Теңдеулер мен теңсіздіктер, кері тригонометрия функциялар

УДК 372.851

Сұлтанқұл В.Б. Мұратов Т. Ералы А.М.

Ainn.9797@mail.ru

Cемей қаласының Шәкәрім атындағы мемлекеттік университеті

«Математика» мамандығының IV курс студенттері

Ғылыми жетекші – Тайболдина Қ.Р.

Теңдеу және теңсіздік, кері тригонометриялық функциялар

Кері тригонометриялық функцияларға байланысты міндеттер жоғары сынып оқушыларына елеулі қиындықтар туғызады. Бұл, ең алдымен, қолданыстағы оқулықтар мен оқу құралдарында осындай міндеттерге көп көңіл бөлінбейтіндігіне байланысты. Кері тригонометриялық функциялардың мәнін есептеуге арналған есептерді оқушылар осы функциялардан тұратын теңдеулер мен теңсіздіктер оларды жиі тығырыққа әкеліп қояды. Соңғы кездері таңқаларлық емес, өйткені іс жүзінде бірде-бір оқулықта (математиканы тереңдетіп оқытатын сыныптар үшін оқулықтарды қоса алғанда) қарапайым теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістемесі жазылмайды. Сіздердің назарларыңызға ұсынылған мақаламыз кері тригонометриялық функцияларды қамтитын теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістеріне арналған. Ол жалпы білім беретін және математикалық жоғары сыныптарда жұмыс істей алу үшін пайдалы болады деп үміттенеміз.

Кері тригонометриялық функциялардың маңызды қасиеттерін еске салайық.

1. у = arcsinх функциясы анықталған және бірқалыпты өседі [ 1; 1];

=-arc , х

Е = .

2. у = arccosх функциясы анықталған және бірқалыпты алып тастайды [1; 1];

= arc , х

Е =

3. у= arctgх функциясы анықталған және бірқалыпты өседі R;

= arc , х

Е = .

4. у= arcctgх функциясы анықталған және монотонды R;

= arcc , х

Е =

arcsinx+arccosx= х

arctg+arcctg= , х

Монотондылық пен шектеуліктің қасиеттері көптеген теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу кезінде кері тригонометриялық функцияларды қамтитын негізгісі болып табылады. Осы теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу үшін әдістерін қарастырайық.

Сол және оң бөліктері аттас кері тригонометриялық функциялар болып

табылатын теңдеулер мен теңсіздіктер

Сол және оң бөліктері әртүрлі аргументтердің аттас кері тригонометриялық функциялары болып табылатын теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу, ең алдымен, монотондылық сияқты осы функциялардың қасиеттеріне негізделеді. y = аrcsinх және y = arctgх функциясы біркелкі өседі, ал y = arccоsх және y = arcctgх функциясы анықтаудың өз салаларында біркелкі жойылады. Сондықтан келесі тең өтпелі кезеңдер әділ.

а) arcsin(fx)= arcsin(gx)⇔

б) arcsin(fx)≤ arcsin(gx)⇔ ,

2.

а) arccos (f x) = arccos (g x) ⇔

б) arccos (f x) ≤ arccos (g x) ⇔ ,

3.

а) arctg (f x) = arctg (g x) ⇔ (f x) = (g x);

б) arctg (f x) ≤arctg (g x) ⇔ (f x) ≤ (g x).

а) arcctg (f x) =arcctg (g x) ⇔ (f x) = (g x);

б) arcctg (f x) ≤ arcctg (g x) ⇔ (f x) (g x).

Ескерту 1. Екі тең шамалы жүйенің қайсысы 1а) және 2а) теңдеулерін шешу кезінде қолданылады, қандай теңсіздік оңайырақ болуына байланысты: | (f x) | ≤ 1 (бірінші жүйені қолданамыз), немесе| (g x) | ≤ 1 (бұл жағдайда екінші жүйені қолданамыз).

1-мысал. arcsin теңдеуін шешу .

Шешімі. Тең жүйе теңдеуі

.

Жауабы: .

Ескерту 2. Жүйеге кіретін теңсіздікті шешу міндетті емес. Теңдеудің табылған тамырларының теңсіздігін, 1 мысалын шешу кезінде қалай жасалғанын тексеру жеткілікті.

2-мысал. arcctg теңсіздігін шешу .

Шешімі. Теңсіздік келесіге тең:

8x² – 6x – 1 4x² – x +8 4x² – 5x – 9

Жауабы: .

3-мысал. 3arcsin2x < 1 теңсіздігін шешу.

Шешімі.

3arcsin2x arcsin2x arcsin2x

sin

Жауабы: ; sin .

4-мысал. arccos теңсіздігін шешу.

Шешімі.

arccos

Жауабы: .

5-Мысал. arccos теңдеуін шешу .

Шешімі. π - arccos t =arccos (- t), онда келесі тепе-тең түрлендіру тізбегі бар:

arccos

x=- .

Жауабы: .

Осыған ұқсас теңдестірілген түрлендірулер параметрлері бар есептерді шешу кезінде де қолданылады.

6-мысал. arcsin теңдеуін а параметрімен шешу .

Шешімі. Теңдеу бет теңдеуі

arcsin arcsin

Екі жағдайды қарастырайық:

1. a = 0 . Бұл жағдайда жүйе түрді қабылдайды:

2. a . Бұл жағдайда жүйе теңдеуі шаршы болып табылады. Оның тамыры: x₁ =1 және x₂ = − .

Өйткені , онда . Егер a = −1 болса, онда x₂=x₁=1. Егер a , онда теңдеудің екі шешімі бар.

Жауабы: a : х=1 және х= ; а = -1 және a=0: x=1 ; нақты шешімдері жоқ

8-мысал. arccos теңсіздікті а параметрімен шешу .

Шешімі. Теңсіздік жүйесі

a > жүйенің бірінші теңсіздігі x ≥1 тең теңсіздікке тең , X ≤1 - a < теңсіздігіне тең , a = бірінші теңсіздік шешімі кез келген нақты сан болып табылады.

Жауабы: > : шешімдер жоқ; a= : x =1; a , a : x

Бұл жұмыста біз кері тригонометриялық функциялардың қасиеттерін қарастырдық және аркфункциялары бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерінің жіктелуін құрдық. Мақалада теориялық материал ғана емес, практикалық материал да қамтылған (әрбір әдіске шешімге мысал келтіріледі). Бұл материал жалпы білім беретін және математикалық сыныптарда жұмыс істейтін мұғалімдерге, сондай-ақ жоғары оқу орындарына түсетін оқушыларға пайдалы болуы мүмкін.Қ

Қолданылған әдебиеттер

1. Алгебра және математикалық талдау курсын тереңдетіп оқу [Мәтін]: әдістемелік нұсқаулар мен дидактикалық материалдар: мұғалім үшін оқу құралы / М. Л. Галицкий, М. М. Мошкович, С. И. Шварцбурд. - 2-ші басылым, пысықталған. - Мәскеу : Ағарту, 1990. - 349, [2] с.; 22 см. - 87000 дана . . - ISBN 5-09-002711-0 (бұр.): 1.80 р.

2. Карп А. П. алгебра және талдау негіздері бойынша есептер жинағы: мектеп оқушыларына арналған оқу құралы және сынып с углубл. оқу. математика. – М.: Ағарту, 1995.

3. [Мәтін] / В. В. Мирошин. – М.: Таза тоғандар, 2007-32 с.

4. Фалин, Г. И. кері тригонометриялық функциялар. 10-11 сыныптар — М.: Баспасы "Емтихан", 2012. — 221с.