Тригонометриялық тепе-теңдіктерді геометриялық және векторлық тәсілдермен дәлелдеу

Тригонометриялық теңдіктер мен тепе-теңдіктерді векторлық және геометриялық әдістерді пайдаланып дәлелдеу

Кейбір алгебралық және тригонометриялық стандарт емес есептерді олардың шарттарында берілген шамаларға геометриялық немесе векторлық мағына бере отырып қарастыру әдісі – практикада кеңінен қолданылып жүрген әдістердің қатарына жатады және бұл әдіс – жоғарыда атап көрсетілген түрдегі есептерді шешудің тиімді де пайдалы қүралы болып табылады.

Алгебралық және тригонометриялық стандарт емес есептерді геометриялық немесе векторлық тілге аудару арқылы шешу әдістері – сәйкесінше есептерді шешудің геометриялық және векторлық әдістері деп аталады .

Бұл жерде кейбір санды тригонометриялық теңдіктерді векторлық әдіс бойынша дәлелдеудің әдістемесін қарастырамыз. Бұл әдісті қолданғанда "вектор" ұғымына қатысты болып келген "вектордың осьтегі проекциясы", "векторлардың алгебралық қосындысының осьтегі проекциясы" және т.б. ұғымдар пайдаланылады. Сондықтан негізгі мәселеге кірісуден алдын, осы ұғымдардың ең қажеттілерінің мән мағыналарына қысқаша түрде тоқталып өтуді әдістемелік көзқарас тұрғысынан әрі қажет, әрі орынды деп білеміз.

Айталық жазықтықта векторы және қандай да бір бағытталған түзуі берілсін(1-сурет).

векторының осіндегі проекциясы деп кесіндісінің ұзындығын айтамыз (мұндағы және - А және В нүктелерінің осіндегі проекциялары).

Егер векторының бағыты осінің бірлік векторының бағытымен бағыттас болса, онда векторының проекциясы оң таңбамен алынады, ал егер векторының бағыты векторының бағытына қарама-қарсы болса, онда векторының проекциясы теріс таңбамен алынады.

векторының осіндегі проекциясын символымен таңбаланып көрсетеді [9].

Егер болса, онда болғанда тек сонда ғана болады.

Тең векторлардың бір оське түсірілген проекциялары өзара тең болады.

Егер және - А және В нүктелерінің осіндегі проекциялары болса, онда келесі векторлық теңдік орынды:

Енді векторлардың осьтегі проекцияларының ең негізгі қасиеттерін атап өтеміз:

1⁰ векторының кез келген осіндегі проекциясы векторының осы осьтегі проекциясы мен санының көбейтіндісіне тең:

2⁰ векторының кез келген осіндегі проекциясы осы вектордың ұзындығы мен оның осінің оң бағытымен жасайтын бұрышы косинусының көбейтіндісіне тең:

3⁰ Бірнеше векторлардың алгебралық қосындысының кез келген осіндегі проекциясы қосылғыш векторлардың осы осьтегі проекцияларының қосындысына тең(2-сурет) :

4⁰ Сынық сызықтың буындары қосындысының осьтегі проекциясы осы сынық сызықты тұйықтаушы кесіндінің осы осьтегі проекциясына тең болады. Сынық сызықтың буындары және оны тұйықтаушы кесінді векторлар деп қарастырылады(3-сурет).

5⁰ Тұйық сынық сызықтың буындарының осьтегі проекцияларының қосындысы нөлге тең(4-сурет).

Е

векторы және l түзуі

1-мысал Мына санды теңдікті дәлелдеңдер:

(1)

Дәлелдеуі Берілген (1) теңдіктің сол жағындағы қосындының әрбір қосылғышын бірлік вектордың қайсыбір осьтегі проекциясы деп қарастыруға болады.

