10 сынып Ақбота

К В А Н T$1 9 9 9 / № 444
r
ϕ
r
R
E
Задачи
с проводящими
сферами
А.ЧЕРНОУЦАН
П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А
З
АДАЧИ НА ЭЛЕКТРОСТАТИКУ, В
которых присутствуют одна или
несколько проводящих сфер, традици-
онно оказываются трудными для мно-
гих абитуриентов. В особенности это
относится к задачам на «перезарядку»,
где требуется выяснить, какие измене-
ния произошли в системе при соедине-
нии отдельных проводников между
собой. Большие трудности вызывают
задачи на энергию системы проводни-
ков. Непреодолимым препятствием
может оказаться и присутствие в задаче
внешних зарядов (например, точеч-
ных), нарушающих сферическую сим-
метрию системы.
Многие такие задачи решаются обыч-
ными школьными методами, в первую
очередь – методом суперпозиции. Од-
нако для успешного применения этих
методов в задачах с проводящими сфе-
рами нужно хорошо понимать основ-
ные свойства проводников. А именно:
1)
Проводник — это тело, в котором
есть свободные заряды, способные пере-
мещаться по объему проводника. В ме-
таллах, в частности, роль свободных за-
рядов играют электроны проводимости.
2) В электростатике рассматривается
состояние равновесия системы, т.е. со-
стояние, в котором отсутствует направ-
ленное движение зарядов (отсутствуют
токи). Это означает, что напряжен-
ность электростатического поля в лю-
бой точке проводника должна быть
равна нулю; в противном случае в окре-
стности этой точки немедленно начнет-
ся направленное движение свободных
зарядов.
3) Все точки проводника имеют один
и тот же потенциал, который называют
потенциалом данного проводника. По-
верхность проводника представляет
собой эквипотенциальную поверхность.
Силовые линии поля вне проводника
перпендикулярны к его поверхности.
4) Объемная плотность заряда внут-
ри проводника равна нулю. Все не-
совпадает с напряженностью поля то-
чечного заряда, потенциалы этих полей
могут различаться только константой,
но, поскольку оба потенциала равны
нулю на бесконечности, эта константа
равна нулю. Следовательно,
ϕ
πε
=
1
4
0
q
r
при r R≥. (1)
Из условия непрерывности потенциала
делаем вывод, что потенциал внутри
сферы (потенциал сферы) равен
ϕ ϕ
πε
сф
= =R
q
R
b g
1
4
0
при r R≤. (2)
Полученные результаты для напря-
женности и потенциала изображены
графически на рисунке 1. Отметим, что
вычисление потенциала можно начи-
нать не с внешней, а с внутренней
области. Дело в том, что центр сферы
находится на одном и том же расстоя-
нии R от всех поверхностных зарядов,
создающих поле, что позволяет легко
вычислить потенциал в этой точке:
ϕ
πε
ц
= =∑
1
4
0
∆q
R
i
=
1
4
1
4
0 0
πε πε
∆q
R
q
R
i∑
= . (3)
В данном случае такой подход выгля-
дит менее естественным, но иногда он
оказывается удобным.
Осталось вычислить энергию сферы:
W q
q
R
= =
1
2 8
2
0
ϕ
πε
сф
.
Уместно лишний раз напомнить, что
энергия сферы есть не что иное, как
энергия электрического поля в про-
странстве вокруг сферы.
Задача 2. Проводящие сферы радиу-
сами R
1
и R
2
находятся на большом
скомпенсированные заряды проводни-
ка находятся на его поверхности.
5) Если заданы заряды или потенци-
алы всех проводников системы, то мож-
но найти только одно распределение
зарядов на проводниках (и единствен-
ное распределение поля в пространстве
между проводниками), соответствую-
щее этим данным. Эта так называемая
теорема единственности играет важ-
ную роль в электростатике.
6) Энергия уединенного проводника
(энергия поля вокруг проводника) рав-
на
W q=
1
2
ϕ,
где q – заряд и ϕ — потенциал провод-
ника. Энергия системы проводников
равна
W q
i i
i
N
=
=
∑
1
2
1
ϕ.
Теперь перейдем к рассмотрению кон-
кретных задач. Начнем с задачи о поле
уединенной заряженной сферы.
