Тригонометриялық өрнектер және оларды түрлендіру

Мазмұны

Кіріспе.

І. Тарау.Тригонометриялық теңдеулерді шешу жолдары

1.1. Қарапайым тригонометриялық теңдеулер

1.2. Алгебралық теңдеулерге келтіретін теңделер

1.3. Бір текті теңдеулер

1.4. түріндегі теңдеу

1.5. Көбейткіштерге жіктеу арқылы шешілетін теңдеулер

1.6.Дәрежесін төмендету формуласы арқылы шешілетін теңдеулер

1.7.Бір текті тригонометриялық функциялардың теңдік шартының көмегімен шешілетін теңдеулер

ІІ.Тарау.Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу жолдары

2.1. Тригонометриялық шартты теңсіздіктерді

2.2.Тепе-теңдіктерді дәлелдеу

ІІІ.Тарау. Тригонометриялық теңдеулер жүйесін шешудің әдіс-тәсілдері

3.1.Жаңа белгісіз енгізу тәсілі

3.2.Белгілі формулаларды пайдаланып түрлендіру әдісі

3.3.Жасанды арапайым әдісі

ІV.Тарау. Шешімі тригонометриялық теңдеулерге келтірілетін геометриялық есептер

V.Тарау. Тригонометриялық теңдеулерді шешу жолдарын сабақ барысында қолдану

Қортынды.

Пайдаланылған әдебиеттер.

КІРІСПЕ

Қазіргі заман математика ғылымының өте кең жан-жақты дамыған тараған кезеңі. Математика ғылым ретінде есептен пайда болған және есеп арқылы дамиды. Математиакада тригонометрияның соның ішінде, тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктердің алатын орны бөлек. Оларды шешу жолдары да сан түрлі, әр табылған түбірлерден бөгде түбірді алып тастап, шешімдер жиынын бір ортақ формуламан беру қиынға соғып жатады. Сонымен бұл ғылыми жұмыста тригонометрияның дербес бөлініп шығуы және тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу жолдарына есептер ұсынылады.

Тригонометриялық формулаларды тек қана есте ұстау аз, оларды тезқорытып шығара алатындай болу керек.

Есептер шығару – практикалық істерден туындап, адам ақыл –ойының күшімен таразыланатын, іскерліктің нәтижесі. Адамдардың сан қырлы қызметінің бәрінде де басты роль атқарады. Кез келген есептің шешімі өзінен ұлы жаңалық бола отырып, оқушыны алға жетелейді, ойын оятып, қырандай қырағы қашықтауға баулиды, қызықтырып өзіне тартады. Әрбір есепті шығаруға үлкен логикалық ой, қанатты қиял керек. Ол өмір тіркестерінің ішінен өз керегіңді таңдап алуға үйретеді.

Есеп шығару дегеніміз – қажеттілікті саналы түрлде ойластырып, күңгірт, айқын емес мақсаттан көрінерлік айқын нәтижелерге жету деген сөз. Бұл жинақта тригонометриялық есептерді шешудің ең тиімді жолдары қарастырылған.

Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді меңгеру үшін тригонометриялық формулаларын жақсы біліп,( сонымен бірге оны практикада қолдана білу керек) тригонометриялық функциялараға қатасты өрнектерді еркін түрлендіре алатындай болу керек. Ғылыми жұмыста қарастырылған мысалдарда тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің жиі және мектепте қолданыла беремейтін әдістерді көрсетеміз.Жалпы бұл ғылыми жұмыста тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктердің түрлері және оларды шешу жолдары қарастырылды.

Ғылым мен техника дамып, адамзат қоғамы жиырма бірінші ғасырдың табалдырығын аттап отырған кезеңде оқушыға белгілі көлемде білім, білік дағдыларын меңгертумен бірге табиғат, қоршаған дүние туралы түсініктерін кеңейте отырып, оларды шығармашылық бағытта жан-жақты дамыта отырып, жеке тұлға етіп қалыптастыру бүгінгі күннің басты талабы.

