Теңсіздікті шешу. Теңсіздік қасиеттері

№ 3 Тақырыбы: Теңсіздікті шешу. Теңсіздік қасиеттері
Атыханов Талғат Атыханұлы
(асты сызылған курсив сөздердердің орнында оқушы дәптерінде бос орын қалдырылады)
Оң жақ бағандағы
тапсырмаларды
құрастырушы
мұғалімдердің есіне:

І кезең. Мұғалім алғашқы 7-10 минутта: а) ұйымдастыру сәтін өткізеді; б) өткен
тақырып бойынша берілген деңгейлік тапсырмаларды үйде аяқтап орындап келу
дәрежесі тексеріледі; в) төмендегі «Көпір» тапсырмаларын тексереді (алдымен жеке
тексеріп шығады, сосын фронталды тексереді).

«Көпір» (жеке жұмыс)
тапсырмалары өткен
тақырыптар бойынша жаңа
сабақты меңгеруге негіз
болатын қайталау
тапсырмалары

Сұрақтаға жауап бер.
1. a санының b санынан үлкен (кіші) екендігін көрсету үшін a>b (a 2. Үлкен >, кіші < белгілерімен қатар үлкен не тең ≥ және кіші не тең ≤ деген белгілері
қолданылады.
3. a ≥ b (a ≤ b) деген белгілеуі a санының b санынан үлкен (кіші) не оған тең болуын
көрсетеді.
4. >, < , ≥ , ≤ белгілері теңсіздік белгілері деп аталады.
5. Қатаң теңсіздіктер < және > таңбаларымен
6. Қатаң емес теңсіздіктер ≤ және ≥ таңбаларымен жазылады.
7. Қатаң емес теңсіздіктерде қатаң теңсіздіктер қасиеттерінің барлығы орындалады.

ІІ кезең (топтық жұмыс) жаңа сабақты топтық жұмыс барысында оқушылардың өз бетімен меңгеруіне жағдай
жасау:
а) оқушылар төмендегі «Білу», «Түсіну», «Талдау», «Жинақтау» тәсілдеріне сәйкес тапсырмаларын
өздері толтырады (20 минут); ә) жауаптарын мұғаліммен бірге талдайды (25 минут). Нәтижесі ауызша
марапатталады
1-қадам (топтық жұмыс)
- теория бойынша «Білу»
критерийінің
индикаторлары:
(тақырып мазмұны
бойынша кім?не?
қандай? қалай?нені?
қашан?не істеді сияқты
сұрақтарға жауап беретін
толық ақпарат іріктеліну
керек)
2-қадам (топтық жұмыс) теория бойынша «Түсіну»
критерийінің
индикаторлары:
(неге? неліктен? себебі?
не үшін?сұрақтары
оқушының жоғарыда
берген жауаптарына
оларды тереңдету үшін
қойылады)

3-қадам-(топтық жұмыс)
теория бойынша
«Талдау» критерийінің
индикаторлары:
1.Салыстыр,
2. Айырмашылығы неде?
3. Ұқсастығы неде?
4.Тақырыптың басты
идеясын жаз деген
тапсырмалар болу керек.
Немесе 1-3 тапсырмаларды
Венн диаграммасы
арқылы қамтуға болады.



