Ә. Н. Шыныбеков, Д. Ә. Шыныбеков
Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика
бағытындағы 10-сынып мұғалімдеріне арналған
Қазақстан Республикасының
Білім және ғылым министрлігі ұсынған
Алматы «Атамұра» 2019
ГЕОМЕТРИЯ
Оқыту Әдістемесі

ӘОЖ 373
КБЖ 74.262.21
  Ш 97
Шыныбеков Ә. Н, Шыныбеков Д. Ә.
Ш 97 Геометрия. Оқыту әдістемесі: Жалпы білім беретін мектептің жараты-
лыстану-математика бағытындағы 10-сынып мұғалімдеріне арналған/
Ә.Н. Шыныбеков, Д.Ә. Шыныбеков — Алматы: Атамұра‚ 2019. — 75 бет.
ІSBN 978-601-331-535-5
© Шыныбеков Ә. Н.‚
Шыныбеков Д. Ә., 2019
© «Атамұра»‚ 2019ІSBN 978-601-331-535-5
ӘОЖ 737
КБЖ 74.262.21
  

3
«Геометрия-10» оҚулыҒыныҢ ҚҰрылымы
Бұл оқулық автордың «Геометрия-7, 8, 9» оқулықтарының жалғасы ретінде
қарастырылады және құрылымы бойынша бір-бірімен толық үйлеседі әрі
жаңа оқу бағдарламасына сәйкестендіріліп жазылған. Сондықтан бұл
оқулықтардың мазмұны орта мектептегі геометрия курсын оқытудағы
мемлекеттік стандартта көзделген мақсаттарға толық сәйкестендірілген,
олардағы оқу-әдістемелік тұрғыдан жүзеге асыру жолдары да ортақ.
Оқулық сабақтарды саралап оқыту бойынша ұйымдастыруға бейімделген. Әр
тақырыптағы тапсырмалар қиындығы бойынша А, В және С топтарына іріктелген.
Егер А және В топтарында жеңіл және қиындығы орташа есептер жинақталса,
онда С тобына жоғары деңгейлі есептер жинақталған. Бұл оқушылардың жеке
қабілеттеріне қарай саралап, оздыра оқытуға кең мүмкіндіктер ашады. Осы орайда
оқулыққа арнап жазылған дидактикалық материалдардағы қалыптастырушы
бағалауға арналған өздік жұмыстар мен тест, жиынтық бағалау тапсырмалары
(жб) сараланып, көп нұсқалы әрі қиындығы бойынша үш деңгейге топталып
ұсынылған.
Оқулықтағы тақырыптар үндестігі және ұқсастығы бойынша топтастырылып,
сабақты шағын модульдік технология бойынша ұйымдастыруға бейімделген.
Бұл, әрине, сабақ беруді тиімді ұйымдастырудың бірден-бір тәсілі емес. Десек
те, біздің ойымызша, апталық сағат жүктемесінің қысқаруы жағдайындағы
тиімді тәсілдердің бірі.
Оқулықты әрі жалпы білім беретін мектептерде, әрі математиканы тереңде-
тіп оқытатын сыныптарда кеңінен қолдануға болады. Күрделілігі жоғары С
тобының есептері, негізінен, математиканы тереңдетіп оқытатын сыныптарға
арналған. Жалпы білім беретін мектеп бағдарламасы бойынша оқитын сынып-
тарда оқулықтағы есептердің А және В топтарымен шектелсе, жеткілікті. С
тобының тапсырмаларын қабілетті, олимпиадалық жарыстарға қатысатын оқу-
шыларға жеке тапсырмалар ретінде беріп отырған жөн. Бұл әсіресе ауыл
мектептері мен шағын комплектілі мектептер үшін өте қолайлы болары сөзсіз,
өйткені мұндай жерлерде математиканы тереңдетіп оқытатын сыныптар ашу
мүмкін бола  бермейді.
«Геометрия-10» оқулығында әрбір параграфтан соң теориялық сұрақтар мен
практикалық тапсырмалар тізімі келтірілген. Біздің ойымызша бұл сұрақтарға
жауап бере білу, практикалық тапсырмаларды орындай білу әрбір оқушыға
міндетті түрде жүктелуі қажет. Өйткені геометриялық көрнекіліктер мен
сызбаларды дұрыс орындау дағдысын қалыптастырмайынша ешбір оқушы өз
бетінше геометриялық есептерге дұрыс талдау жасау, оны шешу жоспарын
құру және оны шеше білу қабілеті мен бейімділігін қалыптастыра алмайды.
Оқыту барысында алдымен А тобы есептерін талдап, әрбір оқушының А тобы
тапсырмаларын толыққанды меңгергендігін мұқият қадағалап отыру қажет
және келесі қиындық деңгейлеріне көшу тәртібі жалпы сынып бойынша емес,
әрбір оқушының А тобы тапсырмаларын меңгеру дәрежесіне қарай сараланып
шешілуі қажет. Мүмкіндігіне қарай, әрбір оқушы үшін (тым болмаса, әрбір

4
деңгейлік топ үшін) жеке тапсырмалар беріп отыру – жалпы сыныптың біліктілік
дәрежесін анағұрлым көтерудің таптырмайтын тәсілі. Сонымен бірге сабақтарда,
мүмкіндігінше көрнекіліктердің барлық түрін кеңінен қолдану қажет, себебі
көрнекілік – геометриялық біліктіліктің ажырамас бөлігі.
ОҚулыҚтыҢ мазмҰны бойынша ҚысҚаша мӘлімет
Оқулықтың басында планиметрия курсын қайталауға арналған теориялық
сұрақтар тізімі мен негізгі формулалар келтірілген. Бұл материалдарды менгеру
дәрежесі оқушының 10-сынып геометриясын толыққанды меңгеруі үшін аса
маңызды. Көрсетілген материалдардан соң үш деңгейлі есептер тізімі берілген.
Берілген сұрақтарға жауап бере отырып, келтірілген есептерді шығару барысында
оқушылар планиметрия курсын қайталап, енді өтілетін материалдарды меңгеруге
деген ынталы жұмыстың көңіл күйлерін қалыптастырады. Бұл материалдарды
қажеттілігіне қарай, оқу жылы ішінде қайталап отыру қажет.
Оқулық 3-бөлімнен тұрады. 1-бөлім. Түзулер мен жазықтықтардың парал-
лельдігі; 2-бөлім. Түзулер мен жазықтықтардың перпендикулярлығы; 3-бөлім.
Кеңістіктегі векторлар.
1-бөлім. Түзулер мен жазықтықтардың параллельдігі. (1.1. Стереометрия
аксиомалары және олардың кейбір салдарлары; 1.2. Кеңістіктегі түзулер мен
жазықтықтардың параллельдігі; 1.3. Екі жазықтықтың өзара орналасуы.)
Бөлімнің оқыту мақсаттары: 10.2.1; 10.2.2; 10.2.3; 10.1.1; 10.2.4; 10.2.5; –
оқушыларға стереометрияның аксиоматикалық құрылымы жөнінде мәлімет
беру; негізгі түсініктер мен стереометрия аксиомалары және олардың қарапайым
салдарларымен таныстыру. Тақырыпта түзулердің, түзу мен жазықтықтың;
екі жазықтықтың өзара орналасулары қарастырылады және мұнда оқушылар
кеңістікте түзу мен жазықтықтың бірмәнді берілу тәсілдері жөнінде толық
мәліметтер ала алады. Барлық жағдайда сәйкес анықтамалар, қасиеттер мен
белгілер келтіріліп, қарастырылатын объектілердің бар болуы мен жалғыздығы
жөнінде әңгімелер қозғалады. Сонымен қатар қажетті түзу мен жазықтықты
қалай салуға болатыны жөнінде толық мәлімет берерліктей сәйкес объектілердің
табылатындығы жөніндегі теоремалар конструктивті тәсілдермен дәлелденген.
Мәселен, 1.2-та түзулердің параллельдігі жөніндегі планиметрия курсында өтілген
мәліметтер кеңістіктік жағдайда қайта негізделген. Кесінді ұзындығын анықтай
білу мүмкіндігі туындаған соң есептеуді қажет тұтатын жаттығуларды шешу
үшін планиметрия деректерін жоспарлы түрде қайталау қажеттігі туындайды:
параллелограмм анықтамасы, қасиеттері және белгілері; үшбұрыштар теңдігі
мен ұқсастығы белгілері және т.с.с. Оқушылардың кеңістіктік ойлай білу
қабілеттерін дамытуда тараудың алар орны ерекше. Теориялық материалдарды
оқытып үйретуде түрлі кеңістіктік модельдер мен суреттерді кеңінен қолдану
аса маңызды.
2-бөлім. Түзулер мен жазықтықтардың перпендикулярлығы. (2.1. Түзу мен
жазықтықтың перпендикулярлығы; 2.2. Үш перпендикуляр туралы теорема;
2.3. Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш; Екіжақты бұрыш; 2.4. Кеңістік

