Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс тәсілімен шешу

Онлайн сабақтың жоспары (синхронды оқыту)№

Бөлім меңгерушісі : Унеров Б.

Педагог: Жакупова Ұ.

Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешу.

Бұл әдіспен квадратты емес жүйелерді де шешуге болады. Берілген жүйенің - кеңейтілген матрицасына элементар түрлендірулер жасау арқылы оған эквивалентті трапеция тәріздес немесе үшбұрышты матрица аламыз. Осы алынған матрицаға сәйкес жүйені шешсек, берілген жүйенің шешімдері табылады.

Егер үшбұрышты матрица шықса, онда жүйенің бір ғана шешімі болады (үйлесімді, анықталған), ал, егер трапеция тәріздес матрица шықса, онда жүйенің шексіз көп шешімі болады (үйлесімді, анықталмаған).

Берілген жүйені зерттеу деп оның шешімінің бар-жоғын анықтауды айтады.

Кронекер-Капелли теоремасы (жүйенің үйлесімділік критерийі). Біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесі үйлесімді болуы үшін жүйенің негізгі және кеңейтілген матрицаларының рангілері тең болуы, яғни болуы қажетті және жеткілікті.

Салдарлар:

1. Егер болса, онда жүйенің тек бір ғана шешімі бар ( -белгісіздер саны);

2. Егер болса, онда жүйенің шексіз көп шешімі бар және ол шешімдер саны болатын еркін тұрақтыларға (параметрлерге) байланысты;

3. болса, жүйенің шешімі жоқ.

Мысал. Жүйені зерттеп, оның шешімін табыңыз:

Шешуі.

.

Ендеше, жүйенің бір ғана шешімі бар.

Біртекті сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі:

әрқашанда үйлесімді , оның нөлдік (тривиаль) шешімі бар: , өйткені оның белгісіздерінің нөлге тең мәндері жүйені әр уақытта да қанағаттандырады. Қандай жағдайда нөлдік емес шешімі болады?

Теорема. Біртекті жүйенің нөлдік емес шешімдері болуы үшін негізгі матрицасының рангісі белгісіздердің санынан кіші болуы (яғни, негізгі матрицасының анықтауышы болуы) қажетті және жеткілікті.

Біртекті теңдеулер жүйесінің шешімдерінің сызықты комбинациясы да оның шешімі болады. Жүйенің барлық сызықты тәуелсіз шешімдер жүйесін оның іргелі (фундаментальді) шешімдер жүйесі деп атайды. Егер және біртекті жүйенің іргелі шешімдері болса, онда оның жалпы шешімі мына формуламен өрнектеледі: мұндағы - кез келген сандар.

Мысалдар.

1. жүйені шешіңіз. Шешуі. , өйткені

. , сондықтан жүйенің шексіз көп шешімі бар.

Шешімдерді Крамер әдісімен табамыз:

, ,

, . - жалпы шешімдері.

Егер десек, онда бір іргелі шешімді аламыз: . Егер десек, онда екінші іргелі шешімді табамыз: , т.с.с.

2. жүйені шешіңіз. Шешуі.

Сондықтан, тек жалғыз нөлдік шешімі болады: .

https://youtu.be/ZydHFkCf938