жағы теңсіздік белгісімен байланысса онда бұндай өрнекті теңсіздік
деп атаймыз.
ІІ кезең (топтық жұмыс) жаңа сабақты топтық жұмыс барысында оқушылардың өз бетімен меңгеруіне жағдай
жасау:
а) оқушылар төмендегі «Білу», «Түсіну», «Талдау», «Жинақтау» тәсілдеріне сәйкес тапсырмаларын
өздері толтырады (20 минут); ә) жауаптарын мұғаліммен бірге талдайды (25 минут). Нәтижесі ауызша
марапатталады
1-қадам (топтық жұмыс) 1. Рационал сандар дегеніміз не ?
Бүтін , бөлшек натурал сандардан құралған сандарды айтамыз .
- теория бойынша
«Білу» критерийінің 2.Егер толық квадрат теңдеудегі бірінші коэффициент 1 – ге тең (a=1) болса, онда
келтірілген квадрат теңдеу деп аталады.
индикаторлары:
(тақырып мазмұны
3.
бойынша кім?не?
4. Егер
квадрат теңдеуінің нақты түбірлері бар болса, онда олардың
қандай?

қалай?нені?
қашан?не істеді
сияқты сұрақтарға
жауап беретін толық
ақпарат іріктеліну
керек)

қосындысы

, ал көбейтіндісі

тең, яғни

(Виет теоремасы)
( )
5. ( )
түрінде берілген f (x) функциясын бөлшек-рационал функция
( )

деп

атаймыз. Мұндағы
( )
.
6. Иррационал теңдеу деп айнымалысы түбір таңбасының ішінде сонымен қатар
бөлшек көрсеткішті дәреженің негізі болатын теңдеуді айтамыз.
√

Мысалы: √

теңдеулері иррационал
√
√
теңдеулер, себебі белгісіз айнымалы х түбір таңбасының ішінде орналасқан.
2-қадам (топтық жұмыс) теория бойынша «Түсіну»
критерийінің
индикаторлары:
(неге? неліктен? себебі?
не үшін?сұрақтары
оқушының жоғарыда
берген жауаптарына
оларды тереңдету үшін
қойылады)

√

1. Квадрат үшмүшелікті көбейткіштерге жіктеу формуласы.
(
)(
)
2. Жаңа айнымалылар енгізу арқылы квадраттық теңдеуге келтіру:
(
)
(
)
,
белгілеуін жасаймыз.
белгілеуін жасаймыз.
3.
биквадрат теңдеу
белгілеуін жасаймыз.
4. Егер f (x) және g (x) рационал – бөлшек функциялар болса, онда f (x) = g (x) теңдеуі
рационал – бөлшек теңдеу деп аталады Кейбір теңдеулер бүтін рационал өрнектермен
қатар бөлшек-рационал өрнектерден тұрады. Мұндай теңдеулерді бөлшек-рационал
теңдеу деп атайды.
5. Иррационал теңдеулерді: теңдеудің екі бөлігін де бір ғана дәрежеге шығару және
жаңа айнымалы енгізу арқылы шешеміз , кейбір жағдайларда жасанды әдістер
қолданылады. Теңдеудің екі бөлігін де бір ғана дәрежеге шығару әдісі келесі
кезеңдерден тұрады:
 берілген иррационал теңдеуді √ ( )

√ ( ) түріне түрлендіреді;

 алынған теңдеудің екі бөлігінде n- дәрежеге шығарады ( √ ( ))
 (√ )

3-қадам-(топтық жұмыс)
теория бойынша
«Талдау» критерийінің
индикаторлары:
1.Салыстыр,
2. Айырмашылығы неде?
3. Ұқсастығы неде?
4.Тақырыптың басты
идеясын жаз деген
тапсырмалар болу керек.
Немесе 1-3 тапсырмаларды
Венн диаграммасы
арқылы қамтуға болады.

