Скалярное произведение векторов

1 слайд
Преподаватель математики ОГАПОУ «Белгородский техникум промышленности и сферы услуг»

2 слайд
Цели урока: • Ввести понятия угла между векторами и скалярного произведения векторов. • Рассмотреть формулу скалярного произведения в координатах. • Показать применение скалярного произведения векторов при решении задач.

3 слайд
Решим задачу: • Дано:  0; 0; 0 О   0; 0; 4 А   0; 6; 0 В ный прямоуголь АОВ -  х у z 1 1 1О• Найти: А В   . , - ; ; ) 1 АОВ около описанный окружности центр z у х К  К R АК  ) 2

4 слайд
Решение: х у z 1 1 1О А В КЦентр окружности К – середина гипотенузы АВ. Найдем координаты К.2 2 0 4    х 3 2 6 0    у 0 2 0 0    z К (2; 3; 0)       13 0 0 3 0 2 4 2 2 2         АК R Ответ:   13 ; 0 ; 3 ; 2

5 слайд
Вспомним: • Какие векторы называются равными?а b b а b a если b a    ; , • Как найти длину вектора по координатам его начала и конца? А В     2 2 А В А В у у х х АВ     • Какие векторы называются коллинеарными? или b а  b а  b а               2 1 2 1 2 1 z z y y x x    а b

6 слайд
Устно: 1) Дано:  4; 2 ; 3   А   2; 3; 4  В Найти: АВ 2) Дано:   1; 3 ; 2  А   0; 5 ; 4  В   4 ; 0; 5  С   3 ; 2 ; 7   D Равны ли векторы и ? АВ CD   1 ; 2 ; 2   АВ   1; 2 ; 2  CD 3) Дано:   4; 3 ; 1  А   2 ; 1; 5  В   1; 0; 2 С   2; 2 ; 4  D Коллинеарны ли векторы и ? АВ CD   6 ; 4; 8  АВ   1; 2 ; 2  CD Ответ: 30 Ответ: Нет, т.к.равные векторы имеют равные координаты. Ответ: Нет

7 слайд
Угол между векторами.     b a   0 0   b а   0 180   b a а b О А В α а ОА  b ОВ    0 90   b a Если то , b а  Если то b а Если то b а 

8 слайд
Сопоставьте углы между векторами и их градусной мерой.а b с d f О 45 0 f и c a и d f и a b и a 135 045 0 180 00 0 30 0 115 0

9 слайд
Скалярное произведение векторов.b а  Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.  cos     b a b a

10 слайд
Если , то b a  0 90 cos 0  0    b a Если b а  , то 1 180 cos 0   b a b a      Если b a  , то 1 0 cos 0  b a b a     Если b a  , то 2 2 a a a a a a b a         cos     b a b aВспомним планиметрию…

11 слайд
Пример применения скалярного произведение векторов в физике.S F α Если , то      S F  cos    S F A Скалярное произведение векторов.

12 слайд
Формула скалярного произведения векторов в пространстве. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.  1 1 1 ; ; z y x а   2 2 2 ; ; z y x b 2 1 2 1 2 1 z z y y x x b a    

13 слайд
Решение задач. Найдите угол между векторами: CC 1 A 1 B 1 D 1 A B Dа)В В 1 С В 1 и 45 0 б) ВС АС и 45 0 в) Дан куб АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 . DA 1 1D B и 135 0

14 слайд
Дано: куб АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 ; АВ = а; О 1 – центр грани А 1 В 1 С 1 D 1 Найти:1 1 ВС ВА  1 способ: CC 1 A 1 B 1D 1 A BD правильный С ВА   1 1 2 1 1 а ВС ВА     0 1 1 60   ВС ВА 2 0 1 1 60 cos 2 2 а а а ВС ВА      Ответ: а 2 Решение задач.

15 слайд
Дано: куб АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 ; АВ = а; О 1 – центр грани А 1 В 1 С 1 D 1 Найти:1 1 ВС ВА  2 способ: CC 1 A 1 B 1D 1 A BD 1 1 СС ВС ВС   1 1 АА ВА ВА             1 1 1 1 СС ВС АА ВА ВС ВА           1 1 1 1 СС АА ВС АА СС ВА ВС ВА 2 0 0 cos 0 0 0 a а а        Ответ: а 2

16 слайд
Дано: куб АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 ; АВ = а; О 1 – центр грани А 1 В 1 С 1 D 1 Найти:1 1 ВС ВА  3 способ: CC 1 A 1 B 1D 1 A BD Введем прямоугольную систему координат. х уz   а а ВС ; ; 0 1   а а ВА ; 0; 1 2 1 1 0 0 а а а а а ВС ВА         Ответ: а 2

17 слайд
Решаем по группам: Дополнительная задача:Вычислите угол между вектором а и координатным вектором i.  2; 1; 2 а Докажите, что четырехугольник ABCD – квадрат, если вершины имеют координаты A (-3;5;6), B (1;-5;7), C (8;-3;-1), D (4;7;-2).Вычислите угол между вектором а и координатным вектором k.   1; 2; 2 а +     1 ; 0 ; 0 0 ; 0 ; 1 k iОтвет: а rccos(2/3) Ответ: а rccos(1/3)

18 слайд
Дома : вывести формулу М.И. Башмаков «Математика. Задачник», стр. 115 , № 5.51.2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 cos z y x z y x z z y y x x         +

19 слайд