Теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері

ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ДӘЛЕЛДЕУ ӘДІСТЕРІ

Мамбетова Шынар Тұрдымұратқызы

Кеңқияқ орта мектебі

Мектеп алгебрасындағы маңызды мәселелердің бірі -теңсіздіктер. Теңсіздіктерді дәле- лдеу олимпиада есептерінде және орта мектеп бағдарламасынан тыс математиканы тереңде -тіп оқытуда қолдануға болады.

Теңсіздіктер сандық теңсіздіктер, алгебралық теңсіздіктер, классикалық теңсіздіктер бо лып бөлінеді.

Теңсіздіктердің қасиеттерін сандық теңсіздіктердің қасиеттері арқылы көрсетуге бола - ды.

1. a ˂ b => b > a ;

2. a < b және b<c => a< c ;

3. a < b => a +c < b + c ;

4. a – c < b => a < b + c ;

5. a < b және с < d => a + c < b + d ;

6. a < b және c >0 => ac < bc ; ал a < b және c<0 => ac > bc;

ал a < b және c =0 => ac = bc;

7. a < b және c > d => a - c > b- d ;

8. a < b және c < d ,(мұндағы a>0, b>0, c>0, d>0) => ac < bd ;

9. a < b және a < b,( мұндағы a >0, b >0) => a² < b² .

Теңсіздіктерді дәлелдеудің белгілі бір алгоритмін анықтау қиын, дегенмен теңсіздікті белгі - лі бір айқын теңсіздікке түрлендіруге болатын жолдары бар. Теңсіздіктерді дәлелдеудің кей -бір әдістерін қарастырайық.

1-мысал. x² + y² ≥2xy теңсіздік тек х у болғанда ғана орындалады.

x²+y²-2xy ≥0. (x-y)²≥0 ендеше x² + y² ≥2xy.

2-мысал. |x+y| ≤ |x|+|y| теңсіздік х пен у- тің таңбалары бірдей болғанда немесе олардың ең болмағанда біреуі нольге тең болғанда ғана орындалады. √x²= |x|, √y²= |y|, √(x+y)²=|x+y| болғандықтан дәлелдейтін теңсіздікті √(x+y)²≤ √x²+√y² түрінде жазуға болады. Осы тең –сіздіктің екі жағын да квадрат дәрежеге шығарсақ x² + 2xy + y² ≤ x² + 2√x ²y² + y², xy ≤ √x²y² мәндес теңсіздігі шығады , яғни xy ≤ |xy|. Теңсіздік дәлелденді.

3-мысал. |x-y| ≥ |x|-|y|. Шындығында да x=(x-y) + y. Сондықтан |x|= |(x-y)+ y| ≤ |x-y| + |y| немесе |x-y| ≥ |x|-|y|.

4-мысал. 3+а²+b²+c²≥2(a+b+c) теңсіздігін дәлелдейік. Теңсіздік мүшелерінің айырмасын қарастырайық :

a²+b²+c²+3-2a-2b-2c ≥ 0 ; a²-2a +1+b²-2b +1+c²-2c+1= (a-1)²+(b+1)²+(c+1)² ≥ 0, демек бас- тапқы теңсіздік дұрыс.

5-мысал. Оң a, b cандары үшін ≥ екенін дәлелде. Бұл теңсіздікті дәлелдеу үшін

≥ Коши теңсіздігін қолданамыз. Теңсіздіктің екі бөлігінде квадрат дәрежеге шы- ғарамыз, сонда ≥ теңсіздігін аламыз. ≥ ≥ ,

≥ , бұдан ≥ теңсіздігі шығады.

6-мысал. x>0, y>0, z>0.

x(1+y)+y+(1+z)+z(1+x)≥ 6

x+yz ≥ 2

y+xz ≥ 2

z+xy ≥ 2

теңсіздіктердің оң және сол бөліктерін мүшелеп қосамыз. Сонда

x+y+z+xy+yz+xz ≥ 6 . Теңсіздік дәлелденді.

