Векторларды көбейту

#1 слайд
Екі векторды векторлық көбейту Сабақ тақырыбы: №28 орта мектептің математика пәнінің мұғалімі Ибрагимова Г.М. Қолданбалы курс “Сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия”

1 слайд

#2 слайд
Сабақ мақсаты: Оқушыларға екі вектордың векторлық көбейтіндісі туралы түсінік беру, олардың геометриялық және алгебралық қасиеттерімен таныстыру. Оқушыларға екі вектордың векторлық көбейтіндісі көмегімен кейбір геометриялық есептерді шығаруды үйрету. Оқушыларды өз білімдерін жүйелеуге және векторларға берілген есептерді шығаруға бейімдеу.

2 слайд

#3 слайд
Қайталау сұрақтары: 1.Вектор деген не? Векторды қалай белгілейді? 2.Вектордың абсолют шамасы деген не? 3.Нөлдік вектор деген не? 4.Қандай векторлар тең деп аталады? 5.Векторларды қосудың «үшбұрыш ережесін» тұжырымдап беріңдер. 6.Векторларды қосудың «параллелограмм ережесін» тұжырымдап беріңдер. 7.Қандай векторлар коллинеар векторлар деп аталады? Қоллинеар векторлардың қасиеті. 8.Векторлар арасындағы бұрыш қалай анықталады? 9.Векторлардың скаляр көбейтіндісі дегенге анықтама беріңдер. 10.Бірлік векторлар. Векторды үш оське жіктеу.

3 слайд

#4 слайд
Анықтама. Нөлдік емес және векторларының векторлық көбейтіндісі деп символымен белгіленген мына үш шартты қанағаттандыратын векторын атайды: 1. векторының ұзындығы және векторла- рының ұзындықтарын олардың арасындағы бұрыш- тың синусына көбейткенге тең, яғни , мұндағы - және векторларының арасындағы бұрыш. 2. векторы және векторларының әрқайсысына перпендикуляр орналасқан. 3. векторының бағыты , , векторлары оң жақты үштік болатындай бағытта бағытталған. а  b  bас   c  c  а  b  sinbac   а  b  c  а  b  c  а  b  c 

4 слайд

#5 слайд
φ bас   а  b 

5 слайд

#6 слайд
Егер және векторларының кемінде біреуі нөлдік вектор болса, онда олардың векторлық көбейтіндісі нөлдік векторға тең деп алынады. а  b 

6 слайд

#7 слайд
Екі вектордың векторлық көбейтіндісі туралы түсінік механикадан алынған. Егер векторы қандай болса да бір М нүктесіне түсірілген күшті бейнелесе, ал векторы болып О нүктесіне түсірілсе, онда векторы О нүктесіне қатысты күшінің моментіне тең болады. b  а  аОМ   bас    b 

7 слайд

#8 слайд
II. Векторлық көбейтіндінің геометриялық қасиеттері. 1 - Теорема. Нөлдік емес екі және векторлары коллинеар болуы үшін, олардың векторлық көбейтіндісінің нөлге тең болуы қажетті және жеткілікті: , а  0  b  ║ 0  а  b  а  b  0  а  b 

8 слайд

#9 слайд
Қажеттілік. және векторлары коллинеар болсын. Мына жағдайлар болуы мүмкін: 1. , яғни және векторлары бағыттас болсын, сонда олардың арасындағы бұрыш -қа тең болады. Сондықтан, , бұдан болады; 2. , яғни және қарама-қарсы бағытталған векторлар болсын. Сонда олардың арасындағы бұрыш -қа тең болады. Сондықтан, , бұдан , яғни, екі жағдайда да . b  а  ba   а  b  0 0 00sin 0  babас  0bа   ba   а  b  0 180 0180sin 0  babас     0bа  0bа 

9 слайд

#10 слайд
Жеткіліктілік. болсын. Сонда . болғандықтан, бұдан теңдігі шығады, яғни немесе . Ал бұл және векторларының коллинеар векторлар екенін көрсетеді. ba    sin0  baba  0,0bа   0sin 0 0 0 180 а  b 

