"Ықтималдық теориясы және статистика" әдістемелік құрал

«Ықтималдық теориясы және статистика»

әдістемелік құрал

(әдістемелік құрал математика пәні мұғалімдеріне арналған)

Автор: Ашимова Бахтинур Азатовна

“Ықтималдық теориясы және статистика” әдістемелік құралы математиканың маңызды бөлімдерінің бірі — ықтималдық теориясы мен статистика саласында оқушылардың білімін тереңдетуге бағытталған. Бұл әдістемелік құрал орта мектептің жоғарғы сынып оқушылары үшін жасалған және математикалық статистика мен ықтималдық теориясының негіздерін оқытуға арналған. Құралда ықтималдықтардың есептелуі, кездейсоқ шамалар, ықтималдық таралуы, статистикалық зерттеулер жүргізу әдістері сияқты негізгі тақырыптар қамтылған.

Әдістемелік құрал оқушыларға статистикалық мәліметтерді жинау, өңдеу және талдау, ықтималдықтар мен статистикалық деректерді практикалық қолдану дағдыларын қалыптастыруға мүмкіндік береді. Әр тақырып бойынша теориялық түсініктемелер мен түрлі мысалдар келтіріліп, әртүрлі тапсырмалар мен жаттығулар арқылы білімді пысықтауға мүмкіндік жасалған. Құралдың мақсаты — оқушылардың математикалық сауаттылығын арттыру, оларды деректермен жұмыс істеуге және ғылыми көзқарас қалыптастыруға баулу.

Мазмұны

1. Кіріспе

“Ықтималдық теориясы және статистика” әдістемелік құралы оқушылардың математикалық сауаттылығын арттыруға, оларды ықтималдық теориясы мен статистика саласының негіздерімен таныстыруға арналған. Бұл құрал орта мектептің жоғарғы сынып оқушылары үшін әзірленген және пәннің маңызды тақырыптарын жан-жақты түсіндіруге бағытталған. Ықтималдық теориясы мен статистика күнделікті өмірде маңызды рөл атқарады, сондықтан оқушыларға осы салалардағы білімдерін жетілдіру, оларды практикада қолдана білу дағдыларын дамыту қажет.

Әдістемелік құралдың мақсаты:

• Оқушыларға ықтималдық теориясы мен статистика негіздерін терең меңгерту.

• Ықтималдық есептерін шешу және статистикалық мәліметтермен жұмыс істеу дағдыларын қалыптастыру.

• Оқушыларға кездейсоқ оқиғалар мен шамаларды түсіндіру арқылы олардың логикалық және аналитикалық ойлау қабілетін дамыту.

• Статистикалық деректерді жинау, өңдеу және талдау дағдыларын үйрету.

Әдістемелік құралдың міндеттері:

1. Ықтималдық теориясы мен статистиканың негізгі ұғымдары мен қағидаларын түсіндіру.

2. Әр тақырып бойынша теориялық түсініктер мен практикалық тапсырмалар ұсыну.

3. Статистикалық мәліметтерді жинау және өңдеуді үйрету.

4. Ықтималдықтар мен статистикалық деректерді қолдану арқылы оқушылардың зерттеу дағдыларын дамыту.

5. Ықтималдықтар мен статистиканың күнделікті өмірдегі қолданылуын көрсету.

6. Оқушыларды деректерді талдау және қорытынды шығару дағдыларын қалыптастыру.

Өзекті мәселелер:

• Оқушылардың ықтималдық теориясы мен статистикаға деген қызығушылығын арттыру.

• Статистикалық мәліметтерді дұрыс жинау, өңдеу және талдау әдістерін игерту.

• Математикалық білімді өмірлік жағдайлармен байланыстыру.

• Ықтималдық пен статистика тақырыптарының өзара байланысын түсіндіру.

• Статистикалық гипотезаларды тексеру және дұрыс қорытындылар жасау дағдыларын қалыптастыру.

Күтілетін нәтижелер:

• Оқушылар ықтималдық теориясының негізгі ұғымдарын және статистиканың әдістерін меңгеріп, оларды есептер мен практикалық тапсырмаларда қолдана алады.

• Статистикалық мәліметтерді жинау, талдау және визуализациялау қабілеттерін жетілдіреді.

• Статистикалық гипотезаларды тексеру әдістерін түсініп, оларды нақты деректермен қолдана алады.

• Ықтималдықтар мен статистика саласында білімдерін тереңдетіп, осы білімдерді тұрмыстық және кәсіби жағдайларда тиімді пайдалана алады.

• Оқушылардың аналитикалық және зерттеу дағдылары дамып, олардың логикалық ойлау қабілеті күшейеді.

2. Ықтималдық теориясының негіздері

Ықтималдық теориясы — кездейсоқ оқиғалардың ықтималдықтарын зерттейтін математикалық сала. Бұл бөлімде ықтималдық теориясының негізгі ұғымдары мен қасиеттері қарастырылады. Оқушылар ықтималдықтардың негізгі ережелері мен қағидаларын түсініп, түрлі жағдайларда ықтималдықты есептеуді үйренеді.

1. Ықтималдық ұғымы

Ықтималдық — бұл оқиғаның орын алу мүмкіндігі немесе ықтималдық дәрежесі. Бұл сан 0 мен 1 арасындағы мәнді қабылдайды:

• 0 — оқиға орын алмайды.

• 1 — оқиға міндетті түрде орын алады.

Ықтималдықтың математикалық анықтамасы былайша беріледі:

• Егер A оқиғасы ықтимал болса, онда ықтималдық

2. Ықтималдықтардың қасиеттері

Ықтималдықтардың негізгі қасиеттері:

1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 — кез келген оқиғалардың ықтималдығы 0 мен 1 арасындағы мәнде болады.

2. P(Ω) = 1 — толық оқиғаның ықтималдығы 1-ге тең болады (Ω — барлық мүмкін болатын оқиғалар жиынтығы).

3. P(∅) = 0 — бос оқиғаның ықтималдығы 0-ге тең болады (∅ — орын алмайтын оқиға).

4. Қосымша ықтималдықтар: Егер A оқиғасы орын алмайтын болса, онда P(A’) = 1 - P(A), мұнда A’ — A оқиғасының орын алмауы.

3. Кездейсоқ оқиғалар және олардың ықтималдығы

Кездейсоқ оқиғалар — нәтижесі алдын ала болжанбайтын оқиғалар. Әрбір кездейсоқ оқиға ықтималдығымен сипатталады, және бұл ықтималдық оқиғаның орын алу мүмкіндігін көрсетеді.

Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы есептеу кезінде:

• Егер оқиға екі нәтижеге ие болса, онда ықтималдықты екі жағдайда да есептеу қажет.