5
фигураларын жазықтықта бейнелеу). Бөлімнің оқыту мақсаттары: 10.2.6;
10.2.7; 10.2.8; 10.3.1; 10.3.5; 10.2.9; 10.2.10; 10.3.2; 10.3.3; 10.3.4; 10.2.4;
10.3.6; 10.1.2;
Мұнда оқушыларды түзулер мен жазықтықтардың өзара орналасулары
жөніндегі мәліметтермен таныстыру өз жалғасын тапқан: түзулердің, түзу мен
жазықтықтың, екі жазықтықтың перпендикулярлығы қарастырылған. Тарауда
оқушыларға планиметрия курсынан белгілі түзулер арасындағы бұрыш және
түзулердің перпендикулярлығы ұғымдары кеңістіктік жағдайға жалпыланып,
жүйеленген күйде берілген. Кеңістіктегі түзулер мен жазықтықтардың
параллельдігі мен перпендикулярлығы арасындағы байланыстар жөніндегі
теоремалар дәлелденген және перпендикуляр мен көлбеу жөніндегі деректер
келтірілген. Бұл материалдарды оқып-үйренуді планиметрияның сәйкес
материалдарын жүйелі түрде қайталаумен ұштастырған жөн: Пифагор теоремасы
мен оның салдарлары және т.с.с. Мұның жаңадан өтілген материалдарды тереңірек
ұғынуға көп септігін тигізері сөзсіз. Мұнда есептер шығару барысында және
кеңістік фигураларын жазықтықта бейнелеу жұмыстарын орындау барысында
кеңінен қолданылатын параллель проекциялау қасиеттері де қарастырылады.
Осы тарауда есептеуді қажет тұтатын жаттығулар үлесінің өсуіне байланысты,
бұл есептерді шешу барысында, оқушыларға планиметрия курсынан белгілі
деректер мен жаңадан оқып-үйренген анықтамаларды, қасиеттерді және
белгілерді қолдана отырып, алынған қорытындыларды қатаң түрде негіздеудің
жеткілікті түрде жоғары деңгейде болуын қадағалау қажет.
3-бөлім. Кеңістіктегі векторлар. (3.1. Кеңістіктегі вектор ұғымы және
оларға амалдар қолдану. 3.2. Кеңістіктегі нүкте мен вектор координаталары.
3.3. Векторлардың скалярлық көбейтіндісі. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу.
3.4. Жазықтық теңдеуі. Кеңістік фигураларын теңдеулер мен теңсіздіктер
арқылы беру. 3.5. Векторларды есептер шығаруда қолдану). Бөлімнің оқыту
мақсаттары: 10.4.5; 10.4.6; 10.4.11; 10.2.13; 10.4.14; 10.4.15; 10.4.17; 10.4.12.
Осы орайда, оқушыларға 9-сынып геометриясынан белгілі жазықтықтағы
векторлардың көптеген қасиеттері: вектор анықтамасы; оларға қолданылатын
амалдар; коллинеар векторлар және т.с.с. әрі қарай кеңістік векторларына
жалпыланып, жалпы білім беретін мектептер бағдарламасы бойынша оқулықтың
3.1–3.3-де шоғырланған. Кеңістіктегі нүкте мен вектор координаталары ұғымы
нүктенің радиус-векторын координаталық векторлардың қосындысына жіктеу
арқылы енгізілген. Кеңістіктегі координаталық тәсіл, мәселен, векторлардың
скалярлық көбейтіндісі, нүктелердің арақашықтығы, бұрыштарды анықтау,
кесіндіні берілген қатынаста бөлу сияқты теориялық сұрақтарды баяндау
барысында кеңінен қолданылған.

6
Жаратылыстану-математика бағытындағы 10-сынып «Геометрия»
оқулығы бойынша ұсынылатын ортамерзімді жоспарлау үлгісі
Сабақ
№
Тақырыбы
Оқыту
мақсаты
Сағат
саны
Күні
І тоқсан
1–4 Планиметрия курсын қайталау 4
5–7 Стереометрия аксио-
малары және олар-
дың салдарлары
10.2.1 — стереометрия аксиома-
ларын, олардың салдарларын бі-
лу; оларды кескіндеу және мате-
матикалық символдар арқылы
жазып көрсету
3
8–11 Кеңістіктегі түзулер-
дің өзара орналасуы
10.2.2 — кеңістіктегі параллель
және айқас түзулер анықтама-
ларын білу, оларды анықтау
және кескіндеу;
10.2.3 — кеңістіктегі парал-
лель түзулердің қасиеттерін білу
және оларды есептер шығаруда
қолдану;
10.1.1 — тетраэдр мен парал-
лелепипед анықтамасын біледі,
жазықтықта олардың және
элементтерінің сызбасын салады
4
12-15түзу мен жазықтық-
тың өзара орнала-
суы. жазықтықтар-
дың
параллельдігі
10.2.4 — түзу мен жазықтық-
тың параллельдік белгісін және
қасиеттерін білу, оларды есептер
шығаруда қолдану;
10.2.5 — жазықтықтың парал-
лельдік белгісін және қасиетте-
рін білу, оларды есептер шыға-
руда қолдану
4
16 ТЖБ 1
ІІ тоқсан
17–20түзу мен жазықтық-
тың перпендикуляр-
лығы.
10.2.6 — перпендикуляр түзулер-
дің анықтамасы мен қасиеттерін
білу және оларды есептер шыға-
руда қолдану;
10.2.7 — түзу мен жазықтықтың
перпендикулярлық анықтама-
сын, белгісін және қасиеттерін
білу, оларды есептер шығаруда
қолдану;
4

7
10.2.8 – кеңістіктегі перпенди-
куляр, көлбеу және көлбеудің
проекциясы анықтамаларын
білу
21-25Үш перпендикуляр
туралы теорема
10.3.1 — үш перпендикуляр тура-
лы теореманы білу және оны есеп-
тер шығаруда қолдану;
10.3.5 — нүктеден жазықтыққа
дейінгі және айқас түзулер
арасындағы арақашықтықтарды
таба білу
5
26-31Кеңістіктегі
бұрыштар
10.2.9 — кеңістіктегі екі түзу
арасындағы бұрыш анықтама-
сын білу;
10.2.10 — айқас түзулер арасын-
дағы бұрыш пен олардың ортақ
перпендикулярын сызбада
кескіндей алу;
10.3.2 — түзу мен жазықтық
арасындағы бұрыштың анықта-
масын білу, кескіндей алу және
оның шамасын табу;
10.3.3 — жазықтықтар арасын-
дағы бұрыштың (екіжақты бұ-
рыш) анықтамасын білу, кескін-
дей алу және оның шамасын
табу;
10.3.4 — жазықтықтардың пер-
пендикулярлық белгісі мен
қасиетін білу және оларды есеп-
тер шығаруда қолдану
6
32 ТЖБ 1
ІІІ тоқсан
33–37Кеңістік фигурала-
рын жазықтықта
бейнелеу
10.2.11 — жазық фигураның
ортогональ проекциясын жазық-
тықта салу;
10.3.6 — жазық фигураның
жазықтыққа ортогональ проек-
циясы ауданының формуласын
білу және оны есептер шығаруда
қолдану;
10.1.2 — тік бұрышты паралле-
лепипед қасиеттерін қорытып
шығарады және оларды есептер
шығаруда қолданады
5

8
38–42Кеңістіктегі вектор-
лар және оларға
амалдар қолдану.
Коллинеар және ком-
планар векторлар
10.4.1 — кеңістіктегі вектор,
вектордың ұзындығы, тең век-
торлар анықтамаларын білу;
10.4.2 — векторларды қосу және
векторды санға көбейтуді орын-
дау;
10.4.3 — кеңістіктегі коллинеар
және компланар векторлардың
анықтамаларын білу
43–51Кеңістіктегі нүкте
мен вектордың коор-
динаталары
10.4.5 — кеңістіктегі тік
бұрышты координаталар жүйесі
анықтамасын білу және оны
кескіндей алу;
10.4.6 — кеңістіктегі нүктені оны
координаталары бойынша тік
бұрышты координаталар жүйе-
сінде кескіндеу;
10.4.11 — вектордың координа-
талары ұғымын білу, вектор ко-
ординаталарын бірлік векторлар
бойынша жіктеп таба білу;
10.4.13 — координаталарымен
берілген векторларды қосуды
және векторды санға көбейтуді
орындау;
10.4.14 — векторлардың кол-
линеарлық және компланарлық
шартын білу және оны есептер
шығаруда қолдану;
10.4.15 — векторды үш компла-
нар емес векторлар бойынша
жіктеу;
10.4.17 — кеңістіктегі екі нүкте
арасындағы арақашықтықты
таба білу;
10.4.12 — кеңістіктегі вектордың
координаталарын және ұзынды-
ғын таба білу
9
52 ТЖБ 1
IV тоқсан
53–56векторлардың ска-
ляр көбейтіндісі
10.4.4 – кеңістіктегі векторлар-
дың скаляр көбейтіндісінің анық-
тамасы мен қасиеттерін білу;
4