Оқушыларды тек дайын білімді қабылдаушы ретінде қарау, яғни, мұғалім береді олар сақтайды. Нәтижесінде элементар математиканың қалыпты тәсілдерін ғана меңгереді. Мектеп оқушыларын бағдарламалық материалдарды ысырып қойып, тек ғана ұлттық бірыңғай тестілеуге дайындау, кез келген әдіс амалмен ұпай жинауға бейімдеу.

Есептер шығару көбінесе байқап көру, іздену процесімен жүреді. Ойша болжай білу балалардың бойындағы тапқырлық пен аңғарымпаздықты байқатады.

Есептерді бірнеше жолмен шығару әдістері бар. Соның тиімді әдісін таңдау оқушының қабілеттілігін көрсетеді.

Математикада тестпен жұмыс жасау арқылы оқушы әрбір тапсырманың мазмұнына сәйкес оның есептеу жолдарын таңдау, уақытты үнемдеу мүмкіндігіне ие бола алады.

Мақсаты: Талапкерлерді математикадан ҰБТ тестеріндегі тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің стандартты емес тәсілдерін қолдануға үйрету. Бұл инновациялық әдістеме ҰБТ кезінде уақытты тиімді пайдалана білуге, математика тестерін жауаптарды бағалау әдісімен шапшаң орындауды үйрету.

Міндеті: Талапкерлерге тригонометрия формулаларын қолданбай есепті шығаруға және градус мәндеріне қарамай қолдың көмегі арқылы әр градустағы мәндерін табуға үйрету, теңсіздіктер мен теңдеулерді неғұрлым жеңіл шығару әдістерін үйрету.

Жаңашылдығы: Қазіргі заман талабына сай мектеп бітіруші түлектер ҰБТ тесттеріне дайындалу барысында тиімді тез есептеу тәсілдерін іздестіреді, сол мақсатта оқшыларға тест кезінде уақыттарын үнемдеп, тез есептеу тәсілдерін, есептерді шешудің стандартты емес тәсілдерімен таныстыру.

1 ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ӨРНЕКТЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫ

ТҮРЛЕНДІРУ

1.1 Кез келген бұрыштың тригонометриялық функциялары

Тригонометрия (грек. trіgōnon – үшбұрыш және metreo – өлшеу) геометрияның үшбұрыш элементтерінің арасындағы метрикалық қатыс тригонометриялық функциялар арқылы өрнектелетін саласы.Тригонометрияның негізгі мәселесі үшбұрыштың белгісіз шамаларын берілген шамалар арқылы есептеу болып табылады.

Тригонометрия жазық, түзу сызықты және сфералық тригонометрия болып бөлінеді. Евклидтік кеңістіктің сфералары қарастырылатын тригонометрия сфералық тригонометрия деп аталады.

Жазық тригонометрия сфералық тригонометриядан кейінірек дами бастады. Мысалы,  Евклидтің  «Негіздерінің» 2-кітабында косинустар теоремасы жайында айтылған.

Тригонометрияны әл-Баттани (9–10 ғасырлар), Әбу-л-Вефа (10 ғасыр), Бхаскара (10 ғасыр) және ат-Туси (13 ғасыр), т.б. одан әрі дамытты. Оларға синустар теоремасы белгілі болған. Тангенстер теоремасын Региомонтан (15 ғасыр) тапқан. Одан кейін тригонометрияны дамытуға Н.Коперник (16 ғасырдың 1-жартысы), Т.Браге (16 ғасырдың 2-жартысы), Ф.Виет (16 ғасыр), И.Кеплер (16–17 ғасырлар), т.б. үлес қосты. Қазіргі түріндегі Т. Л.Эйлердің еңбектерінде баяндалды.