• Егер оқиға көп нәтижеге ие болса, ықтималдық бірнеше жағдайдың қосындысы ретінде есептеледі.

4. Қосымша және ортақ ықтималдықтар

Қосымша ықтималдықтар — екі оқиға орын алған кезде олардың ықтималдығын қосу ережесі:

• Егер екі оқиға бір-бірінен тәуелсіз болса, онда олардың ықтималдықтары қосылады. Мысалы: P(A немесе B) = P(A) + P(B).

Ортақ ықтималдықтар — екі оқиға бір уақытта орын алатын ықтималдық:

• Егер екі оқиға бір-бірінен тәуелді болса, онда ортақ ықтималдықты есептеу үшін олардың ықтималдықтарын көбейту керек: P(A және B) = P(A) * P(B).

5. Байланысқан және тәуелсіз оқиғалар

Байланысқан оқиғалар — бір оқиға орын алған жағдайда екінші оқиғаның орын алу ықтималдығы өзгеретін оқиғалар. Мұндай жағдайда оқиғалардың ықтималдығы арасындағы байланыс ескерілуі керек.

Тәуелсіз оқиғалар — бір оқиға орын алған кезде екінші оқиғаның ықтималдығына әсер етпейтін оқиғалар. Егер екі оқиға тәуелсіз болса, онда олардың ортақ ықтималдығын есептеу кезінде олардың жеке ықтималдықтары көбейтіледі:

•

Бұл бөлімде оқушылар ықтималдықтың негізгі заңдарын, оқиғалардың байланысын және тәуелсіздігін түсініп, ықтималдықты есептеу әдістерін меңгереді.

3. Ықтималдық таралуы

Ықтималдық таралуы — кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндерінің ықтималдықтарының бөлінуін сипаттайтын математикалық модель. Бұл таралымдар кездейсоқ шамалардың әртүрлі мүмкін мәндеріне байланысты ықтималдықтарды анықтайды. Ықтималдық таралымдары дискретті және үздіксіз түрлерге бөлінеді.

1. Дискретті таралу

Дискретті таралу — кездейсоқ шама тек белгілі бір мәндер қабылдайтын таралу. Бұл таралуларда ықтималдықтар әрбір мүмкін мәнге қатысты анықталады. Дискретті таралу үшін ықтималдықтың жалпы ережесі барлық ықтимал мәндер бойынша олардың ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең болатынын көрсетеді.

Мысалдар:

• Кубикті лақтырғанда шығатын 6 мүмкін нәтиже (1, 2, 3, 4, 5, 6) — бұл дискретті таралу.

• Монетаны лақтырғанда шығатын екі нәтиже (жүз немесе қырық) — бұл да дискретті таралу.

2. Үздіксіз таралу

Үздіксіз таралу — кездейсоқ шама шексіз көп мәндер қабылдайтын таралу, яғни мәндердің арасында үзіліс болмайды. Үздіксіз таралуларда ықтималдық тығыздығы функциясы пайдаланылады, ал нақты бір мән үшін ықтималдық 0 болады, бірақ интервал бойынша ықтималдық есептеледі.

Мысалдар:

• Адамның биіктігі немесе салмағы.

• Уақыттың өтуіне байланысты өзгеретін мөлшерлер, мысалы, температураның ауытқуы.

Үздіксіз таралуда ықтималдықты есептеу үшін интегралдар пайдаланылады:

мұндағы f(x) — ықтималдық тығыздығы функциясы.

3. Нормальды таралу

Нормальды таралу — үздіксіз таралудың ең маңызды түрі, ол кездейсоқ шаманың мәндерінің ортасында жиі кездесіп, екі жағында сирек кездесетін симметриялы таралуды сипаттайды. Нормальды таралу Гаусс таралуы деп те аталады және көптеген табиғи және әлеуметтік құбылыстарда кездеседі.

Нормальды таралудың ықтималдық тығыздығының жалпы формуласы:

мұндағы:

• — орташа мән (mean),

• — стандартты ауытқу (standard deviation),

• — табиғи логарифм негізі.

Нормальды таралу жиі кездесетін мысалдар:

• Студенттердің тест нәтижелері.

• Адамдардың биіктігі немесе салмағы.

4. Биномиалды таралу

Биномиалды таралу — дискретті таралудың бір түрі, мұнда екі нәтижелі оқиғалардың қайталануы қарастырылады. Мысалы, монетаны лақтыруда «жүз» немесе «қырық» нәтижесі болуы мүмкін. Биномиалды таралуда белгілі бір оқиғаның орын алу ықтималдығы p және орын алмау ықтималдығы 1 - p белгілі болады.

Биномиалды таралудың ықтималдық функциясы мынадай:

мұндағы:

• — сынақтар саны,

• — сәтті оқиғалар саны,

• — сәтті оқиғаның ықтималдығы,

• — биномиалдық коэффициент.

Мысал: Монетаны 10 рет лақтырғанда, дәл 7 «жүз» шығу ықтималдығын есептеу.

5. Пойсон таралуы

Пойсон таралуы — дискретті таралу, ол сирек кездесетін оқиғалардың белгілі уақыт аралығында немесе кеңістіктегі ықтималдығын сипаттайды. Пойсон таралуы белгілі бір уақыт кезеңінде немесе аймақта тек бір рет орын алатын оқиғалардың ықтималдықтарын зерттейді.

Пойсон таралуының ықтималдық функциясы мынадай:

мұндағы:

• — орташа оқиғалар саны (уақыт немесе кеңістік интервалында),

• — оқиғалардың нақты саны,

• — табиғи логарифмнің негізі.

Мысал: Бір сағатта телефон орталығына келетін қоңыраулар санының таралуы Пойсон таралуымен сипатталады.

Бұл тараулар ықтималдық теориясының негізгі бөліктері болып табылады және көптеген нақты өмір жағдайларын модельдеуге көмектеседі.

4. Кездейсоқ шамалар

Кездейсоқ шама — кездейсоқ эксперимент нәтижесінде алынатын мән. Кездейсоқ шамалар теориясы ықтималдық теориясының маңызды бөлігін құрайды және ол түрлі оқиғалар мен нәтижелердің ықтималдықтарын сипаттауға мүмкіндік береді.

1. Кездейсоқ шама және оның мәндері

Кездейсоқ шама (немесе ықтималдықтық шама) — белгілі бір эксперимент нәтижесінде алынатын, бірақ алдын ала болжанбаған мәндерді қабылдайтын айнымалы. Кездейсоқ шамалар екі түрге бөлінеді:

1. Дискретті кездейсоқ шама — тек шектеулі немесе санаулы мәндер қабылдайды (мысалы, кубиктің лақтырылған кездегі нәтижесі: 1, 2, 3, 4, 5, 6).

