Туындыны қолдану

Семей қаласы ,"Көлік колледжі" КМКҚ

математика пәнінің оқытушысы

Жумадилова Жадыра Шарипхановна

+7 775 998 46 70

zhako-83.0517@mail.ru

Туынды. Туындының қолданылуы

1 – бөлім

Туынды табу кестесі

2-бөлім. Теориялық бөлім

Функцияның шегі.

x саны x0 санына ұмтыла берсін, бірақ оған тең болмасын. Бұны x→x₀ деп белгілейміз.

Мысалы мына сандар тізбегінің n-ші мүшесі, n өскен сайын нөлге ұмтылады (бірақ нөлге тең болмайды):

,…

Анықтама.

A саны y=f(x) функциясының x→x₀ ұмтылғандағы шегі деп аталады, егер x₀ санына ұмтылған кез келген x₁, x₂, x₃,… сандар тізбегі үшін сәйкесінше f(x₁), f(x₂), f(x₃),… сандар тізбегі A санына ұмтылса.

Бұны   = A деп белгілейді.

Мысал.

y = x² болса онда  . Өйткені нөлге ұмтылған кез келген x₁, x₂, x₃,… сандар тізбегі үшін x₁², x₂², x₃²,… сандар тізбегі де нөлге ұмтылады ғой.

Мына тамаша шектерді есте сақтау жөн:

1).   (бірінші тамаша шек).

2).  (1+ ) ^x = e, мұндағы e 2,718… (екінші тамаша шек).

Үзіліссіз функция.

Аңықтама y=f(x) функциясы:

a). x₀ нүктенің белгілі бір маңайында аңықталса.

b).  (x)=  (x₀)

Онда y=f(x) функциясы x₀ нүктеде үзіліссіз деп аталады.

Мысал.

y = x² функциясы x=0 нүктеде үзіліссіз, өйткені бұл функция біріншіден осы нүктенің аймағында аңықталған, екіншіден  , y(0) = 0, яғни  (x) = y (0)

Аңықтама.

y=f(x) функциясы B сандар жиынының кез келген нүктесінде үзіліссіз болса, онда бұл y=f(x) функциясы B сандар жиынында үзіліссіз деп аталады.

 Мысал.

y = x² функциясы нақты сандар жиынында үзіліссіз. Жаттығу.

 функциясы [0; 1] сегментінде үзіліссіз бе?

Шектелген функциялар.

Егер бiр М саны табылып, Х жиынындағы барлық х саны үшiн мына теңсiздiк f(x)£M орындалса, онда f(x) функциясын X жиынында жоғарғы жағынан шектелген функция деп атайды.

Егер бiр М саны табылып, Х жиынының барлық х саны үшiн мына теңсiздiк f(x)³M орындалса,онда f(x) функциясын X жиынында төменгi жағынан шектелген функция деп атайды.

Егер бiр оң C саны табылып, Х жиынының барлық х саны үшiн мына теңсiздiк ôf(x)ô£C орындалса, онда f(x) функциясын X жиынында шектелген функция деп атайды.

Шектелген функциялардың қасиеттерi.

1. Егер f(x) және g(x) функцияларының екеуi де бiрдей X жиынында анықталған, шектелген функциялар болса, онда f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)g(x), ôf(x)ô функциялары да Х жиынында анықталған, шектелген функциялар болады.

2. Егер f(x) және g(x) функциялары X жиынында анықталған, ал f(x) функциясы Х жиынында шектелген және g(x) функциясы үшiн ôg(x)ô>M>0 теңсiздiгi орындалса, онда функциясы X жиы­нын­да шектелген функция болады

3. Егер f(x) функциясы X жиынында анықталған және шектелген функциялар болса, онда a^f(x), cos f(x), sin f(x), arcsin f(x), arccos f(x), arctg f(x),

arcctg f(x) функциялары да Х жиынында анықталған, шектелген функциялар болады.

Туындының анықтамасы

Функцияны қарапайым қозғалыстар, құбылыстар мен процестерді және олардың өзгерісін математикалық модель тұрғысынан зерттеу мақсатында қолданады.

Аргумент және функцияның өсімшелері ұғымдарын анықтап алайық.

у=f(х) функциясы берілсін. Аргументтің х және х₁мәндері функцияның анықталу облысынан алынған.

Анықтама: х₁ –х айырымын аргументтің х нүктесіндегі өсімшесі д.а.

Өсімшені Δх таңбасымен белгілеп, “дельта икс” деп оқиды, яғни Δх= х₁-х

Аргумент х-ке Δх өсімшесін бергенде у = f(х) функциясы да өсімше қабылдайды. Бұл функцияның өсімшесі Δу деп белгіленіп, Δу = (у + Δу) – у немесе Δу = f(х + Δх) – f(х) теңдігімен анықталады.

Анықтама. қатынасының аргумент өсімшесі Δх-тің нөлге ұмтылғандағы шегі бар болса, онда ол шекті у = f(х) функциясының х нүктесіндегі туындысы деп атайды.

у = f(х) функциясының х нүктесіндегі туындысының белгіленуі:

у' =f'(х), f'(х)-тің оқылуы: х-тен эф штрих

Функцияның туындысын табу амалын функцияны дифференциалдау деп атайды.

Анықтама бойынша туындыны табу алгоритмі:

1) аргументке Δх өсімшесін беру;

2) Δх өсімшеге сәйкес функция өсімшесін, яғни Δу = f(х + Δх) – f(х) анықтау;

3) функцияның өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасын табу, яғни

4) соңғы теңдіктен аргумент өсімшесі нөлге ұмтылғандағы шекті анықтау:

lim Δу = lim f(х + Δх) – f(х) =f'(х)

^Δх→0 Δх ^Δх→0 Δх

Туындының геометриялық мағынасы.

Ф ункцияның дифференциалдануы.