Ықтималдық негіздері

Лекция-11 Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары.

Ықтималдықтың анықтамалары,қасиеттері,

негізгі теоремалары және формулалары.

Дәрістің мақсаты: Ықтималдықтар теориясына базалық түсінік беру. Ықтималдықтың классикалық,статистикалық және геометриялық анықтамаларын беру. Ықтималдықтың негізгі теоремаларына,формулаларына тоқталу. Комбинаториканың негізгі элементтерін түсіндіру.

Негізгі ұғымдар: Ықтималдық:классикалық,статистикалық және геометриялық ықтималдықтар,оқиға,сынақ,комбинаторика элементтері.

Ықтималдылықтар теориясы кездейсок құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым қазіргі уақытта ықтималдылықтар теориясы ғылым мен техниканың алуан түрлі салаларында қолданылып отыр.Математиканың көптеген салаларында ерекше орын алады .Бұл теория кездейсоқ құбылыстарды бақылау нәтижесінде пайда болған математикалық ғылым.Пайда болатын және пайда болмайтын құбылыстардың бәрін оқиға деп атайды. Құбылысты практикада және ғылымда белгілі бір мақсат үшін жүргізілетін бақылаулар, сынақтар, операциялар, эксперименттер және т.б. тәжірибе деп түсінеміз. Белгілі бір шарттар тобын бұлжытпай отырып, тәжірибені қайталауға болады: теңге лақтыру, куб лақтыру.

Оқиғалар. Күнделiктi өмiрде оқиға, құбылыс, жағдай мүмкiндiк, ықтималдық т.б. сөздердi жиi ұшырастырамыз. Мысалы, тиынды лақтырғанда тиынның герб не цифр жағымен түсуi, мергеннiң межеге оқты тигiзуi, оқушының кешкiлiк серуендеп жүргенде жолдасымен кездесуi оқиғаларға мысал бола алады. Осы оқиғалардың пайда болуы, себептерге (комплекс шарттарға) байланысты екендiгi анық. Берiлген мысалдарда, лақтырғанда тиынның герб жағымен түсуi - лақтыруға, мергеннiң оғының тиуi - оқтың атылуына, оқушының жолдасымен кездесуi - серуенге шығуы себептен болады. Олай болса бiр оқиғаның пайда болуы себептерге яғни комплекс шарттарға байланысты екен. Осы комплекс шарты кезiнде оқиғаның пайда болуы не болмауы мүмкiн болса, онда мұндай оқиғаны кездейсоқ оқиға деймiз. Аталған мысалдарда тиынның герб жағымен түсуi не түспеуi, оқтың межеге тиюi не тимеуi, оқушының жолдасымен кездесуi не кездеспеуi мүмкiн.  Демек, бұлардың барлығы кездейсоқ оқиғалар.

Ықтималдықтың классиқалық анақтамасы. Статистикалық ықтималдық.

Геометриялық ықтималдық.

Анықтама 1. Оқиғаның ықтималдығы дегеніміз – осы оқиғаға қолайлы жағдайлар n санының барлық жағдайлар m санына қатынасы, яғни Р (А)= .

Қасиеттері: 1.   Р (А)  2.Р (А) егер  - мүмкін емес болса.

3. Р () , егер А – ақиқат болса.

Анықтама 2. N рет сынау жүргізгенде А оқиғасы m рет пайда болсын. Бұл жағдайда m саны А оқиғасының салыстырмалы жиілігі дегеніміз – оның жиілігі санының барлық санаулар саны n – ге қатынасын айтамыз. Салыстырмалы жиілік W(A) деп белгілінеді. Сонымен W(A)= .