9
10.4.8 – кесіндіні берілген қаты-
наста бөлетін нүкте коорди-
наталарының формулаларын
қорытып шығару және оларды
есептер шығаруда қолдану;
10.4.9 – кесінді ортасының коор-
динаталары формулаларын білу
және оларды есептер шығаруда
қолдану;
10.4.16 – координаталық түр-
дегі векторлардың скаляр
көбейтіндісі формуласын білу
және оны есептер шығаруда
қолдану;
10.4.17 – кеңістіктегі екі век-
тордың арасындағы бұрышты
есептеу;
10.4.18 – кеңістіктегі векторлар-
дың перпендикулярлық шартын
білу және қолдану
57–59Жазықтық теңдеуі 10.4.19 – жазықтықтың жалпы
теңдеуін нормаль вектор және
осы жазықтықтағы нүкте бой-
ынша қорытып шығару;
10.4.10 – сфера теңдеуін білу
және оны есептер шығаруда
қолдану
3
60–62кеңістіктегі түзудің
теңдеуі
10.4.20 – түзудің канондық
теңдеуін құрастыру;
10.4.21 – түзу теңдеуінің
канондық түрінен параметрлік
түріне көше алу;
10.4.22 – берілген екі нүкте
арқылы өтетін түзудің теңдеуін
құру
3
63–6710-сыныптағы геометрия курсын қайталау 5
68 ТЖБ 1

10
Жаратылыстану – математика бағытындағы 10-сынып « Геометрия » оқулығын оқыту бойынша
ұсынылатын әдістемелік нұсқаулар үлгісі
Планиметрия курсын қайталау
Ұсынылатын сағат саны: 3
Осыған дейін меңгерілген білім: Планиметрияның негізгі ұғымдары, фигуралары және олардың қасиеттері
Мәнмәтін: планиметрия курсын қайталай отырып, оқушылардың білімі мен біліктерін, материалды іс
жүзінде қолдана білу, қалпына келтіру және сол арқылы олардың дағдыларын жаңадан өтілетін матери -
алдарды тереңірек меңгеруге дайындау
Пәндік мақсат Тілдік мақсатПәнге қатысты лексика
мен терминология
Диалогке (жазуға) қажет
сөзтіркестер
Оқушылар:
7– 9-сыныптарда өтілген
геометрия курсын
қайталайды.
Оқушылар:
– планиметрия аксио -
маларын тұжырымдап,
оларды түсіндіреді;
– үшбұрыштар теңсіздігі
белгілерін тұжырымдап,
оларды қолдану жолын
түсіндіреді;
– параллельдік белгілер-
ді тұжырымдап, олардың
қолданылуын түсіндіреді;
– шаршы (тіктөртбұрыш,
параллелограмм, трапе -
ция дөңгелек) ауданы
формуласын қорытып
шығару жолын түсінді-
реді;
– векторлардың скаляр
көбейтіндісін анықтау
жолын түсіндіреді;
– түзу теңдеуін, кесінді
ортасын анықтауды
түсіндіреді.
– нүкте, түзу, кесінді,
сәуле, бұрыш;
– фигуралар үшбұрыш,
төртбұрышты,
көпбұрыш,
шеңбер, дәңгелек,
тіктөртбұрыш, парал -
лелограм, шаршы,
ромб, трапеция;
– вектор, бағыттас
векторлар, коллинеар
векторлар, ортогональ
векторлар, скаляр
көбейтінді;
– түзудің теңдеуі,
шеңбердің теңдеуі,
кесіндіні берілген
қатынаста бөлу.
– нүктеден түзуге ... па-
раллель түзу жүргізуге
болады;
– егер екі үшбұрыштың
... тең болса, онда бұл үш-
бұрыштар тең болады;
– егер екі түзуді қиюшы-
мен қиғанда пайда бола -
тын ... тең болса, онда
бұл түзулер параллель
болады;
– параллелограммның
диагональдары ... қақ
бөлінеді;
– ромб диагональдары ...
болды
– тіктөртбұрыш диаго -
нальдары ...;
– трапеция (үшбұрыш)
орта сызығы ... тең;
– коллинеар вектордың
координаттары ...
Қысқаша шолу: оқушылар планиметрия курсын қысқаша қайталап, 7–9-сыныптарда алған білімі, білігі
және дағдыларын мейлінше қалпына келтіріп, жаңа материалдарды меңгеруге дайындық жасайды.

11
Тақырып бойынша мына
мақсаттарға қол
жеткізіледі
Оқыту ресурстары
Планиметрия курсын қайта-
лау арқылы оқушылардың
білімін, білігін және мате-
риалды іс жүзінде қолдана
білу дағдыларын қалпына
келтіру
1. Ә.  Н. Шыныбеков, Д.  Ә. Шыныбеков, Р. Н. Жұма-
баев, Геометрия-10,  жалпы редакциясын басқарған
М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019
2. Ә. Шыныбеков, Геометрия-10, дидактикалық мате -
риалдар жинағы
«Атамұра», Алматы, 2019
3. http://bilim land.kz/ru
4. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/
sistemy-iz-lineynyh-i- kvadratnyh-neravenstv
5. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/
6. http//www.yaklass.ru/p/ geometry/ 10-klass/
7. http//www-formyla.ru/index.php/2011-09-2-39-
24/2011-09-20-23-58-11
8.http://festival.september.ru/articles/100725/
9.http://www.youtube.com/watch?v=LKuC7RF2hZA
10. http://www.webmath.ru/poleznoe/formules18
Әдістемелік нұсқаулар. Қайталау сабағының мақсатына сәйкес алғашқы
сабақтың 5—10 минутында оқулықта келтірілген сұрақтарды (әсіресе 1—13-
сұрақтарды) сыныппен бірге талқылап, оқушылардың қиналатын тұстарын
анықтап алған дұрыс. Мұнда 1—13-сұрақтарды ерекше бөліп көрсетуіміздің
себебі, бұл сұрақтар 1- және 2-бөлімдерді қарастыру барысында кеңінен
қолданылады. Бұл сұрақтарды білу жаңадан өтілетін I және II тоқсан матери-
алдарын меңгеру үшін аса маңызды. сұрақтарды пысықтау барысында қолда
бар түрлі көрнекіліктерді кеңінен қолдану қажет: бұрыштардың түрлері;
параллельдік белгілері; үшбұрыштардың теңдігі мен ұқсастық белгілері; парал-
лелограмм белгілері; пропорционал кесінділер қасиеттері және т.с.с. Келтірілген
теориялық сұрақтар мен практикалық тапсырмаларды А және В тобы есептерін
шығару барысында пысықтап отыру қажет. Бұл оқушылардың қолданылған
қасиеттерді жете меңгеріп, оны іс жүзінде қолдана білу бейімділіктерін қалпына
келтіруге көмектеседі.
Ескерту:
Мұнда оқушылардың практикалық тапсырмаларды орындай білу бейімді-
Планиметрия курсын қайталау

12
ліктеріне де көңіл бөлу қажет, әсіресе көз мөлшерімен параллель түзулерді
(кесінділерді, сәулелерді) сала білуі, перпендикуляр түзулерді, үшбұрыш түрлері
мен оның элементтерін, параллелограмды сала білулері және т.с.с. Әр оқушының
параллелограмды дәл сала білу бейімділігіне басты көңіл аудару қажет. Өйткені
кеңістік фигураларын салу барысында бұл біліктілік маңызды орын алады.
2-сабақтың алғашқы 20–25 минутында үй тапсырмаларын тексеріп, ауызша
сұрақтарға жауап алу қажет. Бұл кезде өзге оқушылардың үйде шығара алмаған
есептерін талқылап, В тобы есептерін шешуге кіріскені жөн. Мұндай тапсыр-
маларды саралап берген дұрыс. Аса қабілетті оқушыларға С тобы есептерін
шығаруды ұсыну қажет. Ал білік деңгейі өте төмен окушыларға практикалық
тапсырмалар беріп, салған фигураларының элементтері мен қасиеттерін айтып
беруді талап ету орынды.
Қайталау сабақтарының соңында оқушыларға дидактикалық материалдар
жинағында деңгейі бірдей көп нұсқалы үлгіде берілген бақылау жұмысын
орындату керек. Осы тапсырмаларды орындау нәтижесі бойынша сынып
оқушыларын үш түрлі деңгейлік топтарға (А, В және С) бөліп алған дұрыс. Сы-
нып оқушыларын солай іріктеудің бірнеше тиімді тұстары бар:
– сабақтарды саралап, оздыра оқыту тәсілімен ұйымдастыруға қолайлы;
– бақылау жұмысы арқылы ең алдымен оқушылардың білімі, бейімділігі
және білік деңгейлері анықталып, анықталған кемшіліктерді жоюға бағытталған
түрлі іс-шаралар өткізуді жоспарлауға; оқу жылы барысында оқушылардың
білімі мен біліктілігі деңгейінің өзгеруіне мониторинг жасап отыруға және соған
байланысты оқыту әдістемесіне тиісті өзгерістер енгізіп отыруға қолайлы;
– оқушылар арасында бесекелестік тудырып, олардың сабаққа деген ынта-
сын арттырыңыз. Әрине, мұнда оқушылар өздерінің ынтасы, талабы және білік
дәрежелеріне байланысты, дидактикалық материалдар жинағында келтірілген
бағалау ережелеріне сәйкес келесі деңгейлік топтарға көшу мүмкіндіктері барын
жақсы білулері қажет.