1теңдіктің сол жағындағы косинустардың таңбаларының астында тұрған сандар айырмасы тең болатын арифметикалық прогрессия құрайды. Ал бұл жағдай әрбір келесі бірлік вектордың өзінің алдындағы бірлік векторға қарағанда шамасы - ге тең болатын бір ғана бұрышқа бұрылатындығын білдіреді. Бірақ саны - қабырғалы дұрыс көпбұрыштың әрбір сыртқы бұрышыының шамасы болып табылады. Осыған көз жеткізелік.Шынынды да, кез келген дөңес - бұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы - ге тең, олай болса - бұрышты дұрыс көпбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы -ге тең, ал оның әрбір ішкі бұрышының шамасы -ге тең, сондықтан оның әрбір сыртқы бұрышының шамасы -ге тең болады(5-сурет). (Дөңес көпбұрыштың берілген төбедегі сыртқы бұрышы деп осы төбедегі көпбұрыштың ішкі бұрышымен сыбайлас бұрышты айтады)

Осыдан (1) теңдіктің сол жағындағы қосындының қосылғыштарын әрбір қабырғасының ұзындығы 1-ге тең болатын, төбелерінің саны -ге тең дұрыс көпбұрыштың бағытталған қабырғалары болып табылатын бірлік векторларының қайсыбір осьтегі проекциялары ретінде қарастыруға болатындығы келіп шығады.

Осы - бұрышты дұрыс көпбұрыштың бір қабырғасы арқылы осін жүргіземіз, ал нүктесі ретінде осы қабырғаның ортасын аламыз. Бұл дұрыс көпбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарын 1-ге тең деп қабылдаймыз. [10]

Сонда дұрыс көпбұрышының бағытталған қабырғалары болып табылатын бірлік векторлардың осімен жасайтын бұрыштары төмендегідей болады:

(көпбұрыштың сыртқы бұрышы ретінде),

,

,

...................................................

Тұйық сынық сызықтың буындарының осьтегі проекцияларының қосындысы нөлге тең болатындығы белгілі. Сондықтан тұйық сынық сызығын осіне проекциялап келесі қатысты табамыз:

(2)

Бірақ

(3)

Сонда (3) қатыстарды ескерсек, онда (2) қатыстан (1) теңдік келіп шығады, шынында да:

(4)

Дәлелдемекшіміз де осы болатын.

Тригонометриялық тепе-теңдіктерді кейбір жағдайларда геометриялық тәсілдермен дәлелдеуге болады. Мұндай тәсілдердің көбі әрі көрнекті, әрі ықшам болып келеді. Бұл тәсілдердің математиканың пән аралық байланыстарын жүзеге асырудағы маңызы зор [11].

Мысал Тепе-теңдікті дәлелдеу керек.

АВ кесіндісінің созындысында және кесінділерін салып және Д,Е нүктелерін С нүктесімен қосып табамыз:

Енді жүргізіп есептеулерді жалғастырайық(8-сурет):

АВС үшбұрышына синустар теоремасын қолданайық:

Осыдан

ДЕС үшбұрышына синустар теоремасын қолданайық: немесе

теңдігін ескеріп жоғарыдағы теңдікті түрлендірейік:

немесе

Енді теңдігін ескерсек, .

Соңғы теңдіктің оң жағын қысқартқаннан кейін дәлелденілетін тепе-теңдік шығады.

Мысал Тепе-теңдікті дәлелдеңдер:

жүргізіп табамыз (9-сурет)

АС түзуі

АС түзуінің созындысына кез келген Д нүктесінен перпендикуляр түсіріп, бізге керек кесінділердің ұзындықтарын арқылы өрнектейміз:

Енді АЕД үшбұрышының ауданын екі тәсілмен табамыз:

немесе ықшамдағаннан кейін

Соңғы теңдіктің екі жағын көбейтіндісіне бөлгеннен кейін мынадай өрнек шығады:

немесе

Мысал Егер оң А,В,С үшін болса, онда мынадай тепе-теңдік орындалады. (*)

Дәлелдеуі АВС үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің радиусы үшін мынадай формула орындалады: (1). Алдымен осы көмекші формуланы дәлелдейік(10-сурет). - жанасу нүктелері болсын. Бір нүктеден жүргізілген екі жанаманың қасиетіне сүйеніп жазайық:

Осыдан

Онда . Сонымен (1) формула дәлелденді. Енді (*) теңдігін дәлелдейік (11-сурет). Дәлелденген (1) формулаға сүйеніп жазайық:

.

Біз мұнда ауданның және герон формуласын қолдандық.

Мысал Теңдікті дәлелдеңдер:

Дәлелдеуі Бұрыштары болып келетін тең бүйірлі АВС үшбұрышын қарастырайық та оның ВД биссектрисасын жүргізейік. Онда . Айқындық үшін ВС = 1 деп алайық.

АВД және ВСД үшбұрыштарына косинустар теоремасын қолданып табамыз:

Енді осы өрнектерді теңдігіне қойсақ дәлелденілетін қатыс бірден шығады(12-сурет).