Тригонометрия ғылыми термин ретінде адамның практикалық әрекеттерінің нәтижесінде пайда болды. Ерте кезде астрономия ғылымы, суда жүзу, жер өлшеу, архитектура талаптары қандай да бір элементтер арқылы есептеу әдістерін ойлап табуға әкелді. Мысалы, олардың көмегімен қол жетпейтін заттарға дейінгі қашықтықты анықтау және географиялық карталарды құрастыруға арналған жергілікті жердің геодезиялық көшірмесін жасау жұмыстары бірқатар оңайлатылды. Мектепте тригонометриялық материалмен алғаш рет планиметрия курсын оқығанда танысады. Тригонометрияның көмегімен жазық үшбұрыштарды шығарды. Тригонометриялық қатынастар «синус», «тангенс» деген атқа ие болды, олардың мәндері есептеліп шығарылды. Тригонометриялық танымдардың негізі ежелгі заманда пайда болды. Аталмасы біршама кейінірек шыққанымен, тригонометрияға қатысты қазіргі көптеген ұғымдар мен фактілер бұдан екі мың жыл бұрын белгілі болған. Кейбір тригонометриялық мәліметтер ежелгі вавилондықтар мен египеттіктерге белгілі болған, бірақ ғылым ретінде Ежелгі Грецияда негізделген. Тригонометрия сөзі алғаш рет 1505 жылы неміс геологы және математигі Питискустың кітабының мазмұнында кездеседі. «Тригонометрия» атауының өзі грек сөзінен аударғанда «үшбұрыштарды өлшеу» деген ұғымды білдіреді. Ежелгі грек ғалымы белгілі астроном Клавдий Птолемей (ІІ ғ) «хорда тригонометриясын» ойлап тапты. Дайын кестелермен жұмыс істегенде немесе калькуляторды пайдаланғанда, біз көбінесе кестелер әлі ойлап табылмаған кездердің де болғанын естен шығарып аламыз. Оларды құру үшін аса көлемді есептеулерді орындап қана қоймай, кестелерді құрудың тәсілдерін де ойлап табу қажет болды. Птолемей кестесі бес ондық үлес таңбаларын қоса алғандағы дәлдікпен жасалған. Хордаларды синустармен ауыстырып, тригонометрияның әрі қарай дамуына үндістандық ғалымдар үлкен үлес қосты. Бұл жаңа енгізіу VIII ғасырда тригонометрияны бірте-бірте астрономия тарауынан бөліп алып, жеке ғылымға айналдырды. Ол араб тіліндегі жақын және алыс Батыс мемлекеттерінің математикасына ауысты. Оған үлес қосқандар Аль-хорезми, Аль-Коши, Насриддин Тусси, Жан фурье, Иоганн Бернули, Леонард Эйлер. Л.Эйлер тригонометрияның қазіргі кездегі түріне келтірілген XVIII ғасырдың ірі математигі еді, ол негізі швейцарлық, ұзақ жылдар бойы Россияда жұмыс істеген және Санкт-Петербург ғылым академиясының мүшесі болған. Тригонометриялық функциялардың белгілі анықтамасын да енгізген Л.Эйлер, кез келген бұрыштың функциясын қарастырып, келтіру формулаларын шығарып алды. Осылайша тригонометрия туралы жалпы ұғымдар, тригонометриялық функциялардың белгілеулері және анықтамалары ұзақ тарихи даму процесінде қалыптасып отыр.

Бірлік шеңбердегі Ө бұрышына қатысты тригонометриялық функциялар. Бастапқы кезден тригонометриялық функциялар тік бұрышты үшбұрыштағы қабырғаларының қатынастарымен байланыста болғаны белгілі. Олардың жалғыз аргументі сол үшбұрыштың бір сүйір бұрышы болып табылады.

Синус - қарама-қарсы жатқан катеттің гипотенузаға қатынасы.

Косинус - жанама катеттің гипотенузаға қатынасы.

Тангенс-қарама-қарсы жатқан катеттің жанама катетке қатынасы.

Котангенс-жанама катеттің қарама-қарсы жатқан катетке қатынасы.

Секанс-гипотенузаның жанама катетке қатынасы.

Косеканс-гипотенузаның қарама-қарсы жатқан катетке қатынасы.

Берілген анықтамалар функциялардың сүйір бұрыштарға (0-ден   радиан) қатысты мəндерін есептеуге арналған.

Тригонометриялық функциялардың графиктері. Бірлік шеңбердегі Ө бұрышына қатысты тригонометриялық функцияларды қарастырсақ

 бұрышының Синусы "A"нүктесінің ординатасы ретінде анықталады.

Косинус - "A" нүктесінің абсциссасы.

Тангенс - синустың косинусқа қатынасы.

Котангенс - косинустың синусқа қатынасы.

Секанс - косинусқа кері өлшем.