13
Жаттығуларға  шолу.  Мұнда айтарлықтай қиын есептер жоқ және келтіріл-
ген 40 есептің барлығы да автордың 7—9-сыныптарға арналған оқулықтарынан
алынған. Десек те, кейбір есептерді шығару жолдарын қарастырайық.
0.27. Егер үшбұрыштың а және b қабырғалары арасындағы бұрышты 
арқылы белгілесек, онда бұл үшбұрыштың ауданы Sa b

=⋅⋅⋅
1
2
sinα формула-
сымен анықталады. Ал есеп шарты бойынша Sa b

=⋅⋅⋅
1
2
sinα. Осыдан sіn = 1,
яғни  = 90° екені  шығады. Олай болса, бұл тік бұрышты үшбұрыш және оның
белгісіз қабырғасын (гипотенузасын)  Пифагор теоремасы бойынша анықтаймыз: 
ca b=+
22
.
Жауабы: ca b=+
22
.
0.28. Егер маятник ұзындығын R арқылы белгілесек, онда радиусы R-ге тең
шеңбердің 36°-тық центрлік бұрышы ұзындығы 24 см  доғаға  керіледі. Онда
24
36
180
=
⋅⋅π R
. Осыдан 24
36
180
=
⋅⋅π R
см.
0.29. 1-суретті қараңыз. ω (A; h
a
) шеңберіне la бис-
сектрисасының ұшынан жанама жүргізсе, жеткілікті.
0.30. Берілгені.  ABC,  A
1
B
1
C
1
, BD және B
1
D
1
—
медианалар; AB = A
1
B
1
, AС = A
1
С
1
, BD = B
1
D
1

(2-сурет).
Дәлелдеу керек:
∆ ABC = ∆ A
1
B
1
C
1
,
Дәлелдеуі. AD =
1
2
AC =
1
2
A
1
C
1
= A
1
D
1
, онда үш-
бұрыштар теңдігінің ІІІ белгісі бойынша ∆ ABD =
 = ∆ A
1
B
1
D
1
. ∠ADB = ∠A
1
D
1
B
1
⇒ ∠BDC = ∠B
1
D
1
C
1

және DC =
1
2
AC =
1
2
A
1
C
1
= D
1
C
1
⇒

үшбұрыштар
теңдігінің І белгісі бойынша ∆ BDC = ∆ B
1
D
1
C
1
.
Сонымен, ∆ ABD  = ∆ A
1
B
1
D
1
және ∆ BDC = ∆ B
1
D
1
C
1
⇒

∆ ABC  = ∆ A
1
B
1
C
1
.
A
D
h
a
B
C
l
a
1-сурет
A
B
C
D
A
1 C
1
B
1
D
1
2-сурет

14
0.31. ABCD трапециясының AC және BD диагональдары О нүктесінде
қиылыссын. Онда S
ABD
= S
ACD
⇒ S
ABD
– S
AOD
=

S
ACD
=

S
AOD
⇒

S
AOD
=

S
COB
.
0.32. A
1
, B
1
, C
1
— берілген нүктелер болса, онда бұлардың әрқайсысы арқылы
басқа екі нүкте арқылы өтетін түзуге параллель түзулер жүргізсе жеткілікті.
0.34. ABC үшбұрышында AB  = c, AC  = b, BC  = a, және BD  = h – биіктік. Онда
ABD және BCD тік бұрышты үшбұрыштарына Пифагор теоремасын қолдану
арқылы
hс
bc a
b b
bc bc a=−
+−
=− +− =
2
22 22
2
22 22 22
4
1
2
4
()
()
1
2b
×

×− −( ) +−( )ab cb ca
22 22
() () теңдігін аламыз. Ал Sb h=⋅
1
2
формуласын ескер-
сек, Sa bc bc a∆= −− ( ) +−( ) =
1
4
22 22
() ()
=− ++ −+ ++ −=
1
4
() () () ()ab cabcab cbca
=+ +++− ++− ++− =
1
16
22 2() () () ()abcabcaabcbabcc=− −−ppapbpc()()().
0.36. Үшбұрыштың BC, AC және AB қабырғаларының орталары — A
1
(–2; 2);
B
1
(–1; 4) және C
1
(4; 1) нүктелері. Осы нүктелер арқылы өтетін және сәйкесінше
AB AC
 
=−() =−()1061 22;, ; және BC

= (–2; –4) векторларына перпендикуляр
түзулердің теңдеулерін жазу керек.
0.37. Координаталар өстері тіктөртбұрыштың екі сыбайлас қабырғалары ар-
қылы өтетіндей етіп алу керек.
0.39. 180°-қа бұру түрлендіруі центрлік симметрия болады.
0.40. Косинустар теоремасы бойынша  (3-сурет):
2
2
2
22 2
22 2
22 2
an an m
bl bl n
cm cm l
cos,
cos,
cos
ϕ
ϕ
ϕ
=+ −
=+ −
=+ −





⇒
2cos()ϕanblcm++ =
=+ +ab c
22 2
. (1)
Екінші жағынан,
Sa n
Sc m
Sb l
S
BCP
ABP
ACP
ABC
=⋅
=
=









⇒=
1
2
1
2
1
2
1
sin,
sin,
sin
ϕ
ϕ
ϕ
2 2
sinϕanblcm++
() ⇒
⇒+ +=anblcm
S2
sinϕ
. (2)
(1) және (2) теңдіктерден tg
s
ab c
ϕ=
++
4
22 2
.
A
B
C
3-сурет
a
P
c
m

l

n


15
1-бөлім. Түзу мен жазықтықтың параллельдігі
Ұсынылатын сағат саны: 14
Осыған дейін меңгерілген білім: Планиметрия курсындағы нүктелер мен түзулер геометриясы.
Мәнмәтін: бөлім материалдарын игеру нәтижесінде, стереометрия аксиомалары көмегімен кеңістікте
нүкте, түзу және жазықтықтардың өзара орналасулары ерекшеліктерін оқып-үйренеді және ол
қасиеттерді қоршаған ортадан ажыратып көрсете білу қабілетіне ие болады.
Пәндік мақсатТілдік мақсатПәнге қатысты лексика
мен терминология
Диалогке (жазуға)
қажет сөзтіркестер
10.2.1; 10.2.2; 10.2.3;
10.1.1; 10.2.4;
10.2.5
Оқушылар:
– стереометрияның
негізгі түсініктері ара-
қатынасын тұжырымдап
түсіндіре алады;
– аксиомалар мен
олардың қарапайым сал -
дарларын тұжырымдап,
түсіндіре алады;
– түзулер мен жазық-
тықтар параллельдігі
қасиеттерін тұжырым-
дап, түсіндіреді.
– нүкте, түзу және
жазықтық;
– стереометрия аксиома -
лары, салдарлары;
– айқас түзулер;
– параллель жазықтық-
тар;
– қиылысушы
жазықтықтар;
– параллельдік белгілер;
– әрбір жазықтық бой -
ында ...нүктелер табы -
лады;
– әртүрлі екі
жазықтықтың ортақ
нүктесі болса ...;
– ортақ нүктесі бар
әртүрлі екі түзу ар-
қылы ...;
– егер түзудің екі
нүктесі берілген
жазықтықта жатса ...;
– түзуден тысқары
нүктеден ... жалғыз түзу
өтеді;
– параллель түзулердің
параллель жазықтық-
тармен шектелген ...
тең.
Қысқаша шолу: оқушылар кеңістіктегі түзулер мен жазықтықтардың өзара орналасуларын сипаттап,
олармен жұмыс жасай біледі, стереометрия аксиомаларын қолданады.

16
Тақырып бойынша келесі
мақсаттарға қол
жеткізіледі
Оқыту ресурстары
• Стереометрия аксиомала-
рын, олардың салдарларын
білу; оларды кескіндеу және
математикалық символдар
арқылы жазып көрсету
1. Ә. Н. Шыныбеков, Д. Ә. Шыныбеков, Р.Н. Жұмабаев,
Геометрия-10,  жалпы редакциясын басқарған
М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019
2. Ә. Шыныбеков, Геометрия-10, дидактикалық
материалдар жинағы
«Атамұра», Алматы, 2019
3. http://bilim land.kz/ru
4. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-
klass/sistemy-iz-lineynyh-i- kvadratnyh-neravenstv
5. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-
klass/
6. http//www.yaklass.ru/p/ geometry/ 10-klass/
7. http//www-formyla.ru/index.php/2011-09-2-39-
24/2011-09-20-23-58-11
8.http://festival.september.ru/articles/100725/
9.http://www.youtube.com/watch?v=LKuC7RF2hZA
10. http://www.webmath.ru/poleznoe/formules18
Әдістемелік нұсқаулар. Тақырып бір қарағанда, оқушыларға жеңіл әрі түсінік-
ті болып көрінгенімен, оны сынып деңгейіне байланысты әртүрлі теориялық
деңгейлерде өткізу қажеттілігі тұрғысынан алғанда күрделі тақырыптар қатары-
на қосылады.
Ескерту:
Оқушылар анықтама, аксиома және теоремаларды дұрыс тұжырымдауына көңіл
бөліңіз және нүкте, түзу, жазықтықтар арақатынасын символдармен дұрыс жа-
зуын жіті қадағалаңыз.
Сонымен, жалпы білім беретін мектептерде 7-сыныпта қарастырылған мәлі-
меттерді жалпылай отырып, аксиоматикалық тәсіл жөнінде жалпы мәліметтер
беріп, стереометрияның негізгі түсініктері мен аксиомаларын көрнекіліктер
арқылы айтса, жеткілікті. Мәселен, стереометрияны оқып-үйренудің маңыз-
дылығына көңіл бөлу барысында өмірде кездесетін іс-тәжірибелерді мысалға ала
отырып, оқулықтағы 1.1-суретте көрсетілгендей кеңістік денелері модельдерін
кеңінен қолдану қажет. Стереометрия аксиомалары мен олардың қарапайым сал-
дарларын (теорема, 1–3) қарастыру барысында 1.2–1.7-суреттер салынған пла-
Стереометрия аксиомалары және олардың салдарлары