Анықтама 3. Егер М нүктесінің Q облысына түсуін А оқиғасы деп белгілісек, онда А оқиғасынынң ықтималдығы P(A) –ны табуға тура келеді. Лақтырылған нүкте К облысының кез келген жеріне түсуі мүмкін. Демек, лақтырылған нүктенің Q облысына түсу ықтималдығы олардың аудандарының қатынысына пропорционал болады. P(A) ықтималдығы олардың орналусуы мен түріне тәуелсіз болады. Сонымен егер S _k – ден K облысының, ал S_q арқылы Q облысының ауданың юелгілісек, онда P(A)= жазылған кез – келген жағының пайда болу мүмкіндіктері де тең. Біз мұндай болжамды тиын мен ойын сүйегінің симметриялықтарын ескеріп жасап отырмыз. Ал жалпы жағдайда оқиғалардың пайда болу мүмкіндігін бағалау үшін оларды белгілі бір сандармен байланыстырады. Оқиғаның ықтыймалдығы дегеніміз – осы оқиғаға қолайлы жағдайлар санының барлық жағдайлар санына қатынасы.Егер тәжірибенің қайталау саны n мейлінше үлкен болғанда А оқиғасының ықтималдығы деп аталады.

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы :

Егер де тең және жалғыз мүмкінді сыйыспайтын барлық n – жағдайлардың ішінде m саны осы А – оқиғасының орындалуына қолайлы жағдайлар саны болса, онда m санының барлық n санына қатынасын осы А оқиғасының орындалуының ықтыималдығы дейміз, оны Р(А) деп белгілейміз: Тең мүмкінді n нәтижелерді қарастырамыз. Бұл нәтижелердің ішінде А оқиғасына m нәтиже қолайлы болсын. Сонда Р(А)= (1)

Бұл француз ғалымы Лаплас берген (1749 – 1827) анықтама.

Мысал.

Екі тенгені лақтырғанда ең болмағанда бір рет «сан» жағының түсу ықтималдылығы қандай?

Шешуі: Тәжіребе-2 теңгені лақтыру.Сонда элементар оқиғалар кеңістігі Е={ } болады. Олай болса n=4,А оқиғасы ең болмағанда бір рет «с» жағының түсуі. Демек m=3.Сондықтан Р(А) = = =0,75

Ықтыималдық теориясындағы негізгі ұғымдардың бірі – кездейсоқ шамалар.

Тәжірибе негізінде, алдын ала қандай мәнді қабылдайтыны белгісіз, нақты жағдайларға байланысты өзінің мүмкін болатын мәндер жиынынан бір мәнді қабылдайтын айнымалыны кездейсоқ шама деп атайды.

Жалпы жағдайда кездейсоқ шама Х элементаралық тәжірибелер жиынында берілген функция ретінде анықталады (немесе элементаралық оқиғалар кеңістігінде), яғни Х = f(W), мұнда W – элементаралық тәжірибе (немесе Ω кеңістігінде жататын элементаралық оқиға, яғни ώ Ω).

Әрине бұл тәжірибелердің нәтижелерін алдын ала болжау мүмкін емес. Дегенмен алғашқы екі тәжірибелерде тиынның сан жазылған жағы мен елтаңба жазылған жағының пайда болу мүмкіндігі тең, сондай – ақ ойын сүйегінің сан жазылған кез – келген жағының пайда болу мүмкіндіктері де тең. Біз мұндай болжамды тиын мен ойын сүйегінің симметриялықтарын ескеріп жасап отырмыз. Ал жалпы жағдайда оқиғалардың пайда болу мүмкіндігін бағалау үшін оларды белгілі бір сандармен байланыстырады. Ол сандарды «оқиғаның ықтыймалдығы» деп атайды. Жалпы «ықтыймалдық» ұғымына бірнеше түсінік беріледі. Соның бірі – ықтыймалдықтың классикалық анықтамасы.

Ықтыималдықтардың негізгі қасиеттері.

1.Ақиқат оқиғаның ықтыймалдығы 1 – ге тең, яғни Р(Е) = 1, шынында, ақиқат оқиға барлық элементар оқиғаларға қолайлы болады. Сондықтан Р(А) = m/n = n / n = 1.

