Геометриялық емес есептердің тригонометриялық шешімдері

Соңғы онжылдықта тригонометрия дербес пән ретінде жойылып, негізгі мектеп курсының алгебра және геометриясына ғана емес, сондай – ақ алгебра және анализ бастамалары пәндеріне енгізілген. [1]

Тригонометриялық есептерге мысалдар келтірейік.

Мысал 1. Есептеңіз: .

Шешуі. 9 сынып оқулығында қосудың формуласын пайдалана отырып, берілген есепті былайша шығаруға болады:

.

Бірақ 8 сыныпта бұл есептің шешімін табу көп уақытты кажет етпейді.

теңбүйірлі үшбұрышын қарастырайық. Мұнда . Берілген үшбұрыштың және биіктіктерін жүргізейік. . . Егер болса, онда және . Демек, .

1.7-сурет

Жауабы. .

Мысал 2. Дәлелдеңіз: .

Шешуі. тік бұрышты үшбұрышын қарастырайық. Мұнда гипотенузасы 1-ге тең. Онда және болсын. Пифагор теоремасы бойынша .

1.8-сурет

Мысал 3. Дәлелдеңіз:

Дәлелдеуі. Егер үшбұрышында катеті 1-ге тең болса, онда және . Демек, Пифагор теоремасы бойынша .

Мысал 4. Дәлелдеңіз:

Дәлелдеуі. үшбұрышында , , сондай-ақ және биіктіктері берілсін.

1.9-сурет

Сурет бойынша , , .

және үшбұрыштары ұқсас болғандықтан, онда , яғни

.

Демек, .

Мысал 5. Дәлелдеңіз: .

Дәлелдеуі. 1.9 – сурет бойынша , , болсын. және үшбұрыштарының ұқсастығына байланысты екені анық, яғни . Демек,

Мысал 6. Дәлелдеңіз: .

Дәлелдеуі. үшбұрышын қарастырайық. , және болсын. Есептің шарты бойынша және бұрыштары сүйір болса, онда нүктесі кесіндісінің бойынан алынған нүкте. , , және деп белгілеулер енгізейік.

1.10-сурет

,

.

.

.

Демек, .

Мысал 7. Есептеңдер: .

Шешуі. Егер тік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының косинусы мен котангенсі, Пифагор теоремасы және бұрыштың биссектрисасы ұғымдарын пайдалансақ, есеп лезде шығарылады. [1]

1.11-сурет

Суретте үшбұрышы кескінделген. , , және - бұрышының биссектрисасы.

Онда , және , яғни .

.

Жауабы. 1,5.

Қорытынды

Жұмыста стандарт емес есептерді, соның ішінде геометриялық емес есептердің тригонометриялық шешімдерін табу қарастырылады.

Жұмыста берілген есептерді шешу күнделікті мектеп бағдарламасында шығарып жүрген есептерден ерекшеленеді. Берілген есептердің шешімі визуалды турде, яғни сызбамен көрсетіледі. Есептердің шешімін табудың дәстүрлі емес әдістері оқушылардың ғылыми ізденістерін, шығармашылық қабілеттерін арттырады. Кейбір есептердің шешімін салыстыруға бірнеше мысалдар қарастырылған. Қарастырылатын мысалдардың кебіреулері күрделі болып көрінгенімен, оларды негізгі мектеп курсындағы оқушылар да шығара алады.