17
каттарды немесе олардың модельдерін қолдану қажет. Осы айтылғандар жалпы
түсініктер ретінде, шолу түрінде баяндалса, жеткілікті, яғни оқушыларға жал-
пы бағыт-бағдар мен түсінік ретінде берілсе, жеткілікті. Ал машықтық деңгейде
геометриялық деректерді қысқаша жаза білу бейімділіктерін қалыптастыруға
басты көңіл аударған жөн. Осыған қоса қағаз бетінде кеңістікте орналасқан
нүкте, түзу, жазықтық бейнелері мен олардың өзара қатынастарын бейнелей
білу біліктерін қалыптастыра бастаған дұрыс. Ол үшін әрбір оқушыға қысқаша
конспект жазу үшін жеке дәптерлер арнатып, онда мынадай мәліметтерді жаз-
дыру керек.
Геометриялық мәлімет
Қысқаша
жазылуы
Бейнеленуі
A нүктесі  жазықтығында жатады (  жа-
зықтығы нүктесі арқылы өтеді);
B нүктесі  жазықтығына тиісті емес
( жазықтығы нүктесі B арқылы өтпейді);
а түзуі  жазықтығында жатады ( жа-
зықтығы а түзуі арқылы өтеді);
b түзуі  жазықтығында  жатпайды  (  жа-
зықтығы мен b түзуі A нүктесінде қиы-
лысады) және түзулері нүктесінде қиылы-
сады;
a және с түзулері қиылыспайды;
a түзуі A нүктесі арқылы өтеді (A нүктесі a
түзуінде жатады), және т.с.с.
A  
B  
a ⊂ 
b ⊄ 
b   = A
a  b = A
b  c = ∅
A  a
Оқушылардың барлығы бірдей оқулықта келтірілген есептерді түгел шы-
ғарулары міндетті емес, ал практикалық тапсырмаларды орындау және көрсе-
тілген үлгі бойынша жазықтық бейнелерін, мұндағы нүктелер мен түзулердің
түрлі жағдайларда орналасатынын көрсете білу, оларды қысқаша жаза білу
әрбір оқушыға міндеттелетін тапсырма.
Ал математиканы тереңдетіп оқытатын сынып оқушылары үшін осы ай-
тылғандарға қосымша материалдары тереңірек, әрі жан-жақты қарастырылып,
планиметрия мен стереометрия ерекшеліктерін ажырата білулері және олар
біріге отырып, тұтас бір геометриялық теория құрайтыны жөнінде айқын
көзқарас қалыптасуы қажет.
Жаттығуларға шолу. Тақырыпқа берілген есептер аса қиындық
туындатпайды. Мәселен, 1.1, 1.2, 1.3 және 1.6-есептерді сыныппен бірге
талқылаған орынды. Мұнда 1.2 және 1.3-есептерді алдымен үй тапсырмасы
ретінде беріп, келесі сабақта талқылаған дұрыс. Өйткені бұл есептерді
оқушылар үйде өз беттерінше орындау барысында әртүрлі жауаптар ұсынуы
мүмкін. Ұсынылған жауаптардың әрқайсысын қарастырып, олардың ішінен
В
a
C
A
a
b
В
c
a
A
a
b

18
ең тиімділерін оқушылардың өздеріне таңдап алуды ұсыну қажет. Мұндай
талқылау ең алдымен оқушылардың қысқаша жазу бейімділіктерін дамытып,
олардың ойлау қабілеттерін арттырары сөзсіз. Мысалы, 1.2-есептің 1) сұрағына
мынадай дұрыс жауаптар ұсынылуы мүмкін. а)  жазықтығының А, В және С
нүктелері бір түзу бойында жатпайды; ә) жазықтығында жататын С нүктесі осы
жазықтықтың А және В нүктелері арқылы өтетін түзуінде жатпайды; б) А, В және
С нүктелері бір түзу бойында жатпайды; в) А нүктесі  жазықтығында В нүктесі
 жазықтығында С нүктесі  жазықтығында жатады және С нүктесі АВ түзуінде
жатпайды, және т.с.с. сөйлемдер құрастырылуы мүмкін. Осындай сөйлемдердің
бірнешеуін оқушыларға тақтаға жаздыртып, әр оқушыға өз ойын негіздеп,
дәлелдеп шығуды ұсыну қажет. Сонан соң өзге оқушылардың пікірлерін тың-
даған жөн. Соңында мұғалім әр сөйлемге талдау жасап, қорытынды айтуы
қажет (келтірілген жауаптар арасында қате сөйлемдер де кездесуі мүмкін және
оларды да талқылаған дұрыс). Мұндай талдаулардың қиындығы — келтірілген
сөйлемдердің барлығының да дұрыстығында. Мысалы, жоғарыда келтірілген
төрт нұсқаның а), ә) және б) жауаптарының үшеуін де қабылдауға болады.
Себебі бұл сөйлемдерді әртүрлі есеп шарттарында қолдана береді. Оларды таң-
дап алу берілген нақты есеп мәтініне тәуелді екенін атап өту қажет. Ал в) үлгі-
сімен ешбір есеп мәтінінде сөйлем құрастырылмайтынын ескертіп, оның тым
шұбаланқы екенін ескерткен жөн. Әрине, мұндай талқылауларға сабақтың
едәуір бөлігі кетуі мүмкін. Десек те, уақытпен санаспай, мұндай жаттығуларға
толыққанды көңіл бөліп отырған дұрыс, өйткені олар:
– оқушылардың пәнге деген қызығушылығын, сабаққа қатысу белсенділігін
арттырады;
– ой-өрісін әрі қысқа, әрі дәл жеткізе білуге машықтандырады.
1.3-есеп те осы сияқты әсер қалдырары сөзсіз. 1.6-есеп теорема 1-ді пысықтауға
берілген. Жалпы, мұнда берілген есептер қиын емес, олардың оқушыларға
туындатар қиындығы тек шығарылған (ойша болса да) есепті дұрыс жаза білуде
ғана. Үлгі ретінде 1.7-есептің шешуін көрсетейік.
1.7. Берілгені: А  ВС және A  , B  , C  .
Дәлелдеу керек:  = (ABC).
Дәлелдеуі. АВС болғандықтан, 1-теорема бойынша жалғыз ғана АВС жазық-
тығын жүргізуге болады. Ал A  , B  , C   екенін ескерсек, онда, (ABC) = 
болуы қажет. Дәлелдеу керегі де осы.
1.10. Берілгені. A = a  b, B = a  c, C = b  c.
Дәлелдеу керек:  жазықтығы табылып, a  ⊂ , b ⊂ , c ⊂  болады.
Дәлелдеуі. Егер A = a  b, B = a  c және C = b  c болса, онда А, В, С нүктелері
бір түзу бойында жатпайды. Егер бұл нүктелер бір түзу бойында жатса, онда а,
b, с түзулері беттеседі (екі ортақ нүкте бойынша) немесе бұл түзулер бір нүкте
арқылы өтер еді, ол есеп шартына қайшы келеді.
Сонымен А, В, С нүктелері бір түзу бойында жатпайды және теорема 1
бойынша жалғыз  = (АВС) жазықтығы табылады. Ал A  , B  , және A  ,
B   болғандықтан, қатынастары да осы сияқты дәлелденеді.