Косеканс - синусқа кері өлшем.

«Тригонометрия» сөзі алғаш рет 1505 жылы неміс математигі Питикустың кітабының мазмұнында кездеседі. «Тригонометрия» ғылыми термин ретінде адамның практикалық әрекетінің нәтижесінде пайда болды.
Мысалы, олардың көмегімен қол жетпейтін заттарға дейінгі қашықтықты анықтау және географиялық карталарды құрастыруға арналған жергілікті жердің геодезиялық көшірмесін жасау жұмыстары бірқатар оңайлатылды.
«Тригонометрия» сөзін грек тілінен аударғанда «тригон – үшбұрыш», ал «метрео – өлшеу» деген мағынаны білдіреді. Басқаша айтқанда, тригонометрия – үшбұрыштарды өлшеу жөніндегі ғылым.
«Синустың, косинустың және тангенстың шығу тарихы»
«Синус» латынның «sinus – иілу, қисықтық» деген мағынаны білдіреді.
«Косинус» сөзі – латынның «complementy sinus», яғни «толықтауыш синус» деген сөз тіркесінің қысқартылған түрі.
«Тангенсті» Х ғасырда араб математигі Абу – л – Вафо енгізген. «Тангенс» латынның «tanger – жанасу» деген сөзінен шыққан.

Тригонометрия (грек. trіgōnon – үшбұрыш және metreo – өлшеу) – геометрияның үшбұрыш элементтерінің арасындағы метрикалық қатыс тригонометриялық функциялар арқылы өрнектелетін саласы. Тригонометрияның негізгі мәселесі үшбұрыштың белгісіз шамаларын берілген шамалар арқылы есептеу болып табылады. Тригонометрия жазық, түзу сызықты және сфералық тригонометрия болып бөлінеді. Евклидтік кеңістіктің сфералары қарастырылатын тригонометрия сфералық тригонометрия  деп аталады. Жазық Тригонометрия сфералық Тригонометриядан кейінірек дами бастады. Мысалы, Евклидтің «Негіздерінің» 2-кітабында косинустар теоремасы жайында айтылған. Тригонометрияны әл-Баттани (9–10 ғасырлар), Әбу-л-Вефа (10 ғасыр),Бхаскара (10 ғасыр) және ат-Туси (13 ғасыр), т.б. одан әрі дамытты. Оларға синустар теоремасы белгілі болған. Тангенстертеоремасын Региомонтан (15 ғасыр) тапқан. Одан кейін Тригонометрияны дамытуға  Н.Коперник (16 ғасырдың 1-жартысы),Т.Браге (16 ғасырдың 2-жартысы), Ф.Виет (16 ғасыр), И.Кеплер (16–17 ғасырлар), т.б. үлес қосты. Қазіргі түріндегі  Т.Л.Эйлердің еңбектерінде баяндалды.

Бастапқы кезден тригонометриялық функциялар тік бұрышты үшбұрыштағы қабырғаларының қатынастарымен байланыста болғаны белгілі. Олардың жалғыз аргументі сол үшбұрыштың бір сүйір бұрышы болып табылады.

• Синус-қарама-қарсы жатқан катеттің гипотенузаға қатынасы.

• Косинус-жанама катеттің гипотенузаға қатынасы.

• Тангенс -қарама-қарсы жатқан катеттің жанама катетке қатынасы.

• Котангенс-жанама катеттің қарама-қарсы жатқан катетке қатынасы.

• Секанс -гипотенузаның жанама катетке қатынасы.

• Косеканс -гипотенузаның қарама-қарсы жатқан катетке қатынасы

Келтіру формулалары

1. Келтірілетін функция алдына қандай таңба қойылады?

2. Берілген функцияның атауы ауыса ма?

Таңба ережесі. Егер α – I ширекте жататын бұрыш болса, келтірілетін функция алдына берілген функция таңбасы астындағы бұрыш қай ширекте жатса, соған сәйкес таңба қойылады.

Тригонометриялық функциялардың әр ширектегі таңбалары мынадай:

Атауды өзгерту ережесі. a) және бұрыштары үшін тригонометриялық функция атауы сақталады;

ә) және бұрыштары үшін функция атауы кофункцияға (синус косинусқа, тангенс котангенске және керісінше) ауыстырылады.

