Ықтималдықтар теориясы Марков процестері

СӨЖ (Реферат) тапсырмасы

Марков процестері

Марков процесі - бұл стохастикалық модель сипаттайтын а жүйелі әр оқиғаның ықтималдығы тек алдыңғы оқиғадағы жағдайға байланысты болатын ықтимал оқиғалар туралы. A шексіз тізбегі, онда тізбектің күйі дискретті уақыт қадамдарымен қозғалады, а Марков дискретті тізбегі (DTMC). A үздіксіз уақыт процесс а деп аталады үздіксіз Марков тізбегі (CTMC). Оның аты аталған Орыс математик Андрей Марков.

Марков тізбектерінің көптеген қосымшалары бар статистикалық модельдер нақты процестер, оқу сияқты круиздік басқару жүйелері жылы автокөлік құралдары, әуежайға келетін клиенттердің кезектері немесе кезектері, валюта валюта бағамдары және жануарлар популяциясының динамикасы.

Марков процестері жалпы стохастикалық модельдеу әдістерінің негізі болып табылады Марков тізбегі Монте-Карло, олар ықтималдықтың үлестірілуінен сынамаларды іріктеуді модельдеуге арналған және қолданбаны тапты Байес статистикасы, термодинамика, статистикалық механика, физика, химия, экономика, қаржы, сигналдарды өңдеу, ақпарат теориясы және жасанды интеллект. Марков процесі — жаратылыстану мен техниканың әр түрлі бөлімдерінде қолданылатын кездейсоқ процестердің арнаулы түрі. М. п. көптеген процестердің үлгісі ретінде физикада (радиоактивті заттың ыдырауы, каскадтық процестер), биологияда (популяцияның өсуі, мутация процесі, эпидемияның таралуы), астрономияда (галактика жарықтылығының флуктуациясы), химияда, т.б. қолданылады. Уақыттың кез келген екі мезетінде t0 және t1 (t0<t1), t t0 жағдайында Х(t) мәндерінің барлығы белгілі болып, ол тек Х(t0)-ден ғана тәуелді болған кезде Х(t1) шартты түрде бөлінсе, Х(t) кездейсоқ процесі М. п. деп аталады. 1907 жылдан орыс математигі А.А. Марков (1856 — 1922) еңбектерінде қолданыла бастады. Ол тәуелді сынаулар тізбегі мен оларға байланысты кездейсоқ шамалардың қосындысын зерттеуде қолданған. М. п-нің жалпы теориясы мен олардың жіктелімін кеңес математигі А.Н. Колмогоров (1903 — 1987) жасады (1930). t уақыттың әрбір сәтінде жүйе Е1(t), Е1(t), ... Еn(t) күйлерінің бірінде болуы мүмкін және ол уақыт өткен сайын бір күйден екінші күйге ауысады. М. п. үшін t уақыт аралығында Eі(t) күйінен біршама уақыт өткеннен кейін Ej(t+ t) күйіне ауысуы біртекті жағдайда ріj(t,t) немесе ріj( t) ықтималдығымен анықталады және бұл ықтималдық процестің бұрынғы дамуына тәуелді болмайды. ріj ықтималдығы ауыспалы ықтималдық деп аталады. Өте ауқымды шарттар орындалған жағдайда М. п-нің ауыспалы ықтималдығы сызықтық біртекті дифференциал теңдеулер жүйесін қанағаттандырады. Мұндай М. п-нің типті мысалы тармақталу процесі болып табылады. Үздіксіз өзгеретін параметрлерге тәуелді болатын кейбір жүйе күйлерінің кездейсоқ өзгеруінде М. п. маңызды рөл атқарады. Қ. Қаңлыбаев.

Анықтама

Марков процесі - бұл стохастикалық процесс қанағаттандыратын Марковтың меншігі (кейде «ретінде сипатталады есте сақтау қабілеті Қарапайым тілмен айтқанда, бұл болашақтағы нәтижелерге тек оның қазіргі күйіне негізделген болжамдар жасауға болатын процесс және ең бастысы - процедураның толық тарихын біле отырып жасалуы мүмкін болжамдар сияқты жақсы болжамдар. Басқа сөздермен айтқанда, шартты жүйенің қазіргі жағдайы, оның болашағы және өткен күйлері туралы тәуелсіз.

