Материалдар / Анықталған және анықталмаған интеграл әдістемелік құрал

Анықталған және анықталмаған интеграл әдістемелік құрал

Материал туралы қысқаша түсінік

11 сынып оқушыларын және пән мұғалімдеріне арналған көмекші құрал. Бұл тарауда оқушыларға тиімді жолдармен есептер , тестетр, өзіндік жэұмыстар берілген.

Нургалиева Турсынай Болатовна

Автор материалды ақылы түрде жариялады. Сатылымнан түскен қаражат авторға автоматты түрде аударылады. Толығырақ

21 Желтоқсан 2017

4392

11 рет жүктелген

Алгебра Авторлық бағдарлама 11 сынып

770 ₸

Бүгін алсаңыз
+39 бонус беріледі
Бұл не?

Бүгін алсаңыз +39 бонус беріледі Бұл не?

Тегін турнир Мұғалімдер мен Тәрбиешілерге
Дипломдар мен сертификаттарды алып үлгеріңіз!

Бұл бетте материалдың қысқаша нұсқасы ұсынылған. Материалдың толық нұсқасын жүктеп алып, көруге болады

Материалдың толық нұсқасын
жүктеп алып көруге болады

БҚО Ақжайық ауданының білім бөлімінің әдістемелік кабинеті

Анықталған және анықталмаған интеграл(Әдістемелік құрал)

(№1 орта жалпы білім беретін мектебінің екінші санатты математика пәні мұғалімдері Т.Б.Нургалиеваның іс-тәжірибесінен )

Чапаев, 2017 жыл№1 орта жалпы білім беретін мектебінің әдістемелік бірлестігінің сараптама кеңесінде қаралып, аудан көлемінде таратуға мақұлданды.Хаттама №1

Құрастырушылар: Т.Б.Нургалиева математика пәні мұғалімдеріПікір жазған: №1 орта жалпы білім беретін мектебінің жоғары санатты математикапәні мұғалімі Смаилова Гулжанат Иратовна

Ұстаз-ұрпақ тәрбиелеп өсіруші қоғам тапсырып сенген өкіл. Ұстаздық қызметтің қыры мен сыры мол, сан қилы және әр тарапты. Нургалиева Турсынай Болатовна -2009 жылдан бері өзінің еңбек жолын бастады. Проблемалық тақырыбы «Математика сабағында логикалық есептерді қолдану арқылы оқушылардың ойлау қабілеттерін дамыту», Жантемирова Назгуль Орынбасаровна проблемалық тақырыбы «»Турсынай Болатқызы және Назгуль Орынбасаровна –жаңа технологияға негізделген жаңашыл ұстаз. Сабақтың сапалы болуын және тиімді жағын арттырып отырады. Сабақ өткізу барысында пәнге деген қызығушылығын арттыру мақсатында оқушылардың бір-біріне деген жолдастық қарым-қатынасы арта түсіп, бір-біріне бар ынта жігерімен көмектесіп, үйретуге, есептердің шығару жолдарын қолдануда оқушылардың ойлау қабілеттерін арта түсетіндігі байқалады. Бүгінгі жас маман ертеңгі ұлағатты ұстаздардың орнын басатын, олардан үлгі алатын, шәкірттердің сүйікті ұстазына айналатын тұлға болатынына сенімдімін.

Түсінік хатҰсынылып отырған әдістемелік құрал орта мектептің жаратылыстану-математика бейіндік бағытында математика пәнін тереңдетіп оқытуда қолдануға арналған. Әдістемелік құралда қысқаша теориялық түсінік пен интегралдық есептеуге арналған әр түрлі есептер жинақталып, оларды шешу әдістемесі көрсетілген, есептердің күрделілігіне қарай деңгейлік жаттығу жұмыстары мен бақылау жұмысы тапсырмалары, тестік тапсырмалар берілген. Әдістемелік құралдың негізгі мақсаты- жан-жақты ойластырылып құрастырылған есептерді оқушыларға шешу арқылы олардың ойлау қабілеті мен шығармашылық белсенділігінің дамуына ықпал ету, есептерді шығару дағдысын жетілдіре түсуге көмектесу болып табылады. Сонымен қатар, математика пәнінің қолданбалы салаларын оқушыларға таныстыру, соның негізінде математиканы қолдану салаларын оқушыларға айқындау болып табылады.