Есепте:

A) B) C) D) E)

Шешуі:

Жауабы: C.

Өрнекті ықшамда:

A) 1; B) -2; C) 0; D) -1; E) 2.

Шешуі: Өрнектің мәні α-ға байланысты емес. Сондықтан бұл есепті α-ның орнына 55º-ты қою арқылы тез шығаруға болады:

Жауабы: D.

Ықшамда:

A) B) 1; C) 0; D) -1; E)

Шешуі: деп алсақ,

жауабы: В)

Өрнекті ықшамда:

A) sinα; B) tg α; C) cos α; D) -sin α; E) -cos α.

Алайда оны басқа, бұдан да оңайырақ жолмен шығаруға бола ма? Әрине, болады. Тіпті оны ауызша-ақ шығаруға болады.

болғандағы өрнектің мәнін табайық:

Енді деп алып, жауаптардың мәндерін тауып көрсек:

A) sin0=0; B) tg0=0; C) cos0=1; D) –sin0=0; E) –cos0=-1.

(Бұл есептеулердің бәрін ауызша оңай жүргізуге болады.)

Демек, болғандағы өрнектің мәні мен С жауабының мәні бірдей. Ендеше, дұрыс жауап – С.

Жауабы: С.

Өрнекті ықшамда:

A) cosα; B) sinβ; C) -1; D) 1; E) cosαsinβ.

Шешуі: деп алғанда,

Жауабы: D.

Ықшамда:

A) B) -1; C) 1; D) E)

Шешуі: деп алайық, онда:

Жауабы: E.

Ықшамда:

A) B) C) D) E)

Шешуі: деп алып, қай жауаптың мәні берілген өрнектің мәнімен сәйкес келетінің тексерейік:

Өрнек үшін:

A)

B)

C)

D)

E)

Салыстырып қарайтын болсақ, өрнектің мәніне В жауабының мәні ғана сәйкес келеді.

Жауабы: B.

Өрнекті ықшамда:

A) B) C)

D) E)

Шешуі: Алдымен тапсырманың дәстүрлі (математикалық) шешімін келтірейік:

Демек, дұрыс жауап – D.

Әрине, қос бұрыштың синусының формуласын білген адам үшін бәрі де оп-оңай. Ал формуланы ұмытып қалған жағдайда не істеу керек? Соны қарастырайық.

Айталық, болсын. Онда

Ал А, С және Е нұсқаларының мәндері, сәйкесінше, 1-ге, 2-ге жіне 1-ге тең болады. Демек, олар дұрыс емес. Сондықтан дұрыс жауап –не В, не D.

Енді осылардың қайсысын дұрыс емес жауап ретінде алып тастау керек?

Айталық, онда берілген өрнек мынаған тең болады:

В жауаптағы -ның орнына -ты қойсақ, -ні аламыз. Ол дұрыс жауап бола алмайды. Сондықтан дұрыс жауап D болады.

Жауабы: D.

Өрнекті ықшамда:

A) 2; B) 1; C) 0; D) 6; E) 4.

Шешуі: Берілген өрнекті ықшамдау өте көп уақыт алатыны түсінікті.

Шын мәнісінде берілген өрнектің мәні α, β және γ-лардың мәндеріне тәуелді емес. Сондықтан деп алуға болады. Бұл жағдайда берілген өрнектің мәні 0-ге тең болады. Демек, дұрыс жауап С деген сөз.

Жауабы: C.

Ықшамда:

A) -3; B) 3; C) D) E) 1.

Шешуі: Мұнда дұрыс жауаптың α-ның мәніне байланысты болмайтындығына назар аудару керек. Сонда берілген өрнектегі α-ның орнына қандай да бұрышты қойып есептеуге болады. Бұл жерде деп алған тиімді, өйткені 60º және 0º бұрыштар шығады.

Осылай алғанда:

Жауабы:В.

екендігі белгілі. өрнегінің мәні неге тең болады?

A) -2; B) 2; C) D) E)

Сүйір бұрыштың синусы қарсы жатқан катеттің гипотенузаға қатынасына тең.

