Аксиомы стереометрии и их следствия

1 слайд
Аксиомы стереометрии и их следствия

2 слайд
Учебные цели:    • 10.3.1.1 знать и применять аксиомы стереометрии и их следствия; • 10.5.2.1 владеть техникой выполнения простейших стереометрических чертежей.  

3 слайд
- Что такое геометрия? Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур «Геометрия» - (греч.) – «землемерие» - Что такое планиметрия? Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости. А аОсновные понятия планиметрии: точка прямая- Основные понятия планиметрии?

4 слайд
Геометрия Планиметри я Стереометри я stereos 2D geometry ----> 3D geometryГеометрия Планиметри я Стереометри я

5 слайд
- раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве

6 слайд
Основные фигуры в пространстве: точка прямая плоскость α βОбозначение: А; В; С; …; М;… а А ВМ N Р Обозначение: a, b, с, d…, m, n,… (или двумя заглавными латинскими) Обозначение: α , β , γ … Ответьте на вопросы по рисунку: 1. Назовите точки, лежащие в плоскости β ; не лежащие в плоскости β . 2. Назовите прямые, лежащие в плоскости β ; не лежащие в плоскости β

7 слайд
Некоторые геометрические тела. А В С ДД 1 С 1В 1 А 1 куб А В С ДА 1 В 1 С 1 Д 1 параллелепипед А В СД тетраэдрцилиндр конус

8 слайд
Назовите какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках: Назовите предметы из окружающей вас обстановки ( нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела.

9 слайд
Практическая работа. 1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром). 2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 А В С ДД 1 С 1В 1 А 1 3. Выделите цветным карандашом: - вершины А, С, В 1 , Д 1 - отрезки АВ, СД, В 1 С, Д 1 С - диагонали квадрата АА 1 В 1 В

10 слайд
- Что такое аксиома? Аксиома – это утверждение о свойствах геометрических фигур, принимается в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия. Аксиомы планиметрии: - через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. - из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими. - имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой…

11 слайд
α А

12 слайд
Основные свойства точек, прямых и плоскостей выражены в аксиомах. Из множества аксиом мы сформулируем только три. А 1 . Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Иллюстрация к аксиоме А 1 : стеклянная пластинка плотно ляжет на три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. A B C

13 слайд
a   аА 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. A B     В А Говорят: прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

14 слайд
Свойство, выраженное в аксиоме А 2 , используется для проверки «ровности» чертежной линейки. Линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный, то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет.IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

15 слайд
а МПрямая лежит в плоскости Прямая пересекает плоскость Сколько общих точек имеют прямая и плоскость?

16 слайд
 N а   Из аксиомы А 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются. a N

17 слайд
 aА 3 . Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. a    

18 слайд
Наглядной иллюстрацией аксиомы А 3 является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты.

19 слайд
А 1 . Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.C A B А 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. a A B   a А 3 . Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

20 слайд
Решить задачи: №1(а,б); 2(а) А В СД Р Е К М А В С ДА 1 В 1 С 1 Д 1Q P RК МНазовите по рисунку: а) плоскости, в которых лежат прямые ДВ, АВ, МК, РЕ, ЕС; б) точки пересечения прямой ДК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АДВ. а) точки, лежащие в плоскостях ДСС 1 и В Q С№ 1(а,б) № 2(а)

21 слайд
Некоторые следствия из аксиом. Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. М a Q P

22 слайд
Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Дано: а, М ¢ а Доказать: (а, М) с α α - единственная а Мα Доказательство : 1 . Р, О с а; { Р,О,М } ¢ аР О По аксиоме А1: через точки Р, О, М проходит плоскость . По аксиоме А2: т.к. две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости, т.е. (а, М) с α 2 . Любая плоскость проходящая через прямую а и точку М проходит через точки Р, О, и М, значит по аксиоме А1 она – единственная. Ч.т.д. Некоторые следствия из аксиом.

23 слайд
Некоторые следствия из аксиом. Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна М a b N

24 слайд
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Дано: а∩ b Доказать: 1. ( а∩ b ) с α 2. α - единственнаяа b М Н α Доказательство: 1.Через а и Н а, Н b проходит плоскость α . (М , Н) α , (М,Н) b , значит по А2 все точки b принадлежат плоскости. 2. Плоскость проходит через а и b и она единственная, т.к. любая плоскость, проходящая через прямые а и b , проходит и через Н, значит α – единственная.  

25 слайд
Теорема 3. Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну. Следствия из аксиом

26 слайд
Аксиомы стереометрии описывают: А В С Способ задания плоскости А ВВзаимное расположение прямой и плоскости a Взаимное расположение плоскостей

27 слайд
Способы задания плоскости Плоскость можно провести через три точки Можно провести через прямую и не лежащую на ней точку Аксиома 3 Теорема 3  Теорема 1Можно провести через две пересекающиеся прямые

28 слайд
Решить задачу А В С α Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости. Доказательство: 1. (А,В,С) α , значит по А1 через А,В,С проходит единственная плоскость. 2. Две точки каждого отрезка лежат в плоскости, значит по А2 все точки каждого из отрезков лежат в плоскости α . 3. Вывод: АВ, ВС, АС лежат в плоскости α1 случай. А В С α2 случай. Доказательство: Так как 3 точки принадлежат одной прямой, то по А2 все точки этой прямой лежат в плоскости. 