‘’>’’ Егер a>b болса, онда a саны b санынан артық



‘’< ‘’ Егер a


‘’≥’’ Егер a ≥ b болса,онда a саны b санынан үлкен немесе оған тең



‘’≤’’ Егер a ≤ b болса, онда a саны b санынан кіші немесе оған тең



‘’≠’’ Егер a ≠ b болса, онда a саны b санына тең емес

1. Өрнектің сол және оң жағы теңсіздік белгісімен байланысса онда бұндай өрнекті
теңсіздік деп атаймыз.
2. Теңсіздіктегі айнымалылардың орнына қойғанда теңсіздікті ақиқат теңcіздікке
айналдыратындай айнымалының әрбір мәні теңсіздіктің шешімі деп аталады.
3. Теңсіздікті шешу дегеніміз осы теңсіздікті ақиқат пікірге айналдыратын барлық
айнымалылардың мәндерін табу немесе олардың жоқ болатындығын көрсету.
4.Шешімдері беттесетін (бірдей болатын) теңсіздіктер мәндес теңсіздіктер деп аталады,
дербес жағдайда шешімдері жоқ болатын екі теңсіздік мәндес.
5.Теңсіздіктерді шешкенде әдетте берілген теңсіздікті оған мәндес қарапайым
теңсіздікпен ауыстырады.
Сызықты теңсіздік деп a⋅x+b ≥ c теңсіздігін атаймыз, мұндағы a, b, c тұрақты сандар ал x
белгісіз.Теңсіздіктермен жұмыс істеу үшін оның қасиеттерін білу керек. Бұл
қасиеттерді пайдаланып бір теңсіздіктен екінші теңсіздікке көшуге болады. Олар
теңдеудің қасиеттеріне ұқсас, бірақ айтарлықтай өзгешіліге де бар. Өрнектерді
түрлендіргенде теңдеулер тізбегін жазасыңдар, онда теңдеулер өте айқын: а = b және
b = с болса, онда а= с болады. Бұл қасиеттердің транзитивтік қасиеті деп аталатын
қасиеттеріне сүйенеді.
 Егер а < b және b < с болса, онда а < с, яғни теңсіздік транзитивтік қасиетке ие.
 Егер а < b және с кез келге сан болса, онда ,а+с < b+с болады.
 Теңсіздіктің кез келген қосылғышын бір бөлігінен екінші бөлігіне қарама-қарсы
таңбамен көшіруге болады.
 Егер а < b және с> 0 болса, онда ас < bс; Сонымен теңсіздіктің екі жағында оң санға
көбейтсек немесе бөлсек, онда теңсіздіктің таңбасы өзгермейді.
 Егер а < b және с< 0 болса, онда ас > bс; Сонымен теңсіздіктің екі жағында теріс
санға көбейтсек немесе бөлсек, онда теңсіздіктің таңбасы қарама-қарсы таңбаға
өзгереді.
 Егер а < b , с
4-қадам-(топтық жұмыс)
теория бойынша
«Жинақтау»
критерийінің
индикаторлары:
Қорытынды шығар,
анықтама бер, мазмұнды
жүйеле, кестені,
тірек сызбаны немесе
сөзжұмбақты толтыр,
немесе өзің құрастыр тағы
с.с. басқа түрдегі
тапсырмалар оқушының
жоғарыдағы «тақырыптың
басты идеясына» жазған
жауабына қойылады

Теңсіздіктерді дәлелдеу тәсілдері:
1. Теңсіздікті анықтама бойынша дәлелдеу
2. Теңсіздікті кері жору тәсілімен дәлелдеу
3. Теңсіздікті тірек-теңсіздіктер тәсілімен дәлелдеу
4. Теңсіздіктерді жуықтап бағалау тәсілімен дәлелдеу
5. Теңсіздікті математикалық индукция тәсілімен дәлелдеу
түріндегі теңсіздік бөлшек (рационал) теңсіздік деп аталады, мұндағы a, b, c, d
тұрақты сандар ал x ізделінетін айнымалы. Бөлінді мен көбейтіндінің таңбалары бірдей
болғандықтан бөлшек бөлімі нольге тең емес деп алып, оған мәндес теңсіздікті
(
)(
)
)
,(
шешеміз.Рационал теңсіздіктерді интервалдар әдісін
қолдану арқылы шешеміз.
Иррационал теңсіздіктерді шешуде түбірдің арифметикалық мәні ескеріледі:
және ( )
. Теңсіздіктің екі жағын дәрежеге шығарып, түрлендіргенде
√ ( )
алынған теңсіздік берілген теңсіздікпен мәндес бола бермейді. Жалпы жағдайда
( )
( ) және ( ( ))
( ( )) теңсіздіктер мәндес емес.
Иррационал теңсіздіктерді шешудің негізгі әдісі – бастапқы теңсіздікті оған мәндес
рационал теңсіздіктер жүйесіне келтіру.Иррационал теңсіздіктерді шешу кезінде қатеге
ұрынбас үшін, теңсіздіктің анықталу аймағын (ТАА) тауып алып,содан соң осы ТАА–да
немесе оның бөліктерінде мәндес түрлендірулер жасау орынды. Екі бөлігін тікелей
дәрежеге шығару арқылы иррационал теңсіздіктерді шешу үшін келесі тұжырымдар жиі
қолданылады:
( )
1.
{
√ ( )
√ ( )
( )
( )
√ ( )

2.