Сүйір бұрыштың косинусы іргелес жатқан катеттің гипотенузаға қатынасына тең.

Сүйір бұрышың тангенсі қарсы жатқан катеттің іргелес жатқан катетке қатынасына тең.

Сүйір бұрыштың котангенсі іргелес жатқан катеттің қарсы жатқан катетке қатынасына тең. [12.52 б].

Берілгені бойынша: Ендеше, яғни гипотенуза 5-ке тең (бұл тік бұрышты үшбұрыш Египет үшбұрышы деп аталады).

Демек, ал болғандықтан:

Жауабы: D.

Теңдеуді шеш:

A) B) C)

D) E)

Шешуі: Айталық, талапкер ҰБТ кезінде берілген теңдеуді шешудің формуласын ұмытып қалды делік, бірақ теңдеуін шешкенде формула болып басталатыны есінде бар. Берілген тапсырманы орындау үшін осының өзі де жеткілікті болып табылады, өйткені С-дан басқа жауаптарда ± таңбасы жоқ. Ендеше, дұрыс жауап ретінде С-ны белгілеу керек.

Жауабы: C.

Х осінің бойынан координаталар басының оң жағында жатқан (64-сурет) А нүктесін белгілеп,ол арқылы центрі О нүктесінде болатын шеңбер жүргіземіз.Радиус ОА-ны бастапқы радиус деп атаймыз.

Бастапқы радиусты О нүктесінен айналдыра сағат тіліне қарсы 70 -қа бұрайық.Сонда ол ОВ радиусына ауысады,яғни бұру бұрышы 70 -қа тең делінеді. Егер бастапқы радиусты О нүктесінен айналдыра сағат тілінің бағытымен 70 -қа бұрсақ,ол ОС радиусына ауысады.Бұл жағдайда бұру бұрышы - 70 -қа тең делінеді. 70 -қа және - 70 -қа бұру бұрыштары 64-суретте стрелкамен көрсетілген.

Жалпы алғанда,сағат тіліне қарсы бұру бұрышы оң деп, ал сағат тілі бағытымен бұрылу бұрышы теріс деп есептейді.

y

B

x

Бұрыштың градиус есебімен өлшеуіші 0-ден 180-ге дейінгі санмен өрнектелетіні геометрияда белгілі.Ал бұру бұрышы градиус есебімен дейінгі кез келген санмен өрнектеледі. Мәселен,егер бастапқы радусты сағат тіліне қарсы 180 -қа,сонан кейін тағы да 30 қа бұрсақ,онда бұру бұрышы 210 қа тең болады.Егер бастапқы радиус сағат тіліне қарсы толық айналым жасаса,онда бұру бұрышы 360 қа тең болады,ал егер сол бағытпен бір жарым айналым жасаса,онда бұру бұрышы 540 тең,т.с.с. 65-суретте 405 -200 бұру бұрыштары стрелкамен көрсетілген.

ОА және ОВ радиустарын қарастырайық.(66-сур) Бастапқы ОА радиусын ОВ радиусына ауыстыратын бұру бұрыштары ақырсыз көп. Егер бұрыш АОВ=130 болса, оған сәйкес бұру бұрыштары 130 , мұндағы n –кез келген бүтін сан. Мысалы, n=0,1,-1,2,-2 болғанда 130 бұру бұрыштарын аламыз.

ұрышына бұрғанда бастапқы ОА радиусы ОВ радиусына ауысты дейік. ОВ радиусының қай координаталық ширекте жатқанына қарай, сол ширектің бұрышы деп атайды.Егер

Бұрышқа бүтін санды айналымды қосқанда,сол ширектің бұрышы шығатыны сөзсіз.

Мысалы,430

0 бұрыштары ешбір ширекке де жатпайды.

Геометрия курсында 0 болғандағы косинусы және тангенсі анықталған еді. Енді сол анықтамаларды кез келген бұрышы үшін жалпылаймыз. Сонымен бірге бұрышының котангенсін анықтаймыз.

Бастапқы ОА радиусын О нүктесінен айналдыра бұрышына бұрғанда ОВ радиусына ауысады дейік.(67-сурет).