2. Үздіксіз кездейсоқ шама — кез келген мәнді қабылдауы мүмкін, яғни нақты шектеулерге бағынбайды (мысалы, адамның салмағы немесе температура).

Мысалдар:

• Дискретті кездейсоқ шама: Монетаны лақтырған кезде «жүз» немесе «қырық» шығу ықтималдығы.

• Үздіксіз кездейсоқ шама: Температураның өзгеруі немесе уақыттың өтуі.

2. Кездейсоқ шамалардың математикалық күтімі мен дисперсиясы

Кездейсоқ шаманың математикалық күтімі мен дисперсиясы оның сипаттамаларын анықтауға көмектеседі.

Математикалық күтім (математикалық үміт)

Математикалық күтім немесе күтілетін мән — кездейсоқ шаманың орташа мәнін білдіреді, яғни оның мүмкін мәндерінің салмағын есептеу нәтижесі. Математикалық күтім кездейсоқ шаманың орташа мәнін анықтауға көмектеседі және ол келесі формуламен есептеледі:

• Дискретті кездейсоқ шама үшін:

Мұндағы x_i — кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері, P(x_i) — сол мәннің ықтималдығы.

• Үздіксіз кездейсоқ шама үшін:

Мұндағы f(x) — ықтималдық тығыздығы функциясы.

Мысал: Егер монетаны лақтырғанда, оның шыққан нәтижесі ретінде 1 (жүз) немесе 0 (қырық) қабылдайтын кездейсоқ шама болса, онда математикалық күтім мынадай болады:

Дисперсия және стандартты ауытқу

Дисперсия — кездейсоқ шаманың математикалық күтімінен қаншалықты ауытқитынын көрсететін көрсеткіш. Ол кездейсоқ шама мәндерінің таралуын сипаттайды. Дисперсия келесі формуламен есептеледі:

• Дискретті кездейсоқ шама үшін:

Мұндағы — кездейсоқ шаманың квадраттарының математикалық күтімі.

• Үздіксіз кездейсоқ шама үшін:

Стандартты ауытқу — дисперсияның түбірі болып табылады және кездейсоқ шаманың мәндерінің таралуын өлшейді. Ол жиі кездейсоқ шаманың “орташа” ауытқу мәні ретінде қолданылады.

• Стандартты ауытқу:

Мысал: Егер кездейсоқ шама X үшін математикалық күтім және болса, онда дисперсия келесі түрде есептеледі:

Ал стандартты ауытқу:

Математикалық күтім мен дисперсия кездейсоқ шаманың сипаттамаларын толық түсінуге көмектеседі және көптеген ықтималдықтық есептерде пайдаланылады.

5. Статистика негіздері

Статистика — бұл деректерді жинау, өңдеу, талдау және интерпретациялау арқылы шешім қабылдауға көмектесетін ғылым. Статистиканың негізгі мақсаты — көп деректерден заңдылықтарды тауып, оларды түсіндіру. Бұл бөлімде статистикалық деректердің түрлері, орташа мәндер, дисперсия, стандартты ауытқу, корреляция мен регрессия сияқты негізгі ұғымдар қарастырылады.

1. Статистикалық деректер және олардың түрлері

Статистикалық деректер — зерттеу мақсатында жиналған, талданатын сандық немесе сапалық ақпарат. Деректер әртүрлі сипаттамаларға ие болып, бірнеше түрге бөлінеді:

1. Сандық деректер:

• Дискретті деректер — тек нақты мәндер қабылдайтын деректер. Мысалы, оқушылар саны, үйлердегі бөлмелер саны.

• Үздіксіз деректер — белгілі бір интервалда кез келген мәндерді қабылдайтын деректер. Мысалы, температура, салмақ, уақыт.

2. Сапалық деректер:

• Номинативті деректер — сипаттамалық қасиеттерді көрсетеді, бірақ олардың арасында реттік қатынас болмайды. Мысалы, түсі, жынысы, аймақтық орналасуы.

• Реттік деректер — деректердің арасындағы тәртіп немесе реттік қатынас бар. Мысалы, білім деңгейі (мектеп, колледж, университет).

2. Орташа мәндер: арифметикалық орташа, медиана, мода

Орташа мәндер — деректер жиынтығының негізгі сипаттамаларын көрсету үшін қолданылатын статистикалық көрсеткіштер. Олар деректердің ортасын немесе тенденциясын сипаттайды.

1. Арифметикалық орташа:

• Бұл деректер жиынтығындағы барлық мәндердің қосындысын олардың санына бөлу арқылы алынатын орташа мән.

мұндағы — деректердің мәндері, — деректердің саны.

Мысал: Егер төрт оқушының баллдары 75, 85, 90 және 80 болса, арифметикалық орташа:

2. Медиана:

• Медиана — бұл деректерді өсу немесе азаю ретімен орналастырғанда дәл ортасында орналасқан мән. Егер деректер жұп санды болса, медиана екі орталық мәннің орташа мәні болады.

Мысал: 75, 80, 85, 90 деген деректер тізімінің медианасы:

3. Мода:

• Мода — бұл жиі кездесетін дерек мәні. Егер бірнеше мәндер жиі кездессе, онда деректерде бірнеше мода болуы мүмкін.

Мысал: 75, 80, 85, 85, 90 деген деректерде мода 85 болады.

3. Дисперсия және стандартты ауытқу

Дисперсия және стандартты ауытқу — деректердің орташа мәннен қаншалықты ауытқитынын сипаттайтын көрсеткіштер.

1. Дисперсия:

• Дисперсия — кездейсоқ шаманың мәндерінің математикалық күтімінен қаншалықты ауытқитынын көрсетеді. Ол деректердің өзгеру дәрежесін өлшейді.

• Формула:

мұндағы x_i — деректердің мәндері, — орташа мән.

2. Стандартты ауытқу:

• Стандартты ауытқу — дисперсияның квадрат түбірі болып табылады және деректердің таралуын өлшеуге мүмкіндік береді.

• Формула:

Мысал: Егер деректер 75, 80, 85, 90 болса, олардың арифметикалық орташа мәні 82,5. Дисперсияны есептеу үшін әрбір мәннің орташа мәннен ауытқуының квадратын қосып, оның орташа мәнін табамыз, содан соң стандартты ауытқуды есептейміз.

4. Корреляция мен регрессия

1. Корреляция:

• Корреляция — екі немесе бірнеше айнымалы арасындағы байланысты сипаттайтын статистикалық көрсеткіш. Ол айнымалылардың бірге қалай өзгеретінін анықтауға көмектеседі.

• Корреляция коэффициенті (r) -1 мен +1 аралығында болады. r = 1 — толық оң корреляция, r = -1 — толық теріс корреляция, r = 0 — корреляция жоқ.