( )

екенін ескеріп,

( √ ( )) ;

( ) теңдеуін алады;

бұл теңдеуді шешеді де тексеру жұмысы жүргізіледі, өйткені теңдеудің бөгде түбірлері
пайда болуы мүмкін.
1.
түріндегі теңдеуді үшінші дәрежелі симметриялы
теңдеу деп атайды.
(

2.
(

)[

(

)

)

]

(

)

болғандықтан,

(

)[ (

келесі

)

теңдеулер

]

жүйесіне

мәндес:

{

(
)
3.
түріндегі теңдеуді төртінші дәрежелі симметриялы
теңдеу деп атайды.
4. Төртінші дәрежелі симметриялы теңдеуді t айнымалысына қатысты
деген
айнымалыны ауыстыру арқылы квадрат теңдеуге келтіріп алуға болады. x= 0 теңдеудің
шешімі болмайтындықтан, теңдеудің екі жағында
бөліп,
(

)

(

)

теңдеуін аламыз.

5. Жалпыланған төртінші дәрежелі теңдеуді
деген алмастыру жүргізу
арқылы квадрат теңдеуге келтіріп алуға болады. Барлық
төртінші дәрежелі теңдеудің ішінде бұл теңдеулер кeлесі коэффициенттік қатынаспен
ерекшеленеді:

( )

4-қадам-(топтық
жұмыс) теория
бойынша
«Жинақтау»
критерийінің
индикаторлары:
Қорытынды шығар,
анықтама бер,
мазмұнды жүйеле,
кестені,
тірек сызбаны немесе
сөзжұмбақты толтыр,
немесе өзің құрастыр
тағы с.с. басқа
түрдегі тапсырмалар
оқушының
жоғарыдағы
«тақырыптың басты
идеясына» жазған
жауабына қойылады

сызықтық
теңдеу

ax + b = 0

??

√? ? (?)

рационал – бөлшек
теңдеу

квадрат
теңдеу

??

?

Теңдеулер

иррационал теңдеу

?? (?)
?? (?)

?

толымсыз квадрат
теңдеу

квадраттық теңдеуге
келтірілетін теңдеулер

??

?? (?)

(?

??
??
??
теңдеу

?

??

??
??
(?
)[??

келтірілген квадрат
теңдеу

?
?
?
?? ? ?
?? ?
? ? ?
?? ? ?

?

биквадрат

??

? (?
?

?(?)

?

?

)

??)

?(?

?

??

??
? (?

?? ?
(? ?)?

??)

)

?]

?

?

??
?

?

?
?,

?

Оқулықпен жұмыс (5 минут): төмендегі «Қолдану» және оқушының тақырып мазмұнына «Баға беруі» тәсілдеріне сәйкес, яғни рефлексия
жасауға, эссе жазуға арналған, практика жүзінде бекіту тапсырмалары орындалады . Нәтижесі ауызша марапатталады.

5-қадам - (топтық
жұмыс) практикада
бекіту. Практика
жүзінде «Қолдану»
критерийіне сәйкес
оқулықпен жұмыс
жүргізу барысында
тек қарапайым
тапсырмалармен
бекіту жүргізіледі.
Дайын формулалар
арқылы есептер
шығару орындалады

бұл теңдеуді де әдеттегі тәсілмен шешу ондай тиімді тәсіл бола
алмайды. Одан да жаңа айнымалы енгізсек

.

Берілген теңдеу мынадай түрге келеді.
Бұдан
√
√

*

[
бұл теңдеудің бір ерекшелігі оның бірінші
коэффициенттің бос мүшеге қатынасы, екінші коэффициенттің соңғының алдындағы
[

коэффициентке қатынасының квадратна тең:
( )
Мұндай ерекшелігі бар
теңдеулерді қайтымды деп атайды. Қайтымды теңдеулерді шешу әдісі симметриялы
теңдеулерді шешу әдісіндей. Теңдеудің екі жағында
бөлеміз.
(
белгілеуін жасасақ
(

)

Сонымен

)

(

)

болады. Сонда
. Бұл теңдеудің түбірлері

.