МАЗМҰНЫКіріспеФункцияны интегралдау

Анықталмаған интеграл

Функцияның алғашқы бейнесі және анықталмаған интеграл

Интегралдар кестесі

Анықталмаған интегралдарды есептеу әдістері

Тікелей интегралдау әдісі

Айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау әдісі

Бөліктеп интегралдау әдісі

ЖаттығуларДеңгейлік тестік тапсырмалар

Анықталған интеграл

Анықталған интеграл әдісі

Анықталған интегралды есептеу

Ньютон-Лейбниц формуласы

Айнымалыны алмастыру әдісі

Бөліктеп интегралдау әдісі

Жаттығулар Деңгейлік тестік тапсырмалар

Анықталған интегралдың геометрияда қолданылуы

Тік бұрышты координаталардағы аудан

Қисық доғасының ұзындығы

Айналу денесінің көлемі

Айналу бетінің ауаны

ЖаттығуларДеңгейлік тестік тапсырмаларБілімін тексеруге арналған қосымша тестік тапсырмалар

Функцияны интегралдау

Анықталмаған интеграл

Функцияның алғашқы бейнесі және анықталмаған интеграл

Есеп қарастырайық. f(x) функциясы берілсін: туындысы f(x) функциясына тең болатын F(x) функциясын табу керек, яғни F/(x)=f(x).1-анықтама. Егер х[а,в] аралығында F/(x)=f(x) теңдігі орындалса, онда осы аралықта F(x) функциясы f(x) функциясы үшін алғашқы бей+несі деп аталады. Мысал f(x)=х2 функциясының алғашқы бейнесін табу керек. Алғашқы бейненің анықтамасы бойынша F(x)= функциясы алғашқы бейне болады, себебі =х2.Бұл функцияның алғашқы бейнесі бір мәнді болмайды, себебі F(x)=+1, F(x)=-7 немесе жалпы F(x)=+C (мұндағы С-ерікті тұрақты) функциясы да С-ның кез келген мәнінде f(x)=х2 функциясының алғашқы бейнесі болады, яғни ()/=x2.Қорыта айтқанда, егер берілген f(x) функциясының алғашқы бейнесі F(x) болса, онда бұдан басқа алғашқы бейненің түрі F(x)+С болады. Бұл келесі теоремадан шығды.Теорема. Егер f(x)функциясының алғашқы бейнелері бар болса, онда олардың айырымы тұрақты шамаға тең.2-анықтама. Егер F(x) функциясы берілген f(x) функциясының алғашқы бейнесі болса, онда F(x)+С өрнегі f(x) фунциясының анықталмаған интегралы деп аталады және ∫f(x)dxсимволымен белгіленеді, яғни анықтама бойынша ∫f(x)dx =F(x)+С, мұндағы f(x)- интеграл астындағы функция, f(x)dx – интеграл астындағы өрнек, ∫- интеграл әдісі. Берілген функцияның алғашқы бе+йнесін табу интегралдау амалы деп аталады. Геометриялық тұрғыдан анықталмаған интеграл жазықтықта бір-бірінен айырымы тұрақты шама болатындай қисықтар жиынын көрсетеді. Бқл қисықтарды интегралдық қисықтар деп атайды. Мысалы, f/(x)=2x және f(2)=5болса, онда , f/(x) функциясын табыңыз. Шешуі: f/(x)==2x . Бұдан dy=2x*dx∫dy=∫2x*dx , онда y=x2+C болады. y=f(x)=x2+C онда C=1 шығады. Ендеше f(x)=x2+1 болады. Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері:10. (∫f(x)dx)/=(F(x)+C)/=f(x)20. ∫kf (x)dx=k ∫f(x)dx30. ∫ (f(x)+g(x))dx= ∫f(x)dx+∫g(x)dx40. ∫ f(x)dx=f(x)50. ∫df (x)=f(x)+C60. ∫ f(ax+b)dx=F (ax+b)+CМысалдар

а) [∫ (x2+5)dx]=x2+5

b) (∫)=

g) ∫d(sinx)= ∫(sinx)dx=sinx+Cd) ∫ d (x3+x2+x+5)= (x3+x2+x+5)= 3x2+2x+1.

Егер f(x)=∫d(x2-4) болса, онда f/(5) неге тең?

Шешуі: Теңдіктен f(x)= x2-4 шығады. Бұдан f/(х)=2x. f/(5)=2*5=10 болады.

Егер f(x)= ∫(x3-4x+5)dx болса, онда x=2 нүктесінде жанаманың бұрыштық коэффициенті неге тең?

Шешуі: f(x)=∫ f/(x)dx қасиетін пайдалансақ, онда f(x)=(x3-4x+5) болады. Ендеше f/(2) =23-4*2+5=5

Егер ∫x*f(x)dx=2x2+5x-3 болса, онда f(x) неге тең?

Шешуі: Анықталмаған интегралдың қасиетін пайдалансақ: x*f(x)=(2x2+5x-3)/. Ендеше x*f(x)=(4х+5), бұдан f(x)==4+ болады.

Егер F(x)=∫

f(x)=∫(х2-2х+3)dx фунциясының иілу нүтесін табыңыз.

Интегралдар кестесі

Интегралдау амалы дифференциалдау амалына кері амал.