В нүктесі ординатасының радиус ұзындығына қатынасы

В нүктесі абсциссасының радиус ұзындығына қатынасы

В нүктесі ординатасының оның абсциссасына қатынасы

В нүктесі абсциссасының оның ординатасына қатынасы

Егер В нүктесінің координаталары х пен y –ке тең,ал бастапқы радиустың ұзындығы R –ға тең болса,онда

бұрышының синусы,косинусы және тангенсінің мәндерінің ғана тәуелді екендігі геометрияда көрсетілген болатын.Жалпы алғанда

Мысалы,sin R-ге тәуелсіз екенін көрсетейік.

т

Тригонометриялық функциялардың кейбір қасиеттері

Ең алдымен синустың,косинустың,тангенстің және котангенстің таңбасы әр ширекте қандай болатынын аңғарайық.

R-ға тең ОА радиусын бұрышына бұрғанда А нүктесі координаталары x пен y болатын В нүктесіне ауысты дейік (67-суретте) .

болғандықтан,sin ның таңбасы y-тің таңбасына тәуелді болады.I және II ширектерде y

сos таңбасы x-тің таңбасына тәуелді, өйткені

I және IV ширектерде x II және III ширектерде х I немесеII ширектің бұрышы болса,онда II немесе III ширектің бұрышы болса,онда

болғанда tg I және III ширектерде х пен у-тің таңбалары бірдей, II және IV ширектерде х пен у-тің таңбалары әр түрлі. Демек, егер –I немесе III ширектің бұрышы болса, және ctg егер II немесе IV ширектің бұрышы болса, tg <0 және ctg

73-суретте синустың, косинустың, тангенстің және катангенстің әр ширектегі таңбалары көрсетілген.

Енді тригонометриялық функциялардың жұптығы мен тақтығы жайындағы мәселені айқындайық.

ОА радиусын бұрышына бұрған кезде ОВ радиусына, ал бұрышына бұрғанда ОС радиусына ауыссын делік(74-сурет). В мен С нүктелерін кесіндімен қоса отырып, ВОС теңбүйірлі үшбұрышын аламыз. ОА сәулесі ВОС бұрышының биссектрисасы болып табылыды. Ендеше, ОК кесіндісі ВОС үшбұрышының медианасы, әрі биіктігі болып табылыды. Осыдан В мен С нүктелері абсциссалар осіне қатысты симметриялы екені шығады.

B нүктесінің координаталары х пен y –ке тең болсын,сонда С нүктесінің координаталары х пен y болады.Осыларды пайдалана отырып,мынаны табамыз:

Мысалы; ,

Сонымен,синус,тангенс және котангенс тақ функциялар,ал косинус жұп функция болып табылады.Мен бұл жердегі көздегенім келтіру формуласы болып табылады.Бұл мектеп жоспарында жоқ еңбек.

Тригонометриялық функциялардың тағы да бір қасиетін қарастырайық.

Егер ОА радиусын бұрышына бұрында ОВ радиусы алынса (67-суретте),онда ОА –ны бүтін сан айналым өзгеше бұрышқа бұрғанда сол радиус шығады.Бұдан бұрышты бүтін сан айналымға өзгерткенде синустың,косинустың,тангенстің және котангенстің мәндері өзгермейтіндігі шығады.

Мысалы;

Қарастырылған қасиеттер кез келген бұрыштың синусының,косинусының,тангенсінің және котангенсінің мәндерін табуды 360 кіші теріс емес бұрыш үшін олардың мәндерін табуға келтіруге мүмкіндік береді. Мысалы.

:

Бір ғана бұрыштардың тригонометриялық функцияларының арасындағы қатынастар

ОА радиусын О нүктесінен айналдыра бұрышқа бұрғанда ОВ радиусы шықты дейік (77-сурет).Сонда анықтама бойынша былай жазамыз:

Мұндағы х-В нүктесінің абсциссасы,y-оның ординатасы,ал R-OA радиусының ұзындығы.

Бұдан

Х=R cos

В нүктесі центрі координаталар басында болатын,радиусы R-ге тең шеңбеге тиісті болғандықтан,оның координаталары

Теңдеуін қанағаттандырады.Теңдеудегі х пен y-тің орнына R cos

Соңғы теңсіздікті екі бөлігінде бөліп,мынаны табамыз;

(1)

1. теңдік кез келген мәнінде дұрыс.