және
теңдеулерін шешеміз:
және
теңдеулерінің D<0 болғандықтан нақты түбірлері жоқ.
. Бұл теңдеудің бүтін түбірін табуға болатын бос мүшенің
бөлгіштері ішінен таңдау (іріктеу) әдісін көрсетеміз, бос мүшенің бөлгіштерін жазып
шығамыз:
. Енді іріктеуді бастаймыз берілген теңдеудегі х тің орнына
қоямыз, сонда х
теңдеудің бүтін түбірі болады.
)
(
)(

{

{

√
Шешуі: Егер бұл теңдеуді рационал теңдеу ретінде әдеттегідей тәсілдермен шешсек.
Төртінші дәрежелі күрделі дерлік теңдеуге жетеміз ондай теңдеулерді шешуі оңайлыққа
түспейді. Ал басқаша амал қолдансақ!
Түбір астындағы айнымалысы бар қосылғыштар түбір сыртындағы айнымалысы бар
қосышылғыштармен бірдей екенін аңғару қиын емес. Жаңа айнымалы енгізейік:
екені айқын. Сонда берілген теңдеу
√
түріне келеді.
√
(
) (
) (
)(
)
,
√
-4,5;
3
Айнымалының бұл мәндері бастапқы теңдеуді қанағаттандратынын тексеру арқылы көз
жеткізуге болады.
6-қадам (топтық жұмыс):
«Баға беру» (Сен қалай
ойлайсың? Не істер едің?
деген тапсырмалар оқушыға
жоғарыда алған білімін
(теория бойынша) және
біліктілігін (практикасы
бойынша) өмірдегі
жағдаяттарды шешуге
бағытталып қойылады

1. (
2.
3.

)

(

)

,

биквадрат теңдеу

белгілеуін жасаймыз.
белгілеуін жасаймыз.
белгілеуін жасаймыз.

4. Жұп дәрежелі қайтымды теңдеуді
деген айнымалыны ауыстыру арқылы екі
есе кіші дәрежелі теңдеуге келтіріп алуға болады.
келесі теңдеулер жүйесіне мәндес: {

4.

(
)
5. Тақ дәрежелі қайтымды теңдеудің міндетті түрде x = −1 деген түбірі болады
6. Бөлшек– рационал теңдеулерді шешу үшін қолданылатын алгоритм:
a. Бөлшектердің бөлімдерінің ортақ бөлімін табамыз..
b. Теңдеудің екі бөлімін де ортақ бөлімге келтіреміз.
d. Шыққан бүтін теңдеуді шешеміз.
c. Түбірлер ішінен бөлшектің бөлімін нөлге айналдыратын түбір болса, қалдырамыз.
e. Бөгде түбір болса, қалдырамыз.
k. Жауабын жазамыз.
7. Иррационал теңдеудің екі бөлігін радикалдардан құтылуға мүмкіндік беретін дәрежеге
шығару кезінде келесі себептер бойынша бастапқы теңдеудің бөгде түбірлері пайда
болады.
 бастапқы теңдеудің мүмкін мәндер жиынының кеңеюінен;
 абсалют шамасы бойынша тең, бірақ оның бірі оң, ал екіншісі теріс болатын
теңдеудің екі бөлігін жұп дәрежеге шығаруынан;
 айнымалыларды ауыстыру кезінде;
ІІІ кезең (кері байланыс – бағалау кезеңі): Жеке жұмыс. Жоғарыда меңгерген мазмұнды үш деңгейге іріктеп (әр деңгейдің білімділік,
біліктілік, яғни құзыреттілік деңгейін анықтайтын тапсырмалар) оларды біртіндеп орындату арқылы балл жинату барысында оқушының
құзіреттілік деңгейін анықтап, әділ бағалау жүзеге асырылады. Бұл тапсырмаларды оқушылар сабақтың соңына дейін қалған 30 минуттың 25
минутында орындайды + 5 минут қортынды жасалады.
Қалған тапсырмаларлы үйде аяқтап келеді. Қортынды балл саны дәстүрлі бағаға айналдырылып, келесі сабақтың басында сынып
журналына қойылады, мониторингке тіркеледі.

І деңгей (5 балл)
1-қадам – (жеке жұмыс)
теория бойынша «Білу»
критерийінің
индикаторларына сәйкес
(тақырып мазмұны
бойынша кім?не?қандай?
қалай? нені? қашан?не
істеді сияқты сұрақтарға
жауап беретін толық
ақпараттар іріктелініп ІІ
кезеңдегіге қарағанда
керісінше қойылады)

Сұрақтарға жауап беріңдер.
1. Бүтін , бөлшек натурал сандардан құралған сандарды рационал сандар деп айтамыз.
2.Егер келтірілген квадрат теңдеу деп толық квадрат теңдеудегі бірінші коэффициент 1 –
ге тең (a=1) болатын теңдеуді айтады .
3.
4. Виет теоремасы квадрат теңдеуінің нақты түбірлері бар болса, онда олардың
қосындысы
, ал көбейтіндісі
тең, яғни
5. f (x) функциясын бөлшек-рационал функция деп аталады , егер ( )
берілсе . Мұндағы

( )

.

