Задача с целыми и дробными частями

Задачи с целыми частями числа

Теорема 1. Для любого справедливы оценки

Обозначим , . Тогда х = + , , .

=

1. Решите уравнение:

Решение. Так как и , то . Отсюда , поэтому x< 7 и . Непосредственно проверкой находим

2. (Турнир Городов). Найти число решений в натуральных числах:

Решение. Так как , где . Положим , где

Тогда .

Это возможно, если . Положив , находим , при , …,

при . Всего получим решений.

3. Решите уравнение:

Решение. Положим Тогда и заданное уравнение принимает вид Из определения целой части действительного числа следует, что Решив эти два неравенства относительно у, получим

Так как у- целое число, то или Если , то , а если , то Ответ: ;

4. Решить уравнение:

Решение. Если два числа имеют одинаковую целую часть, то их разность по абсолютной величине меньше 1, и поэтому из данного уравнения следует неравенство , откуда . Заметим, что неравенство выполняется при х < 5, и следовательно, число х (-1; 5) не будет корнем исходного уравнения, если неравенство будет иметь решение. Но из этого неравенства вытекает, что , так что его решениями могут быть только , а учитывая, что х (-1; 5), получаем или . Другими словами, из интервала (-1; 5) следует исключить промежутки (-1; 1),

(2; 3). Аналогично, из интервала (5; 11) следует исключить промежутки и .

Ответ:

5. Решите уравнение:

Решение. >0. Положим

, ; ; ; ; ;

. Отсюда получим, ; ; ; .

Решение. (2-способ) Поскольку , то имеем . Кроме того, х²+7 делится на 8. х²+7 = 8 . Рассмотрев где =1, 2,…, 7, получим , , , .

6. Решите уравнение:

Решение. Положим , тогда уравнение принимает вид

. Учитывая, что , получим .

Полагая , будем иметь , где -целое число.

Из последнего равенства следует, что , или

; . Возможными значениями являются -2; -1; 0; 1; 2, тогда соответствующие значения х: 2.

7. (Соросовская Олимпиада) Решите систему уравнений :

Решение. В силу тождества , после сложения всех трех уравнении системы получим, что . Из этого уравнения вычтем сумму первых двух уравнений системы и получим . Отсюда следует, что ….

Ответ: , у=0,2, .

8. Решите уравнение: 19 – 96 = 0

Решение. 19 =96 . Так как , то для решений уравнения имеем 19 .

Отсюда , т.е. может равняться 0, 1, 2, 3, 4 и 5, а , соответственно, равняется 0, .

Ответ: 0, 1 2 3 4 5 .