29 слайд
Задача. А В С ДМ ОАВСД – ромб, О – точка пересечения его диагоналей, М – точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки А, Д, О лежат в плоскости α . Определить и обосновать: 1. Лежат ли в плоскости α точки В и С? 2. Лежит ли в плоскости МОВ точка Д? 3. Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и АДО. 4. Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60 º . Предложите различные способы вычисления площади ромба.

30 слайд
А В С Д60 º4 44 4 S АВСД = АВ · АД · sinA S АВСД = (ВД · АС):2 Формулы для вычисления площади ромба: ∆ АВД = ∆ВСД (по трем сторонам), значит S АВД = S ВСД .A AD AB S S S CD AD BC AB C A C A C CD BC S A AD AB S ABCD BCD ABD BCD ABD                           sin , sin sin sin 2 1 sin 2 1

31 слайд
Техника выполнения простейших стереометрических чертежей

32 слайд
Как построить чертежи в стереометрических задачах При изображении стандартных геометрических тел на плоскости следует следить за тем, чтобы были видны все стороны и диагонали и не совпадали друг с другом. Начинаем с основании фигуры. Если основание представляет собой треугольник, независимо от типа треугольника, мы рисуем не равнобедренный треугольник с тупым углом, например:

33 слайд
Если основание – трапеция, то чертим неравнобедренную трапецию. Причем острый угол стараемся изобразить еще острее: Если основание - круг, то чертим эллипс:Если основание – прямоугольник или параллелограмм, то чертим параллелограмм. На чертеже желательно градусную меру острого угла взять около 301 , тогда диагональ не совпадет со стороной основания.

34 слайд
Если основание – правильный шестиугольник, то чертим проекцию правильного шестиугольника. Соблюдаем параллельность противоположных сторон шестиугольника. Поэтому, если лист в клетку, то удобно изобразить по образцу:

35 слайд
3. Соединяем концы перпендикуляров и возьмем за верхнее основание:2. Если необходимо начертить прямую призму или прямой цилиндр, то из всех вершин основания проводим равные перпендикуляры – это боковые ребра призмы или образующие цилиндра. При выполнении чертежа куба, боковые ребра изображают равными длине большей стороны параллелограмма. Дескриптор: владеет техникой выполнения простейших стереометрических чертежей;  

36 слайд
4. Невидимые ребра изображаем пунктирной линией. В случае наклонной призмы или наклонного цилиндра боковые ребра изображаются параллельными отрезками: Дескриптор: владеет техникой выполнения простейших стереометрических чертежей;  

37 слайд
Из центра основания проводим перпендикуляр и на нем изображаем вершину стереометрической фигуры:При изображении пирамиды или конуса сначала находим проекцию вершины на плоскость основания. В треугольнике - это точка пересечения медиан, в прямоугольнике или в правильном шестиугольнике – это может быть точка пересечения диагоналей:

38 слайд
Вершины стереометрических фигур соединяем с центром их оснований: Дескриптор: владеет техникой выполнения простейших стереометрических чертежей;  

39 слайд
Невидимые ребра изображаем пунктирной линией: Дескриптор: владеет техникой выполнения простейших стереометрических чертежей;  

40 слайд
А В СД Р Е К М А В С ДА 1 В 1 С 1 Д 1Q P RК М2) Назовите по рисунку: в) точки, лежащие в плоскостях АДВ и ДВС; г) прямые по которым пересекаются плоскости АВС и ДСВ, АВД и СДА, РДС и АВС. б) плоскости, в которых лежит прямая АА 1 ; д) точки пересечения прямых МК и ДС, В 1 С 1 и ВР, С 1 М и ДС.1) Сформулируйте и запишите аксиомы и их следствия стереометрии, оформите рисунки в тетради Самостоятельная работа

41 слайд
А В С ДА 1 В 1 С 1 Д 1М N F К3. Дано: куб АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 Точка М лежит на ребре ВВ 1 , т. N лежит на ребре СС 1 и точка К лежит на ребре ДД 1 а) назовите плоскости, в которых лежат точки М; N . б) найдите т. F- точку пересечения прямых М N и ВС. Каким свойством обладает точка F ? в) найдите точку пересечения прямой К N и плоскости АВС О г) найдите линию пересечения плоскостей М N К и АВС

42 слайд
Домашняя работа

43 слайд

44 слайд
6. Точка С – общая точка плоскостей α и β. Прямая l проходит через точку С. Верно ли, что плоскости α и β пересекаются по прямой l . Ответ обоснуйте. 7. Через прямую а и точку А можно провести две различные плоскости. Каково взаимное расположение точки А и прямой а ? Ответ обоснуйте. 8. Прямые a , b и c имеют общую точку. Верно ли, что данные прямые лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.   9. Плоскости α и β пересекаются по прямой l . Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Каково взаимное расположение прямых а и l ? Ответ обоснуйте.   10. Четыре прямые попарно пересекаются. Верно ли, что если три из них лежат в одной плоскости, то все четыре прямые лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.