( )
( )

түрінде

6. Айнымалысы түбір таңбасының астында тұратын сонымен қатар бөлшек көрсеткішті
дәреженің негізі болатын теңдеуді айтамыз.
Практикасы:
«ҚОЛДАНУ»
(ІІ кезеңдегіге қарапайым
тапсырмалар үлгісіндегі
тапсырмалар орындалады)

№ 7.

8
4
  2  0.
х3 х

№ 8.

№ 9. √

1-аралық нәтиже:
Бірінші деңгейде қалыптасқан құзіреттілік (білім, біліктілік) деңгейінің сапалық өлшемі (бірінші аралық өлшемі):
– «дұрыс», «толық» деген білім сапасының түрлерімен сипатталады (Ю.К.Бабанский). Оқушының бұл алғашқы
қадам нәтижесінің сандық өлшемі – бес балл = «сынақтан өтті» = «қанағаттандырарлық» білім деңгейінің
өлшемі = «3» журналға қойылады, егер келесі деңгей тапсырмаларын меңгере алмаса.
ІІ деңгей (5 балл + 4 балл = 9 балл)
1-қадам (жеке жұмыс) 1. (
)(
)
теория бойынша
2. Жаңа айнымалылар енгізу арқылы квадраттық теңдеуге келтіру:
«Түсіну»
критерийінің
(
)
(
)
,
белгілеуін жасаймыз.
индикаторларына (неге?
неліктен? себебі? не
белгілеуін жасаймыз.
үшін?) сәйкес
сұрақтар оқушының
жоғарыда берген
жауаптарына оларды
тереңдету үшін қойылады.

2-қадам (жеке жұмыс) теория бойынша
«Талдау» критерийінің
индикаторларына сәйкес

(1.Салыстыр,
2. Айырмашылығы
неде?
3. Ұқсастығы неде?
4.Тақырыптың басты
идеясын жаз) деген
тапсырмалар болу
керек. Немесе 1-3
тапсырмаларды Венн
диаграммасы арқылы
қамтуға болады.

3.
биквадрат теңдеу
белгілеуін жасаймыз.
4. f (x) = g (x) теңдеуі рационал – бөлшек теңдеу деп атаймыз, егер f (x) және g (x)
рационал – бөлшек функциялар болса. Кейбір теңдеулер бүтін рационал өрнектермен
қатар бөлшек-рационал өрнектерден тұрады. Мұндай теңдеулерді бөлшек-рационал
теңдеу деп атайды.
5.Иррационал теңдеулерді: теңдеудің екі бөлігін де бір ғана дәрежеге шығару және
жаңа айнымалы енгізу арқылы шешеміз , кейбір жағдайларда жасанды әдістер
қолданылады.
1.
теңдеу деп атайды.

түріндегі теңдеуді үшінші дәрежелі симметриялы
(

2.
(

)[

(

)

)
]

(

)

(

болғандықтан,

)[ (

келесі

)

теңдеулер

]

жүйесіне

мәндес:

{

(
)
3.
түріндегі теңдеуді төртінші дәрежелі симметриялы
теңдеу деп атайды.
4. Төртінші дәрежелі симметриялы теңдеуді t айнымалысына қатысты
деген
айнымалыны ауыстыру арқылы квадрат теңдеуге келтіріп алуға болады. x= 0 теңдеудің
шешімі болмайтындықтан, теңдеудің екі жағында
бөліп,
(

)

(

)

теңдеуін аламыз.

5. Жалпыланған төртінші дәрежелі теңдеуді

деген алмастыру жүргізу

арқылы квадрат теңдеуге келтіріп алуға болады. Барлық
төртінші дәрежелі теңдеудің ішінде бұл теңдеулер кeлесі коэффициенттік қатынаспен
ерекшеленеді:

( )

6. Теңдеудің екі бөлігін де бір ғана дәрежеге шығару әдісі келесі кезеңдерден тұрады:
 берілген иррационал теңдеуді √ ( )

√ ( ) түріне түрлендіреді;

 алынған теңдеудің екі бөлігінде n- дәрежеге шығарады ( √ ( ))

( √ ( )) ;

 (√ )
екенін ескеріп, ( )
( ) теңдеуін алады;
бұл теңдеуді шешеді де тексеру жұмысы жүргізіледі, өйткені теңдеудің бөгде түбірлері
пайда болуы мүмкін.