Задача 1. На уединенную проводя-
щую сферу радиусом R нанесен заряд
q. Найдите напряженность и потен-
циал электрического поля во всех точ-
ках пространства. Вычислите потен-
циал сферы и ее энергию.
Из соображений симметрии очевид-
но, что заряд по поверхности сферы
распределен равномерно. Напряжен-
ность поля внутри сферы равна нулю,
а вне сферы напряженность такая же,
как у поля точечного заряда q, поме-
щенного в центр сферы:
E=0 при r R<,
E
r
=
1
4
0
2
πε
при r R>.
Что касается потенциала, то его удоб-
нее найти сначала во внешней области.
Так как напряженность поля сферы
Рис. 1

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А 45
′q
1
′q
2
R
1
R
2
q
q
2
расстоянии друг от друга. Первая
сфера заряжена зарядом q, вторая не
заряжена. Сферы соединяют длинной
тонкой проволокой. Какие заряды ока-
жутся на сферах после этого? Какое
количество теплоты выделится в про-
цессе перезарядки? Зарядом на прово-
локе пренебречь.
После соединения система двух сфер
вместе с проволокой будет представ-
лять собой единый проводник. Значит,
в результате перезарядки потенциалы
сфер сравняются:
1
4
1
4
0
1
1 0
2
2
πε πε
′
=
′q
R
q
R
,
где ′q
1
и ′q
2
— новые заряды сфер
(рис.2). Полный заряд системы в ре-
зультате перезарядки не меняется, т.е.
q q q=′+′
1 2
.
Из этих уравнений можно вычислить
заряды ′q
1
и ′q
2
:
′=
+
q
R
R R
q
1
1
1 2
, ′=
+
q
R
R R
q
2
2
1 2
.
Чтобы найти выделившееся количе-
ство теплоты, запишем закон сохране-
ния энергии:
W
нач
W Q
кон
= + ,
подставим сюда выражения для на-
чальной и конечной энергий:
W
нач
q
R
=
2
0 1
8πε
,
W
q
R
кон
=
′
+
1
2
0 1
8πε
+
′
=
+
q
R
q
R R
2
2
0 2
2
0 1 2
8 8πε πεc h
и получим искомую величину:
Q = W
нач
W− =
кон
q
R R
R
R
2
0 1 2
2
1
8πε +c h
.
В этой задаче при вычислении потен-
циалов и энергий можно было рассмат-
ривать каждую сферу как изолирован-
ную. Другая ситуация возникает в слу-
чае вложенных друг в друга концент-
рических сфер.
Задача 3. Две тонкие концентричес-
кие проводящие сферы радиусами R
1
и
R
2
(R
1
< R
2
) несут на себе заряды q
1
и q
2
соответственно. Вычислите по-
тенциалы сфер и энергию системы.
Какой заряд останется на внутрен-
ней сфере, если ее заземлить
1
(рис.3)?
Как изменится при этом энергия сис-
темы?
Потенциал любой точки простран-
ства можно найти по принципу супер-
позиции — как сумму потенциала ϕ
1
rb g,
создаваемого зарядами первой сферы,
и потенциала ϕ
2
rb g, создаваемого вто-
рой сферой. Для каждой точки во внеш-
ней области (r ≥R
2
) оба слагаемых
надо вычислять по формуле (1) – полу-
чится потенциал поля точечного заря-
да. Значит, потенциал внешней сферы
(r = R
2
) равен
ϕ
πε
R
q q
R
2
0
1 2
2
1
4
c h=
+
. (4)
В пространстве между сферами (R
1
<
< r < R
2
) вклад внутренней сферы
надо вычислять по формуле (1), а вклад
внешней сферы — по формуле (2):
ϕ
πε πε
r
q
r
q
R
b g= +
1
4
1
4
0
1
0
2
2
.
Положив в этой формуле r = R
2
, мы
опять получим потенциал внешней сфе-
ры, а положив r = R
1
, получим ответ
для потенциала внутренней сферы:
ϕ
πε πε
R
q
R
q
R
1
0
1
1 0
2
2
1
4
1
4
c h= + . (5)
Такой же потенциал будет у всех точек
при r < R
1
.
Энергия этой системы зарядов равна
W q R q R= + =
1
2
1
2
1 1 2 2
ϕ ϕc h c h
=
1
8
2
0
1
2
1
1 2
2
2
2
2
πε
q
R
q q
R
q
R
+ +
F
H
G G
I
K
J J
.
