Ықтималдықтарды тікелей есептеуге мысалдар

Онлайн сабақтың жоспары (синхронды оқыту) №3

Бөлім меңгерушісі : Жүсіпбекова М.У.

Ықтималдықты тікелей есептеуге мысалдар

Жаттығулар

• Екі жақ болып дойбы ойыны өткізілді. Бір жағының ұтуы, ұтылуы немесе екі жақтың тең түсуі- кездейсоқ оқиға.

• Мұғалімнің белгілі бір оқушыдан сұрауы-сынау. Оқушының5,4,3,2 баға алуы- кездейсоқ оқиға.

• Ауа райын бақылау –сынау. Бүгін қар, жаңбыр жаууы- кездейсоқ оқиға.

• Оқушының тәртібін бақылау сынау. Оның сабаққа кешігіп келуі –кездейсоқ оқиға .

• Нысананы көздеп ату- сынау. Нысанаға тию (А оқиғасы) не тимеу (В оқиғасы)- кездейсоқ оқиға. Осы мысалдағы мәлімет бойынша оқиғалардың толық тобын сипаттап беріңіз.

• 4-класс математика кітабының кез-келген бетін ашу –сынау. Осы бетте «жиын» сөзінің кездесуі-кездейсоқ оқиға. Бұл беттегі сөздер қай жағдайда оқиғалардың толық тобын құрайды?

• Мына төмендегі оқиғалардың қайсысы кездейсоқ, ақиқат, мүмкін емес болады: 1) бірінші кездескен автомашина нөмірінің жұп болып келуі қандай оқиға? 2) жәшіктің ішінде ылғи ақ шарлар бар. Кез келген бір шар алынды, оның түсі: а) қызыл болуы, б) ақ болуы қандай оқиға болады?

• 1-ден 20-ға дейінгі сандарды 20 карточкаға жазып алып , оларды әбден араласьырып барып, ішінен 2 карточканы алғанда төмендегі қос сандар (оқиғалар) шықты; олар үйлесімді ме әлде үйлесімсіз бе:

1)4және7 сандары;

2) жұп және 15 сандары;

3) тақ және 3-ке еселік сандар;

4) жай сан және 5-ке еселік сандар?

Өткен параграфта біз оқиға түрлерін келтірдік, енді оқиғаның пайда болу мүмкіндігінің сандық өлшеуішін көрсетеміз. Жалпы айтқанда, А оқиғасының пайда болу мүмкіндігінің сандық мөлшері үшін р(А) функциясының мәні алынады. Мұны осы А оқиғасының ықтималдылығы деп атайды. Осы қалпында р(А)-ның ешқандай мәні жоқ. Ал ықтималдылық ұғымы да, кездейсоқ оқиғалар сияқты, ықтималдылықтар теориясының негізгі ұғымдарының бірі. Сондықтан ықтималдылық ұғымын осы кездейсоқ оқиғамен байланыстыра қарастырып, ықтималдылықтың нақты сандық мөлшерін көрсетеміз.

Қандай болмасын математикалық теория белгілі бір ұғымдар негізінде құрылатын болғандықтан, біз ықтималдылықтар теориясының құрылуын ықтималдылықтың классикалық анықтамасына негіздеиміз. Ілгеріде ықтималдылықтар теориясын бұдан да басқа анықтама негізінде құруға болатынын көреміз.

Ықтималдылықтың классикалық анықтамасын алғаш рет берген Лаплас еді. Ықтималдылықтың бұл анықтамасы өте қарапайым, оны түсіну үшін жоғары математиканы білу қажет емес. Сондықтан да біз ықтималдық теориясын баяндауды осы анықтамадан бастаймыз.