19
1.11. Берілгені:  A  m,  m ⊂ .  Дәлелдеу керек:  A  .
Дәлелдеуі. Егер A   болсын, онда m ⊄  болар еді, өйткені m түзуінің
барлық нүктелері  жазықтығында жатпайды. Алынған қайшылық A  
екенін көрсетеді. Бұл тұжырымды былай айтады: « жазықтығында жататын m
түзуінің кез келген нүктесі осы  жазықтығына тиісті болады».
1.15. Берілгені: А, В, С және D нүктелері бір жазықтықта жатпайды.
Дәлелдеу керек: А, В, С, D нүктелерінің кез келген үшеуі бір түзу бойында
жатпайды.
Дәлелдеуі. Кері жорып, А, B, С нүктелері а түзуінің бойында жатсын делік.
Онда теорема, 2 бойынша a түзуі мен D нүктесі арқылы жазықтық жүргізуге
болады, яғни A, B, C, D нүктелері бір жазықтықта жатады. Бұл теорема шартына
қайшы.
1.17. 1) 3-теореманы қараңыз.
2) A, B  m, m     тұжырымынан A, B   
қатынасы орындала бермейді. Егер m түзуі және 
жазықтығы қиылысса, яғни m   = C болса, онда A  
не B   болады. өйткені С нүктесі А және В нүктелерінің
екеуімен де беттесуі мүмкін емес (4-суретті қараңыз).
3) a ⊂ , P  a ⇒ P   тұжырымы да орын-
дала бермейді. Себебі  жазықтығында жататын және a
түзуіне тиісті емес шексіз көп нүкте бар (5-сурет).
4) Берілгені:    = b, A  , A  .
Дәлелдеу керек: A  b.
Дәлелдеуі. Айталық, A  , A   болсын. Онда 
және  жазықтықтары А нүктесі арқылы өтетін a (A  a)
түзуі бойымен қиылысады (СІІ аксиомасы). Ал    = b
болғандықтан, a = b болуы қажет, яғни A  b.
1.19. А нүктесі берілсін. Дәлелдеу керек: A  
болатындай  жазықтығы табылатынын.
Дәлелдеуі. Кеңістіктен a түзуін аламыз. Мұнда екі түрлі жағдай орындалуы
мүмкін: 1) A  a; 2) a  A.
1) Егер A  a болса, онда 2-теорема бойынша А нүктесі мен a түзуі арқылы
өтетін жалғыз  жазықтығын жүргізуге болады, яғни A  a болатындай  жа-
зықтығы табылады.
2) A  a болсын. Онда B  a болатындай В нүктесі табылады (7-сынып, І
аксиома). Ал СІІ аксиомасы бойынша В нүктесі мен a түзуі арқылы өтетін 
жазықтығы табылады және A  a ⊂ .
Бұл есепті А нүктесі арқылы қиылысатын a және b түзулерін жүргізіп, СІ
аксиомасын пайдаланып шешуге болатын сияқты көрінгенімен, біздің қара-
мағымызда кеңістікте А нүктесі арқылы өтетін қиылысушы a, b түзулерін жүр-
гізуге болатыны жөнінде дәлелденген дерек жоқ.
1.20. Алдымен 1.19-есеп сияқты екі нүкте арқылы жазықтық жүргізуге
4-сурет
A
B
C

a
P

5-сурет

20
болатынын қолдану керек.
1.21. берілгені: А нүктесі, a түзуі, A  a.
Дәлелдеу керек. A  b, b  a   болатындай кез келген b түзуі мен А нүктесі
арқылы өтетін жазықтықта жататынын.
Дәлелдеуі. 2-теорема бойынша А нүктесі мен a түзуі арқылы жалғыз  жа-
зықтығын жүргізуге болады: A  , a ⊂ . A  b, b  a = B болатындай кез
келген b түзуін алайық. B   a ⇒ B  , A  b, A    болғандықтан, b түзуі 3-теорема
бойынша  жазықтығында жатады.
1.23. Бұл есепте оқушылар айқас түзулер ұғымын білмесе де, қиылыспайтын
және параллель емес түзулерге мысал келтірулері қажет (оздыра оқытуға
берілген есеп).

21
Тақырып бойынша келесі
мақсаттарға қол
жеткізіледі
Оқыту ресурстары
– Кеңістіктегі параллель жә-
не айқас түзулер анықта-
маларын білу;
– кеңістіктегі параллель тү-
зулердің қасиеттерін білу
және оларды есептер шыға-
руда қолдану;
1. Ә. Н. Шыныбеков, Д.  Ә. Шыныбеков, Р. Н. Жұмабаев,
Геометрия-10,  жалпы редакциясын басқарған
М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019
2. Ә. Шыныбеков, Геометрия-10, дидактикалық мате -
риалдар жинағы
«Атамұра», Алматы, 2019
3. http://bilim land.kz/ru
4. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/
sistemy-iz-lineynyh-i- kvadratnyh-neravenstv
5. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/
6. http//www.yaklass.ru/p/ geometry/ 10-klass/
7. http//www-formyla.ru/index.php/2011-09-2-39-
24/2011-09-20-23-58-11
8.http://festival.september.ru/articles/100725/
9.http://www.youtube.com/watch?v=LKuC7RF2hZA
10. http://www.webmath.ru/poleznoe/formules18
Әдістемелік нұсқаулар. Әлде болса да, тақырыпты пысықтауға арналған,
есептеуді қажет ететін жаттығулар саны өте аз. Мұндағы келтірілген есептер
кеңістікте түзулер мен жазықтықтардың өзара орналасуларын анықтайтын
және қарапайым дәлелдеулерді талап ететін есептер. Сондықтан бұл тақырыпта,
негізінен, оқушылардың қысқаша жаза білу бейімділіктерін қалыптастыруға
қажет есептер жинақталған. Жаңа сабақты түсіндіруден бастап келтірілген
анықтамалар мен теоремаларды қысқаша жазу үлгісімен беріп, оларды сөзбен
айта білуге машықтандыру қажет. Сонымен қатар стереометрияның алғашқы
тақырыптарынан бастап оқушыларды кеңістік фигураларын қағаз бетінде
(жазықтықта) бейнелей білу бейімділіктерін қалыптастыру қажет. Ол үшін мына-
дай үлгі бойынша оқушыларға қысқаша конспект жазып отыруды талап ету керек:
Ескерту:
Оқушылардың анықтамалар мен теоремаларды дұрыс тұжырымдап, түсінді-
ре алуына және оларға сәйкес сызбаларды дұрыс орындауларына жіті көңіл
бөліңіз.
Кеңістіктегі түзулердің өзара орналасуы

22
Сөзбен айтылуы
Қысқаша
жазылуы
Сызбасы
1-анықтама.
Бір жазықтықта жататын
және қиылыспайтын түзу-
лер параллель деп аталады.
a ⊂ , b ⊂ ,
a  b =  ⇒ a  b
a
b

2-анықтама.
Бір жазықтықта жатпай-
тын және қиылыспайтын
түзулер өзара айқас түзу-
лер деп аталады.
a ⊂ , b ⊄ , a   b = 
⇒ a және b – айқас
түзулер.
a


b
1-теорема.
Түзуден тысқары орналас-
қан нүкте арқылы осы ту-
зуге параллель жалғыз
түзу өтеді.
A  a, A  b және b  a
болатындай жалғыз b
түзуі табылады.
A
a

b

3-анықтама.
Егер түзу мен жазықтықтың
ортақ нүктелері болмаса,
онда бұл түзу мен жазық-
тықты өзара параллель деп
атайды.
b   =   b  
2-теорема.
Әрқайсысы үшінші бір тү-
зуге параллель болатын екі
түзу өзара параллель бола-
ды.
a  c, b  c  a   b
3-теорема.
Егер берілген  жазықтықта
жатпайтын түзу осы жазық-
тықта жататын қандай да бір
түзуге параллель болса, онда
бұл түзу берілген жазық-
тыққа параллель болады.
a ⊄ ; b ⊂  және a  b 
a  .
4-теорема.
Айқас түзулердің бірі арқы-
лы екіншісіне  параллель бо-
латын бір ғана  жазықтық
өтеді.
a  b = , a  b  a
 , b ⊂  болатындай
жалғыз  жазықтығы
табылады.
a

c

b

a


b

23
Мұнда келтірілген теоремалардың дәлелдемесін толыққанды келтіру не-
месе оны сызбалар арқылы ауызша негіздемелермен алмастыру сыныптың
дайындық деңгейіне байланысты, ол мұғалімнің өз еркіне тапсырылады. Егер
сыныптың геометриялық мәліметтерді қабылдау деңгейі төмен болса, онда бұл
сыныпта, мысалы, теорема 2-нің дәлелдемесін толыққанды, математикалық
қатаңдықпен түсіндіру орынсыз, уақыт қорын бостан-босқа ысырап қылумен
пара-пар (жүйкеге нұқсан келетінін ескермегеннің өзінде). Мұндай сынып-
тарда барлық көрнекіліктерді пайдалана отырып, дәлелдемелерді  ауызша  негіз-
демелермен алмастыру қажет, ал үнемделген уақыт қорын оқушыларды
геометриялық мәліметтерді қысқаша жазуға, оларды оқуға және сәйкес сыз-
баларды сала білу бейімділіктерін қалыптастыруға жұмсаған анағұрлым тиімді
де әрі қызықты да. Ал математиканы тереңдетіп оқытатын сыныптардағы
оқушылар мен қабілетті оқушылардан бұл теоремалардың қатаң математи-
калық дәлелдемелерін келтіре білулерін талап ету қажет, себебі бұл дәлелдеме-
лердің оқушының математикалық ойлау мәдениетінің дұрыс қалыптасуына
ықпалы зор.
Жалпы, сабақ қорытындысында екі түзудің, түзу мен жазықтықтың өз-
ара орналасуларының барлық мүмкін жағдайларын қамтитын сызбаларды көр-
сетумен аяқтаған жөн:
a ⊂ , c ⊂ , a  c = A, a  b, b және C — айқас түзулер a  , b  , m   = B, т.с.с.
Оқушыларға осы 6-суреттегі барлық нүктелер,
түзулер және жазықтықтардың өзара орналасуларын
қысқаша жазып көрсетуді және оны оқып беруді
тапсыру қажет.
Жаттығуларға шолу. Тақырыпқа берілген жатты-
ғулар оқушылардың түсініп, ұғынуы үшін көп қиын-
дық туындатпайды. Олардың негізгі қиындығы —
интуициялық деңгейде шешімі түсінікті болатын
есептерді шешу жолдарын жазып өрнектеуде. А тобы
есептерінің көпшілігін ауызша орындап, оқушылар
жауаптарын сызбалар арқылы негіздесе, жеткілікті.
Мұнда 1.29 және 1.30-есептер ғана үшбұрыш пен
трапецияның орта сызығы қасиеттерін қолдануға
берілген. Мысалы, 1.30-есепте А және В нүктелері  жазықтығының бір жақ
бөлігінде жататынын қолдану қажет.
1.35-есепті 1.20-сурет негізінде шығару қажет. Мұнда b  c болып, бұл түзу-
лердің айқас екенін көрсету керек.
1.35. Берілгені: A  , B  , C  , A  BC, B   b, A  a, C  c, a, b, c ⊄ ,
D = a  b, E = a  c.
Дәлелдеу керек: b  c, b  c = .
Дәлелдеуі. Кері жорысақ, онда екі түрлі жағдай орындалуы мүмкін:
b  c; b  c = .
1) b  c болсын. Онда b және c түзулері арқылы  жазықтығын жүргізуге
болады:    = BC. D  , E    a = DE ⊂   A  . Сонымен A   және A  
болғандықтан, А нүктесі  және  жазықтықтарының ортақ ВС түзуінде жатады:
B
b