Первый и третий члены представляют
собой собственные энергии сфер, а вто-
рой член — энергию их взаимодей-
ствия.
После заземления внутренней сферы
ее потенциал станет равным нулю.
Применяя формулу (5), получим урав-
нение для нового заряда этой сферы:
0
1
4
1
4
0
1
1 0
2
2
=
′
+
πε πε
q
R
q
R
,
откуда найдем
′= −q q
R
R
1 2
1
2
.
С помощью формулы (4) найдем те-
перь новый потенциал внешней сферы:
′ =
′+
=ϕ
πε
R
q q
R
2
0
1 2
2
1
4
c h
=
1
4
0
2 2 1
2
2
πε
q R R
R
−c h
.
Поскольку потенциал внутренней сфе-
ры теперь равен нулю, энергия системы
в конечном состоянии равна
′= ′ =
−
W q R
q R R
R
1
2
1
8
2 2
0
2
2
2 1
2
2
ϕ
πε
c h
c h
.
Видно, что конечная энергия системы
меньше начальной. Это и понятно.
Уменьшение электростатической энер-
гии системы равно тому количеству
теплоты, которое выделилось при пере-
зарядке.
Задача 4. Три концентрические про-
водящие сферы имеют радиусы R, 2R
и 3R. Внутренняя и внешняя сферы не
заряжены, заряд средней сферы равен
q. В некоторый момент внутреннюю
и внешнюю сферы соединяют проволо-
кой (рис. 4). Какой заряд пройдет по
этой проволоке, и какое при этом
выделится количество теплоты?
Обозначим конечный заряд внешней
сферы ′q, тогда заряд внутренней сфе-
ры будет −′q. Применяя метод супер-
позиции аналогично тому, как мы это
делали в задаче 3, вычислим конечные
потенциалы внутренней и внешней сфер
и приравняем их друг другу. Потенци-
ал внутренней сферы равен
′= −
′
+ +
′F
H
G
I
K
J
ϕ
πε
R
q
R
q
R
q
R
b g
1
4 2 3
0
(для вклада от всех трех сфер можно
Рис. 2
1
Заземляющая проволока проходит че-
рез маленькое отверстие во внешней сфере
без контакта с ней.
Рис. 3
R
1
R
2
2R
R
q
3R
Рис. 4

К В А Н T$1 9 9 9 / № 446
применять формулу (2) или найти по-
тенциал центра – аналогично задаче 1).
Потенциал внешней сферы равен
′ =ϕ3Rb g
1
4 3 3 3
0
πε
−
′
+ +
′F
H
G
I
K
J
=
q
R
q
R
q
R
=
1
4 3
0
πε
q
R
.
Приравнивая потенциалы, находим
′=q
q
4
.
Именно такой заряд и пройдет по про-
волоке с внутренней сферы на вне-
шнюю.
Для ответа на второй вопрос вос-
пользуемся законом сохранения энер-
гии. Начальная энергия системы равна
просто энергии средней сферы, т.е.
W q R
q
R
= =
1
2
2
1
8 2
0
2
ϕ
πε
bg .
Конечная энергия системы равна
′= −′ ′+ ′ +W q R q R
1
2
1
2
2ϕ ϕb g b g
+
1
2
3
1
2
2′ ′ = ′q R q Rϕ ϕb g b g
(мы учли, что потенциалы внешней и
внутренней сфер равны друг другу).
Для конечного потенциала средней
сферы запишем
′ =ϕ2Rb g
=
1
4 2 2 3
0
πε
−
′
+ +
′F
H
G
I
K
J
=
q
R
q
R
q
R
1
4
11
24
0
πε
q
R
(для вклада внутренней сферы приме-
няем формулу (1), а для вклада внеш-
ней — формулу (2)). Окончательно,
выделившееся количество теплоты бу-
дет равно
Q W W= − ′=
=
1
8 2
11
24
1
192
0
2 2
0
2
πε πε
q
R
q
R
q
R
−
F
H
G G
I
K
J J
= .
В следующей задаче выясним, как
изменяется потенциал проводящей сфе-
ры в присутствии точечного заряда.