2.Мүмкін емес оқиғаның ықтыймалдығы нөлге тең, яғни Р(Ø) = р(V) = 0.шынында мүмкін емес оқиға ешбір элементар оқиғаға қолайлы емес. Демек Р(Ø) = 0/ n=0

3.Кездейсоқ шаманың ықтыймалдығы 0 ≤ Р(А) ≤ 1 теңсіздігін қанағаттандырады.

Статистикалық ықтималдық. N рет сынау жүргізгенде А оқиғасы m рет пайда болсын. Бұл жағдайда m саны А оқиғасының жиілігі деп аталады. А оқиғасының салыстырмалы жиілігі дегеніміз – оның жиілігі санының барлық санаулар саны n– ге қатынасын айтамыз. Салыстырмалы жиілілік W (А) деп белгіленеді.Сонымен, W (А) = Мұндағы m - оқиғаның пайда болу саны, ал n жүргізілген санаулардың (тәжірибенің) барлық саны.

Геометриялық ықтималдық.

Ықтималдықтың классикалық анықтамасында тең және жалғаз мүмкіндікті сыйыспайтын оқиғалар қарастырылады. Әрі, бұл оқиғалар саны шексіз көп болмауы қажет. Ал практикада барлық жағдайлар саны шексіз көп болатын сынаулар жиі кездесіп отырады. Міне бұл жағдайларда ықтыймалдықтың классикалық анықтамасы тікелей қолданылмайды. Классикалық анықтаманың бұл кемшілігін толықтырып, ықтыймалдықты есептейтін басқа да әдістер бар, олардың біреуі геометриялық – тәуекелге лақтырылған нүктенің арнаулы облысқа түсу ықтыймалдығы. Ал бұл арнаулы облысымыз кесінді, жазықтық, кеңістік т.с. жиындар болуы мүмкін.

Айталық қарастырылып отырған тәжірибеге байланысты, элементаралық оқиғалар кеңістігі белгілі болсын. (Ω) Осы тәжірибеде пайда болатын кез – келген А оқиғасы осы Ω - ның жиыны болып табылады, яғни А ≤Ω. Сондықтан оқиғаларға қолданылатын амалдар ( қосу, көбейту), сәйкес жиындарға қолданылатын амалдар сияқты анықталады. Егер элементаралық оқиғалар кеңістігін төртбұрыш ретінде бейнелесек, онда оқиғалардың қосындысын, көбейтіндісін және қарама – қарсы оқиғаларды төмендегідей бейнелеп көрсетуге болады.

Комбинаториканың негізгі формалары: терулер, орналастырулар, алмастырулар. Қосу және көбейту теоремалары.

Комбинаториканың негізгі формалары

Белгілі бір есептер шығарғанда шешуі: «нешеу», «неше тәсілмен» деген сұрақтарға жауап беруді қажет ететін есептер комбинаторикалық есптер делінеді. Мұндай есептерді шешумен айналысатын математика саласы комбинаторика деп аталады. Мәселен, 3 элементтен тұратын затты бір – бірден үш тәсілмен, екі – екіден 6 тәсілмен аламыз. Сонда бұлардың бір – бірінен айырмашылығы элементтерінде, не элементтерінің орналасу ретінде болатынын көруге болады.

Орналастырулар. Берілген әртүрлі n элементтен k элемент бойынша орналасу деп, әрқайсысы бір – бірінен не құрамы бойынша, не орналасу реті бойынша ажыратылатын комбинацияларды айтады. Демек, n элементтен k- дан жасалған орналастырулар саны n(n–1)(n–2)(n-k+1) көбейтіндісіне, ал қайталама орналастырулар саны - не тең, яғни n элементтен к - дан жасалған орналастырулардың жалпы саны үшін , ал қайталама орналастырулар саны үшін белгілеулерін енгізсек: (1) (2)

Мұнда n! - эн факториал деп оқылады, ол 1 – ден n дейінгі натурал сандардың көбейтіндісіне тең, яяғни n!=1*2*3...*n, ал 0!=1 деп қабылданады.