Мысал: Адамдардың бойы мен салмағы арасындағы корреляцияны анықтау.

2. Регрессия:

• Регрессия — айнымалының біреуінің (тәуелді айнымалы) басқа айнымалыға (тәуелсіз айнымалы) тәуелділігін сипаттайтын модель. Регрессияны қолдану арқылы айнымалылар арасындағы функционалды байланысты орнатуға болады.

• Линейлік регрессия формуласы:

y = a + bx

мұндағы y — тәуелді айнымалы, x — тәуелсіз айнымалы, a — тұрақты мүше, b — регрессия коэффициенті.

Мысал: Адамдардың жасы мен табысы арасындағы регрессияны анықтау.

Бұл статистикалық негіздер деректерді талдау мен интерпретациялау үшін маңызды құралдар болып табылады және түрлі саладағы зерттеулерде қолданылады.

6. Статистикалық зерттеу әдістері

Статистикалық зерттеу — бұл деректерді жинау, өңдеу, талдау және оларды интерпретациялау процесі, нәтижесінде дұрыс қорытындылар мен шешімдер қабылдауға көмектеседі. Бұл бөлімде деректерді жинау мен өңдеу, статистикалық талдау әдістері және деректердің визуализациясы сияқты негізгі тақырыптар қарастырылады.

1. Деректерді жинау және өңдеу

Деректерді жинау — статистикалық зерттеудің алғашқы және маңызды кезеңі. Бұл кезеңде нақты сұрақтарға жауап алу үшін қажетті деректер жинақталады.

1. Деректерді жинау әдістері:

• Сауалнама: Жеке сұрақтарға жауап алу үшін сауалнамалар мен анкета әдістері қолданылады.

• Интервью: Әңгімелесу арқылы деректер жинау.

• Құжаттаманы зерттеу: Мазмұнды немесе жазбаларды талдау арқылы ақпарат алу.

• Тікелей бақылау: Оқиғаларды немесе құбылыстарды бақылау арқылы деректер жинау.

2. Деректерді өңдеу:

• Деректерді өңдеу — оларды жүйелеу, ретке келтіру және талдау үшін дайын күйге келтіру процесі. Бұл кезеңде дұрыс емес немесе толық емес деректер анықталып, түзетіледі.

• Мәліметтерді тексеру: Деректердің толықтығын және дұрыстығын тексеру.

• Мәліметтерді сандық түрде көрсету: Жинақталған деректерді кестелер мен графиктер түрінде көрсету.

• Мәліметтерді классификациялау: Деректерді категорияларға немесе топтарға бөлу.

2. Статистикалық талдау әдістері

Статистикалық талдау — деректердің құрылымын зерттеу және оларды өңдеу арқылы ақпарат алу. Талдау әдістері түрлі тәсілдермен жүзеге асырылады:

1. Дескриптивті статистика:

• Бұл әдіс деректер жиынтығының негізгі сипаттамаларын (орташа мәндер, дисперсия, медиана, мода) есептеу және визуализациялау үшін қолданылады.

2. Инференциялық статистика:

• Инференциялық статистика үлгілер негізінде жалпы популяция туралы қорытынды жасауға мүмкіндік береді. Бұл әдіс гипотезалар тексеру, сенімділік интервалдарын есептеу және ықтималдықтар бойынша болжам жасау үшін қолданылады.

3. Корреляция мен регрессия:

• Корреляция — екі айнымалы арасындағы байланысты анықтау.

• Регрессия — бір айнымалының басқа айнымалыға тәуелділігін математикалық түрде көрсету.

4. Топтастыру әдістері:

• Бұл әдіс деректерді белгілі бір белгілеріне немесе сипаттамаларына қарай топтарға бөлуге арналған. Мысалы, кластерлеу әдісі деректер жиынтығын ұқсас қасиеттері бар топтарға бөледі.

5. Гипотезаны тексеру:

• Статистикалық тестілер арқылы нөлдік гипотезаны (немесе зерттеу гипотезасын) тексеру. Бұл тестілердің нәтижелері қорытындылар жасау үшін қолданылады. Мысалы, t-тест, χ² тест.

3. Деректердің визуализациясы (диаграммалар, графиктер)

Деректерді визуализациялау — бұл ақпаратты түсіну мен талдауды жеңілдету үшін графикалық құралдарды қолдану процесі. Визуализация әдістері деректердің құрылымын көрсетуге және оларды салыстыруға мүмкіндік береді.

1. Гистограмма:

• Бұл әдіс деректерді жиілік бойынша топтастыру және таралуын көрсету үшін қолданылады. Гистограмма деректердің қалай таралғанын анықтауға көмектеседі.

2. Сызықтық графиктер:

• Әдетте уақыттың өтуіне байланысты деректерді көрсету үшін қолданылады. Бұл әдіс деректердің өзгерісін және трендтерді көруге мүмкіндік береді.

3. Диаграмма (пироговая диаграмма):

• Деректердің пайыздық үлесін көрсету үшін қолданылады. Әсіресе категориялар бойынша деректерді көрсетуге тиімді.

4. Шашыранды диаграмма (Scatter plot):

• Екі айнымалы арасындағы байланысты көрсететін график. Әсіресе, корреляцияны анықтау үшін пайдалы.

5. Box plot (қораптық диаграмма):

• Бұл диаграмма деректердің таралуын және олардың орталық тенденцияларын көрсету үшін қолданылады. Ол медиананы, бірінші және үшінші квартильдерді, сондай-ақ экстремалды мәндерді көрсетеді.

Мысал: Егер зерттеу нәтижесінде өнімнің бағасы мен сұранысы арасындағы байланысты анықтағыңыз келсе, сіз деректерді шашыранды диаграммада көрсету арқылы олардың арасындағы байланысты көруге болады.

Деректердің визуализациясы зерттеу нәтижелерін түсіндіруде, сонымен қатар нәтижелердің статистикалық маңыздылығын дәлелдеу үшін өте маңызды құрал болып табылады.

7. Статистикалық гипотезаларды тексеру

Статистикалық гипотезаларды тексеру — бұл белгілі бір деректер негізінде зерттеушінің болжамдарын тексеру процесі. Статистикалық гипотеза тексерудің мақсаты — белгілі бір гипотезаның ақиқат екендігін анықтау. Бұл процесс нөлдік гипотеза мен альтернативті гипотезаны салыстыруға негізделген.

1. Нөлдік және альтернативті гипотезалар

1. Нөлдік гипотеза (H₀):

• Нөлдік гипотеза — бұл зерттеу гипотезасына қарама-қарсы тұратын болжам. Ол көбінесе зерттелетін фактордың әсерінің жоқтығын немесе айнымалының арасында байланыстың болмауын білдіреді. Мысалы, дәрі-дәрмектің әсері жоқ деп есептеу.

