Геометрия. Угол между прямыми и пространстве. Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости

Тақырыбы:

Тема: Угол между прямыми и пространстве. Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости

Сабақтың түрі:

Тип урока: Урок формирования ЗУН

Метод урока: Наглядно-иллюстрированный

Сабақ мақсаты:

Цели урока:

Образовательные: рассмотреть взаимное расположение 2-х прямых в пространстве. Ввести понятие параллельных и скрещивающихся прямых;

Развивающие: доказать теоремы о параллельности прямых и параллельности 3-х прямых

Воспитательные: воспитание на уроке воли и упорства для достижения конечных результатов, активномти, уважительного отношения друг к другу.

Пәнаралық байланыс:

Межпредметные связи: черчение

Көрнекі құралдар,жабдықтар,үлестірмелі қағаздар:

Нагладные пособия,оборудование,раздочный материал: Чертежные принадлежности, учебники

САБАҚ БАРЫСЫ / ХОД УРОКА

Ұйымдастыру кезеңі:

Организационная часть: 5 минут

Өткен тақырыпты қайталау:

Опрос и проверка пройденного материала: 10 вопросы упр 4 стр 41

ЖОСПАР/ ПЛАН

Жаңа тақырыпты оқыту:

Изучение нового матертале:

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Обозначение.  .

Рис. 1.

Рассмотрим прямые а и b. Прямые могут пересекаться, скрещиваться, быть параллельными. Для того, чтобы построить угол между ними нужно выбрать точку и через нее провести прямую  , параллельную прямой а, и прямую  , параллельную прямойb. Прямые  и   пересекаются. Угол между ними и есть угол между прямыми а и b. Если угол равен 90°, то прямые а и b перпендикулярны.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказательство:

Пусть даны две параллельные прямые а и b, и прямая с,причем  . Нужно доказать, что  .

Возьмем произвольную точку М. Через точку М проведем прямую  , параллельную прямой а и прямую  , параллельную прямой c (рис. 2). Тогда угол АМС равен 90°.

Рис. 2.

Прямая b параллельна прямой а по условию, прямая   параллельна прямой а по построению. Значит, прямые   и b параллельны.

Имеем, прямые   и b параллельны, прямые с и   параллельны по построению. Значит, угол между прямыми b и с – это угол между прямыми   и , то есть угол АМС, равный 90°. Значит, прямые b и с перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Обозначение.  .

Рис. 3. 

Если  , то  . (пересечение а и  )

Доказательство:

Напоминание. Прямая и плоскость или пересекаются в одной точке, или параллельны, или прямая лежит в плоскости.

Если прямая а параллельна плоскости  (рис. 4), то в плоскости   можно провести прямую  , параллельную прямой а. Получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая а лежит в плоскости  (рис. 5), то в плоскости   можно провести прямую  , параллельную прямой а. Опять получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и плоскости.

Значит, если прямая а перпендикулярна плоскости  , то она пересекается с ней.

Рис. 4

Рис. 5

Теорема

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перепедикуляная к этой плоскости.

Доказательство.

Пусть прямая а параллельна прямой а₁. Прямая а перепендикулярна плоскости . Докажем, что и прямая а₁перепендикулярна плоскости .

Прямая а перпендикулярна плоскости  . Значит, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая х лежит в плоскости  , значит,   (см. рис. 6).

Рис 6.

Прямая а перпендикулярна прямой х, а прямая а₁ параллельна прямой а. Значит, прямая а₁ перпендикулярна прямой х по лемме. Прямую х мы выбирали произвольно. Значит, прямая а₁ перпендикулярна любой прямой в плоскости  , то есть прямая х перпендикулярна плоскости  , что и требовалось доказать.

Нығайту:

Закрепление нового материала:

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 9). Докажите, что   и  , если  .

Рис. 9.

Доказательство.

ABCD – прямоугольник, так как в параллелограмме ABCD угол  .

Прямая В₁С₁ параллельна прямой ВС, а прямая ВС перпендикулярна прямой DС. Значит, по лемме, прямая DС перпендикулярна В₁С₁.

Прямая АВ перпендикулярна прямой ВС, а ВС параллельна прямой A₁D₁. Значит, по лемме, прямая АВ перпендикулярна A₁D₁. Задача доказана.

Рассмотрим другое доказательство факта, что  .

Угол DCB равен углу между прямыми DC и В₁С₁. Угол DCB – прямой. Значит, прямые DС и В₁С₁ перпендикулярны.

Задача 2

В тетраэдре ABCD -  . Докажите, что  , где М и N середины ребер АВ и АС.

Рис. 10.

Доказательство.

MN – средняя линия треугольника АВС. По свойству средней линии, ВС параллельна MN.

Прямые ВС и MN параллельны, а прямые ВС и AD перпендикулярны. Значит, по лемме, прямые AD и MN перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Бағалау

Выставления оценок

Үй тапсырмасы:

Домашнее задание: §10. упр 4 стр 41

Өздік жұмысы:

Самостоятельная работа:

№ 1,2,3,5,6 , 1