3-қадам (жеке жұмыс):
Практика жүзінде
«ҚОЛДАНУ»
критерийіне сәйкес
(ІІ кезеңдегіге 5-қадам
қарапайым тапсырмалар
үлгісіндегі
тапсырмалардың
өзгертілген жағдайдағы
нұсқасы орындалады)

№ 10.
№ 11.

№ 12.

2 x
2 x
3 4
2 x
2 x

2-аралық нәтиже:
Бірінші деңгейде қалыптасқан құзіреттілік (білім, біліктілік) деңгейінің сапалық өлшемі (бірінші аралық
өлшемі): – «дұрыс», «толық» деген білім сапасының түрлерімен сипатталады (Ю.К.Бабанский). Оқушының
бұл алғашқы қадам нәтижесінің сандық өлшемі – бес балл = «сынақтан өтті» = «қанағаттандырарлық» білім
деңгейінің өлшемі = «3» журналға қойылады, егер келесі деңгей тапсырмаларын меңгере алмаса.

1-қадам (жеке жұмыс) теория бойынша
«Жинақтау»
критерийінің қорытынды
шығаруға бағытталған
индикаторлары:
Қорытынды шығар,
анықтама бер, мазмұнды
жүйеле, кестені, тірек
сызбаны, сөзжұмбақты
толтыр немесе өзің
құрастыр тағы с.с. басқа
түрдегі тапсырмалар
оқушының жоғарыдағы
«тақырыптың басты
идеясына» жазған
жауабына қойылады.
ІІ-кезең, 4-қадамда
«жинақтауға» берілген
тапсырма басқа формада
беріліп, баланың білім
деңгейі бағаланады.

2-қадам (жеке жұмыс):
«Баға беру» (Сен қалай
ойлайсың? Не істер едің?
деген тапсырмалар
оқушыға жоғарыда алған
білімін (теория бойынша)
және біліктілігін
(практикасы бойынша)
өмірдегі жағдаяттарды
шешуге қолдана алу
дәрежесі бағаланады.

ІІІ деңгей (9 балл + 3 балл = 12 балл)
1.Қандай теңдеулердің түрін білесіңдер:
Сызықтық, квадрат, рационал- бөлшек, жоғары дәрежелі теңдeулер.
2.үшінші дәрежелі симметриялы теңдеуді шешу үшін қандай түрлендіру жасаймыз:
(

)[

(

)

]

3. биквадрат теңдеуді шешу үшін қандай түрлендіру жасаймыз:
белгілеуін жасаймыз.
4. Төртінші дәрежелі симметриялы теңдеуді шешу үшін қандай түрлендіру жасаймыз:
теңдеуді t айнымалысына қатысты
деген айнымалыны ауыстыру арқылы
квадрат теңдеуге келтіріп аламыз.
5. Бөлшек– рационал теңдеулерді шешу үшін қолданылатын алгоритм:
a. Бөлшектердің бөлімдерінің ортақ бөлімін табамыз..
b. Теңдеудің екі бөлімін де ортақ бөлімге келтіреміз.
d. Шыққан бүтін теңдеуді шешеміз.
c. Түбірлер ішінен бөлшектің бөлімін нөлге айналдыратын түбір болса, қалдырамыз.
e. Бөгде түбір болса, қалдырамыз.
k. Жауабын жазамыз

№ 13.
№ 14.

√

√

3-нәтиже:
Үшінші деңгейдің нәтижесі (түбегейлі көзделген нәтиже): алғашқы екі деңгейде жинаған 9 баллға + 3 балл =12
балл = «5» журналға қойылады. Оқушының білім сапасы білім стандарты көлемінде «дұрыс», «толық»,
«әрекеттілік» пен «тереңділік»-ке «жүйелілік» пен «саналылық» қосылып, барлығының жиынтығы «берік» білім
болып саналады (Ю.К. Бабанский).