C
A
c
m
a
6-сурет


24
A  BC. Бұл А, В, С нүктелерінің бір түзу бойында жатпайтынына қайшы, яғни
b  c болуы мүмкін емес.
2) Енді b  c ≠  болсын делік. Онда қиылысатын b және c түзулері арқылы
өтетін  жазықтығын жүргізіп, жоғарыда көрсетілгендей, A  BC қайшылығын
аламыз.
Алынған қайшылық b  c және b  c =  екенін, яғни b және c түзулері айқас
болатынын көрсетеді.
1.36-есепте үшбұрыштардың ұқсастық белгілерін
қолдану керек.
1.37. EF кесіндісі АВСD трапециясының орта сызығы
болса, онда трапецияның АD және ВС табандары EF
түзуіне параллель. Егер EF ⊂  болса, онда 3-теорема
бойынша AD   және BC  , себебі AD  EF, BC  EF
(7-сурет).
1.41. АВС жазықтығында K нүктесі арқылы АВ-ға
параллель KN, (N = KN  AC) түзуін жүргізу керек.
Сонда N нүктесі AN : NC = 2:3 шартын қанағаттан-
дырады. (8-сурет)
1.42. Егер АD, АВ, ВС, СD кесінділерінің ортала-
рын сәйкесінше P, Q, R, T арқылы белгілесек, онда
PQ BDRT==
1
2
,PQ  BD  RT болғандықтан, PQRT —
параллелограмм болады (9-сурет).
1.44. a  b, a  c = A, b  c = B, a ⊂ , b ⊂  болса,
онда A  c, A   және B  c, B   болғандықтан, c ⊂ .
1.45. 1.42-есепті қараңыз.
1.46. 1.39-есеп сияқты AF : FB = 1:2, AK : KC = 1:2
болады.
1.47. Берілгені: a, b түзулері мен  жазықтығы:
a  b, a   ≠ 
Дәлелдеу керек: b   ≠  (10-сурет).
Дәлелдеуі. a  b, a   =А болсын. a және b түзулері
арқылы өтетін  жазықтығын жүргізуге болады.
   = c болсын, онда a  c = A. a, b және c түзулері 
жазықтығында жатады және a  b, a   c = A ⇒ b  c
болады, яғни b  c = B нүктесі табылады және B  ,
яғни b   = B.
1.48. 4-теореманы қараңыз.
1.49. Егер  жазықтығы Е нүктесі мен АВ түзуі
арқылы өтсе, онда АВ  CD болғандықтан (теорема 3),
CD  .
7-сурет
B

C
A
DE
F
8-сурет
B

C
A
D
K
N
9-сурет
D
C
R
T
P
A
Q
B

B
A
b
a
10-сурет

25
Тақырып бойынша келесі
мақсаттарға қол
жеткізіледі
Оқыту ресурстары
– Түзу мен жазықтық-
тың параллельдік белгісін
және қасиеттерін білу, олар-
ды есептер шығаруда қол-
дану;
– жазықтықтардың пара-
ллельдік белгісін және
қасиеттерін білу, оларды
есептер шығаруда қолдану;

1. Ә.  Н. Шыныбеков, Д.  Ә. Шыныбеков, Р. Н. Жұма-
баев. Геометрия-10,  жалпы редакциясын басқарған
М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019
2. Ә. Шыныбеков, Геометрия-10, дидактикалық мате -
риалдар жинағы
«Атамұра», Алматы, 2019
3. http://bilim land.kz/ru
4. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/
sistemy-iz-lineynyh-i- kvadratnyh-neravenstv
5. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/
6. http//www.yaklass.ru/p/ geometry/ 10-klass/
7. http//www-formyla.ru/index.php/2011-09-2-39-
24/2011-09-20-23-58-11
8.http://festival.september.ru/articles/100725/
9.http://www.youtube.com/watch?v=LKuC7RF2hZA
10. http://www.webmath.ru/poleznoe/formules18
Әдістемелік нұсқаулар. Алдыңғы тақырыптарға ұқсас, мұнда да есептеулерге
берілген жаттығулар үлесі аз. Сондықтан бұл тақырыптарда да, негізінен,
оқушылардың геометриялық мәліметтерді қысқаша, символдар көмегімен жаза
білу бейімділіктерін, керісінше, қысқаша үлгіде жазылған мәліметтерді өз
сөздерімен қысқа әрі нұсқа дәл жеткізе білу бейімділіктерін және оларға сәй-
кес сызбаларды сала білу бейімділіктерін шыңдап, жетілдіре түсуге бағытталған
жұмыстар жүргізу қажет. Сондықтан мұнда да төмендегідей салыстырмалы
жазу үлгілерін қолдануды ұсынамыз.
Ескерту:
Оқушылардың анықтамалар мен теоремаларды дұрыс тұжырымдап, түсіндіре
алуына және оларға сәйкес сызбаларды дұрыс орындауларына жіті көңіл
бөліңіз.
түзу мен жазықтықтың өзара орналасуы. жазықтықтардың параллельдігі

26
Тұжырымы
Қысқаша
жазылуы
Сызбасы
Анықтама.
Егер екі жазықтықтың ортақ
нүктелері болмаса, онда бұл жа-
зықтықтарды параллель деп
атайды.
   =  ⇒    


1-теорема.
Жазықтықтан тысқары жатқан
нүкте арқылы осы жазықтыққа
параллель бір ғана жазықтық
жүргізуге болады.
A   ⇒ A   және   
болатындай жалғыз 
жазықтығы табылады.
A

2-теорема.
Екі параллель жазықтықты
үшінші жазықтықпен қиып
өткенде олардың қиылысу түзу-
лері өзара параллель болады.
  , a =   ,
b =    ⇒   b.
a
b



3-теорема.
Егер бір жазықтықта жататын
қиылысушы екі түзу екінші
жазықтықтағы екі түзуге парал-
лель болса, онда бұл жазық-
тықтар өзара параллель болады.
a, b ⊂ , a  b
 

 
, a
1
,b
1
⊂

, a
1 

 
b
1 

 
 a  a
1
, b
 

 
b
1
⇒


 

 
.
a
b


a
1b
1
4-теорема.
Параллель жазықтықтармен
шектелген параллель түзулер
кесінділері өзара тең болады.
a  b, 
 

 
,
 
a
 

 

 
=
 
A,
a  

=

C,
 
b
 

 

 
=
 
B,

b 
 

 
=

D
 
⇒
 
AC
 
=
 
BD.
A
b
B
a
C

D

Мұнда да теоремалардың дәлелдеулерін толыққанды келтіруді не оларды
сызбалар арқылы ауызша негіздеуді сынып деңгейіне байланысты мұғалімнің
өзі шешуі қажет. Кейде жалпыға бірдей түсінікті бола бермейтін күрделі
дәлелдемелердің орнына тұжырымды сызба арқылы негіздеу анағұрлым
тиімдірек болатынын естен шығармау қажет.
Ескерту. Математиканы тереңдетіп оқытатын сыныптарда §1.2 мен §1.3-ті
біріктіріп бір модуль шеңберінде өткізген тиімді.