10 слайд

#11 слайд
2-теорема. және векторларының векторлық көбейтіндісінің ұзындығы ортақ бас нүктеден шыққан және векторларына салынған параллелограмның ауданына тең. Анықтама бойынша а  b  а  b  sin baba  φ bас   а  b  S

11 слайд

#12 слайд
Параллелограмның ауданы: Үшбұрыштың ауданы: baS   baS    2 1 а  b  S

12 слайд

#13 слайд
Бірлік векторлардың векторлық көбейтіндісі: kji   ikj   jik   kij   ijk   jki  

13 слайд

#14 слайд
Екі вектордың векторлық көбейтіндісінің алгебралық қасиеттері: 1-қасиет. қарсы ауыстырымдылық қасиет 2-қасиет. сан көбейткішіне қатысты терімділік қасиет 3-қасиет. үлестірімділік қасиет 4-қасиет. Кез келген векторы үшін abba   )()( baba      cbcacba  )( a  0aa 

14 слайд

#15 слайд
222 111 zyx zyx kji ba    );;(,);;( 222111 zyxbzyxa  Декарттық тік бұрышты координаталарымен берілген векторлардың векторлық көбейтіндісінің өрнегі.

15 слайд

#16 слайд
Есеп №1. Параллелограмның қабырғаларындағы векторлар берілген: Осы параллелограмның ауданын табайық. kjiа  3 kjib  32   1;3;1а   3;1;2b    1031099025164 5;1;858 12 31 23 11 31 13 312 131,           baS kjikji kji babaS     Шешуі: , Параллелограмның ауданы: Жауабы: 103

16 слайд

#17 слайд
A(-1;0;-1) B(0;2;-3) C(4;4;1) Есеп №2. Төбелері А(-1;0;-1), В(0;2;-3), С(4;4;1) нүктелерінде жатқан үшбұрыш ауданын тап. Шешуі: )2;4;5( )2;2;1( 2 1     АС АВ АСАВS .9;918 2 1 2 1 1832436144144)6()12(12 )6;12;12()6;12;12( 61212 45 21 52 12 24 22 245 221 222          SАСАВS АСАВ ACAB kjikji kji   АСАВ

17 слайд

#18 слайд
Есеп №3. Жақшаларды ашып өрнектерді ықшамда: 1 – тапсырма:   ikikijikjk kkjkikkjijkijikjikkijkji     2220    cababacbcbca acabbcbbbacccbcaacbbcbaccbа   2002 2 – тапсырма:  kjikkijkji     acbbcbaccbа 

18 слайд

#19 слайд
Есеп №4. Диагональдары және болып табылатын, мұнда - бірлік векторлар және олардың арасындағы бұрыш , параллелограмның ауданын табыңдар. nm  2 nm  54 nm  , 0 45 Шешуі: бір-біріне көбейтсек nmbanmba  54,2  25,1 2 23 ,23 2 2 666020 54108    Sab mnnmab nnmnnmmmbbabbaaa        а  b 

19 слайд

#20 слайд
Есеп №5. және векторларына салынған параллелограмның диагональдары мен ауданын табыңдар. Шешуі: )1;1;0(а  jka    kjib   )1;1;1(b  а  b  )2;0;1(bа  )0;2;1(bа  5bа   5bа  

20 слайд

#21 слайд
6114 )1;1;2(2 11 10 11 01 11 11 111 110,        baS kji kji kji babaS      Жауабы: 6

21 слайд

#22 слайд
Тест сұрақтары: 1.А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), С(3;-2;1) үшбұрышының төбелері болса, А төбесіндегі үшбұрыштың бұрышын табыңыз. А) B) C) D) E) 2. векторлары өзара перпендикуляр. 0 60 0 30 0 45 0 180 cba    ,, уа    cabа  32болса, скаляр көбейтіндісін анықтаңыз. А) B) C) D) E)y 0 90 2 y y3 2 3y 3 3. Төбелері А(7;3;4), В(1;0;6), С(4;5;-2) нүктелерінде жатқан үшбұрыш ауданын тап. А) 24 B) 23 C) 24,5 D) 23,5 E) 21

