ТРАНСЦЕНДЕНТТІ ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ

ӘӨЖ 512.1

ТРАНСЦЕНДЕНТТІ ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ

Әсет Жігер

І.Жансүгіров атындағы Жетісу университетінің «Математика» мамандығының 2 курс магистранты, Жетісу облысы, Талдықорған қаласы

Ғылыми жетекшісі – Тасболатова Р.Б.

Ескендиров К.Б.

kuanyshdinara@mail.ru

Талдықорған қ., Қазақстан

Аннотация: Негізгі трансцендентті теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістері туралы жазылған.

Тірек сөздер: трансцендентті теңдеулер мен теңсіздіктер, әдістер, есеп.

Оқушылардың математикалық қабілетін қалыптастыру және дамыту туралы көп айтылып та, жазылып та жүр. Бірақ оқушылардың бойында пәнге деген қызығушылықты оятпайынша, олардың математикалық қабілетін қалыпастыру да, дамыту да мүмкін емес.

Бұл мақалада оқушылардың ой қызметтеріне азық бола алатын, одардың бойында пәнге деген қызығушылықты оятуға түрткі бола алатын оқушыларды трансцендентті теңдеулерді дәстүрлі емес әдістер арқылы шешуге баулу мәселесіне тоқталмақпыз.

Трансцендентті теңдеулердің іздеу барысында, оларды мейлінше қарапайым (стандарт) түрге келтіру жолында айнымалыны ауыстыру, теңбе-тең түрлендіру және т.б. әртүрлі дәстүрлі әдістерді пайдаланатындығымыз баршаға аян. Дегенмен, көпшілік жағдайларда теңдеулерді дәстүрлі әдістермен шешу процесі тым созылып кетеді, тіпті кейде осындай әдістерді пайдалану нәтижесінде алынған теңдеулеріміз бәрібір күрделі күйінде қалып қояды, яғни жоғарыда аттары аталған дәстүрлі әдістеріміз өздерінің тиімді нәтижелерін бермей жатады. Атап айтқанда, стандарт емес теңдеулер жағдайында ұтымды да мақсатқа тез жеткізетін дәстүрлі әдістерді әр жолы тауып көрсете білу оңай шаруа емес.

Сонымен біз стандартты (алгоритмдік) есептерді шешу үшін мыналар керек екенін көріп тұрамыз: Есепке талдау жасап, математикада (нақтырақ айтсақ, оның шығарушыға белгілі және зерттелген саласы, бөлімі) қолданыла отырып берілген есепті шығаруға болатын қысқартылған алгоритм бар ма екенін анықтау. Егер сондай алгоритм бар болса, онда оны жазбаша және ойша ашу керек, ал егер де осындай алгоритм жоқ немесе шығарушыға белгісіз болса, онда берілген есеп Трансцендентті және оның шешу әдісін табуды жүргізу керек.

Осындан шығатыны, оқушылар барлық өтілген ережелерді – қысқартылған алгоритмдерді (осыны оқушылар есте сақтау керек) жақсы біліп, қандай формада берілсе де, қысқартылған алгоритмдерді қадамдап жіктеу бағдарламасы бойынша аша білу керек. Сондай-ақ осындай бағдарламаларды нақты есеп шарттарында пайдалана білу керек.

Осының барлығын оқушыларға үйретпесе (әсіресе әлсіздерге) олар өз беттерінше үйрене алмайды.

Сондай-ақ келесі жаттығулар пайдалы:

1. Қайсыбір теорема дәлелденгеннен кейін оқушылар алдында осындай мәселе тудыруға болады: берілген теорема негізінде қандай есептерді нақты шешуге болады?

2. Тепе-теңдікті дәлелдеп, осы өрнекті оңнан солға қарай оқып “осы түрдегі өрнекті қандай алгоритм белгілейді?” деген сұрақ қою керек; Бұл алгоритм негізінде қандай есеп шығаруға болады?

