Физический и геометрический смысл производной. Касательная к графику функции.

Дата: _____________________

Тема урока: Физический и геометрический смысл производной. Касательная к графику функции.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

Учащиеся должны знать:

• что называется угловым коэффициентом прямой;

• углом между прямой и осью Ох;

• в чем состоит геометрический смысл производной;

• уравнение касательной к графику функции;

• способ построения касательной к параболе;

• уметь применять теоретические знания на практике.

Задачи урока:

Образовательные: создать условия для овладения учащимися системы знаний, умений и навыков с понятиями механический и геометрический смысл производной.

Воспитательные: формировать у учащихся научное мировоззрение.

Развивающие:  развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, волю, память, речь, внимание, воображение, восприятие.

Методы организации учебно-познавательной деятельности:

• наглядные;

• практические;

• по мыслительной деятельности: индуктивный;

• по усвоению материала: частично-поисковый, репродуктивный;

• стимулирующие: поощрения;

• контроля: устный фронтальный опрос.

План урока

1. Устные упражнения (найти производную)

2. Изучение нового материала

3. Решение заданий.

4. Подведение итогов урока.

Оборудование: карточки

Ход урока

“Человек лишь там чего – то добивается, где он верит в свои силы”

Л. Фейербах

I. Организационный момент.

Организация класса в течение всего урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина.

Постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы.

Устный счет

1. Найдите производные:

(  ) ' ( ) ' ( )'

', ( )' , (4sin x)', (cos2x)', (tg x)',  '

2. Логический тест.

а) Вставить пропущенное выражение.

II. Изучение нового материала.

Пойдем по пути Ньютона и Лейбница и посмотрим, каким способом можно анализировать процесс, рассматривая его как функцию времени.

Введем несколько понятий, которые помогут нам в дальнейшем.

Графиком линей ной функции y=kx+ b является прямая, число k называют угловым коэффициентом прямой k=tg , где   – угол прямой, то есть угол между этой прямой и положительным направлением оси Ох.

Рисунок 1

Рассмотрим график функции у=f(х). Проведем секущую через любые две точки, например, секущую АМ. (Рис.2)

Угловой коэффициент секущей k=tg . В прямоугольном треугольнике АМС  (объясните почему?). Тогда tg  =   =  ,  что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Рисунок 2

Рисунок 3

Сам термин “скорость” характеризует зависимость изменения одной величины от изменения другой, и последняя необязательно должна быть временем.

Итак, тангенс угла наклона секущей tg  =  .

Нас интересует зависимость изменения величин в более короткий промежуток времени. Устремим приращение аргумента к нулю. Тогда правая часть формулы – производная функции в точке А (объясните почему). Если  х – 0, то точка М движется по графику к точке А, значит прямая АМ приближается к некоторой прямой АВ, которая является касательной к графику функции у = f(х) в точке А. (Рис.3)

Угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке.

Механический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, то есть новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц назвал производной, а Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость.

III. Решение заданий.

1. Показать на доске.

Угловой коэффициент касательной к кривой f(х) = х³ в точке х₀ – 1 есть значение производной этой функции при х = 1. f’(1) = 3х²; f’(1) = 3.

Ответ: 3.

№ 159, № 161 – у доски.

Вопросы к классу:

1. Каков физический смысл производной перемещения? (Скорость).

2. Можно ли найти производную скорости? Используется ли эта величина в физике? Как она называется? (Ускорение).

3. Мгновенная скорость равна нулю. Что можно сказать о движении тела в это момент? (Это момент остановки).

4. Каков физический смысл следующих высказываний: производная движения равна нулю в точке t_0; при переходе через точку t₀ производная меняет знак? ( Тело останавливается; меняется направление движения на противоположное).

IV. Подведение итогов урока

1) В чем состоит геометрический смысл производной?
2) В чем состоит механический смысл производной?