Вероятность. Сложение и умножение вероятностей.

Вероятность. Сложение и умножение вероятностей.

Вероятность – это характеристика степени появления некоторого события при тех или иных определенных условиях.

1. Если событие невозможно, то вероятность его появления равна 0.

2. Если появление события абсолютно достоверно, то его вероятность равна 1.

3. Если же некоторое событие возможно, но его появление не абсолютно достоверно, то вероятность его появления будет число, заключенное между 0 и1.

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записывается как A⊂B 

События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается очевидно: А = В.

Два события, появление одного из которых исключает появление другого в одном и том же испытании называются несовместимыми. Например, «выпадение герба» и «выпадение надписи» при бросании монеты – несовместимые события.

Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P(A+B)=P(A)+P(B). 

Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий.

Если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство . Такие события (гипотезы) используются при решении задач на полную вероятность.

Пример: В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие А+В- «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А:

и события В:

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

P(A+B)=P(A)+P(B)−P(A⋅B). 

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B). 

Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

1. вероятность того, что победят обе автомашины;

2. вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина 

Решение.

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность  того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Решить самостоятельно:

1. Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,9, для вторго-0,8. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.

2. Если бросить монету и игральную кость, то какова вероятность того, что монета упадет гербом вверх и вместе с тем на кости выпадет пятёрка?

3. В урне находятся 4 белых и 7 черных шаров. Вынимают последовательно два шара, не возвращая их обратно. Какова вероятность того, что первый шар будет белам, а второй-черным?