Мысал: Тұтынушылардың жасы мен сатып алу көлемі арасында байланыстың жоқтығын көрсету үшін нөлдік гипотеза мынадай болады: “Жас пен сатып алу көлемі арасында ешқандай байланыс жоқ.”

2. Альтернативті гипотеза (H₁ немесе Hₐ):

• Альтернативті гипотеза — бұл нөлдік гипотезаға қарсы болжам. Ол зерттелетін айнымалының арасында байланыс немесе әсер бар екенін көрсетеді. Альтернативті гипотеза нөлдік гипотезаның қателігінен кейін қабылданады.

Мысал: Тұтынушылардың жасы мен сатып алу көлемі арасында байланыс бар деген болжам: “Жас пен сатып алу көлемі арасында оң немесе теріс байланыс бар.”

2. Қателік түрлері және олардың ықтималдықтары

1. Түрі I қателігі (α қателігі):

• Түрі I қателігі — нөлдік гипотезаны қате түрде қабылдамау, яғни, гипотеза дұрыс болған кезде оны қабылдамай, қате шешім қабылдау. Бұл қателік “жалған позитив” деп аталады. Ықтималдығы \alpha деп белгіленеді, ол зерттеу кезінде таңдалған деңгей (әдетте 0,05 немесе 5%).

Мысал: Егер зерттеу нәтижесінде дәрі-дәрмектің тиімділігін көрсетпегенде, бірақ біз оны тиімді деп тапсақ, бұл түрі I қателігі болады.

2. Түрі II қателігі (β қателігі):

• Түрі II қателігі — альтернативті гипотезаны қате түрде қабылдамау, яғни гипотеза дұрыс болған кезде оны жоққа шығару. Бұл қателік “жалған негатив” деп аталады. Ықтималдығы \beta деп белгіленеді.

Мысал: Егер зерттеу нәтижесінде дәрі-дәрмек тиімді болса, бірақ біз оны тиімді емес деп шешсек, бұл түрі II қателігі болады.

3. Қателік ықтималдығын басқару:

• Қателік ықтималдығын дұрыс басқару үшін \alpha және \beta деңгейлерін таңдағанда, зерттеу мақсаттарын және мүмкін болатын қателіктердің зардаптарын ескеру қажет.

3. Статистикалық тексерудің әдістері

Статистикалық гипотезаны тексеру үшін түрлі әдістер мен тестілер қолданылады. Олардың әрқайсысы нақты жағдайға байланысты таңдалады.

1. t-тест:

• t-тест — бұл екі үлгінің орташа мәндерінің арасындағы айырмашылықты тексеру үшін қолданылатын статистикалық әдіс. Бұл әдіс негізінен үлгілердің аз көлемі (әдетте 30-дан аз) болған жағдайда қолданылады.

• Тәуелсіз t-тест екі түрлі топтың орташа мәндерін салыстыру үшін қолданылады.

• Жұптық t-тест екі топтағы бірдей тұлғалардың орташа мәндерінің айырмашылығын тексереді.

2. χ² тест (хи-квадрат тесті):

• Бұл тест категориялық деректер үшін қолданылады және екі немесе бірнеше айнымалы арасындағы тәуелділік немесе тәуелсіздік дәрежесін анықтау үшін қолданылады. Мысалы, екі топ арасындағы жиілік айырмашылықтарын тексеру.

Мысал: Тұтынушылардың жасы мен өнім таңдауы арасындағы байланысты тексеру.

3. ANOVA (Анализ дисперсии):

• ANOVA тесті бір немесе бірнеше факторлардың бірнеше топтардың орташа мәндеріне әсерін анықтау үшін қолданылады. Бұл әдіс үш немесе одан да көп топтарды салыстыруға мүмкіндік береді.

Мысал: Егер үш түрлі жарнама стратегиясы бар болса, олардың тұтынушыларды тартудағы тиімділігін салыстыру үшін ANOVA тесті қолданылады.

4. Корреляциялық талдау:

• Корреляциялық талдау екі айнымалының арасындағы сызықтық байланысты анықтайды. Корреляция коэффициенті (r) -1 мен +1 аралығында болады. Егер r = 0, онда айнымалылар арасында ешқандай байланыс жоқ деп саналады.

5. Z-тест:

• Z-тест үлгілердің орташа мәндерінің арасындағы айырмашылықты тексеру үшін пайдаланылады, әдетте үлгілердің көлемі үлкен болғанда қолданылады. Бұл әдіс нормалды таралуы бар деректер үшін қолайлы.

6. Критерийлердің таңдалуы:

• Статистикалық гипотезаларды тексеру барысында дұрыс тестілерді таңдау маңызды. Әр тест белгілі бір жағдайға сәйкес келеді, мысалы, деректердің таралуы немесе өлшемнің көлемі.

Статистикалық гипотезаны тексеру ғылым мен практиканың түрлі салаларында маңызды роль атқарады. Ол деректер негізінде дұрыс шешімдер қабылдауға, нақты әрі дәл қорытындылар жасауға мүмкіндік береді. Гипотезаны тексеру нәтижесінде қабылданатын шешімдер әртүрлі қателіктер мен ықтималдықтарды ескере отырып, ғылыми дәлдікке негізделеді.

8. Қорытынды

1. Ықтималдық теориясы және статистиканың қолдану салалары

Ықтималдық теориясы және статистика — ғылым мен практиканың көптеген салаларында кеңінен қолданылады. Бұл салалар деректерді талдау мен шешім қабылдауды тиімді ету үшін маңызды құралдар болып табылады.

1. Ғылым:

• Ықтималдық теориясы мен статистика эксперименттік зерттеулердің нәтижелерін талдау үшін қолданылады. Бұл салада ғылыми гипотезалар тексеріліп, зерттеулердің дәлдігі мен сенімділігі бағаланады.

2. Медицина:

• Статистика медициналық зерттеулерде, аурулардың таралуын бақылауда, дәрі-дәрмектердің тиімділігін бағалауда және эпидемиологиялық зерттеулерде қолданылады. Ықтималдық теориясы пациенттер мен аурулардың арасындағы ықтимал байланыстарды түсінуге көмектеседі.

3. Экономика және қаржы:

• Экономика мен қаржы саласында статистика нарықтың, акциялардың бағамдарын, инфляция деңгейін және басқа да экономикалық көрсеткіштерді талдау үшін қолданылады. Ықтималдық теориясы инвестициялар мен тәуекелдер арасындағы байланысты түсінуге көмектеседі.