( )

√ ( )

( )

( )
3.

√ ( )
√ ( )

4.

( )

{

√ ( )

( )

( )

( )

{

5.

( )
( )

( )

( )

( )
( )

( )

( )

[

{ ( )

Оқулықпен жұмыс (5 минут): төмендегі «Қолдану» және оқушының тақырып мазмұнына «Баға беруі» тәсілдеріне сәйкес, яғни рефлексия
жасауға, эссе жазуға арналған, практика жүзінде бекіту тапсырмалары орындалады . Нәтижесі ауызша марапатталады.

5-қадам - (топтық
жұмыс) практикада
бекіту. Практика
жүзінде «Қолдану»
критерийіне сәйкес
оқулықпен жұмыс
жүргізу барысында
тек қарапайым
тапсырмалармен
бекіту жүргізіледі.
Дайын формулалар
арқылы есептер
шығару орындалады

Теңсіздіктерді интервалдар әдісімен шешу схемасы:
1. Сан түзуіне ( ) функциясының барлық нолдері мен үзіліс нүктелерін боялмаған
дөңгелекшелермен белгілейді.
2. а) функциясының барлық жұп дәрежелі көбейткіштерін алып тастайды (мұндай
көбейткіштердің функция таңбасына әсері жоқ).
ә) функциясының тақ дәрежелі көбейткіштері бірінші дәрежелі көбейткіштерге
ауыстырылады (функция таңбасы ондағы тақ дәрежелі көбейткіштің дәреже
көбейткішін кез келген тақ санға ауыстырғаннан өзгеріп кетпейді);
б) бөлшектің алымы мен бөлімінде бірдей көбейткіштер болса, оларды алып
тастайды.
3. Соңғы теңсіздіктегі функцияның нолдері мен үзіліс нүктелерінің ең үлкенінің оң
жағынан, сан осінің үстіндегі кез келген нүктеден шығатын, ( ) функциясының
нолдері мен үзіліс нүктелері арқылы өтетін толқын сызық жүргізіледі.
4. Егер теңсіздік ( )
түрінде берілсе, онда осы толқын сызық үстінде жатады, ал
( )
түрінде берілсе, онда толқын сызық астында жататын аралықтар берілген
түрдегі теңсіздіктің шешімі.
)
(
) (
)
Мысалы.
(
)(
+

+
-1

--

1

Иррационал теңсіздіктердің берілуіне сәйкес тәсілдер қолдану.
Мысал:√
(

Шешуі: {

)

{

(

)

Теңсіздіктер жүйесіндегі әрбір теңсіздікті шешеміз.
Екінші теңсіздіктің
келген мәнінде теңсіздік тура теңсіздік болады.
Үшінші теңсіздіктің шешімі

6-қадам (топтық
жұмыс):
«Баға беру» (Сен
қалай ойлайсың?
Не істер едің? деген
тапсырмалар
оқушыға жоғарыда
алған білімін (теория
бойынша) және
біліктілігін
(практикасы
бойынша) өмірдегі
жағдаяттарды
шешуге бағытталып
қойылады