27
Әрине, саралап дамыта оқыту принциптері бойынша келтірілген жоспарды
сыныптағы нақты оқушылардың аты-жөндері мен оларға тапсырылатын жеке
тапсырмалармен және өзге іс-шаралармен толықтырып, нақтылау қажет.
Жаттығуларға шолу. 1.50-есептің жауабын интуитивті түрде барлық
оқушылардың берері анық. Бұл есептің оқушыларға қиын соғар жері ол өз
жауаптарын негіздей білуде. Есеп шары бойынша a    . Егер A = a   деп
алсақ және а түзуі арқылы өтетін  жазықтығы -ға
параллель десек, онда A  , A   болғандықтан,  мен
 жазықтықтарының ортақ А нүктесі болар еді, яғни
  . Олай болса, а түзуі арқылы өтетін және -ға
параллель жазықтық жүргізу мүмкін емес. 1.48-есептің
жауабын сызба арқылы негіздесе, жеткілікті (11-сурет-
ті қараңыз). Мұнда «Есептің жауабы жазықтықтардың
параллельдік белгісіне қайшы келмей ме?», «Неліктен
қайшы келмейді?» деген сұрақтарға жауап алу арқылы
3-теореманы пысықтай түсу қажет.
1.52-есепте де осы теореманы қолдану керек.
1.53-есепте үшбұрыштардың ұқсастығын қолдану
керек.
1.54. Берілгені:
ABCD — квадрат, O  ABCD, OA
1
 = A
1
A,
OB
1
= B
1
B, OC
1
= C
1
C, OD
1
= D
1
D, AB = 10 cм.
1) Дәлелдеу керек:
D
1


A
1
B
1
C
1
және A
1
B
1
C
1
D
1

 
ABCD;
2) Табу керек:
P
ABCD
1111
периметрін. (12-сурет).
Шешуі. 1) Үшбұрыштың орта сызығының қасиеті
бойынша. A
1
B
1 

 
AB,
B
1
C
1


BC. Онда осы сияқты A
1
D
1
C
1
 ABCD. 1-теорема бойынша A
1
нүктесі
арқылы ABCD жазықтығына параллель жалғыз жазықтық өтеді. Демек, А
1
B
1
C
1

және А
1
D
1
C
1
жазықтықтары беттеседі. Олай болса, А
1
, В
1
, С
1
, D
1
нүктелері бір
жазықтық бойында жатады және A
1
B
1
C
1
D
1


ABCD.
2) Үшбұрыштың орта сызығының қасиеті бойынша A
1
B
1
=
1
2
AB = 5 cм. Осы
сияқты А
1
D
1
 = B
1
C
1
 = C
1
D
1
 = 5 см. Онда
P
ABCD
1111
 = 4 ⋅ 5 = 20  см.
1.55. Егер PQ  MN деп алсақ, онда теорема 4-ке қайшы келеміз.
1.56. 1.51-есепті қараңыз.
1.57. Берілгені:   , а   = А.
Дәлелдеу керек: а    .
Дәлелдеуі. Кері жорып, а   =  болсын делік. Онда    (анықтама бойынша)
болып а

⊂  болар еді. Бұл есеп шартына қайшы. Олай болса, а    .
a
b
c


11-сурет
O
A
1
B
12-сурет
D
C
A
B
1
C
1D
1

28
1.59. Берілгені:     және    .
Дәлелдеу керек:    (13-сурет).
Дәлелдеуі. А   нүктесі арқылы а
1
⊂

, а
2
⊂ 
түзулерін жүргіземіз.    болғандықтан, B   нүк-
тесі арқылы өтетін және а
1
 b
1
, а
2
 b
2
болатындай b
1
,
b
2
⊂ 

түзулерін жүргіземіз.    болғандықтан, ∠C  
нүктесі арқылы өтетін және c
1
 b
1
, c
2
 b
2
болатын c
1
,
c
2
⊂  түзулері табылады.
Параллель түзулердің қасиеті бойынша a
1
 b
1
, b
1
 c
1
 a
1
 c
1
және a
2
 b
2
,
b
2
 c
2
 a
2
 с
2
. Онда жазықтықтардың параллельдік
белгісі бойынша   .
1.60. 1.54-есепті қараңыз.
1.61. 3-теореманы қолдану қажет. 1.63-есепте
үшбұрыштардың ұқсастығын қолдану қажет. 1.64 және
1.65-есептерде 1.61-есепті қолдану қажет.
1.66. Берілгені: а  b = , а  b, яғни айқас түзулер.
Дәлелдеу керек: a ⊂ , b ⊂   болатындай жалғыз ғана
,  жазықтықтар жұбы табылатынын.
Дәлелдеуі. А   және B  b нүктелерін аламыз.
1-теорема (1.2) бойынша А  m, m  b және B
 n, n  a болатындай жалғыз ғана m, n түзу-
лер жұбы табылады. a және m түзулері арқылы өте-
тін жазықтықты  деп, ал b және n түзулері арқылы өте-
тін жазықтықты   арқылы белгілесек, онда , , біз-
ге қажет жазықтықтар және олар бірмәнді (сІІІ аксиомасы) анықталады.
1.67. Үшбұрыштың орта сызығының қасиетін қолдану қажет.
1.68. Үшбұрыштардың ұқсастығы мен жазықтықтардың параллельдік белгі-
сін қолдану қажет.
1.69. Суретті қараңыз (14-сурет).
А = a  , B = a  ,
C= a  , AB : BC = ,
А
1
= b  , B
1
= b  , C
1
= b   болсын.
А
1
B
1
: B
1
C
1
=  теңдігі орындалатынын дәлелдеу керек.
Дәлелдеуі. А нүктесі арқылы өтетін және b түзуіне параллель а
1
түзуін
жүргізейік.
1.58-есепте көрсетілгендей а
1
түзуі  және  жазықтықтарын қиып өтеді: B
2
=

=а
1
 , C
2
=

а
1


, а

және а
1
арқылы өтетін АСС
2
жазықтығы параллель  және 
жазықтықтарын параллель түзулер бойымен қиып өтеді (теорема 2), яғни BВ
2
 СС
2
.
Онда пропорционал кесінділер қасиеті бойынша АВ
2
: В
2
С
2
=

AB : BC = .

Екінші
A
C
a1
B
a
2
b
1
b
2
c
1
c
2



13-сурет
А
А
1 


В
В
1
В
2
С С
1
а а
1
b
14-сурет

29
жағынан, а
1
 b болғандықтан, теорема 4 бойынша АВ
2
=А
1
В
1
, В
2
С
2
=В
1
С
1
, яғни
А
1
В
1
:В
1
С
1
=

АВ
2
: В
2
С
2
. Олай болса, А
1
В
1
:В
1
С
1
= .
Дәлелдеу керегі де осы.
1.70. 1.58-есепті қараңыз.
1.71. 15-суретті қараңыз. Мұнда АС=А
2
С=А
1
С
1
, BС=В
2
С=В
1
С
1
. ABC және А
1
В
1
С
1
жазықтықтары үнемі параллель бола бермейді.
1.72. 1.70-есепті қараңыз.
A
B
C
A
1
B
1
C
1
A
2
B
2
15-сурет

30
2-бөлім. Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы
Ұсынылатын сағат саны : 16
Осыған дейін меңгерілген білім: планиметрия курсындағы түзулердің өзара орналасуы, түзулер
арасындағы бұрыш, түзулердің перпендикулярлығы, көлбеу және оның проекциясы, үшбұрыштар (тік
бұрышты үшбұрыш) теңдіктерінің белгілері, көпбұрыштың ауданы
Мәнмәтін: бөлім материалдарын меңгеру арқылы оқушылар түзу мен жазықтықтың перпендикулярлы-
ғын ажырата біледі, үш перпендикуляр теоремасын іс жүзінде есептер шығаруда қолданады, дағдыға
айналдырады, ортогональ проекцияның ауданын анықтайды.
Пәндік мақсат:Тілдік мақсат:Пәнге қатысты лексика
мен терминология:
Диалогке (жазуға)
қажет сөзтіркестер:
10.2.6; 10.2.7; 10.2.8;
10.3.1; 10.3.5; 10.2.9;
10.2.10; 10.3.2; 10.3.3;
10.3.4.
Оқушылар:
– түзулер арасындағы
бұрышқа, түзулердің
перпендикулярлығына
анықтама беріп, оны
түсіндіре біледі;
– түзу мен жазықтық
перпендикулярлығы қа-
сиеттерін тұжырымдай-
ды және оларды дәлел-
деу жолын түсіндіреді;
– үш перпендикуляр тео-
ремасын түсіндіреді және
оның қолдану жолдарын
сипаттайды;
– түзу мен жазықтық
арасындағы бұрышты,
екі жазықтық арасын-
дағы екіжақты бұрыш-
ты анықтап, түсіндіреді;
– көпбұрыш проекция-
сы ауданын анықтау жо -
лын түсіндіреді;
– екі түзу, түзу мен
жазықтықтың перпен-
дикулярлығы;
– үш перпендикуляр тео -
ремасы;
– көлбеу проекциясы, пер -
пендикуляр және оның
табаны;
– кеңістіктегі арақашық-
тық;
– параллель проекция -
лау;
– проекциялау бағыты,
проекциялау жазықтығы;
– көпбұрыштың ортого -
наль проекциясы;
– кеңістік денелерінің
жазықтықтағы бейнесі;
– пирамида; параллели -
пипед, текше, тік приз-
ма.
– Екі түзу арасындағы
бұрыш деп ... бұрышты
атайды;
– ... кесінділер өзара
перпендикуляр деп ата -
лады;
– бір жазықтыққа пер -
пендикуляр түзулер
өзара ... ;
– жазықтықта жата -
тын түзу көлбеуге пер -
пендикуляр түзу болуы
үшін ... қажетті және
жеткілікті;
– екі фигураның ара-
қашықтығы деп ... атай -
ды;
– көлбеу мен оның про -
екциясы арасындағы бұ-
рыш ... ;
– екіжақты бұрыштары
90° болатын жазықтық-
тар өзара ... болады.
Қысқаша шолу: Оқушылар кеңістікте түзулер мен жазықтардың перпендикулярлығын ажырата біледі
және кеңістік денелерін жазықтарда бейнелей біледі, ортогональ проекция ауданын анықтай біледі.