4. Әлеуметтік ғылымдар:

• Әлеуметтік ғылымдарда статистика әлеуметтік зерттеулер, сауалнамалар мен қоныстанушылардың мінез-құлықтарын зерттеу үшін пайдаланылады. Ықтималдық теориясы әлеуметтік құбылыстар мен тенденцияларды болжамдауға мүмкіндік береді.

5. Инженерия және өндіріс:

• Өндіріс саласында статистика сапаны бақылау, өндірістік процестерді оңтайландыру және ресурстарды тиімді басқару үшін қолданылады. Ықтималдық теориясы техникалық жүйелердегі ақаулар мен қателіктерді болжауға көмектеседі.

6. Күнделікті өмірде:

• Ықтималдық және статистика жеке өмірде де қолданыла алады, мысалы, ұтыс ойындарында ықтималдықты есептеу, болашақтағы оқиғалар туралы болжамдар жасау кезінде.

2. Оқушылардың алған білімін қолдану жолдары

Оқушылар ықтималдық теориясы мен статистиканы тек теориялық тұрғыдан ғана емес, практикада да қолдана білуі қажет. Алған білімдерін тиімді пайдалану жолдары:

1. Жоба жұмыстарында қолдану:

• Оқушылар статистикалық деректерді жинақтап, өңдеп, талдай отырып, нақты зерттеу жобаларын орындау арқылы білімдерін қолдана алады. Мысалы, әлеуметтік зерттеулер, экологиялық зерттеулер немесе мектептік сауалнамалар жүргізу арқылы алған дағдыларын тәжірибеде пайдалана алады.

2. Практикалық есептер шешу:

• Ықтималдық пен статистика негізінде түрлі есептер мен тапсырмаларды шешу оқушылардың дағдыларын арттырады. Оқушылар мектепте, жоғары оқу орындарында немесе болашақта жұмыс барысында жиі кездесетін статистикалық мәліметтерді талдау және шешім қабылдау дағдыларын меңгереді.

3. Күнделікті өмірде қолдану:

• Оқушылар ықтималдық теориясы мен статистика негіздерін күнделікті өмірде де қолдана алады. Мысалы, тұтынушылық шешімдер қабылдауда, экономика мен нарық жағдайларын талдауда, түрлі оқиғалар мен апаттардың ықтималдығын бағалауда.

4. Ғылыми-зерттеу жұмыстарында қолдану:

• Оқушылар мектептік немесе университеттік ғылыми-зерттеу жұмыстарында статистикалық әдістерді қолдана алады. Бұл ғылыми жобалар барысында деректерді жинап, өңдеп, оларды ғылыми қорытындылар жасауға пайдалану мүмкіндігі бар.

5. Болашақта мамандық таңдауда қолдану:

• Ықтималдық теориясы мен статистиканың негіздерін меңгерген оқушылар түрлі мамандық салаларында жұмыс істеу барысында бұл білімді қолдана алады. Мысалы, маркетинг, қаржы, экономика, медицина, әлеуметтік зерттеулер және тағы басқа салаларда бұл дағдылар маңызды рөл атқарады.

Қорытындылай келе, ықтималдық теориясы мен статистика қазіргі заманғы білім беру жүйесінде маңызды орын алады. Оқушылар бұл пәндер арқылы логикалық ойлау, талдау қабілеттерін дамытады, сондай-ақ осы білімді практикада тиімді пайдалану дағдыларын қалыптастырады.

9. Қосымша материалдар

Бұл бөлімде ықтималдық теориясы және статистика тақырыптары бойынша тапсырмалар мен жаттығулар ұсынылады, олар оқушылардың білімін тереңдетуге және дағдыларын шыңдауға бағытталған.

1. Тапсырмалар мен жаттығулар

Ықтималдық теориясының негіздері бойынша тапсырмалар

Тапсырма 1:

Бір ыдыста 5 қызыл және 3 көк шар бар. Бір шарды кездейсоқ таңдағанда, қызыл шарды алу ықтималдығын анықтаңыз.

• Шешім:

Тапсырма 2:

Бір мезгілде екі монета лақтырылғанда, кемінде біреуі жазылған болуы ықтималдығын есептеңіз.

• Шешім: Ықтималдықты әртүрлі жағдайларды ескере отырып есептеу.

Тапсырма 3:

Жігіт кездейсоқ 10 адамнан тұратын топтың ішінен екі адамды таңдайды. Қосымша ықтималдықты есептеңіз, егер 2 адам да ер адамдар болса.

• Шешім: Ықтималдықты кездейсоқ таңдау жағдайында есептеу.

Ықтималдық таралуы бойынша тапсырмалар

Тапсырма 1:

Биномиалды таралуы бар 10 оқушыдан тұратын топта, әр оқушының өз міндетін орындау ықтималдығы 0.6. Осы топта дәл 6 оқушы міндетін орындау ықтималдығын есептеңіз.

• Шешім: Биномиалды таралу формулаларын қолданыңыз.

Тапсырма 2:

Пойсон таралуымен 10 минутта орташа есеппен 3 адам келеді. 10 минут ішінде 5 адамның келу ықтималдығын есептеңіз.

• Шешім: Пойсон таралуының формулаларын пайдалану.

Статистика негіздері бойынша тапсырмалар

Тапсырма 1:

Бір сыныптағы оқушылардың балдары: 80, 75, 90, 85, 70. Осы сыныптың орташа балын табыңыз.

• Шешім: Арифметикалық орташа формуласы бойынша есептеңіз.

Тапсырма 2:

Келесі балдар жиынтығы берілген: 70, 60, 80, 90, 100. Осы жиынтықтың медианасын табыңыз.

• Шешім: Медиананы табу әдісін қолданыңыз.

Тапсырма 3:

Үш түрлі дүкеннен алынған сатып алушылар санының мәліметтері:

• Дүкен 1: 150 сатып алушы

• Дүкен 2: 120 сатып алушы

• Дүкен 3: 180 сатып алушы

Осы дүкендердің сатып алушылар саны арасындағы корреляцияны анықтаңыз.

• Шешім: Корреляция коэффициентін есептеу.

Статистикалық зерттеу әдістері бойынша тапсырмалар

Тапсырма 1:

Мектептегі оқушылар арасында сауалнама жүргізу арқылы келесі сұраққа жауап алыңыз: “Сіз қанша уақыт интернетте боласыз?” Мәліметтерді жинап, оларды өңдеу және талдау жүргізіңіз.

• Шешім: Мәліметтерді жинап, статистикалық әдістерді пайдаланып талдау жасау.

Тапсырма 2:

Қаладағы әртүрлі дәмханалардың орташаланған қызмет көрсету сапасын бағалау үшін сауалнама жүргізіңіз және осы деректерді диаграммалар арқылы көрсету.

