Геометриялық емес есептердің геометриялық шешімдері

Геометриялық емес есептердің геометриялық шешімдері

Мектеп бағдарламасы математикасында жоқ теңдеулер жүйесін геометриялық әдіспен шешуді ұсынамыз.

Мысал 1. теңдеулер жүйесін шешіп, мәнін тап.

Шешуі. 1-ші және 2-ші теңдеулерді қосып, аламыз. 3-ші теңдеудегі -тің мәнін алмастырып, 2-ші теңдеуге қоямыз, яғни . Сонымен тең болады. Егер болса, онда 1-ші теңдеуге алмастырып қойғанда аламыз. Әрі қарай теңдеуді шешіп, екенін анықтаймыз. Бұдан және болатынын табамыз. Сонда . [1]

Бірақ бұл жүйені шығармай және өрнегінің мәнін таппай-ақ шешімін табуға болатынын көрсетейік.

Пифагор теоремасына кері теорема бойынша және 3 сандары сәйкесінше үшбұрышының каттеттері мен гипотенузасы болсын (мұндағы -тік бұрыш).

Онда екінші теңдеуді қарастыратын болсақ, және 4 сандары сәйкесінше үшбұрышының катеттері мен гипотенузасы болсын (мұндағы -тік бұрыш).

1.1- сурет.

Жүйенің үшінші теңдеуіндегі саны және сандарының пропорционалдық ортасы. Онда тік бұрышты үшбұрыштың пропорционалдық кесінділері туралы теорема бойынша үшбұрышы тік бұрышты үшбұрыш болады. Енді өрнегін қарастырайық. [1]

Жауабы: 12

Мысал 2. өрнегінің мәнін тап, егер , , және болса.

Шешуі. Біріншіден, және . Шындығында, егер немесе болса, онда . Алайда, 1 және 0 сандар жұбы теңдеуін қанағаттандырмайды. Сәйкесінше, 0 және 2 сандар жұбы теңдеуін қанағаттандырмайды.

Екіншіден, және шарттары үшін және теңдеулерін сәйкесінше

және

түрде түрлендіруге болады. [1], [4]

Үшіншіден, алдыңғы мысалдың шешу әдісін пайдаланатын болсақ, онда

1.2 - сурет

Жауабы: 5

Мысал 3. және оң сандары үшін, , , шарттарымен берілген өрнегінің мәнін тап.

Шешуі. Есептің берілген үш шартын жүйеге келтіреміз:

Пифагор теоремасына кері теорема бойынша , және 5 сандары тік бұрышы болатын үшбұрышының сәйкесінше катеттері мен гипотенузасы болсын ал, , және 13 сандары бұрышы болатын үшбұрышының қабырғалары болсын. Сондай-ақ, , және 12 сандары бұрышы болатын үшбұрышының қабырғалары болсын.

1.3 – сурет

болғандықтан, үшбұрышында .

өрнегі берілген үшбұрышының төрт еселенген мәніне тең, яғни .

Жауабы: 120.

Мысал 4. және оң сандары үшін, , , теңдеулер жүйесінің мәнін таппай, өрнегінің мәнін тап.

Шешуі.

.

үшбұрышының ауданы 6-ға тең болғандықтан, .

1.4-сурет

Мысал 5. теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Шешуі. Егер , және болса, онда және - катеттері, ал - гипотенузасы, сонымен қатар бұрышы тік болатындай үшбұрышы бар болады.

1.5-сурет

Берілген үшбұрыштың периметрі 60 см, ал тік бұрышынан жүргізілген биіктік 12 см.

Бірінші теңдеуден , ал екінші және үшінші теңдеулерден аламыз. Соңғы теңдеулердің оң жақ бөліктерін теңестіру арқылы , яғни болатынын байқаймыз. [5]

Бұдан бастапқы берілген жүйеден келесі жүйені аламыз:

Бұл жүйенің шешімі 15 және 20. Демек бастапқы жүйенің шешімі (15; 20;25) және (20; 15; 25).

Мысал 6. теңдеулер жүйесін шеш.

Шешуі. болғандықтан, , және сандары тік бұрышы болатындай үшбұрышының сәйкес катеттері мен гипотенузасы болып табылады. Бұл үшбұрыштың ауданы 24 см², ал периметрі 24 см. Онда үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің радиусы 2-ге тең. Екінші теңдеуден аламыз. Демек, немесе .

Жауабы. (10;6), (10;8)

1.6-сурет

Мысал 7. теңдеулер жүйесін шеш.

Шешуі. , , екені анық. Қабырғаларының ұзындығы берілген жүйені қанағаттандыратын үшбұрыш бар болсын. Бірінші теңдеуден табамыз.

Сонда екінші теңдеудің түрі:

(1)

Берілген теңдеуді түрлендіріп, - қа қатысты квадрат теңдеуді аламыз:

.

Бұл теңдеудің дискриминанты тең. Онда . Теңсіздік болғанда орынды болады. (1) теңдеуді -ке қатысты түрлендірсек, онда . Бірінші теңдеуден екені табылады.

Жауабы. .

Қорытынды

Математика басқа ғылымдар сияқты ілгері жылжиды. Қоғамның дамуымен қатар заман көзқарастары мен сұраныстары өзгереді, жаңа ойлар мен жаңа жобалар пайда болады.

Берілген есептердің шешімі визуалды турде, яғни сызбамен көрсетіледі. Есептердің шешімін табудың дәстүрлі емес әдістері оқушылардың ғылыми ізденістерін, шығармашылық қабілеттерін арттырады.