Материалдар / Теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері

Теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері

Материал туралы қысқаша түсінік

материалда берілген теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері олимпиада есептерін шығаруда қолданылады

Мамбетова Шынар Турдымуратовна

Автор материалды ақылы түрде жариялады. Сатылымнан түскен қаражат авторға автоматты түрде аударылады. Толығырақ

18 Желтоқсан 2017

3349

15 рет жүктелген

Алгебра Мақала 9 сынып

770 ₸

Бүгін алсаңыз
+39 бонус беріледі
Бұл не?

Бүгін алсаңыз +39 бонус беріледі Бұл не?

Тегін турнир Мұғалімдер мен Тәрбиешілерге
Дипломдар мен сертификаттарды алып үлгеріңіз!

Бұл бетте материалдың қысқаша нұсқасы ұсынылған. Материалдың толық нұсқасын жүктеп алып, көруге болады

Материалдың толық нұсқасын
жүктеп алып көруге болады

ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ДӘЛЕЛДЕУ ӘДІСТЕРІ

Мамбетова Шынар ТұрдымұратқызыКеңқияқ орта мектебі

Мектеп алгебрасындағы маңызды мәселелердің бірі -теңсіздіктер. Теңсіздіктерді дәле- лдеу олимпиада есептерінде және орта мектеп бағдарламасынан тыс математиканы тереңде -тіп оқытуда қолдануға болады. Теңсіздіктер сандық теңсіздіктер, алгебралық теңсіздіктер, классикалық теңсіздіктер бо лып бөлінеді. Теңсіздіктердің қасиеттерін сандық теңсіздіктердің қасиеттері арқылы көрсетуге бола - ды.

a ˂ b => b > a ;

a < b және b a< c ;

a a +c < b + c ;

a – c a < b + c ;

a a + c < b + d ;

a 0 => ac < bc ; ал a ac > bc;

ал a ac = bc;

a d => a - c > b- d ;

a 0, b>0, c>0, d>0) => ac < bd ;

a 0, b >0) => a2 < b2 .

Теңсіздіктерді дәлелдеудің белгілі бір алгоритмін анықтау қиын, дегенмен теңсіздікті белгі - лі бір айқын теңсіздікке түрлендіруге болатын жолдары бар. Теңсіздіктерді дәлелдеудің кей -бір әдістерін қарастырайық. 1-мысал. x2 + y2 ≥2xy теңсіздік тек х у болғанда ғана орындалады.x2+y2-2xy ≥0. (x-y)2≥0 ендеше x2 + y2 ≥2xy. 2-мысал. |x+y| ≤ |x|+|y| теңсіздік х пен у- тің таңбалары бірдей болғанда немесе олардың ең болмағанда біреуі нольге тең болғанда ғана орындалады. √x2= |x|, √y2= |y|, √(x+y)2=|x+y| болғандықтан дәлелдейтін теңсіздікті √(x+y)2≤ √x2+√y2 түрінде жазуға болады. Осы тең –сіздіктің екі жағын да квадрат дәрежеге шығарсақ x2 + 2xy + y2 ≤ x2 + 2√x 2y2 + y2, xy ≤ √x2y2 мәндес теңсіздігі шығады , яғни xy ≤ |xy|. Теңсіздік дәлелденді. 3-мысал. |x-y| ≥ |x|-|y|. Шындығында да x=(x-y) + y. Сондықтан |x|= |(x-y)+ y| ≤ |x-y| + |y| немесе |x-y| ≥ |x|-|y|. 4-мысал. 3+а2+b2+c2≥2(a+b+c) теңсіздігін дәлелдейік. Теңсіздік мүшелерінің айырмасын қарастырайық :a2+b2+c2+3-2a-2b-2c ≥ 0 ; a2-2a +1+b2-2b +1+c2-2c+1= (a-1)2+(b+1)2+(c+1)2 ≥ 0, демек бас- тапқы теңсіздік дұрыс. 5-мысал. Оң a, b cандары үшін ≥ екенін дәлелде. Бұл теңсіздікті дәлелдеу үшін ≥ Коши теңсіздігін қолданамыз. Теңсіздіктің екі бөлігінде квадрат дәрежеге шы- ғарамыз, сонда ≥ теңсіздігін аламыз. ≥ ≥ , ≥ , бұдан ≥ теңсіздігі шығады. 6-мысал. x>0, y>0, z>0. x(1+y)+y+(1+z)+z(1+x)≥ 6x+yz ≥ 2y+xz ≥ 2z+xy ≥ 2 теңсіздіктердің оң және сол бөліктерін мүшелеп қосамыз. Сонда x+y+z+xy+yz+xz ≥ 6. Теңсіздік дәлелденді. 7-мысал. теңсіздікті дәлелде. Теңсіздіктің сол жақ бөлігіндегі екі қосылғыш үшін Коши теңсіздігін қолданамыз.=2 екенін ескеріп, = 2 деп жазып, Коши теңсіздігін екінші рет қолданамыз. Сонда 2 =2 теңсіздігі шығады. Демек, теңсіздігі дәлелденді. 8-мысал. теңсіздігін дәлелдейік, мұндағы a Дәлел-деу үшін a,b, c теріс емес сандары теңсіздігін қанағаттандырады деп кері жориық. Теңсіздіктің екі жақ бөлігінде квадрат дәрежеге шығарсақ: бұдан