Марков тізбегі - бұл дискретті Марков процесінің түрі мемлекеттік кеңістік немесе дискретті индекс жиынтығы (көбінесе уақытты білдіреді), бірақ Марков тізбегінің нақты анықтамасы әр түрлі болады. Мысалы, екеуінде де Марков тізбегін Марков процесі ретінде анықтау кең таралған дискретті немесе үздіксіз уақыт есептелетін күй кеңістігімен (осылайша уақыт сипатына қарамастан), сонымен қатар Марков тізбегін есептелетін немесе үздіксіз күй кеңістігінде (осылайша күй кеңістігіне қарамастан) дискретті уақытқа ие деп анықтау кең таралған.

Марков процесінің түрлері

Жүйе мемлекеттік кеңістік және уақыт параметрінің индексін көрсету керек. Келесі кестеде күй кеңістігінің жалпы деңгейлерінің әр түрлі деңгейлері үшін және әр түрлі Марков процестерінің шолу берілген дискретті уақыт және үздіксіз уақыт:

Марков процестерінің ерекше жағдайларын білдіретін кейбір терминдерді қолдану туралы әдебиеттерде нақты келісім жоқтығына назар аударыңыз. Әдетте «Марков тізбегі» термині дискретті уақыт жиыны бар процесс үшін сақталады, яғни а дискретті уақыттағы Марков тізбегі (DTMC), бірақ бірнеше авторлар а сілтемесі үшін «Марков процесі» терминін қолданады үздіксіз Марков тізбегі (CTMC) нақты ескертусіз. Сонымен қатар, Марков процестерінің басқа кеңейтімдері бар, олар аталған деп аталады, бірақ міндетті түрде осы төрт санаттың ешқайсысына жатпайды (қараңыз) Марков моделі). Сонымен қатар, уақыт индексі міндетті түрде нақты бағаланбайды; жай кеңістіктегі сияқты, басқа математикалық құрылымдармен бірге индекстер жиынтығы арқылы қозғалатын процестер бар. Марков тізбегінің үздіксіз уақыттық жалпы кеңістігі қандай да бір дәрежеде жалпылама болатындығына назар аударыңыз.

Уақыт параметрі әдетте дискретті болғанымен мемлекеттік кеңістік Марков тізбегінің жалпыға бірдей келісілген шектеулері жоқ: термин ерікті күй кеңістігіндегі процесті білдіруі мүмкін. Алайда, Марков тізбектерінің көптеген қосымшаларында ақырғы немесе шексіз статистикалық талдауға ие жай кеңістіктер. Уақыт индексі мен күй-кеңістік параметрлерінен басқа көптеген вариациялар, кеңейтулер мен жалпылау бар (қараңыз) Вариациялар). Қарапайымдылық үшін, осы мақаланың көп бөлігі, егер басқаша айтылмаса, дискретті уақыт, дискретті күй-кеңістік жағдайына шоғырланған.

Тарихы

Марков 20 ғасырдың басында Марков процестерін зерттеп, 1906 жылы осы тақырыпқа арналған алғашқы мақаласын жариялады. Үздіксіз уақыттағы Марков процестері бұрыннан табылған Андрей Марков20 ғасырдың басындағы жұмыс түрінде Пуассон процесі. Марков келіспегендіктен туындаған тәуелсіз кездейсоқ тізбектердің кеңеюін зерттеуге қызығушылық танытты Павел Некрасов тәуелсіздік үшін қажет деп мәлімдеді үлкен сандардың әлсіз заңы ұстап тұру. Марков тізбектері туралы 1906 жылы жарияланған бірінші мақаласында Марков белгілі бір жағдайларда Марков тізбегінің орташа нәтижелері мәндердің тұрақты векторына жақындата түсетіндігін көрсетті, сондықтан тәуелсіздікке жол бермей үлкен сандардың әлсіз заңын дәлелдеді, әдетте мұндай математикалық заңдарды сақтаудың талабы ретінде қарастырылды. Кейін Марков дауысты дыбыстардың таралуын зерттеу үшін Марков тізбегін қолданды Евгений Онегин, жазылған Александр Пушкин, және дәлелдеді орталық шек теоремасы осындай тізбектер үшін.

1912 жылы Анри Пуанкаре Марков тізбектерін зерттеді ақырғы топтар картаны араластыруды зерттеу мақсатында. Марков тізбектерінің басқа ерте қолдануларына диффузиялық модель кіреді Пауыл және Татьяна Эренфест 1907 ж. және енгізілген тармақталу процесі Фрэнсис Галтон және Генри Уильям Уотсон Марковтың жұмысынан бұрын 1873 ж. Гальтон мен Уотсонның жұмыстарынан кейін олардың тармақталу процесін шамамен 30 жыл бұрын дербес ашқан және зерттегені анықталды. Ирени-Жюль Биенайме. 1928 жылдан бастап, Морис Фречет Марков тізбектеріне қызығушылық танытып, нәтижесінде 1938 жылы Марков тізбектері туралы егжей-тегжейлі зерттеу жариялады.