болғандықтан х–тің кез

Жауабы:
1. Егер X жиынында анықталатын f (x), g (x) және h (x) функциялары үшін мына
( )
( )
( )
теңсіздіктер мәндес теңсіздік болады. ( )
( ) және
( )
2. Егер X жиынында h (x) > 0 болса, онда мына теңсіздіктер мәндес теңсіздік болады.
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
3. Егер X жиынында h (x) < 0 болса, онда мына теңсіздіктер мәндес теңсіздік болады.
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
4. Егер X жиынында f (x) ≥ 0, g (x) ≥ 0 болса, онда мына теңсіздіктер мәндес теңсіздік
болады. ( )
( )
( )
( )
5. Екі оң санның арифметикалық орташасы олардың геометриялық орташасынан кіші
болмайды .
√
6. √
а) егер
б) егер
7. √ ( )

8. √ ( )
9. √ ( )

түрінде берілсе, онда шешім :
болса, онда теңсіздіктің шешімі жоқ;
болса, онда шешім
болады;
( )
( )

√ ( )
√ ( )

( )
( )
( )

{

{

{

( )
( )

( )
( )
( )

( )

( )

Иррационал теңсіздіктерді шешудің негізгі әдісі – бастапқы теңсіздікті оған мәндес
рационал теңсіздіктер жүйесіне келтіру.Иррационал теңсіздіктерді шешу кезінде қатеге
ұрынбас үшін, теңсіздіктің анықталу аймағын (ТАА) тауып алып,содан соң осы ТАА–да
немесе оның бөліктерінде мәндес түрлендірулер жасау орынды.
ІІІ кезең (кері байланыс – бағалау кезеңі): Жеке жұмыс. Жоғарыда меңгерген мазмұнды үш деңгейге іріктеп (әр деңгейдің білімділік,
біліктілік, яғни құзыреттілік деңгейін анықтайтын тапсырмалар) оларды біртіндеп орындату арқылы балл жинату барысында оқушының
құзіреттілік деңгейін анықтап, әділ бағалау жүзеге асырылады. Бұл тапсырмаларды оқушылар сабақтың соңына дейін қалған 30 минуттың 25
минутында орындайды + 5 минут қортынды жасалады.
Қалған тапсырмаларлы үйде аяқтап келеді. Қортынды балл саны дәстүрлі бағаға айналдырылып, келесі сабақтың басында сынып
журналына қойылады, мониторингке тіркеледі.

І деңгей (5 балл)
1-қадам – (жеке жұмыс)
теория бойынша «Білу»
критерийінің
индикаторларына сәйкес
(тақырып мазмұны
бойынша кім?не?қандай?
қалай? нені? қашан?не
істеді сияқты сұрақтарға
жауап беретін толық
ақпараттар іріктелініп ІІ
кезеңдегіге қарағанда
керісінше қойылады)



‘’>’’ a саны b санынан артық, a>b .



‘’< ‘’ a саны b санынан кіші, a


‘’≥’’ a саны b санынан үлкен немесе оған тең, a ≥ b.



‘’≤’’ a саны b санынан кіші немесе оған тең, a ≤ b .

 ‘’≠’’ a саны b санына тең емес, a ≠ b.
Айнымалысы түбір таңбасының астында тұратын теңсіздік иррационал теңсіздік деп
аталады.

Практикасы:
«ҚОЛДАНУ»
(ІІ кезеңдегіге қарапайым
тапсырмалар үлгісіндегі
тапсырмалар орындалады)

№15 1  4 x  1  3x  x  1 ; № 16 2( x 2  1)  4 x( x  1)  2  x
4
3
6
5
№ 17
 2 x 1  3
x 1