7-мысал. теңсіздікті дәлелде. Теңсіздіктің сол жақ бөлігіндегі екі қосылғыш үшін Коши теңсіздігін қолданамыз. =2 екенін ескеріп, = 2 деп жазып, Коши теңсіздігін екінші рет қолданамыз. Сонда 2 =2 теңсіздігі шығады. Демек, теңсіздігі дәлелденді.

8-мысал. теңсіздігін дәлелдейік, мұндағы a Дәлел-деу үшін a,b, c теріс емес сандары теңсіздігін қанағаттандырады деп кері жориық. Теңсіздіктің екі жақ бөлігінде квадрат дәрежеге шығарсақ: бұдан

,

(a-b)² + (b-c)² + (a-c)² < 0. Квадраттардың қосындысы теріс сан болмайтындықтан соңғы тең-сіздік дұрыс емес. Демек, кері жоруымыз дұрыс емес, олай болса берілген теңсіздік орында -лады

Пайдаланған әдебиеттер

1. Кущенко В. С. «Сборник конкурсных задач по математике» Л-1968 жыл

2. Математика в школе 2004 жыл №5

3. Математика в школе 2003 жыл №1

4. Литвиненко В. Н. ,Мордкович А. Г. «Практикум по элементарной математике»

5. Литвиненко В. Н. ,Мордкович А. Г. «Практикум по элементарной математике» «Просвещение» 1991жыл

Теңдуелерді зерттеу,жуық есептеу,иррационал сандар теориясы,сан қатарлары т.б. теңсіздіктер қасиетіне сүйенеді.Жоғарғы мектептегі математикалық анализ курсында функциялардың максимум және минимум яғни экстримал есептерді шешуде теңсіздіктер кең түрде қолданылады.

Тек математикада ғана емес әр түрлі жаратылыстану ғылымдарында зерттелетін табиғаттың үздіксіз процестері әсіресе экологиялық,экономикалық т.б. халық шаруашылығындағы балайланыстар теңсіздіктің көмегімен шешіледі.Теңсіздіктер оқушыларды айқын және дұрыс ойлауға,шамаларды салыстыра білуге дағдыландырады.

Әр түрлі теңсіздіктер ерте заманда-ақ белгілі болған.Эвклит пен Архимед шығармаларында көптеген теңсіздіктер келтірілген.Осы күнгі теңсіздіктер таңбасы ХVІІІ ғасырда ағылшын ғалымы Томас Гариаттың латын тілінде жазылған «Аналитикалық өнердің практикасы атты еңбегінде» тұнғыш рет келтіріледі.Теңдіктер теңсіздіктен жасалады,оларды теңсіздіктердің дербес бір түрі деуге болады.Теңсіздікті теңдікке айналдыру үшін екі шаманың айырмасын дәл бағалау керек.Теңсіздіктер жай санды теңсіздіктер,алгебралық теңсіздіктер,классикалық теңсіздіктер болып бөлінеді.Теңсіздікті дәлелдегенде және шешкенде тек әріптер мен белгісіз шамалардың мүмкін мәндерін үнемі есепке алу керек.Мысалы:таңбасы белгісіздің мүмкін мәндерінің кейбіреуінде ғана сақталатын теңсіздікті шартты немесе белгісізі бар теңсіздік деп атайды.барлық теңсіздіктердің қасиеттерін тек санды теңсіздіктер арқылы көрсетуге болады

1.а<b теңсіздігінен b>a теңсіздігі туады

2. а<b және b<c теңсіздіктерінен а<c теңсіздігі шығады

Бұл қасиет теңсіздікті шешкенде,теоремалар дәлелдегенде теңсіздікті «күшейту» үшін қолданылады.

3. а<b болса а+с<b+c болады

Теңсіздікті шешкенде, кейде ықшамдау мақсатымен оның екі бөлігінеде немесе екі бөлігінен де бірдей санды қосады немесе шегереді.

4.а-с<b болса а< b+c

Бұл қасиет бойынша теңсіздік мүшелерінең таңбасын өзгерте отырып,бір бөлігінен екінші бөлігіне көшіруге болады.

5. а<b және с<d болса а+с<b+d болады.

Шарт бойынша а-b<0 және c-d<0.Екі теріс санның қосындысы да теріс.