Андрей Колмогоров 1931 жылғы мақалада Марковтың үздіксіз процестерінің алғашқы теориясының едәуір бөлігі дамыды. Колмогоров ішінара Луис Бачельедің 1900 жылғы қор нарығындағы ауытқулар жөніндегі жұмысы шабыттандырды. Норберт ВинерЭйнштейн моделі бойынша жұмыс броундық қозғалыс. Ол диффузиялық процестер деп аталатын Марков процестерінің белгілі бір жиынтығын енгізді және зерттеді, онда процестерді сипаттайтын дифференциалдық теңдеулер жиынтығын шығарды. Колмогоровтың жұмысынан тәуелсіз, Сидней Чэпмен 1928 жылы шыққан, қазір деп аталатын теңдеу Чапман - Колмогоров теңдеуі, Колмогоровқа қарағанда аз математикалық қатаң түрде, броундық қозғалысты зерттегенде. Дифференциалдық теңдеулер енді Колмогоров теңдеулері деп аталады немесе Колмогоров - Чапман теңдеулері. Марков процестерінің негізіне айтарлықтай үлес қосқан басқа математиктер Уильям Феллер, 1930 жылдардан бастап, содан кейін Евгений Динкин, 1950 жылдардан бастап.

Мысалдар

Кездейсоқ серуендер бүтін сандарға негізделген құмар ойыншылардың қирауы мәселе - бұл Марков процестерінің мысалдары. Бұл процестердің кейбір вариациялары жүздеген жылдар бұрын тәуелсіз айнымалылар аясында зерттелген.Марков процестерінің екі маңызды мысалы: Wiener процесі, деп те аталады Броундық қозғалыс процесс және Пуассон процесі, стохастикалық процестер теориясындағы ең маңызды және орталық стохастикалық процестер болып саналады. Бұл екі процесс - бұл үздіксіз уақыттағы Марков процестері, ал бүтін сандарда кездейсоқ жүру және құмар ойыншылардың қирауы - бұл дискретті уақыттағы Марков процестерінің мысалдары.

Белгілі Марков тізбегі «маскүнемдік серуен» деп аталады, кездейсоқ серуендеу сандық сызық мұндағы әр қадамда позиция бірдей ықтималдылықпен +1 немесе -1-ге өзгеруі мүмкін. Кез келген позициядан келесі немесе алдыңғы бүтін санға дейін екі ауысу болады. Өтпелі ықтималдықтар позицияға қол жеткізу тәсіліне емес, тек ағымдағы жағдайға байланысты. Мысалы, 5-тен 4-ке және 5-тен 6-ға дейінгі ауысу ықтималдығы 0,5-ке тең, ал 5-тен қалған барлық басқа ықтималдықтар 0-ге тең. Бұл ықтималдықтар жүйенің бұрын 4 немесе 6-да болғандығына тәуелсіз.

Тағы бір мысал, тек жүзім, ірімшік немесе салат жапырақтарын жейтін және диеталық әдеттері келесі ережелерге сәйкес келетін тіршілік иесінің тамақтану әдеттері:

• Ол күніне бір рет тамақтанады.

• Егер ол бүгін ірімшік жесе, ертең салат немесе жүзімді бірдей ықтималдылықпен жейді.

• Егер ол бүгін жүзім жесе, ертең 1/10 ықтималдығы бар жүзімді, 4/10 ықтималдығы бар ірімшікті және 5/10 ықтималдығы бар салатты жейді.

• Егер ол бүгін салат жапқан болса, ертең ол 4/10 ықтималдығы бар жүзімді немесе 6/10 ықтималдығы бар ірімшікті жейді. Ол ертең қайтадан салат жемейді.

Бұл тіршілік иесінің тамақтану әдеттерін Марков тізбегімен модельдеуге болады, өйткені оның ертеңгі таңдауы кеше не өткеннің басқа уақытында емес, тек бүгін не жегеніне байланысты. Есептеуге болатын бір статистикалық қасиет - бұл тіршілік иесінің жүзім жейтін күндерінің ұзақ мерзімді күтілетін пайызы.

Тәуелсіз оқиғалар тізбегі (мысалы, монеталар сериясы) Марков тізбегінің формальды анықтамасын қанағаттандырады. Алайда, теория келесі сатыдағы ықтималдықтың үлестірілуі ағымдағы күйге тәуелді болмаған жағдайда ғана қолданылады.