,

(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2 < 0. Квадраттардың қосындысы теріс сан болмайтындықтан соңғы тең-сіздік дұрыс емес. Демек, кері жоруымыз дұрыс емес, олай болса берілген теңсіздік орында -лады

Пайдаланған әдебиеттер

Кущенко В. С. «Сборник конкурсных задач по математике» Л-1968 жыл

Математика в школе 2004 жыл №5

Математика в школе 2003 жыл №1

Литвиненко В. Н. ,Мордкович А. Г. «Практикум по элементарной математике»

Литвиненко В. Н. ,Мордкович А. Г. «Практикум по элементарной математике» «Просвещение» 1991жыл

Теңдуелерді зерттеу,жуық есептеу,иррационал сандар теориясы,сан қатарлары т.б. теңсіздіктер қасиетіне сүйенеді.Жоғарғы мектептегі математикалық анализ курсында функциялардың максимум және минимум яғни экстримал есептерді шешуде теңсіздіктер кең түрде қолданылады.Тек математикада ғана емес әр түрлі жаратылыстану ғылымдарында зерттелетін табиғаттың үздіксіз процестері әсіресе экологиялық,экономикалық т.б. халық шаруашылығындағы балайланыстар теңсіздіктің көмегімен шешіледі.Теңсіздіктер оқушыларды айқын және дұрыс ойлауға,шамаларды салыстыра білуге дағдыландырады.Әр түрлі теңсіздіктер ерте заманда-ақ белгілі болған.Эвклит пен Архимед шығармаларында көптеген теңсіздіктер келтірілген.Осы күнгі теңсіздіктер таңбасы ХVІІІ ғасырда ағылшын ғалымы Томас Гариаттың латын тілінде жазылған «Аналитикалық өнердің практикасы атты еңбегінде» тұнғыш рет келтіріледі.Теңдіктер теңсіздіктен жасалады,оларды теңсіздіктердің дербес бір түрі деуге болады.Теңсіздікті теңдікке айналдыру үшін екі шаманың айырмасын дәл бағалау керек.Теңсіздіктер жай санды теңсіздіктер,алгебралық теңсіздіктер,классикалық теңсіздіктер болып бөлінеді.Теңсіздікті дәлелдегенде және шешкенде тек әріптер мен белгісіз шамалардың мүмкін мәндерін үнемі есепке алу керек.Мысалы:таңбасы белгісіздің мүмкін мәндерінің кейбіреуінде ғана сақталатын теңсіздікті шартты немесе белгісізі бар теңсіздік деп атайды.барлық теңсіздіктердің қасиеттерін тек санды теңсіздіктер арқылы көрсетуге болады1.аa теңсіздігі туады2. аБұл қасиет теңсіздікті шешкенде,теоремалар дәлелдегенде теңсіздікті «күшейту» үшін қолданылады.3. а<b+c боладыТеңсіздікті шешкенде, кейде ықшамдау мақсатымен оның екі бөлігінеде немесе екі бөлігінен де бірдей санды қосады немесе шегереді.4.а-с<b болса а< b+cБұл қасиет бойынша теңсіздік мүшелерінең таңбасын өзгерте отырып,бір бөлігінен екінші бөлігіне көшіруге болады.5. а<d болса а+с<b+d болады.Шарт бойынша а-b<0 және c-d<0.Екі теріс санның қосындысы да теріс.Теңсіздіктің дәлелдеу жолының белгілі бір алгоритмін анықтау қиын. Бірақ оған қарамастан теңсіздікті қандайда бір айқын теңсіздікке түрлендіру жолы бар екенін айта кеткен жөн. Содан кейін айқын теңсіздікті логикалық талдау арқылы берілген теңсіздікті келтіруге болады.Негізгі теңсіздіктер: 1. а+в≥√ав, а≥0, в≥0 2.а+в≥2,(а мен в-ның таңбасы бірдей); в а3. 1:1(1+1)≤√ав, а>0, в>0, 2 а вГармониялық орта;4. 2ав≤√ав≤ а+в; а+в 2
׀а+в׀≤ ׀а׀ +׀ в׀ тек а·в≥0 болғанда орындалады

Теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері;
Анықтама бойынша, яғни анықтамаға сүйеніп дәлелдеу. Мысалы,
а5-в5 ≥ а4в-ав4, мұндағы а > в Дәлелдеу: а5-в 770 ₸ - Сатып алу
Материал ұнаса әріптестеріңізбен бөлісіңіз

Ашық сабақ, ҚМЖ, көрнекілік, презентация жариялап табыс табыңыз!

Материалдарыңызды сатып, ақша табыңыз. (kaspi Gold, Halyk bank)

Соңғы бір жылда:

45 000 000 ₸

Авторлар тапқан ақша

Ресми байқаулар тізімі

Республикалық байқауларға қатысып жарамды дипломдар алып санатыңызды көтеріңіз!