Мысал. 7 әріптен төрт – төрттен неше тәсілмен алуға болады.

Шешуі: есеп шарты бойынша n =7, k =4, енді (1) формуланы пайдалансақ:

Мысал. Үш ойын сүйегін лақтырғанда қанша жағдайлар болады. Шешуі: (2) формула бойынша 6 = 216 – ға тең, өйткені n=6, және n=3. себебі үш ойын сүйегін лақтырған ұпайлардан пайда болатын (i, j, k) кортежін жасалық, мұндағы i, j, k 1,2,3,4,5,6 сандарының тек біреуін қабылдайды, сондықтан іздейтін сан (1.2) формула бойынша ізделеді. Екі ойын сүйегін лақтырғанда барлық жағдайлар саны 6 = 6*6 = 36. Егер S ойын сүйегін лақтырсақ, онда барлық жағдайлардың саны 6 – не тең болар еді. Сол сияқты m теңгені лақтырғанда барлық жағдайлар саны 2 – не тең.

Алмастырулар. n элементтен n – нен алынған орналастыруларды алмастырулар деп атаймыз. Алмастыруларлдың бір – бірінен айырмашылығы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана, өйткені әрбір алмастырудағы элементтердің саны бірдей. Сонда (1) формуласында к = n десек, алмастырулардың жалпы саны: (3)

Мысал. Әрбір 6 әріп бөлек қатарларға жазылсын. Содан кейін қатарлар араластырылып кез келген ретпен бір қатарға орналастырылған. әрине, бұлардың бір қатарға әртүрлі орналастыруларының бір – бірінен айырмашылығы олардың қандай ретпен орналасқандығында болады. Сондықтан ондай орналастырулардың жалпы саны (3) формуламен анықталады, яғни

Егер элементі рет,т элементі рет, тағы сол сияқты аm элементі рет кездесетін n = + +....+ көлемді кортедждерді n- ші ретті қайталама алмастыру деп атайды.

Қайталамалы мұндай алмастырулардың саны үшін белгілеулерін қолданамыз, яғни (4)

Әрқайсысына шекті жиындары берілсін. Осындай тәртіппен алынған элементтерін кортеж деп атайды және оны былай белгілейді. ( )

Терулер. Берілген әртүрлі элементтен элемент бойынша терулер деп, әрқайсысы бір – бірінен тек құрамы бойынша ажыратылатын комбинацияларды айтады.

Терулердің жалпы саны мына формуламен есептеледі (5)

Егер a=b=1 болса,онда .Сонымен n элементтен тұратын жиынның барлық ішкі жиындарының саны -не тең.

Мысалы, 10 адамнан 7 адам таңдап алудың жалпы саны

болады. Қайталанбалы терулер саны мына формуламен анықталады:

(6)

5 мысал. Гүл дүкенінде 3 түрлі гүлдер бар. Алынған 7 гүлден қанша әдіспен букет жасауға болады?

Шешуі. Сатып алынған гүл саны 7 – ге тең. Сондықтан жасалған букет 7 гүлден тұрады. Ал осы букетте 3 түрлі гүлдердің әрбір түрінен бірнеше гүл кіруі мүмкін. Олай болса (6) формуланы пайдаланып:

демек, 36 әдіспен букет жасап алуға болады.

Теорема. Үйлесімсіз екі А және В оқиғалар қосындысының ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең, яғни Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (7)

Дәлелдеуі. Дәлелдеу үшін (1) теңдіктегі үш ықтималдықты есептеп, олардың мәндерін қайтадан осы теңдікке қойып, дұрыстығына көз жеткізу жеткілікті. Шынында да, тең мүмкіндікті үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын элементар оқиғалар саны n болсын. Олардың ішінде А оқиғасына қолайлысы бұлар В үшін қолайсыз, В оқиғасына қолайлысы бұлар А үшін қолайсыз болсын. Демек, Р(А)= /n, P(B)= /n. А+В оқиғасына қолайлысы - + , өйткені А мен В үйлесімсіз. Сондықтан бір сынауда екеуіне де бірдей қолайлы элементар оқиғалар болмайды. Демек, Р(А+В)=( + )1/ n= /n + /n=Р(А)+Р(В). Осымен теорема дәлелденді.