1-аралық нәтиже:
Бірінші деңгейде қалыптасқан құзіреттілік (білім, біліктілік) деңгейінің сапалық өлшемі (бірінші аралық өлшемі):
– «дұрыс», «толық» деген білім сапасының түрлерімен сипатталады (Ю.К.Бабанский). Оқушының бұл алғашқы
қадам нәтижесінің сандық өлшемі – бес балл = «сынақтан өтті» = «қанағаттандырарлық» білім деңгейінің
өлшемі = «3» журналға қойылады, егер келесі деңгей тапсырмаларын меңгере алмаса.
ІІ деңгей (5 балл + 4 балл = 9 балл)
1-қадам (жеке жұмыс) 1. Өрнекті теңсіздік деп атаймыз егер өрнектің сол және оң жағы бөлігі теңсіздік
теория бойынша
белгісімен байланыстын болса.
«Түсіну»
2. Теңсіздіктің шешімі деп теңсіздіктегі айнымалылардың орнына қойғанда теңсіздікті
критерийінің
ақиқат теңcіздікке айналдыратындай айнымалының әрбір мәнін атаймыз.
индикаторларына (неге?
неліктен? себебі? не
3. Теңсіздікті ақиқат пікірге айналдыратын барлық айнымалылардың мәндерін табу
үшін?) сәйкес
немесе олардың жоқ болатындығын көрсету теңсіздікті шешу деп аталады.
сұрақтар оқушының
4.Мәндес теңсіздіктер деп, шешімдері беттесетін (бірдей болатын) теңсіздіктер атайды,
жоғарыда берген
дербес жағдайда шешімдері жоқ болатын екі теңсіздік мәндес.
жауаптарына оларды
тереңдету үшін қойылады. 5.Теңсіздікті оған мәндес қарапайым теңсіздікпен ауыстыру арқылы теңсіздіктерді шешу
үшін қолданылады.
2-қадам (жеке жұмыс) теория бойынша
«Талдау» критерийінің
индикаторларына сәйкес

(1.Салыстыр,
2. Айырмашылығы
неде?
3. Ұқсастығы неде?
4.Тақырыптың басты
идеясын жаз) деген
тапсырмалар болу
керек. Немесе 1-3
тапсырмаларды Венн
диаграммасы арқылы
қамтуға болады.

a⋅x+b ≥ c теңсіздігін сызықты теңсіздік деп атаймыз, мұндағы a, b, c тұрақты сандар ал x
белгісіз.Теңсіздіктермен жұмыс істеу үшін оның қасиеттерін білу керек. Бұл қасиеттерді
пайдаланып бір теңсіздіктен екінші теңсіздікке көшуге болады. Олар теңдеудің
қасиеттеріне ұқсас, бірақ айтарлықтай өзгешіліге де бар. Өрнектерді түрлендіргенде
теңдеулер тізбегін жазасыңдар, онда теңдеулер өте айқын: а = b және
b = с болса, онда а= с болады. Бұл қасиеттердің транзитивтік қасиеті деп аталатын
қасиеттеріне сүйенеді.
 Егер а < b және b < с болса, онда а < с, яғни теңсіздік транзитивтік қасиетке ие.
 Егер а < b және с кез келге сан болса, онда ,а+с < b+с болады.
 Теңсіздіктің кез келген қосылғышын бір бөлігінен екінші бөлігіне қарама-қарсы
таңбамен көшіруге болады.
 Егер а < b және с> 0 болса, онда ас < bс; Сонымен теңсіздіктің екі жағында оң санға
көбейтсек немесе бөлсек, онда теңсіздіктің таңбасы өзгермейді.
 Егер а < b және с< 0 болса, онда ас > bс; Сонымен теңсіздіктің екі жағында теріс санға
көбейтсек немесе бөлсек, онда теңсіздіктің таңбасы қарама-қарсы таңбаға өзгереді.
Егер а < b , с Иррационал теңсіздіктерді шешуде түбірдің арифметикалық мәні ескеріледі:
және ( )
. Теңсіздіктің екі жағын дәрежеге шығарып, түрлендіргенде
√ ( )
алынған теңсіздік берілген теңсіздікпен мәндес бола бермейді. Жалпы жағдайда
( )
( ) және ( ( ))
( ( )) теңсіздіктер мәндес емес.
Иррационал теңсіздіктерді шешудің негізгі әдісі – бастапқы теңсіздікті оған мәндес
рационал теңсіздіктер жүйесіне келтіру.Иррационал теңсіздіктерді шешу кезінде қатеге
ұрынбас үшін, теңсіздіктің анықталу аймағын (ТАА) тауып алып,содан соң осы ТАА–да
немесе оның бөліктерінде мәндес түрлендірулер жасау орынды. Екі бөлігін тікелей
дәрежеге шығару арқылы иррационал теңсіздіктерді шешу үшін келесі тұжырымдар жиі
қолданылады:
( )
1.
{
√ ( )
√ ( )
( )
( )
( )
2.
( )
√ ( )
√ ( )
( )
3.
4.

