ДИРИХЛЕ ПРИНЦИПІ

УДК ӘОЖ 372.851

ДИРИХЛЕ ПРИНЦИПІ

Маукенова Айдана Тулеуғазықызы, Уйсембаева Молдир Саматовна

Сақан Өскен Миятжанұлы

Семей қаласының Шәкәрім атындағы мемлекеттік университеті
Ғылыми жетекшісі: Тайболдина Қ.Р., аға оқытушы

moldir.8.97@mail.ru

Аннотация

Оқушылардың логикалық ойлауын дамыту. Оқушыларға Дирихле принципін үйрету.

Түйін сөздер

Дирихле принципі. Қояндар. Торлар. Олимпиадалық есептер. Оқушылар. Логикалық есептер.

Көптеген есептерді шешу үшін, логикалық әдістер қолданылады. Біз оның бір түрі - Дирихле принципін қарастырайық. Дирихле принципін оқып үйрену арқылы әр түрлі логикалық есептерді, олимпиадалық есептерді оңай шешуге болады. Бұл қарапайым принципті бірінші болып неміс математигі Лежен Дирихле (1805-1859) тұжырымдаған. Бұл мақаланың мақсаты – оқушыларға олимпиадада кездесетін кейбір есептерді Дирихле принципін қолдану арқылы шешіп көрсету. Берілген әдіспен есеп шығаруды 5-6 сынып оқушылары да пайдаланады.

Дирихле принципі екі жиын арасындағы қатынасты өрнектейді. Дирихле принципін үйрену үшін бірнеше сабақ өткізу қажет. Дирихле принципін қосымша сабақтарда да үйретуге болады, себебі ол олимпиадалық есептерді шешуде жиі қолдаланылады. Дирихле принципінің негізгі ерекшелігі есептің конструктивті емес жолын беруде, яғни тор не екенін білеміз, бірақ оның қайда орналасқанын нақты айту қиын. Ал конструктивті шешімін табу қиындықтар туғызуы мүмкін. Дирихле принципінің негізгі анықтамасы: n торда m қоян отыр және болса, онда ең болмағанда 1 бос тор көз табылады.

Дирихле принципінің ең кең тараған тұжырымдамасы:

Егер m қоян n торға отырғызылса, онда кем дегенде бір торда кемінде  {\displaystyle \left\lceil {\frac {m}{n}}\right\rceil }   қоян болады, ал кемінде бір торда  {\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor }   санынан аспайтындай қоян отырады.

Егер m қоян n кг шөп жесе қандайда бір қоян кем емес шөп ал қандай да бір қоян көп емес шөп жейді. Яғни біреуі орташа көрсеткіштен көп шөп жесе онда екінші біреуі орташа көрсеткіштен аз шөп жеуі анық.

Мысал 1. Мәскеуде 10 000 000-нан астам адам тұрады. Әрбір адамның басында 300 000-нан астам шаш болуы мүмкін емес. 34 адамның басындағы шаштарының саны бірдей болуы мүмкін болатынын дәлелде.  

Шешуі. Баста 0,1,2,...,300 000 шаш болуы мүмкін. Сонда барлығы 300 001 нұсқа. Шаштарының санына байланысты әрбір адамды 300 001 топқа бөлеміз. Егер шаштарының саны бірдей болатын 34 адам табылмаса, яғни құр алған топтардың кез келгеніне 33 –тен артық емес адам кіреді. Онда Москвада 33·300 001=9 900 033<10 000 000   адам тұрады. Бұл қарама-қайшылық. Яғни 34 адам табылады.

Мысал 2. Турнирде жеңіске жеткендері үшін 8 адамнан тұратын команда 12 кәмпит алды. Балалар кәмпиттерді бүтіндей (сындырмай) бөліп алды. Келесі тұжырымдамалар дұрыс па? Анықтаңдар.

«бір бала кем дегенде екі кәмпит алды»

«бір бала кем дегенде үш кәмпит алды»

«екі бала кем дегенде екі кәмпит алды»

«әрқайсысына кем дегенде бір кәмпиттен келді».

Жауабы: Бірінші тұжырым дұрыс, қалғаны дұрыс емес.

Шешуі: 1) Дұрыс. Кері жоримыз. Яғни балалар кәмпиттерді бөліскенде әрбіреуі 0 немесе 1 кәмпиттен алды делік. Онда барлық бала қосындысында 8 кәмпиттен артық алмайды. Ал бұл есеп шартына қайшы. Яғни біздің жорығанымыз дұрыс емес, бұндай жағдай болу мүмкін емес. Онда  бір бала кем дегенде екі кәмпит алды.