3. Қайсібір формула шыққаннан кейін (арифметикалық прогрессия мүшелерінің қосындысының формуласы) келесідегі сұрақтар: осы формула көмегімен қандай есептерді шығаруға болады? Осы есептің әрбіреуінде не белгілі болуы керек және не ізделінді болады? және т.с.с.

Оқушыларға есеп шығаруды үйрететін алғашқы әдісті пайдалана отырып, олардың бойынан есеп шығарудың тек сәйкес жеке әдістеріне қарап бейім қалыптастыруға болады. Ал есеп шығару әдісін іздеуге жалпылама және ортақ бейімділікті қалыптастыру үшін бұл оқыту әдісі нәтижелі емес. Өйткені, мектепте оқытылатын есептердің көпшілігі Трансцендентті болып келеді, демек оларды шығару үшін математиканың өзінде алгоритмі (ереже, формуласы), шығарудың дайын әдісі жоқ: ол әдісті шығарушы өзі тауып құру керек. Егер мұғалім есептің шығару әдісін оқушыларға өзі берсе, онда оқушылар қайсібір трансцендентті есепті шығару әдісін өз бетінше табуды қалайша үйренеді? Сондықтан да, бірінші әдіспен қатар оқытудың басқа да әдістерін пайдаланған дұрыс.

Екінші әдіс оқушыларға былайша айтқанда дамытатын, демек трансцендентті есеп шығаруды ұсынғаннан тұрады. Кейбір мұғалім мен әдіскерлер ”осы есептерден неғұрлым көп нәтиже оларды алдын ала дайындықсыз және мазмұны мен шығару әдістері жағынан әртүрлі болғанда алынады» деп санайды. Бұл әдіс жүзуді үйрететін әдістің ең қарапайым әдісіндей: адамды суға тастай салу керек, сонда ол өзінен өзі біртіндеп жүзіп үйренеді. Д.Пойяның кеңесі де: “Егер есеп шығарып үйренгіңіз келсе, онда шығарыңыз!” Бірақ Д.Пойяның өзі шығару үшін есеп беретін емес, есеп шығаруды үйрететін үш тамаша кітапты жарыққа шығарған[1].

Оқытудың осындай әдісін ұстанған авторлар мен әдіскерлер оқушылардың табиғи мүмкіндіктеріне сеніммен қарайды (мүмкін оқушылар шығару әдісін тауып, трансцендентті есептердің шешімін табу әдісін өз бетімен-ақ іздеп таба алар). Әрине сондай оқушылар бар, сондықтан да бұл әдіс тек табиғи дарындылығы бар оқушылар үшін ғана жарамды, ал шектеулі дәрежеде дамыған балалар үшін бұндай әдіспен есептің шешімін табу үлкен қиыншылық туғызады.

Біріншіден, есепті шығара білу, трансцендентті есептерді шығару әдістерін табу жүзіп үйренуден әлдеқайда қиын екенін ескеруіміз керек. Соңғы дағды үшін ерекше ойлау жұмысы қажет емес, ал есепті шығара білу және қабілетті болу – бұл шығармашылық, күрделі қабілет және оның қалыптасуы үшін талай жылдар қажет.

Екіншіден, негізгі мақсат ол оқушылардың ұсынылған есептерді тек шығаруы емес, ол – оқушылар өз бойынша талдау жасау және есеп шығару әдісін іздеу дағдысын қалыптастыру, кез келген есеп шығару, ең тиімді ортақ әдісін құру, т.б. Осының бәріне көптеген есептерді «сынау және қателік» әдісімен шешу жолымен жету мүмкін емес.

Оқытудың үшінші әдісін біз кішкене кейінірек қолдана бастадық, қолдануымыздың ең бастысы Д.Пойя кітаптарының ықпалы. Мұнда оқушыларға Д.Пойяның “Как решить задачу” атты кітабының соңындағы шешудің жалпы сызба кестесі түрінде берілгендер сияқты есеп шығарудың ортақ эвристикалық ережелері беріледі. Әрине, бұл әдісті алғашқы екеуімен үйлестіріп қолдану трансцендентті есептерді шығаруды үйрететін әдістеме құруға үлкен қадам болды.