• Шешім: Деректерді визуализациялау үшін графиктер мен диаграммаларды пайдалану.

Статистикалық гипотезаларды тексеру бойынша тапсырмалар

Тапсырма 1:

Бір мектепте оқушылардың орташа тест нәтижесі 75 балл деп саналады. Егер бір сыныптан алынған 30 оқушының тест нәтижелері 80 балл болса, бұл мектептегі орташа көрсеткішке қарағанда жоғары ма екенін тексеріңіз.

• Шешім: t-тестінің көмегімен гипотезаны тексеру.

Тапсырма 2:

Эксперименттің нәтижесінде жаңа дәрі-дәрмектің әсері бойынша екі топ арасындағы айырмашылықты тексеріңіз: 50 пациенттен тұратын бірінші топ және 50 пациенттен тұратын екінші топ.

• Шешім: t-тест немесе ANOVA әдісін пайдалану.

Бұл тапсырмалар мен жаттығулар оқушылардың ықтималдық теориясы мен статистика бойынша білімдерін нығайтуға көмектеседі және оларды практикалық дағдылармен таныстырады.

2. Статистикалық кестелер мен формулалар

1. Статистикалық формулалар

1. Орташа мәндер

• Арифметикалық орташа (X̄):

Мұндағы — жеке бақылаулардың мәндері, n — бақылаулар саны.

• Медиана:

Медиана — бұл деректер жиынтығын өсуші немесе кему тәртібімен реттегенде ортаңғы мән. Егер деректер саны тақ болса, медиана орталық мәнге тең, жұп болса, екі орталық мәннің арифметикалық ортасы алынады.

• Мода:

Мода — жиі кездесетін мән. Егер бірнеше мәндер жиі кездессе, онда деректер жиынтығында бірнеше мода болуы мүмкін.

2. Дисперсия мен стандартты ауытқу

• Дисперсия (σ²):

Мұндағы — деректердің жеке мәндері, X̄ — орташа мән, n — деректер саны.

• Стандартты ауытқу (σ):

Бұл көрсеткіш деректердің орташа мәннен қаншалықты ауытқитынын білдіреді.

3. Корреляция коэффициенті (r)

• Пирсонның корреляция коэффициенті:

Мұндағы X және Y — айнымалылар, n — бақылаулар саны.

4. Регрессия теңдеуі

• Бір айнымалы үшін регрессия теңдеуі:

Y = a + bX

Мұндағы Y — тәуелді айнымалы, X — тәуелсіз айнымалы, a — еркін мүше, b — регрессия коэффициенті.

2. Ықтималдық таралуы бойынша формулалар

1. Биномиалды таралу формуласы

• Биномиалды ықтималдық:

Мұндағы n — эксперименттер саны, k — сәтті оқиғалардың саны, p — бір оқиғаның ықтималдығы, — биномиалды коэффициент.

2. Пойсон таралуы формуласы

• Пойсон ықтималдығы:

Мұндағы — орташа оқиғалар саны, k — нақты оқиғалардың саны, e — Н e-тің мәні (шамамен 2.71828).

3. Нормальды таралуы

• Нормальды таралу ықтималдығы:

Мұндағы — орташа мән, — стандартты ауытқу.

4. Үздіксіз таралу (Кумулятивтік ықтималдық)

• Үздіксіз ықтималдық:

Мұндағы f(x) — ықтималдық тығыздығының функциясы.

3. Статистикалық кестелер

1. t-студенттің таралуы

t-студенттің таралуы екі деректер жиынтығының орташа мәндерінің айырмашылығының мәнін тексеруге арналған статистика. Таблицалық мәндер келесі параметрлер бойынша анықталады:

• Еркіндік дәрежесі

2. z-таблицасы (нормальды таралу)

Нормальды таралу үшін стандартты z-ұзындығы:

ұндағы X — нақты мән, — орташа мән, — стандартты ауытқу.

3. Хи-квадрат таралуы

Хи-квадрат таралуы категориялық деректер үшін қолданылады. Критикалық мәндер \alpha- деңгейіне сәйкес анықталады.

Бұл кестелер мен формулалар ықтималдық теориясы мен статистика бойынша есептерді тиімді шешу үшін пайдаланылуы мүмкін.

10. Қосымша есептер және шешімдер

Бұл бөлімде ықтималдық теориясы бойынша қосымша есептер мен олардың шешімдері ұсынылады, олар оқушылардың білімін практикада қолдану дағдыларын қалыптастыруға көмектеседі.

1. Ықтималдық теориясы бойынша есептер

Есеп 1: Бір монета лақтыру

Мәселе: Бір монета лақтырылғанда, жазылған жағын алу ықтималдығын есептеңіз.

Шешім:

Монета екі жағы бар — жаз және бастар. Әр жағында бірдей ықтималдық бар, яғни ықтималдық:

Жауап: Ықтималдық = 0.5 немесе 50%.

Есеп 2: Қызыл және көк шарлар

Мәселе: Бір ыдыста 5 қызыл және 3 көк шар бар. Бір шарды кездейсоқ таңдағанда, қызыл шарды алу ықтималдығын анықтаңыз.

Шешім:

Ыдыста барлығы 5 + 3 = 8 шар бар. Қызыл шардың саны 5. Ықтималдықты есептеу үшін:

Жауап: Ықтималдық = 0.625 немесе 62.5%.

Есеп 3: Монетаның екі рет лақтырылған кездегі ықтималдық

Мәселе: Бір монета екі рет лақтырылғанда, кемінде бір рет жазылу ықтималдығын есептеңіз.

Шешім:

Монета лақтырылғанда мүмкін болатын жағдайлар:

1. Жаз-Жаз

2. Жаз-Бастар

3. Бас-Жаз

4. Бас-Бас

Кемінде бір рет жазылу жағдайлары:

• Жаз-Жаз

• Жаз-Бастар

• Бас-Жаз

Кемінде бір жазылу ықтималдығы:

Жауап: Ықтималдық = 0.75 немесе 75%.

Есеп 4: Биномиалды таралу

Мәселе: Бір оқушының 10 рет тест тапсыруда әрбір тестті дұрыс орындау ықтималдығы 0.6. Осы оқушының дәл 6 рет дұрыс тест тапсыру ықтималдығын табыңыз.

Шешім:

Биномиалды таралу формуласын қолданамыз:

мұндағы:

• n = 10 — тест саны,

• k = 6 — дұрыс жауаптар саны,

• p = 0.6 — дұрыс жауаптың ықтималдығы.

Биномиалды коэффициент:

Ықтималдықты есептейік:

Жауап: Ықтималдық ≈ 0.2503 немесе 25.03%.