Қалғандарының орындалмайтындығына бір мысалдан келтіре салса жеткілікті:

2) 4 адам 2 кәмпиттен алады, ал қалған 4 адам бір-бірден алады.

3) Барлық кәмпитті бір адам алады.

4) 3-ші бөлімге ұқсастықпен.

Мысал 3. Сыныпта 15 оқушы. Сыныптан бір айда туған күнін атап өтетін  кем дегенде 2 оқушының табылатынын дәлелдеңіз.

Шешуі: 15 оқушы- «қояндар» болсын. «торлар»- жылдың айлары (12 ай). 15>12 болғандықтан Дирихле принципі бойынша бір торда 2 қоян отыратындай кем дегенде бір тор табылады. Яғни сыныптан бір айда  кем дегенде 2 оқушы туған күнін атап өтетіндей ай табылады.  

Мысал 4. Мектепішілік баскетбол жарысының ақтық кезеңінде 6А командасы 9 доп салды. Осы командадан саны жағынан бірдей доп салған екі ойыншы табылатынын дәлелдеңіз.(Командада 5 ойыншы болған)  

Шешуі: Командадан саны жағынан бірдей доп салған екі ойыншы табылмауы мүмкін деп жориық. Онда барлық бес ойыншы саны бойынша әртүрлі доп салған. Бірінші ойыншы ешқандай доп салған жоқ дейік, екінші ойыншы бір доп салды, үшіншісі екі доп салды, төртіншісі үш доп салды, бесіншісі төрт доп салды.  Онда ойыншылар барлығы он доп салды. Егер ойыншылардың кем дегенде біреуі біз жорығандай доптан артық салса, онда команданың да барлық салған доптарының саны 9-дан асып кетеді. Яғни біздің кері жорығанымыз дұрыс емес. Яғни командадан саны жағынан бірдей доп салған екі ойыншы табылады.

Мысал 5. Андрейдің інісі шашкилерді 8 түрлі түспен бояп шықты. Әрбір бағанда және әрбір жолда бір шашкиден болатындай Андрей 8 әртүрлі түсті шашкилерді шашки тақтасына қанша тәсілмен орналастыра алады? Әрбір бағанда және әрбір жолда бір шашкиден болатындай Андрей 8 ақ шашкиді қанша тәсілмен орналастыра алады?    

Шешуі: Біріншіден шашкилердің түстері ақ болған жағдайды қарастырайық. Шашкилерді орналастырамыз. Бірінші бағандағы 8 торкөздің кез келгеніне шашкиді қоя аламыз, екінші бағандағы 7 торкөздің кез келгеніне қоя аламыз. (Сонымен қоса бірінші шашки тұрған жолға шашки қоюға болмайды). Сол сияқты үшінші жолдың кез келген 6 торкөзіне шашки қоюға болады, төртінші жолдың кез келген 5 торкөзіне шашки қоюға болады т.с.с. Нәтижесінде  8! Тәсіл шығады.

Енді шашкилер түрлі түсті болған жағдайды қарастырамыз. Ақ шашкилердің орналасуларының кез келген жағдайын алайық. Осы шашкилерді олардың кез келген екеуі әртүрлі түс болатындай 8 түрлі түске бояймыз. Бірінші біз 8 түстің бірімен бояп шығамы, екінші 7 түстің біреуімен және т.с.с. Нәтижесінде 8! тәсіл шығады. Сонымен барлық тәсіл 8!8!=8!² болады.

Қорытындылай келе, есеп шығару барысында осы әдісті қолданғанда, «торкөздер» ретінде нені, «қояндар» ретінде нені алу керектігін анықтап алған ыңғайлы.  «Торкөздер» санын «қояндар» санына қарағанда 1-ге артық немесе оданда  артыққа алу керек. Есепті шешу үшін Дирихле принципінің талап етілген тұжырымдамасын таңдап алу қажет. Дирихле принципі маңызды, қызықты әрі пайдалы.  Оны күнделікті өмірде де қолдану адамның логикалық ойлау қабілетін дамытады. Көптеген олимпиадалық есептер осы арнайы әдіс арқылы шешіледі. Бұл әдіс бізге ойымызды жалпылауға мүмкіндік береді.

Пайдаланылған әдебиеттер:

1. И. Л. Бабинская. Задачи математических олимпиад. М.: Наука, 1975.

2. В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Ч. 2. М.: Наука, 1991.

3. В. Г. Болтянский. Шесть зайцев в пяти клетках. // Ж-л «КВАНТ», 1977,No2.

4. Ю. Ф. Фоминых. Принцип Дирихле. // Ж-л «Математика в школе», 1996, No3.