Бірақ бұл әдіс те үлкен нәтиже бере қойған жоқ, өйткені оқушыларға әртүрлі нұсқаулар да берілген эвристикалық сызба кестелердің ортақтығы мен абстрактілігі соншама, оларды қолдану тек едәуір қабілетті балаларға ғана пайда әкелді, ал қалған оқушылар олар пайдалана біледі. Өйткені математикалық есептер әртүрлі және “ұсынылған есепті ұғу”, “белгісіздер мен берілгендер арасында қатынас орнату” сияқты нұсқаулар олардың шешімін іздеу барысында көп көмек көрсете қоймайды.

Бірақ, эвристикалық сызба-кестелерді кезінен қолдану идеясы өзінен өзі пайымды және осы идеяны нәтижелі қолдану үшін, оқушылардың nрансцендентті есептерді шешу барысында көретін негізгі қиыншылықтардың себептерін неғұрлым терең зерттеу керек. Осы әдісті ерекше қарастырайық.

Оқушылардың nрансцендентті есептерді өз бетінше шеше алмаудың себептері. Осы себептерді ұғу үшін, оқушыны жиһаз жасауға немесе көйлек тігуге үйрету керек деп ойлаңыз. Үйретуді қайсыбір орындықты жасау немесе көйлек тігуден бастаймыз ба? Жоқ, бұндай кәсіпке осылайша үйретпейді. Ең алдымен жиһаз және көйлекке қолданылатын материалдарды айыра білуге үйретеді. Содан соң оқушыларды жеке қарапайым операцияларды түрлі құралдармен орындауға дағдыларын қалыптастырады. Содан соң ғана оқушыға орындық жасау ұсынылады. Сол сияқты басқа да кәсіпке үйретеді. Басқаша айтқанда, адам қайсыбір күрделі істі саналы түрде меңгеру үшін, оған жұмыс істейтін объектілер жайлы ақпарат беру керек, осы жұмыстың негізгі әдістеріне үйрету керек[2].

Ал есеп шығару – ол жиһаз немесе басқа бір заттарды шығарудан әлдеқайда қиын (ойлау жағынан). Біз оқушылар Трансцендентті есептерді өз бетінше үйренсін дейміз, бірақ осы есептер және оларды шешу туралы ешқандай білім бермейміз, бұл үшін олардың бойынан керекті дағды мен іскерлікті қалыптастырмаймыз.

Есеп шығару үрдісінің жалпы эвристикалық сызба-кестесімен танысу әрине пайдалы, бірақ жалғыз танысу ғана есеп шығаруды үйрету жағдайынан құтқармайды.

Сонымен оқушыларды трансцендентті есептер шығаруға үйрету үшін келесілер қажет:

1. Оқушыларға есеп теориясының элементарлы білім беру. Бұл білім жеке тақырып қып бөлу қажет емес, оқытудың барлық жылдары барысында есеп шығарумен бірге, бір ұғымға бірнеше реторалып беруге болады. Мысалы, есеп пен оның құрылымы жайындағы ұғымды жоғары сыныптарда бұл ұғымды нақтылап, тереңдету керек. Осыны басқа да есеп теориясының ұғымдарымен жасау керек: есеп генезисі, есеп классификациясы, есептің мәні және үрдісі, т.с.с.

2. Оқушылар бойынан күрделі есеп шығару үрдісіне кіретін элементарлы жеке әрекеттерді орындауда дағды мен іскерлікті қалыптастыру керек: есеп талдауын жасау, оның түрлі модельдерін құру, шығару әдісінің іздеуді жүзеге асыру, шешімді тексеруді жүргізу, есеп пен оның шешімін зерттеу дағдылары және есеп пен табылған шешімнің оқу-танымдық талдауы.

Бұған оқушылардың жаттығулардың ерекше жүйесін орындау көмегімен қол жеткізіледі.

3. Оқушыларды мектептегі математикалық есептердің негізгі эвристикалық әдістермен таныстыру, олардың бойларынан осы әдістерді әртүрлі есеп шығару үшін пайдаланудың мықты дағдысын қалыптастыру.