Задача 5. Проводящая сфера радиу-
сом R заряжена зарядом Q. Каким
станет потенциал сферы, если на рас-
стоянии l от ее центра поместить
точечный заряд q? Разобрать случаи
l > R и l < R.
На первый взгляд, эта задача гораздо
труднее предыдущей, поскольку при-
сутствие точечного заряда нарушает
сферическую симметрию, и распреде-
ление заряда по поверхности сферы
становится неравномерным. Действи-
тельно, получить полное описание, т.е.
найти распределение зарядов на сфере
и поле вокруг нее, совсем не просто,
хотя и возможно. Это можно сделать,
например, с помощью метода электро-
статических изображений, неоднократ-
но описанного на страницах «Кванта»
(последний раз — в №1 за 1996 г.).
Однако ответить на поставленный в
задаче вопрос можно довольно просто,
опираясь на симметрию сферы и теоре-
му единственности.
Начнем со случая l > R (рис. 5). В
этом случае потенциалы всех точек
сферы одинаковые, и достаточно най-
ти потенциал какой-нибудь одной точ-
ки. Ясно, что мы выберем центр сфе-
ры. Вклад зарядов, распределенных
по поверхности сферы, вычисляется
так же, как в задаче 1 (см. формулу
(3)), и составляет
1
4
0
πε
∆Q
R
i
∑
=
=
1
4
0
πε
∆Q
R
i∑
=
1
4
0
πε
Q
R
(поскольку
в этом вычислении никак не использу-
ется равномерность распределения за-
ряда — ответ зависит только от пол-
ного заряда сферы). Остается учесть
вклад точечного заряда и записать
ϕ ϕRb g b g= =0
1
4
1
4
0 0
πε πε
Q
R
q
l
+ . (6)
Видно, что потенциал сферы при поме-
щении рядом с ней точечного заряда
изменился на величину потенциала,
создаваемого этим зарядом в центре
сферы. Во избежание недоразумений
отметим, что существует единственное
распределение зарядов по поверхности
сферы, при котором потенциал всех
внутренних точек сферы равен полу-
ченному значению.
Перейдем к случаю l < R (рис. 6).
Так как теперь заряд находится внутри
сферы, напряженность поля внутри
сферы не равна нулю и потенциалы
различных точек не равны друг другу.
Однако и в этом случае несложно опре-
делить потенциал сферы, только надо
обратить внимание не на внутреннюю
часть сферы, а на окружающее ее внеш-
нее пространство. Оказывается, поле
во внешнем пространстве не зависит от
положения заряда q внутри сферы, т.е.
при перемещении заряда по внутрен-
ней области поле во внешней области
не меняется.
Это утверждение верно для полого
проводника любой формы, и следует
оно из теоремы единственности. Поле
во внешнем пустом пространстве од-
нозначно определяется следующими
условиями: 1) потенциал на бесконеч-
ности равен нулю; 2) потенциал на
поверхности проводника принимает не-
которое постоянное значение; 3) пол-
ный заряд внутри этой поверхности
известен, т.е. известно полное число
силовых линий, начинающихся на по-
верхности проводника. Существует
единственное поле, удовлетворяющее
этим условиям.
Для сферического проводника поле
во внешней области совпадает с полем
точечного заряда Q + q. При этом заряд
на сфере распределится следующим
образом: на внутренней поверхности
сферы будет находиться заряд –q, по-
скольку здесь заканчиваются все сило-
вые линии, начинающиеся на заряде q,
а на внешней поверхности сферы рав-
номерно распределится заряд Q + q.
Следовательно, потенциал сферы в этом
случае равен
ϕ
πε πε
R
Q
R
q
R
b g= +
1
4
1
4
0 0
(7)
и не зависит от расстояния l.
А теперь попробуем ответить на та-
кой вопрос: чему будет равен потен-
циал проводящей сферы, несущей за-
ряд Q, в присутствии двух точечных
зарядов q
1
и q
2
, расположенных на
расстояниях l
1
и l
2
от центра сферы
(l
1
< R < l
2
)? Может показаться, что
здесь нельзя применить ни одно из
рассуждений, использованных в слу-
чае только одного заряда. Действи-
тельно, для первой части задачи было
важно, что напряженность поля внутри
сферы равна нулю, а для второй — что
вне сферы нет зарядов. Но теорема
единственности позволяет ответить на
поставленный вопрос с помощью су-
перпозиции рассмотренных выше двух
случаев расположения заряда относи-
тельно сферы.