∫xndx=+C

∫=ln|x|+C

∫ax*dx=+C (a≠1)

∫eˣ*dx=eˣ+C

∫sinx*dx=-cosx+C

∫cosx*dx=sinx+C

∫=-ctgx+C

∫tgx*dx=-ln|cosx|+C

∫ctgx*dx=ln|sinx|+C

∫rctgx+C (-arcctgx+C)

11/. ∫=arctg+C (-arcctg)

∫ =ln|+C (a≠0)

∫=arcsinx+C (-arccosx+C)

13/.

Мысалдар:

A) ∫x3dx=

b) ∫5dx=5x+Cc) ∫5xdx=5∫xdx=5*d) ∫ (5x²+2)dx=5∫x²dx+2∫dx=5*2. a) ∫ b) ∫ dx.3. a) ∫ 5³ˣdx b) ∫ 5³ˣ+4dx g) ∫e2xdx4. a) ∫sin5xdx=-b) ∫cos (5x+3)dx=d) ∫g) ∫1.3 Анықталмаған интегралдарды есептеу әдістеріИнтегралды интегралдау әдістері интеграл астындағы функцияның берілуіне және интегралдау кестесінің қорына байланысты:

Тікелей интегралдау;

Айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау;

Бөліктеп интегралдау.

Осы тәсілдерді жеке қарастырайық:

Тікелей интегралдау әдісі

Функцияларды анықталмаған интегралдың қасиеттері мен интегралдар кестесіне сүйеніп тікелей интегралдауға болады. Ал, тригонометриялық фнкцияларды интегралдағанда қосымша келесі келтіру формулаларын пайдалануға болады:

sin²x+cos²x=1, sinx=

ctgx=, tgx*ctgx=1

cosec, secx=

sin2x=2sinx*cosx, cos2x=cos²x-sin²x=2cos²x-1=1-2sin²x

sinx*cosy=

cosx*siny= (sin(x+y)-sin(x-y))cos*cosy=(cos(x+y)+cos(x-y))sinx*siny=(cos(x+y)-cos(x-y)).Мысал, ∫ интегралын есептеп, нәтижесін дифференциалдау арқылы тексеріңдер. Алымын бөліміне бөліп, интегралдың қасиетін және кестені пайдаланып, шығарамыз:1. ∫-1/4dx-2∫ x15/4dx+∫ x5/12dx=4x3/4-x19/4+ x17/12+C=4-19+12√x17+C.

∫ cos7xdx

∫sin(2x-6)dx

∫ sin²xdx

Интеграл астындағы функцияның бөліміндегі өрнектен толық квадратты бөліп аламыз. Сонда 1. ∫ =∫ = =4√3/6√13arctg

∫dx

Алымында бөлімінің туындысына тең болатын қосылғышты айырып алып, алатынымыз: 4. ∫=∫(4-8x)-2/5dx=-(4-8x)3/5+C=-⁵√(4-8x)³+C5.∫6. ∫dx7. ∫dx= ∫dx= ∫=dx= ∫(1-cosx)dx=x-sinx+C

1.3.2 Айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау әдісіКейде интегралдағы х айнымалысының орнына жаңа t айнымалысын енгізіп, берілген ∫f(x)dx интегралын тікелей интегралданатын кестелік интегралдың біріне келтіруге болады. Бұл интегралдау әдісін айнымалыларды ауыстыру әдісі деп атайды Бұл әдістің негізі күрделі функциялардың дифференциалдау формуласы болып табылады. Теорема. Анықталмаған ∫f(x)dx интегралындағы х айнымалысының орнына x=φ(t) формуласы бойынша жаңа t айнымалысын енгізсек, берілген анықталмаған интеграл үшін ∫ f(x)dx=∫f[φ(t)]φ/(t)dt (1)теңдігі орындалады.Бұл әдісті қолдану берілген айнымалыны қандай формула бойынша ауыстыруға байланысты. Мысалдар:

∫ х√х-3dx

Квадрат түбірден құтылу үшін √х-3=t деп жаңа t айнымалысын енгіземіз. Сонда x=t²+3және dx=2t dt. Ауыстыруды енгізген соң, аламыз: ∫ x√x-3xdx= ∫ (t²+3)t2tdt= ∫ (2t⁴+6t²)dt= 5/2+2 (x-3)3/2+C

∫ √sinxcosxdx= |t=sinx, dt=cosxdx|=∫√tdt=∫ t1/2dt=t2/3+C=sin3/2x+C

∫ x(x²+1)3/2dx

∫ esinxcosxdx

Интеграл астындағы өрнек екі көбейткіштен тұрады, түбірден құтылатындай жаңа айнымалы енгіземіз: t=sinx , x=arcsint dx=, cosx= √1-sin²x=√1-t² ∫esinxcosxdx= ∫et√1-t²= ∫etdt= et+C=esinx+C

∫ √a²-x²dx

1.3.3

770 ₸ - Сатып алу

Ресми байқаулар тізімі

Республикалық байқауларға қатысып жарамды дипломдар алып санатыңызды көтеріңіз!