Оқушыларға қиыншылықтарды әдеттегідей мектеп оқулықтары мен басқа да оқу құралдарындағы жоғары күрделі есептер арасында екеуі орын алатын nрансцендентті есептер тудырады.

Трансценденттітерге шығарудың дәстүрлі алгоритмі келмейтін теңдеулер мен теңсіздіктер жатқызылады. Көптеген жағдайларда ондай теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу “функционалды деңгейде” жүзеге асады, демек, графиктер көмегімен немесе теңдеу не теңсіздіктің сол және оң жақтарында бар функциялардың кейбір қасиеттерін салыстыру көмегімен.

Мысалы, егер , функциаларының ең кіші мәні басқа фукцияның ең үлкен мәніне сәкес болса (бұл мәндерді А әріпімен белгілейік), онда теңдеуі неғұрлым қарапайым жүйесіне айналады.

Сонымен қандай есептер трансцендентті деп аталады екен? “трансцендентті есептер – бұл шешудің нақты бағдарламасын анықтайтын жалпы ережелер мен жағдайлар жоқ есептер”.

Алайда, “Трансцендентті” ұғымы салыстырмалы ұғым екенін ескеру керек. Бір есеп шығарушы бұл типтегі есепті шығару әдістерімен таныс па, жоқ па екеніне байланысты стандартты да, Трансцендентті те болуы мүмкін.

Бұл “Трансцендентті” есептер әртүрлі болуы мүмкін. Кейбірі сырттай қарапайым емес болғандықтан, алғашқыда оларға қай жағынан қарау да түсініксіз болады. Басқалары жасырылған: сырттай, мысалы, бұл қарапайым теңдеу, бірақ стандартты әдістерімен ол шығарылмайды. Үшіншілерін шешу үшін өте өткір және дәл ойлау қажет. Төртіншіден, ....... бұл “трансцендентті” есептердің барлық ерекшкліктерін шексіз көрсетуге болады және олардың бірін қалдырмай атап өту де, олардың шешімін табудың барлық әдістерін табу мүмкін емес. Трансцендентті есептер мен оларды шешудің “трансцендентті” әдістері жоғарғы оқу орнына түсушілер үшін бағдарламалық шегінен аспайтынын ерекше атап өту керек[3].

Трансцендентті теңдеулер мен теңсіздіктердің шешудің әдісін іздеудің мынадай сызба кестесіне кұруға болады:

1) Теңдеу немесе теңсіздікті алғаннан кейін, оның анализін мұқиат жасап егер керек болса, оның белгілі бір көмекші моделін құру керек;

2) Шарттарды, талаптарды немесе есеп облысын мүшелеу жолымен кез келген едәуір қарапайым теңдеу мен теңсіздікті алуға бола ма екенін анықтау. Егер ол мүшкін болса, онда бастапқытеңдеу мен теңсіздікті, шығарылғаннан кейін есеп недәуір жеңілденетін, не шешілетін теңдеу не теңсіздіктерге болуы керек.

3) Егер теңдеу не теңсіздікті шешілетін ұсақ бөлшектерге бөлу мумкін емес болса, онда шығару әдісі өзіңізге белгілі, берілген теңдеу немесе теңсіздіктің құруға болады.

4) Егер теңдеу немесе теңсіздік нашар анықталған, онда анықталмаған белгісіз бар болып берілген мен ізделіндінің арасындағы байланыс анық болмаса, онда есеп міндетті түрде анықталған болатындай, көмекші элементтер санын қосып, сонан кейін ғана жоғарыда көрсетілген әдістердің бірін пайдалану керек.

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ:

1. Пойя Д. Как решить задачу / Д. Пойя – Москва, 2019. – 352 бет.

2. Фридман Л. М. Теоритические основы методики обучения математике / Л. М. Фридман – Москва, 2088. – 187 бет.

3. Қарабаев А.Қ. Жоғары сынып оқушыларын есептерді трансцендентті тәсілдермен шығаруға балау / А.Қ. Қарабаев – Алматы, 2019 - 143 бет.