22 слайд

#23 слайд
4. Егер 17,24  bab  және 15ba  болса, онда табыңыз. a  А) 15 B) 13 C) 16 D) 14 E) 12 5. Егер және векторлар арасындағы бұрыш , әрі скаляр көбейтіндісі болса, онда осы векторлар арқылы салынған параллелограмның ауданы қаншаға тең болады? a  0 30b  3ba   А) B) 2 C) D) 1 E) 2 1 2 3 3

23 слайд

#24 слайд
Тест сұрақтары: 1.А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), С(3;-2;1) үшбұрышының төбелері болса, А төбесіндегі үшбұрыштың бұрышын табыңыз. А) B) C) D) E) 2. векторлары өзара перпендикуляр. 0 60 0 30 0 45 0 180 cba    ,, уа    cabа  32болса, скаляр көбейтіндісін анықтаңыз. А) B) C) D) E)y 0 90 2 y y3 2 3y 3 3. Төбелері А(7;3;4), В(1;0;6), С(4;5;-2) нүктелерінде жатқан үшбұрыш ауданын тап. А) 24 B) 23 C) 24,5 D) 23,5 E) 21

24 слайд

#25 слайд
4. Егер 17,24  bab  және 15ba  болса, онда табыңыз. a  А) 15 B) 13 C) 16 D) 14 E) 12 5. Егер және векторлар арасындағы бұрыш , әрі скаляр көбейтіндісі болса, онда осы векторлар арқылы салынған параллелограмның ауданы қаншаға тең болады? a  0 30b  3ba   А) B) 2 C) D) 1 E) 2 1 2 3 3

25 слайд

#26 слайд
А В Б а с ы Ұ ш ы Векторларды белгілеу: анемесеАВ

26 слайд

#27 слайд
Вектордың абсолют шамасы немесе модулі деп векторды кескіндейтін кесіндінің ұзындығын атайды және деп белгілейді. АВа,  );;( 222zухВ );;( 111zухА );;( 321 аааа  2 3 2 2 2 1 аааа   2 12 2 12 2 12 )()()( zzууххАВ 

27 слайд

#28 слайд
Егер вектордың бас нүктесі оның ұшымен дәл келіп беттесіп жатса, онда ол векторды нөлдік вектор деп атайды және деп белгілейді. Нөлдік вектордың абсолют шамасы нөлге тең. 0  00 

28 слайд

#29 слайд
bа  bа   а  b  Векторлардың теңдігі

29 слайд

#30 слайд
A B CАСВСАВ  АСВСАВ  «Үшбұрыш» ережесі

30 слайд

#31 слайд
C A B D “Параллелограмм” ережесі а  b  bаАС    bаDВ   Параллелограмның қасиеті бойынша: 2 22 2 2 baba bа        

31 слайд

#32 слайд

32 слайд

#33 слайд
Бір түзу бойында немесе параллель түзулер бойында жатқан нөлдік емес екі вектор коллинеар векторлар деп аталады. Коллинер векторлардың сәйкес координаталары пропорционал болады. Белгілеуі: а  b  );;( 321 aaaa  );;( 321 bbbb  3 3 2 2 1 1 b a b a b a 

33 слайд

#34 слайд
Нөлдік емес мен векторларының арасындағы бұрыш деп ВАС бұрышын атайды. Кез келген мен екі вектордың арасындағы бұрыш деп бас нүктесі ортақ әрі олармен тең векторлардың арасындағы бұрышты айтады. Бірдей бағытталған векторлардың арасындағы бұрыш нөлге тең деп есептеледі, ал қарама-қарсы бағытталған векторлардың арасындағы бұрыш -қа тең. АВ а  0 180 b  АC 0 0 180 0

34 слайд

#35 слайд
);;( 321aaaa  );;( 321 bbbb  мен векторларының скаляр көбейтіндісі деп санын атайды. 332211 babababa   332211 babababa   332211 bababa   а  b cos bаba     cos bаba    

35 слайд

#36 слайд
);;( zyxM i j k x y z M 1 M 2 M 3 Ұзындығы бірге тең векторды бірлік вектор немесе орт дейміз. 321 ОМОМОМОМ  ixОМ  1 jyОМ  2 kzОМ  3 kzjyixОМ  

36 слайд

#37 слайд
Үйге тапсырма: №421, №427 есептер (В.П.Минорский)

37 слайд