Юниор балалар мен жасөспірімдер олимпиадасының есептерін шығару жолдары

8 сынып

І тур

1 1 + 2 + 2² + 2³ + ∙∙∙ + 2⁷⁷ саны 7 – ге қалдықсыз бөліне ме?

2  Нақты а,b, с сандары (а + b +с )² = 3(ab + bc + ca) теңдігін қанағаттандыратындығы

белгілі. Онда a=b=c екенін дәлелдеңдер

3.  Қанша екі орынды санның цифрларының қосындысы бүтін санның квадраты болады?

4. Сегізінші сыныптың бір оқушысы кез – келген квадратты одан кіші он квадратқа бөлшектей аламын дейді (кіші квадраттың ішінде өлшемдері тең болатын квадраттар кездесуі мүмкін). Ол қателесіп тұрған жоқ па?

5. АВС үшбұрышының  АD биіктігі  ВС қабырғасынан екі есе кіші.

А бұрышы доғал болуы мүмкін бе?

8 сынып

І тур

1. 
   есеп.1 + 2 + 2² + 2³ + ∙∙∙ + 2⁷⁷ саны 7 – ге қалдықсыз бөліне ме?

Шешуі: Мына өте әдемі заңдылықты (формуланы) жадыңда сақтаған абзал.

a⁰ + а¹ + а² + а³ +∙∙∙ + аⁿ =  Осы формула негізінде қосындыны оңай табуға болады 1 + 2 + 2² + 2³ + ∙∙∙ + 2⁷⁷ =  = 2⁷⁸ – 1 , 2⁷⁸ – 1 = (2³⁹ -1) (2³⁹ +1) =

= (2³(2³⁶ – 1) + 7) (2³⁹ +1) 2³⁶ – 1= (2¹⁸ -1) (2¹⁸ +1), 2¹⁸ -1 = (2⁹ -1) (2⁹ +1) =

=511(2⁹ +1), 511 саны 7 –ге қалдықсыз бөлінгендіктен 2³(2³⁶ – 1) + 7 саны, яғни алғашқы сан 7 –ге қалдықсыз бөлінеді. Жауабы: 7 – ге бөлінеді

2 есеп. Нақты а,b, с сандары (а + b +с )² = 3(ab + bc + ca) теңдігін қанағаттандыратындығы белгілі. Онда a=b=c екенін дәлелдеңдер

Шешуі: (а + b +с )² = а² + b² +с²+ 2(ab + bc + ca) ⇒ а² + b² +с²+ 2(ab + bc + +ca) = 3(ab + bc + ca), яғни а² + b² +с²=ab + bc + ca, демек a=b=c

8 сынып. ІІ тур

4. Қанша екі орынды санның цифрларының қосындысы бүтін санның квадраты болады?

Шешуі: а+в = 1², а+в = 2², а+в = 3², а+в = 4², барлығы 17 жағдай

Жауабы: 10,13,18,22,27,31,36,40,45, 54,63,72,81,79,88,90,97

5) Сегізінші сыныптың бір оқушысы кез – келген квадратты одан кіші он квадратқа бөлшектей аламын дейді (кіші квадраттың ішінде өлшемдері тең болатын квадраттар кездесуі мүмкін). Ол қателесіп тұрған жоқ па?

Шешуі: Квадратты одан кіші квадраттарға келесі түрде бөлейік.

Квадрат өзінен кіші он квадратқа бөлінсін. Оқушы қателесіп тұрған жоқ.