Ықтималдылықтың классикалық анықтамасы оқиғалардың тең мүмкіндігіне (тең ықтималдылығына) сүйенеді. Тең мүмкіндік немесе тең ықтималдық ұғымдары алғашқы ұғымдарға жатады, олар логикалық (формальды) анықтама беруді қажет етпейді. Жалпы сынау нәтижесінде бірнеше оқиғалар пайда болуы мүмкін болса және олардың біреуінің пайда болу мүмкіндігінің, екіншісіне қарағанда, артықшылығы бар деп айта алмайтын болсақ, яғни сынаулар нәтижесінің симметриялы қасиеті болса, мұндай оқиғалар тең мүмкіндікті делінеді. Бұған 1-параграфта келтірілген 2-мысал айғақ. Өйткені кубтың әрбір жағының пайда болу мүмкіндігі бірдей.Сондықтан бұлар тең мүмкіндікті (яғни тең ықтималдылықты) оқиғалар болады.

Бірнеше оқиғалар тең мүмкіндікті қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын (системасын) құраса, онда ол оқиғаларды сынаудың мүмкін (мүмкін болатын) нәтижелерінің толық тобы деп атайды. Бұл терминнің орнына тең мүмкіндікті барлық жағдайлар немесе жалпы жағдайлар саны не, қысқаша, жағдайлар деп атайды. Ал тең мүмкіндікті үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын оқиғалардың (жағдайдың) бірнешеуі бір А оқиғасының пайда болуын тудыруы мүмкін, яғни екінші сөзбен айтқанда, А оқиғасы тең мүмкіндікті бірнеше оқиғаларға бөлінеді және олардың кез келген біреуінің пайда болуынан А оқиғасының пайда болуы шығатын болады. Мысалы, кубты бір рет лақтырғанда оның кез келген тақ нөмірі А_{1 ,}А_{3 ,}А₅ пайда болуынан, А оқиғасының пайда болуын байқаймыз. Былайша айтқанда, А оқиғасы тақ нөмірлі А_{1 ,}А_{3 ,}А₅ үш оқиғаға (жағдайға) бөлініп отыр. Бұл тақ нөмірлі оқиғалар саны (ол 3-ке тең) осы А оқиғасына қолайлы жағдайлар болып табылады. Сонымен, сынау нәтижесінде А оқиғасы бөлінетін мүмкін мәндерді осы оқиғаға (А-ға) қолайлы жағдайлар деп атайды.

1-мысал. Жәшікте 10 шар бар. Олардың 4-еуі ақ, 6-уы қызыл шар. Жәшіктегі шарларды араластырып жіберіп, қарамай тұрып бір шарды алайық. Алынған шар ақ шар болып шығуының (А оқиғасы) сандық мөлшерін (ықтималдығын) анықтау керек.

Шешуі. Әрбір шардың пайда болу мүмкіндігі бірдей (яғни бұлар тең мүмкіндікті оқиғалар) және оның шығу мүмкіндігінің сандық мөлшері (ықтималдығы) 1/10-ге тең А оқиғасы үшін барлық мүмкіндікті 10 жағдайдың тек 4-уі ғана қолайлы.А оқиғасы қолайлы жағдайлар санын (олар 4) барлық жағдайлар санына (олар 10)қатынасы,осы оқиғаның пайда болуының мүмкіндік дарежесін белгілейтін қандай да бір сан ƿ(А) болмақ,бұны ƿ(А)=4/10 ықтималдық мәні деп қабылдаймыз.

Анықтама.А оқиғасына қолайлы жағдайлар санының (m) сынаудың тең мүмкіндікті барлық жағдайлар санына (n) қатынасын А оқиғасының ықтималдығы деп атайды және былай жазады:

Р(А)=m/n

Ықтималдықтың бұл анықтамасын классикалық анықтама дейміз. Бұдан төмендегі салдарлар шығады.

• Ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең. Шынында, оқиға ақиқат болу үшін А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m сынаудағы барлық тең мүмкіндікті жағдайлар саны n-ге тең, яғни m=n болады. Онда (1) бойынша

Р(U)=m/n=1

• Мүмкін емес оқиға ықтималдығы нольге тең. Шынында да, егер оқиға мүмкін емес болса, онда А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны mнольге тең болады. Олай болса, ықтималдықтың анықтамасынан

Р(V)=0/n=0

• А оқиғасының ықтималдығы р(А( ноль мен бір аралығындағы оң таңбалы сан. Шынында, А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m нольден n-ге дейінгі өздерін қоса алғандағы, мәндерді қабылдайды, яғни

0<<m<<n,

Бұл теңсіздіктің екі жақ бөлігін де n санына бөлсек, шығады

0≤ m/n≤1

Немесе

0 ≤ р(А) ≤ 1

Енді ықтималдықтың классикалық анықтамасын пайдалана отырып, ықтималдықтың тікелей есептеуге бірнеше мысалдар келтірейік.

Ықтималдықтың тікелей есептеу екі тәсілмен орындалады. Бірнеше тәсіл бойынша есептің берілген шартына ықтималдық тікелей есептелінеді, екінші жағдайда комбинаторика формулалары пайдаланылады. Біз осы екі жағдай үшін есептерді жеке-жеке шығарайық. Алдымен бірінші жағдай үшін бірнеше мысалдар мен жаттығулар келтіреміз. Есептерді екінші тәсілмен шығару үшін комбинаторика элементтерімен танысып өтеміз.

1-мысал. Есеп шарты 1,2 мысалында көрсетілгендей. Сынау нәтижесінде екіге еселі нөмірлі жақтың (оқиғаның) пайда болу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. Жақтың екіге еселі нөмірлері 2,4,6. Бұларға сәйкес оқиғалар А_2, А_4, А₆ . Демек, А оқиғасына қолайлы жағдайлар (оқиғалар) саны m=3 екен. Жалпы жағдайлар саны n=6 екені мәлім. Сонымен, екіге еселі нөмірінің (А оқиғасы) пайда болу ықтималдығы р(А)=3/6=1/2, немесе 50%.

2-мысал. Жәшікте 3 ақ шар, 5 қызыл шар, 2 жасыл шар бар. Бұл шардың формасы және салмағы бірдей. Жәшіктен кез келген бір шар алынды. Алынған шар:а) ақ шар (А оқиғасы), ә) қызыл шар (В оқиғасы), б) жасыл шар (С оқиғасы) болу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. а )Шарлардың үлкендігі және салмағы бірдей болмағандықтан, олардың шығу мүмкіндіктері де бірдей.Бір түсті шар шыққанда екінші түсті шар пайда болмайды. Сонымен, тең мүмкіндікті қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын жағдайлар саны n=10.А оқиғасына (ақ шардың шығуы) қолайлы жағдайлар саны m=3. Демек, оның ықтималдығы

Р(А)=m/n=3/10=0.30 не 30% болады.

Қалғандарын да осылайша анықтаймыз, сонда

ә )р(В) =0,5;

б) р(С)=0,20.

3-мысал. Абай Құнанбаев тілінің сөздігінде әр түрлі 6000 сөз бар, оның 2975-і тек бір реттен ғана қолданылған, 800-і тек екі реттен қолданылған, 490-ы тек үш реттен қолданылған. Қалғандары төрт реттен және одан артық рет қолданған .

Ақын сөздігінен кез келген бір сөз алынды. Бұл сөз ақынның: а) тек бір реттен және ә) тек екі реттен, б) тек үш реттен, в) төрт және одан да көп реттен қолданылған сөз қорына тійістілік ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. а) Сынаудың барлық мүмкін нәтижелері (жағдайлар) саны 6000-ға тең. Әр сөздің де алыну мүмкіндігі бірдей, өйткені әрбір сөзді жеке-жеке карточкаға жазып , оларды араластырып, кез келген біреуін аламыз деп қарастыруымызға болады. Бұлар қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайды.Тек бір рет қолданылған сөздің алынуын А оқиғасы десек, онда бұл оқиға қолайлы жағдайлар саны 2975 болады. Олай болса, ізделінген ықтималдылық

р(А)=m/n=2975/6000=0.496 не 49,6% болады.