Бұл қасиет оқиғалар саны 2-ден артық (яғни саны n) болғанда орын алады.

Теорема. Егер A_1,A_2,…,A_n қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар болса, онда бұлардың қосындысының ықтималдығы әрқайсысының ықтималдықтарының қосындысына тең болады, яғни

Р(A₁+А₂+...+А_n) =Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_n). (8)

Дәлелдеуі. Мұны толық математикалық индукция әдісімен дәлелдейік. n=2 болғанда теореманың дұрыстығы өткен теоремада дәлелденді. Бұл теорема n=k үйлесімсіз A_1,A_2,…,A_k оқиғалары үшін дұрыс, яғни Р(A₁+А₂+...+А_k) =Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_k) болсын. Енді n=k+1 болғанда да теорема дұрыс болатынын дәлелдейміз. Берілгені бойынша A₁+А₂+...+А_k,А_k+1 оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз, олай болса, (A₁+А₂+...+А_k) мен А_k+1 оқиғалары да үйлесімсіз. Демек, бұл екі оқиғаға (1) формуласын пайдаланамыз, сонда Р(A₁+А₂+...+А_k+А_k+1)=Р((A₁+А₂+...+А_k)+А_k+1)= (A₁+А₂+...+А_k)+Р (А_k+1)

болады.бұдан теореманың n=k+1 үшін де дұрыс екенін көреміз. Олай болса, теорема n-ның кез келген мәні үшін де дұрыс.

Ықтималдықтарды көбейту теоремасы.

Тәуелсіз және тәуелді оқиғалар. Ықтималдықтар теориясында оқиғаларды элементар оқиғаларға бөліп қана қоймай, оқиғалардың өзара тәуелділігі мен тәуелсіздігінің де жігін айырып қарастырады.Егер екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығын өзгертпесе, онда оларды тәуелсіз оқиғалар деп атайды.

1-мысал. Қобдишада 10 шар бар, оның төртеуі ақ, алтауы қызыл. Қобдишадан кез келген бір шарды алып, түсін белгілегеннен соң екіншісін алады. Бірінші алынған шар қызыл түсті болғанда екінші рет алынған шардың ақ түсті болу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. Бұл мысалдың шешуі қобдишадан алынған бірінші шар түсі белгіленген соң екінші шарды алу алдында ол шар қайта қобдишаға салыну (бірінші тәсіл), әлде қайта салынбауына (екінші тәсіл) байланысты ықтималдық мәні түрліше болады.

Бірінші тәсіл. Қобдишадан бірінші рет алынған шар түсі қызыл болуы В оқиғасы болсын, онда оқиғасы қобдишадан алынған бірінші шар түсі қызыл емес, яғни ақ шар шығуы болады. Екінші рет алынған шар түсі ақ шар болуы А оқиғасы болсын, онда оқиғасы екінші ретте қызыл шардың шығуы болады. Бірінші алынған шар түсі белгіленгеннен кейін, ол шар қобдишаға қайта салынған себепті, шар екінші рет алынғанда да қобдишадағы шарлар саны бастапқыдай болады. Сондықтан А оқиғасының ықтималдығы оған дейін қабдишадан қызыл шар (В оқиғасы) шығуына байланысты емес, өзгермейді және ол 0,4-ке тең. Бұдан В оқиғасының пайда болуының А оқиғасының ықтималдығына әсері болмайтынын байқаймыз. Демек, А және В оқиғалары бір-біріне тәуелсіз. Бұл жерде А оқиғасының ықтималдығын есептегенде оның пайда болуына комплексті шарттан өзге ешқандай шек қойы