Тригонометриялық теңдеулерді және

күрделі тригонометриялық теңдеулерді шешу

Ш.М.Жумагельдинова

Ақсу қаласы Қаныш Сәтбаев атындағы дарынды балаларға

арналған мамандандырылған гимназиясы

Мақсаты:

Оқушылардың тригонометриялық теңдеулерді шешу бойынша теориялық білімдерін тереңдету, негізгі және күрделі тригонометриялық теңдеулерді әртүрлі әдістермен шешу дағдыларын қалыптастыру, қорытынды аттестаттау мен ҰБТ тапсырмаларын орындауға дайындау.

Міндеттері:

• тригонометриялық функциялардың негізгі қасиеттерін, формулаларын жүйелеу;

• қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістерін (негізгі, келтіру, ауыстыру әдістері) меңгерту;

• күрделі тригонометриялық теңдеулерді шешудің тиімді тәсілдерін (формулаларды түрлендіру, алмастыру әдісі, т.б) қолдануға үйрету;

• теңдеулердің шешімдерін дұрыс жазу, жалпы шешімін табу дағдысын қалыптастыру;

• типтік және стандартты емес есептерді шығару арқылы логикалық ойлау қабілетін дамыту;

• өздігінен жұмыс істеу, талдау және қателермен жұмыс жасау дағдыларын жетілдіру.

Қорытынды аттестаттауға дайындықтағы тиімділігі

• қорытынды аттестаттауда жиі кездесетін тригонометриялық теңдеулердің барлық негізгі типтерін қамтиды;

• оқушылардың уақытты тиімді пайдаланып, есепті жылдам әрі дұрыс шығару машығын қалыптастырады;

• күрделі есептерді бірнеше әдіспен шешуге үйрету арқылы таңдау жасау қабілетін дамытады;

• қате жіберу ықтималдығын азайтып, шешімдерді сауатты рәсімдеуге үйретеді;

• оқушылардың өзіне деген сенімділігін арттырып, емтихан кезіндегі психологиялық дайындықты күшейтеді.

I бөлім. Негізгі тригонометриялық теңдеулер

(Аттестаттауда міндетті деңгей)

1. Теңдеуді шеш: sin(3х )= .

b=

3х = + k

3х = + k

3х= + k ׀ :3

х= + k

Жауабы: х= + k

2. Теңдеуді шеш: cos ) = .

b=

= π+2 k

= +2 k

= +2 k ׀ ∙5

х= +10 k

Жауабы: х= +10 k

3. Теңдеуді шеш: tgx + 3ctgx = 4

ctgx= ,

tgx + = 4,

tg²x - 4 tgx + 3=0, х + πn, nZ.

tgx = у,

у²- 4у + 3=0,

у₁= 3, у₂= 1.

а) tgx = 3, х₁= arctg3 + πn, nÎZ.

б) tgx = 1, х₂ = + πn, nÎZ.

жауабы: х₁= arctg3 + πn, nÎZ, х₂ = + πn, nÎZ.

Тригонометриялық түрлендіруді қажет ететін жоғары дәрежелі теңдеулер

- Екінші дәрежелі теңдеулер ( , бар)

- Тригонометриялық формулаларды қолдану арқылы

-Төртінші дәрежелі теңдеулер (алмастыру әдісі )

- Күрделі түрлендіруді қажет ететін теңдеулер

(қорытынды аттестаттауда жоғары баллға)

- Аралас жоғары дәрежелі теңдеулер

4.

Шешімі:

( ) ( )

=( ) [( ) ² .

1

болғандықтан

1

-

-

-

.

Жауабы: . .

Тригонометриялық түрлендіру қашан керек болады?

Егер теңдеу:

• симметриялы болса

• немесе жұп дәрежелерден ғана тұрса

• немесе көпмүшені тригонометриялық тепе-теңдіктермен байланыстыруға болатын жағдайда тригонометриялық алмастыру өте тиімді.

Көбіне мынадай алмастырулар қолданылады:

5. 22cos²x + 8sinx·cosx = 7

7=7·1= 7·( sin²x + cos²x),

cosx0

7tg²x - 8tgx – 15 = 0.

tgx = у, 7у² – 8у – 15=0,

у₁= -1, у₂ = .

а) tgx = -1, х₁= - + πn, nÎZ.

б) tgx = , х₂= arctg + πn, nÎZ.

Жауабы: х₁= - + πn, nÎZ; х₂= arctg + πn, nÎZ.

Жоғарыда ұсынылған әдістер оқушылардың тригонометриялық теңдеулерді шешу дағдыларын игеруін қарапайымнан бастап және күрделі тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістерімен танысуын қамтамасыз етеді . Бұл дағдылар ұзақ уақыт бойы қалыптасады, әрі өзекті. Бұл нұсқаулықтың негізгі мазмұны тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері болып табылады. Материалдың мысалдары күрделілік деңгейі бойынша берілген және бұл үшін барлық қажетті теориялық ақпаратпен бірге жүреді. Оқу құралында қабылдау емтихандарында ұсынылатын нақты тапсырмалардың талдауы бар, мысалдар дәйекті түрде талданып, содан кейін тригонометриялық есептерді шешудің қарастырылған әдістерін өз бетінше жұмыс істеу үшін ұсынылды.