Есеп 5: Пойсон таралуы

Мәселе: Пойсон таралуы бойынша, орташа есеппен 5 клиент дүкенге 1 сағатта келеді. Бір сағатта 3 клиент келу ықтималдығын есептеңіз.

Шешім:

Пойсон таралуының формуласын қолданамыз:

мұндағы:

• = 5 — орташа клиенттер саны (сағатқа),

• k = 3 — нақты келген клиенттер саны.

Ықтималдықты есептейік:

Жауап: Ықтималдық ≈ 0.1404 немесе 14.04%.

Есеп 6: Кездейсоқ оқиғалар арасындағы байланыс

Мәселе: Бір ыдыста 4 қызыл және 6 көк шар бар. Бірінші шарды алғанда, қызыл шар алу ықтималдығы қандай? Егер бірінші шар қызыл болып шықса, екінші шарды алу ықтималдығы қандай (көк)?

Шешім:

• Бірінші қызыл шарды алу ықтималдығы:

Егер бірінші шар қызыл болса, ыдыста 3 қызыл және 6 көк шар қалады. Екінші шар көк болу ықтималдығы:

Жауап:

• Бірінші шарды қызыл алу ықтималдығы = 0.4

• Екінші шарды көк алу ықтималдығы (бірінші шар қызыл болса) = 0.6667

Есеп 7: Стандартты ауытқу

Мәселе: Мектептің 10 сыныбында оқушылардың тест нәтижелері келесідей: 85, 90, 75, 88, 92, 84, 78, 91, 87, 82. Осы тест нәтижелерінің стандартты ауытқуын табыңыз.

Шешім:

Алдымен, орташа мәнді табамыз:

Келесі қадам, дисперсияны есептеу:

Дисперсияны есептей отырып, стандартты ауытқуды аламыз:

Жауап: Стандартты ауытқу ≈ 5.04.

Бұл есептер мен шешімдер ықтималдық теориясы және статистика бойынша негізгі ұғымдарды түсінуге және оларды қолдануда тәжірибе жинақтауға мүмкіндік береді.

2. Статистика бойынша есептер

Есеп 1: Орташа мәндерді есептеу

Мәселе: Бір сыныптың оқушыларының тест нәтижелері келесідей:

85, 90, 75, 88, 92, 84, 78, 91, 87, 82.

Осы деректердің арифметикалық орташа мәнін, медианасын және модасын есептеңіз.

Шешім:

• Арифметикалық орташа мән:

• Медиана (ортасындағы мән):

Деректерді өсу ретімен орналастырамыз:

75, 78, 82, 84, 85, 87, 88, 90, 91, 92

Сан тақ болса, медиана – ортасындағы мән. Ал мұнда 10 мән бар, сондықтан медиана екі орталық мәннің орташа мәні:

• Мода (жиі кездесетін мән):

Барлық мәндер бірдей жиілікпен кездеседі, сондықтан мода жоқ.

Жауап:

• Орташа мән: 85.2

• Медиана: 86

• Мода: жоқ

Есеп 2: Дисперсия және стандартты ауытқу

Мәселе: Бір топтағы студенттердің емтихан нәтижелері:

72, 88, 95, 80, 76, 84, 90.

Осы мәліметтер бойынша дисперсияны және стандартты ауытқуды есептеңіз.

Шешім:

1. Орташа мәнді табамыз:

2. Дисперсия (σ²) формуласы:

Әр мәннің орташа мәннен ауытқуын есептейік:

Дисперсия:

3. Стандартты ауытқу (σ):

Жауап:

• Дисперсия: 56.71

• Стандартты ауытқу: 7.54

Есеп 3: Корреляция коэффициентін есептеу

Мәселе:

Екі айнымалының (математика бағасы мен физика бағасы) байланысын анықтау үшін келесі мәліметтер берілген:

Пирсон корреляция коэффициентін (r) есептеңіз.

Шешім:

Пирсон корреляция коэффициентінің формуласы:

Есептеу үшін:

Формулаға қоямыз:

Жауап: Корреляция коэффициенті (жоғары оң корреляция).

Есеп 4: Нөлдік гипотезаны тексеру (t-тест)

Мәселе:

Екі сыныптың тест нәтижелері:

Осы екі сыныптың орташа баллдары арасында айырмашылық бар ма? (α = 0.05 деңгейінде).

Шешім:

t-критерий формуласы:

Мұндағы:

t-статистикасы:

Критикалық мән (t-кесте бойынша)

t есептелген мәні 2.306-дан кіші, сондықтан нөлдік гипотеза қабылданады. Яғни, екі сыныптың тест нәтижелерінде айтарлықтай айырмашылық жоқ.

Бұл есептер статистиканың негізгі әдістерін практикада қолдануға көмектеседі.

Пайдаланылған әдебиеттер

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2020.

2. Пугачев В.С., Синицин И.Н. Вероятность и математическая статистика. – М.: Физматлит, 2019.

3. Шенцова И.В., Шмидт Г.Ю. Основы математической статистики. – СПб.: Питер, 2018.

4. Mood A.M., Graybill F.A., Boes D.C. Introduction to the Theory of Statistics. – McGraw-Hill, 2017.

5. Casella G., Berger R.L. Statistical Inference. – Duxbury Press, 2019.

6. Жексенбаев М.Қ. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика: Оқу құралы. – Алматы: Қазақ университеті, 2021.

7. Қалтаев С., Әбілқасымова А. Математикалық статистика негіздері. – Нұр-Сұлтан: Фолиант, 2020.

8. Freedman D., Pisani R., Purves R. Statistics. – Norton & Company, 2018.

9. Ross S.M. Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists. – Academic Press, 2022.

10. ISO 2859-1:1999 Sampling procedures for inspection by attributes – Part 1: Sampling schemes indexed by acceptance quality limit (AQL) for lot-by-lot inspection.

11. Чистяков В.В. Вероятностные пространства. – М.: МЦНМО, 2017.

12. Джонсон Р., Гупта А. Статистические методы анализа данных. – М.: Мир, 2019.

13. Боровков А.А. Математическая статистика. – М.: Лань, 2020.

14. Кендалл М., Стюарт А. Теория распределений. – М.: Мир, 2018.

15. Cox D.R., Hinkley D.V. Theoretical Statistics. – Chapman & Hall, 2019.

16. Hogg R.V., McKean J.W., Craig A.T. Introduction to Mathematical Statistics. – Pearson, 2021.

17. Kendall M., Ord J.K. Kendall’s Advanced Theory of Statistics. – Wiley, 2018.

18. Wasserman L. All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference. – Springer, 2020.

19. DeGroot M.H., Schervish M.J. Probability and Statistics. – Addison-Wesley, 2021.

20. Bishop C.M. Pattern Recognition and Machine Learning. – Springer, 2019.