«Ықтималдықтар теориясы мен комбинаторика элементтерінің кейбір есептерін шешу әдістері»

№78 мектеп – гимназиясының математика пәні  мұғалімі Шиналиев К.М

Қазақстан Республикасы, Нұр-Сұлтан қ.

«Ықтималдықтар теориясы мен комбинаторика элементтерінің кейбір есептерін шешу әдістері»

Ықтималдықтар теориясы өмірдегі кездейсоқ оқиғаларды зерттеп, олардың заңдылықтарын ашатын ғылым. Қазір ықтималдық теориясының әдістері қолданылмайтын сала жоқ. Ықтималдық статистика әдістерін қолдану көптеген ғылым салаларында кеңінен енген. Атап айтсақ: физика, геодезия, өлшеу теориясы, медицина және биология, әскери ғылым мен космонавтика, лингвистика, психология теориясы және т.с.с

Соңғы жылы жаңа форматта енгізілген ұлттық бірыңғай тест есептерінде ықтималдық теориясы мен комбинаторика элементтері және математикалық статистика есептері көптеп енгізілуде. Осы орайда мектеп математика курсында ықтималдық теориясы мен комбинаторика элементтерін оқытудың маңызы зор. Бұл мақала осы пәннің оқушылар үшін қажетті теориясына есептер шығаруға арналған.

Мақсаты:

• Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтерінің негізгі ұғымдарын жалпылау;

• Ғылыми-техниканың қарқынды дамуында ықтималдықтардың қажеттілігі туралы түсініктерін қалыптастыру.

1. Оқиғаларға амалдар қолдану. Комбинаторика элементтері.

1-мысал. 12 бұйымның 8 – і стандартқа сәйкес. Кездейсоқ таңдалған 7 бұйымның дәл 4 – і стандартты болу ықтималдығын есепте.

Шешуі: Қолайлы нәтиже саны Ізделінген ықтималдық қолайлы нәтижелер санын жалпы нәтижелер санына бөлгенге тең:

2-мысал. Жәшікте 12 қызыл, 6 көк және 14 ақ . Кездейсоқ алынған шардың түрлі – түсті болуының ықтималдығын тап.

Шешуі: Түрлі түсті шар пайда болуы не қызыл, не көк шар пайда болуымен мағыналас. Қызыл шар пайда болу ( оқиғасы) ықтималдығы:

Көк шар пайда болу ( оқиғасы) ықтималдығы: .

және оқиғалары үйлесімсіз, сондықтан қосу теоремасы бойынша ізделінген оқиға ықтималдығы:

3-мысал. Екі тиын бірдей лақтырылғанда екеуінің де бетінде гербтің түсу ықтималдығын тап.

Шешуі: Бірінші тиында герб түсу ( оқиғасы) ықтималдығы .

Екінші тиында герб түсу ( оқиғасы) ықтималдығы . және оқиғалары өзара тәуелсіз болғандықтан, ізделінген ықтималдық көбейту теоремасы бойынша:

2. Ықтималдықтар теориясының негізгі теоремалары.

1-мысал. Жәшікте 4 ақ және 4 қара шарлар бар. Жәшіктен қайтарылмастан бір – бірден екі шар алынады. Егер алғашқыда алынған қара шар ( оқиғасы) болды десек, келесі алынған шардың ( оқиғасы) ақ болуының ықтималдығын тап.

Шешуі: Алғашқы тәжірибеден соң жәшікте барлығы 7 шар қалды, оның 4 – і ақ. Сондықтан ізделінген шартты ықтималдық:

2-мысал. Жәшікте 6 ақ, 5 қара және 2 көк шарлар бар. Жәшіктен қайтарылмастан бір – бірден үш шар алынады. Бірінші шар ақ ( оқиға), екінші шар қара ( оқиға), ал үшінші шар көк ( оқиға) болу оқиғасының ықтималдығын тап.

Шешуі: Бірінші тәжірибеде ақ шар шығу ықтималдығы .

Екінші алынған шардың қара болуының шартты ықтималдығы Бірінші шар – ақ, екінші – қара болғандағы алынған үшінші шардың – көк болу ықтималдығы Ізделінген ықтималдық:

3-мысал. Өзара тәуелсіз үш тәжірибеде оқиғаның ең болмағанда бір рет пайда болу ықтималдығы 0,875. Оқиғаның бір тәжірибеде пайда болу ықтималдығын тап.

Шешуі: Қарастырылып отырған оқиғалар өзара тәуелсіз болғандықтан: . Шарт бойынша ; Сонымен Ізделінген ықтималдық:

3. Ең болмағанда бір оқиғаның пайда болу ықтималдығы.

Мысал. Екі зеңбіректің нысананы жою ықтималдықтары сәйкесінше: Екі зеңбіректен қатар оқ атқанда ең болмағанда біреуінің нысананы жою ықтималдығын тап.

Шешуі: Бірінші зеңбіректің нысананы жоюы ( оқиғасы) және екінші зеңбіректің нысананы жоюы ( оқиғасы) оқиғалары тәуелсіз оқиғалар. оқиғасының (екеуі нысананы жойды) ықтималдығы Ізделінген ықтималдық:

4. Дискретті кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары.

Мысал.

Шешуі: негізгі формулалар бойынша:

Ізделінді дисперсия Орташа квадраттық ауытқу

Пайдаланылған әдебиеттер:

1. В.Е.Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика.М.: Высш. школа, 1979, 400 стр.

2. Жаңбырбаев Б.С. «Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері» Алматы, 1988 жыл

3. Бектаев Қ. «Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика» Алматы, «Рауан»б 1991 жыл

4. Студенецская В.Н. «Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7-9 классы» Волгоград, «Учитель», 2005 год.