ЖШС Каспий өңірі «Болашақ» колледжі

(білім беру ұйымының атауы)

Оқу сабағының жоспары (теориялық немесе өндірістік оқыту)

Толық ықтималдық формуласы және Байес формуласы. Бернулли формуласы және оның салдарлары. Нақты құбылыстар мен процестердің ықтималдық моделдері.

(сабақ тақырыбы)

Модуль/пән атауы: ЖБП 06 Математика

Педагог: Ахметова Д.Ж. дайындады

2023 жылғы « » қараша

1. Жалпы мәліметтер

Курс, топ: 1 курс - БҚ-23-3, ЕТ-23, МЖП-23

Сабақтың түрі: Практикалық

2. Мақсаты: Есептерді шешу кезінде Байес формуласын және толық ықтималдық формуласын, Бернулли формуласын қолдануды қарастыру.

Міндеттері:  

- Байес формуласын сипаттайды;

- Есептер шығаруда Байес формуласын қолданады;

- Тақырыпқа байланысты есептер құрастырады.

3. Оқу-жаттығу процесінде білім алушылар меңгеретін күтілетін нәтижелер және (немесе) кәсіби дағдылар тізбесі:

- Толық ықтималдықты табу формуласын біледі және оны есеп шығаруда қолданады;

- Байес формуласын, Бернулли формуласын қолдану шартын біледі және оны есеп шығаруда қолданады.

4. Қажетті ресурстар: Кітаптар, тақта, үлестірмелі материалдар.

5. Сабақтың барысы:

5.1 Ұйымдастыру кезеңі: Топтың сабаққа дайындығын тексеру. Түгендеу.

5.2 Үй тапсырмасын тексеру: Берілген тапсырманың орындалуын тексеру, бағалау. Жалпылау сұрақтары мен үй жұмысын қорытындылау.

5.3 Жаңа материалды түсіндіру:

Жоспар:

1. Оқиғаның толық ықтималдығы.

Теорема. Н₁, Н₂, ..., Н_п, (Н_i H_j = Ø, i 

j ) өзара қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар

H₁+H₂+…+H_n = U, P(U) = 1 теңдігін қанағаттандырсын және

A  U кездейсоқ оқиғасы

Н₁, Н₂, ..., Н_п оқиғаларымен үйлесімсіз болсын. Онда А оқиғасының ықтималдығы

1

2

п

(А)  ...  Р(Н_п )  Р_Н

(А)

(1)

формуласымен анықталады. (1) формула толық ықтималдық формуласы деп аталады. 1-мысал. Оқушы 25 емтихан сұрақтарының 20-на дайындалып үлгерген. Емтиханды ең үлкен ықтималдықпен тапсыру үшін оқушы емтихан билетін бірінші болып алғаны дұрыс па, әлде кезекпен алғаны дұрыс па?

Шешуі. оқушының дайындалған билетін «сәтті» деп, ал дайындалып үлгермеген билетін

«сәтсіз» билет деп атайық. Алдымен оқушының билетті бірінші болып алғандағы емтиханды тапсыру ықтималдығын анықтайық. Бұл жағдайда барлық мүмкін жағдайлар

саны n = 25, қолайлы жағдайлар саны m = 20. Сонда

P  ^m  ²⁰  0,8.

n 25

Енді оқушының билетті екінші болып алғандағы емтиханды тапсыру ықтималдығын анықтайық. Әрине, бұл оқиға бірінші билет алған оқушының қандай билет алғанына тәуелді: ол сәтті билет алды ма, әлде сәтсіз билет алды ма? Н₁ арқылы бірінші оқушының «сәтті» билет алғанын, Н₂ арқылы оның «сәтсіз» билет алғанын білдіретін оқиғаларды белгілейік. Бізге қажет оқушының етмиханды тапсыруын білдіретін оқиғаны А арқылы белгілейік. Онда А оқиғасы Н₁ және Н₂ оқиғаларының бірімен орындалады.

Олай болса, (1) формула бойынша:

Р( А)  Р(Н )  Р ( А)  Р(Н )  Р

( А)  0,8  ¹⁹  0,2  ²⁰  0,8 теңдігін аламыз.

1 Н₁ 2 Н ₂

24 24

Мұндағы

Р(Н )  ²⁰  0,8 , Р

( А)  ¹⁹ ,

Р(Н )  ⁵

 0,2, Р

( А)  ²⁰

болатынын

¹ 25

^Н1 ₂₄

² 25

^Н 2 ₂₄

ескердік. Сонымен, оқушының емтихан тапсыру ықтималдығы оның қай кезекпен билет алуына тәуелсіз.

2. Байес формуласы.

Алдыңғы тақырыптағы теоремадағы А оқиғасының орындалғаны белгілі болсын. Бізге А оқиғасының Н_k оқиғасымен бірге орындалу ықтималдығын анықтау қажет.

Оқиғалардың көбейтіндісі ықтималдығының формуласы бойынша

k

k

P (H ) 

P(H_k )  P_H ( A)

(2)

^{A k} P(H )P ( A)  P(H )P ( A)  ...  P(H )P

( A)

1 H₁ 2 H ₂ n H_n

формуласын аламыз. (2) формуланы Байес формуласы, кейде болжамдар теоремасы деп те атайды.

2. мысал. Мектеп оқушыларының 60%-ы қыз балалар. Театрға қыз балалардың 80%-ы және ер балалардың 75%-ы билет алған. Мұғалімдер бөлмесіне жоғалған билет әкелінді. Бұл билетті ер баланың жоғалтып алу ықтималдығын анықтайық.

Шешуі. А арқылы оқушының билетін жоғалтып алғанын білдіретін оқиғаны, Н₁ арқылы билетті қыз баланың жоғалтқанын, Н₂ арқылы билетті ер баланың жоғалтқанын білдіретін

оқиғаны белгілейік. Онда Р_А(Н₂) ықтималдығын табу керек. Р(Н₁)=0,6;

Р ( А)  0,8;

Н

H(H₂)=0,4;

Р ( А)  0,75 болғандықтан, толық ықтималдықтың формуласы бойынша

Н

Р(А)  0,6  0,8  0,4  0,75  0,78

Сонда (2) формула бойынша

болады.

Р (Н

_{) } ^Р(Н₂ ^{)  Р}_{Н 2} ^{( А)} _ 0,4  0,75 _ 5

аламыз.

А 2

Жауабы: ⁵ .

13

Р( А)

0,78 13

3. Бернулли формуласы.

Қандай да бір сынақ (тәжірибе) барысында А оқиғасы р ықтималдығымен орындалсын. Осы сынақты бірнеше рет қайталағанда әрбір сынақ нәтижесі өзге сынақ нәтижелеріне әсер етпесе, мұндай сынақтарды тәуелсіз сынақтар деп атайды. Сынақты п

рет қайталасақ , А және А оқиғаларынан құралған тізбек аламыз. Мысалы, 4 сынақтың алғашқысында А оқиғасы орындалмай, 2- және 3-сынақтарда орындалып, 4-сынақта тағы

да орындалмаса, онда

А  А  А  А тізбегін аламыз. Мұнда

Р( А)  1 Р( А)  1 р және бұл