Енді бір ғана аргументтің тангенсі,синусы және косинусы өзара қалай байланысатынын айқындайық.

Анықтама бойынша

Осылайша

(2)

ctg

яғни

ctg (3)

2. теңдік болатын барлық мәндердінде дұрыс,ал (3)

теңдік мәндерінде дұрыс.

(1)-(3) формулалардың көмегімен бір ғана аргументтің тригонометриялық функцияларының арасындағы қатысты өрнектейтін басқа формулаларды шығарып алуға болады.

(2) және (3) теңдіктерден табамыз:

tg

яғни

tg (4)

бұрышының тангенсі мен котангенсінің арасындағы байланысты (4) теңдік көрсетеді.Ол теңдік tg мен мағынасы болаты барлық мәндері дұрыс.

3. формуланы тангенс пен котангенстің анықтамасынан тікелей шығарып алуға болатынын ескерте кетейік.

Енді бір ғана аргументтің тангенсі мен косинусының,сондай-ақ котангенсі мен синусының арасындағы қатысты өрнектейтін формулаларды қорытып шығарайық.

1. теңдіктің екі бөлігін де

1+

КОРЫТЫНДЫ

Оқушылардың ҰБТ көрсеткішінің жоғары болуы үшін, оларға жеткілікті дәрежеде білім беру, әзірлік жұмыстарын жүйелі ұйымдастыру, психологиялық және физиологиялық ерекшеліктерін ескере отырып бағыт-бағдар беру, жан-жақты жағдайлар жасау мен көмек көрсету жұмыстары жоспарлы болу қажет.

Оқушылардың ойлануының психологиялық дамуын ескермей олардың жалпы логикалық дамуына ғана назар аударуынан.

Оқушыларды тек дайын білімді қабылдаушы ретінде қарау, яғни, мұғалім береді олар сақтайды. Нәтижесінде элементар математикасын қалыпты тәсілдерін ғана меңгереді. Мектеп оқушыларын бағдарламалық материалдарды ысырып қойып, тек ғана ұлттық бірыңғай тестілеуге дайындау, кез келген әдіс амалмен ұпай жинауға бейімдеу.

Сонымен қатар мектеп оқушылары арасында математикалық білімді игеру пирамидалық тұрпатта дамиды. Демек, мектеп оқушыларының математикадан білімін тиянақты және уақытты үнемдей отырып, берілген есептерді дұрыс шеше білуіне осы менің жасаған ғылыми жұмысым нәтиже оң нәтижесін береді деп ойлаймын.

ҰБТ кезінде уақытты тиімді пайдалануға баса көңіл бөлу керек!!! Сол себепті тез есептеу әдісі өте тиімді.

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. "Математика" Республикалық ғылыми-әдістемелік журналы № 4, 2010

2. "Математика" Республикалық ғылыми-әдістемелік журналы № 2, 2011

3. Жакупова, Л.К. "Матемаикалық қобдиша". Алматы: Дарын, 2004.

4. "Талапкерге" Н.В.Егоркина. Көкшетау-2030, 2012.

5. "Жаңа талапкер" Алгебралық теңдеулерді шешу әдістері, А.Ж.Жұмаділова. Келешек-2030, 2014.

6. Тест жинақтары 2011-2015.

7. Рустюмова "Сборник задач и решений по математике для поступающих в ВУЗы", 2010.

8. А.Е.Әбілқасымова Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі // Алматы, «Білім» 2005 жыл.

9. Меңдіғарина З, Тоқтамысов И. Математика есептерінің жинағы. Алматы: Мектеп 1987, б.78-81

10. Әбілқасымова А.Е, Есенова М.И., Кенеш Ә.С, Абуова А.Ө. Орта мектепте математика есептерін шығаруға үйретудің әдістемелік негіздері //- Алматы: 2004, б.164-176

11. М.И.Палий. Наглядность при изучении математики // -М., 1965

12. Айдос Е.Ж., Балықбаев Т.О. Математика пәні бойынша жоғары оқу орындарына түсушілерге арналған оқу құралы – ЖШСРНПК «Дәуір»