√ ( )
√ ( )

( )
( )

{

( )
( )
( )

( )
( )

{
√ ( )

( )

№ 18.

1
2
3


x 1 x  3 x  2

№ 19.

x 4  17 x 2  16
0
5 x  20

( )

( )

( )

[
3-қадам (жеке жұмыс):
Практика жүзінде
«ҚОЛДАНУ»
критерийіне сәйкес
(ІІ кезеңдегіге 5-қадам
қарапайым тапсырмалар
үлгісіндегі
тапсырмалардың
өзгертілген жағдайдағы
нұсқасы орындалады)

( )

{ ( )

x3  5 x 2  7 x  3
0
№ 20
2  x  x2

2-аралық нәтиже:
Бірінші деңгейде қалыптасқан құзіреттілік (білім, біліктілік) деңгейінің сапалық өлшемі (бірінші аралық
өлшемі): – «дұрыс», «толық» деген білім сапасының түрлерімен сипатталады (Ю.К.Бабанский). Оқушының
бұл алғашқы қадам нәтижесінің сандық өлшемі – бес балл = «сынақтан өтті» = «қанағаттандырарлық» білім
деңгейінің өлшемі = «3» журналға қойылады, егер келесі деңгей тапсырмаларын меңгере алмаса.
1-қадам (жеке жұмыс) теория бойынша
«Жинақтау»
критерийінің қорытынды
шығаруға бағытталған
индикаторлары:
Қорытынды шығар,
анықтама бер, мазмұнды
жүйеле, кестені, тірек
сызбаны, сөзжұмбақты
толтыр немесе өзің
құрастыр тағы с.с. басқа
түрдегі тапсырмалар
оқушының жоғарыдағы
«тақырыптың басты
идеясына» жазған
жауабына қойылады.

ІІІ деңгей (9 балл + 3 балл = 12 балл)
Теңсіздіктерді дәлелдеу тәсілдері:
1. Теңсіздікті анықтама бойынша дәлелдеу
2. Теңсіздікті кері жору тәсілімен дәлелдеу
3. Теңсіздікті тірек-теңсіздіктер тәсілімен дәлелдеу
4. Теңсіздіктерді жуықтап бағалау тәсілімен дәлелдеу
5. Теңсіздікті математикалық индукция тәсілімен дәлелдеу
түріндегі теңсіздік бөлшек (рационал) теңсіздік деп аталады, мұндағы a, b, c, d
тұрақты сандар ал x ізделінетін айнымалы. Бөлінді мен көбейтіндінің таңбалары бірдей
болғандықтан бөлшек бөлімі нольге тең емес деп алып, оған мәндес теңсіздікті
(
)(
)
)
,(
шешеміз.Рационал теңсіздіктерді интервалдар әдісін
қолдану арқылы шешеміз

ІІ-кезең, 4-қадамда
«жинақтауға» берілген
тапсырма басқа формада
беріліп, баланың білім
деңгейі бағаланады.

2-қадам (жеке жұмыс):
«Баға беру» (Сен қалай
ойлайсың? Не істер едің? деген
тапсырмалар оқушыға жоғарыда
алған білімін (теория бойынша)
және біліктілігін (практикасы
бойынша) өмірдегі жағдаяттарды
шешуге қолдана алу дәрежесі
бағаланады.

№ 21

√

3-нәтиже:
Үшінші деңгейдің нәтижесі (түбегейлі көзделген нәтиже): алғашқы екі деңгейде жинаған 9 баллға + 3 балл =12
балл = «5» журналға қойылады. Оқушының білім сапасы білім стандарты көлемінде «дұрыс», «толық»,
«әрекеттілік» пен «тереңділік»-ке «жүйелілік» пен «саналылық» қосылып, барлығының жиынтығы «берік» білім
болып саналады (Ю.К. Бабанский).