Рис. 5
q
Q
R
l
Рис. 6
q
R
Q + q
l

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А 47
q
1 q
1
q
2
q
2
Q Q
1
Q
2
+=
l
1
l
2
Разобьем задачу на две части. Сна-
чала рассмотрим заряд q
1
на расстоя-
нии l
1
от сферы с зарядом Q
1
, а затем
– заряд q
2
на расстоянии l
2
от сферы
с зарядом Q
2
, при этом Q
1
+ Q
2
= Q
(рис.7). Потенциал сферы в первом
случае определяется формулой (7), а
во втором случае — формулой (6). А
теперь наложим первую систему на
вторую. Так как потенциалы всех то-
чек сферы были постоянными в каж-
дом из случаев, при наложении сис-
тем они тоже будут постоянными, а
заряд сферы будет равен Q. Следова-
тельно, полученное при наложении
распределение зарядов по поверхнос-
ти сферы и будет правильным (теоре-
ма единственности). Для потенциала
сферы получим
ϕ
πε
R
Q
R
b g= +
1
4
0
1
4
1
4
0
2
2 0
1
πε πε
q
l
q
R
+ .
Этот результат естественным обра-
зом обобщается на любое количество
точечных зарядов. Интересно отметить,
что отсюда следует своеобразная экви-
валентность точечных за-
рядов и заряженных сфер
в задаче, где требуется оп-
ределить потенциал про-
водящей сферы. Посколь-
ку вклад от точечного за-
ряда в потенциал сферы
зависит только от расстоя-
ния l между этим зарядом
и центром сферы, потен-
циал сферы не изменится, если мы
«размажем» этот заряд по поверхности
воображаемой сферы радиусом l. Срав-
ните, например, формулу (5) с форму-
лой (6), а формулу (4) с формулой (7).
Задача 6. Имеются две концентри-
ческие проводящие сферы радиусами
R
1
и R
2
(R
1
< R
2
). Между сферами на
расстоянии r от центра находится
точечный заряд q. Какие заряды по-
явятся на сферах, если их заземлить?
Выразим потенциалы сфер и прирав-
няем их к нулю. Потенциал внутренней
сферы равен потенциалу центра, т.е.
ϕ
πε
R
q
R
1
0
1
1
1
4
c h= +
1
4
1
4
0 0
2
2
πε πε
q
r
q
R
+ ,
где q
1
и q
2
— заряды сфер (после
заземления). Поле во внешнем про-
странстве совпадает с полем точечного
заряда q
1
+ q +q
2
, поэтому потенциал
внешней сферы равен
ϕ
πε
R
q q q
R
2
0
1 2
2
1
4
c h=
+ +
.
Теперь приравняем потенциалы обеих
сфер к нулю, решим полученные урав-
нения и найдем искомые заряды:
q q
R
r
R
R
1
2
2
1
1
1
= −
−
−
, q q
R
r
R
R
2
1
1
2
1
1
= −
−
−
.
Упражнения
1. Имеются две концентрические прово-
дящие сферы радиусами R
1
и R
2
(R
1
< R
2
).
Внутренняя сфера заряжена зарядом q,
внешняя сфера не заряжена. Каким станет
потенциал внутренней сферы, если вне-
шнюю сферу заземлить? Как изменится при
этом энергия системы?
2. Имеются три концентрические прово-
дящие сферы радиусами R
1
, R и R
2
(R
1
<
< R < R
2
). Среднюю сферу заряжают заря-
дом q, а внутреннюю и внешнюю сферы
заземляют. Какие заряды появятся на этих
сферах?
3. На расстоянии l от центра заземленной
проводящей сферы радиусом R помещают
точечный заряд q. Какой заряд появится на
сфере?
4. Проводящую сферу радиусом R зазем-
ляют, а на расстояниях l
1
< R и l
2
> R от
ее центра помещают точечные заряды q
1
и
q
2
. Какой заряд появится на сфере?
5. Имеются две концентрические прово-
дящие сферы радиусами R и 3R. Между
сферами на расстоянии 2R от их центра
находится точечный заряд q. Какие заряды
окажутся на сферах, если их соединить
тонкой проволокой?
Рис. 7