Қалғандарын да осылайша анықтау қыйын емес, сонда

ә )0,150 б)0,082 в)0,272

болады.

4-мысал. Монет екі рет лақтырылды. Кем дегенде бір рет герб жағы пайда болу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. Есептің дұрыс шешілуі (әсіресе ықтималдыққа тиісті есептерді) есеп шартын дұрыс талқылауға байланысты. Бұл фактіні осы есептің шешуін талқылау арқылы көрсетейік.

Бірінші жолы: Даламбер талқылауы. Герб жағымен не бірінші лақтырғанда, не екінші лақтырғанда түседі, не тіпті түспейді. Сонымен, барлық жағдайлар саны-үшеу. Олардың ішінде А оқиғасының пайда болуына қолайлы жағдайлар саны-екеу. Демек ізделінген ықтималдық.

Р(А)=2/3=0.667 не 66.7%болады.

Екінші жолы: бірінші монетті бір рет лақтырғанда герб не тиын жағымен түсуі мүмкін. Қай жағымен түссе де, бұл екінші рет лақтырғандағы монеттің герб (Г) не тиын (Т) жағының түсуімен комбинацияланып келеді. Ақырында, төменгі тең мүмкіндікті 4 жағдай болады. Олар:

ГТ; ТГ,

ГГ; ТТ.

Мұнда Г-герб, Т-тиын. Есептің шартын қолайлы жағдайлар саны. 3. Олай болса, ықтималдығы

Р(А)=3/4=0.75 не 75%

Сонымен, табылған екі ықтималдықтың қайсысы дұрыс, қайсысы қате деген сұрау өзінен өзі туады. Соны анықтайық. Даламбердің қателігі мынада болған: ол ГТ және ТГ жағдайлар жиынын ГГ және ТТ жағдайларымен тең мүмкіндікті деп алған. Шындығында бұлай болмайты екінші талқылаудан байқалады. Сонымен, екінші шешудің дұрыстығын байқаймыз.

5-мысал. Бірден екі ойын кубы лақтырылды. Олардың әрқайсысының жақтары 1,2,3,4,5,6 цифрларымен нөмірленген. Екі куб еденге түскенде үстінде шыққан нөмірінің (ұпайларының) қосындысы 7 болу ықтималдығы неге тең?

Шешуі. Алдымен лақтырылған екі ойын кубы нөмірлерінің барлық мүмкін түсу жағдайларын есептейік. Бірінші куб жақтарының нөмірлері әр түрлі алты тәсілмен түсуі мүмкін. Бұлар әр жолы екінші кубтың алты нөмірінің бірімен комбинацияланады. Бұл жағдай 1-таблицада келтірілген. Таблицаның ұяларындағы екі цифрдың біріншісі бірінші куб жағының нөмірін көрсетеді де, екіншісі, екінші куб жағының нөмірін көрсетеді. Ұялар саны 6∙6=36, демек барлық мүмкін жағдайлар саны n=36. Бұл жағдайлар қос-қостан үйлесімсіз, тең мүмкіндікті және оқиғалардың толық тобын құрайды. Енді қойылған сұраққа жауап беру үшін А оқиғасына, яғни нөмірінің қосындысы 7 болатын, қолайлы жағдайлар саны m неге тең болатынын анықтаймыз. Ол үшін таблицадан цифрларының қосындысы 7-ге тең болатын ұялар (элементарлық оқиғалар) санын табамыз. Олар (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).

Сонымен, А оқиғасының пайда болуына қолайлы жағдайлар саны m=6 екен. Олай болса, іздеген ықтималдық мәні

Р(А)=m/n=6/36=1/6