Теңсіздіктің дәлелдеу жолының белгілі бір алгоритмін анықтау қиын. Бірақ оған қарамастан теңсіздікті қандайда бір айқын теңсіздікке түрлендіру жолы бар екенін айта кеткен жөн. Содан кейін айқын теңсіздікті логикалық талдау арқылы берілген теңсіздікті келтіруге болады.

Негізгі теңсіздіктер: 1. а+в≥√ав, а≥0, в≥0

2.а+в≥2,(а мен в-ның таңбасы бірдей);

в а

3. 1:1(1+1)≤√ав, а>0, в>0,

2 а в

Гармониялық орта;

4. 2ав≤√ав≤ а+в;

а+в 2

5. ׀а+в׀≤ ׀а׀ +׀ в׀ тек а·в≥0 болғанда орындалады

Теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері;

1. Анықтама бойынша, яғни анықтамаға сүйеніп дәлелдеу. Мысалы,

а⁵-в⁵ ≥ а⁴в-ав⁴, мұндағы а > в

Дәлелдеу: а⁵-в⁵-а⁴в+ав⁴=а⁴(а-в)+в⁴(а-в) =(а-в)(а⁴+в⁴) ≥0

2. Дәлелденген теңсіздік көмегімен;

а>0, в>0, с>0, d>0

(1+вс)(1+cd)(1+ cd)(1+ав) ≥16

ad aв вс cd

Дәлелдеу:

Каши теңсіздігін қолданамыз

1+вс≥2√вс

ad ad

1+сd≥2√cd }→(1+вс)(1+сd)(1+ ad)

ad aв ad aв вс

(1+ав) ≥16 √вс·сd·ad·ав=16

cd ad ad вс cd

1+ad≥2√ad

вс вс

1+ав≥2√ad

сd сd

3. Талдау арқылы дәлелдеу

4. Кері жору арқылы ділелдеу

5. Геометриялық тәсіл

6. Теңсіздікті «күшейту» тәсілі

7. Графиктік тәсіл

8. Сызықтық программалау, симплекс, математикалық индукция

9. Реттелген жиындар әдісі

Теңсіздіктің түрлері:

1. Кейбір теңсіздіктер белгілі бір сандардың шамаларының әр түрлі орташаларына тәуелді болады. Бұл шамалар H_n≤G_n≤A_n≤Q_n

A_n – арифметикалық орташа

G_n – геометриялық орташа

Q_n – квадраттық орташа

H_n – гармониялық орташа

1. a₁+a₂+….+a_n≥√a₁a₂……..a_n

n

a₁a₂…a_n сандарының арифметикалық орташасы , олардың геометриялық орташасынан аз емес. Бұл теңсіздікті француз математигі О.Каши 1821 жылы жариялағаг болатын.

2. Гюйгенс теңсіздігі

3. Чебышев теңсіздігі

4. Коши – Буняковский теңсіздігі

5. Бернулли теңсіздігі

6. Гельдер теңсіздігі

Қорытынды

Ғылыми жоба жұмысымды қорытындылай отырып, математиканың табиғаттығ үздіксіз процестерімен тығыз байланыстылығын ерекше айтқым келеді.

Кең түрде қолданылатын классикалық Коши теңсіздігін, «Математикалық индукция», «Анализ», «Реттелген жиындар» тәсілдерімен шеше отырып, олардың бір-бірінен ерекшелігі ашып көрсетілді. Теңсіздіктер математикада ғана емес, экологиялық, экономикалық, халық шаруашылығындағы байланыстарда ерекше роль атқарады. Теңсіздіктердің осындай маңыздылығын ескере отырып, мектеп математикасына санды, алгебралық теңсіздіктермен бірге классикалық теңсіздіктер теориясын тереңірек еңгізіп қарастырса артық болмас деп ойлаймын.

Пайдаланған әдебиеттер

6. Жәуітіков О.А. «Жоғары математикаға кіріспе» Мектеп 1984 ж

7. И.Н. Бронштейн «Справочник по математике», М – 1964 ж

8. Математика в школе 1981 жыл №3

9. Математика в школе 1979 жыл №4

10. Глейзер Г.И. «История математики в школе». М – 1983 ж

11. Алгорифм 2004 жыл №3