Жиын және логика элементтерін меңгеру

Жиын және логика элементтерін меңгеру. Математикалық сауаттылық:
диаграммаларды оқу, тұжырымдарды, шынайы немесе жалған
пікірлерді, логикалық есептерді, кестелер мен графиктерді,
реттіліктерді, заңдылықтарды анықтау, бірізділікті,
пәндердің комбинациясын құру, комбинаториканы оқыту әдістері
Тұжырымдарды, шынайы немесе жалған пікірлерді анықтау
«Шындық» және «жалған» ұғымдары математикада аса маңызды болып табылады.
Ойлау нәтижесінде адам өзінің көзқарасын білдіре алады, бұл алынған ақпаратты
өңдеудің нәтижесі болып табылады. Егер адам өз пікірін дауыстап айтса, бұл пікірін айту
болып табылады.
Пікірлер шынайы немесе жалған болуы мүмкін.
Екі математикалық тұжырымды қарастырайық, олардың біреуі – шынайы, ал екіншісі
жалған пікір:
1. 2 + 2 = 4
2. 2 + 2 = 5
«2 + 2 = 4» - бұл шынайы математикалық тұжырым, себебі ол шындықты дұрыс
көрсетеді. «2 + 3 = 5» екінші өрнегінің мәні шындыққа сәйкес келмейді. Бұл – жалған
мәлімдеме.
Шындық – бұл шындыққа сәйкес келетін нәрсе.
Жалған – бұл шындыққа сәйкес келмейтін нәрсе.
«Шындық» және «жалған» ұғымдары қиылыспайды. Пікір не шынайы, не жалған
болуы мүмкін, үшінші нұсқасы болмайды.
Шынайы тұжырымдарға мысалдар келтірейік:
«Тоғыз үшке бөлінеді»; «Балалар ойнағанды ұнатады»; «Лақтырылған тас жерге
құлайды»; «Балалар уақыт өте келе ересектерге айналады».
Бұл тұжырымдардың барлығы шынайы, өйткені олардың мағынасы шындыққа
жанасады. Жалған тұжырымдардың мысалдары:
«10 саны 3-ке қалдықсыз бөлінеді»; «Қарлығаштар ұшпайды, ал тауықтар ұшады»;
«Балалар ата-анасынан үлкен», «Жер шары Күннен үлкен».
Бұл тұжырымдар жалған, өйткені олардың мәні шындыққа сәйкес келмейді.
Ақпаратты өңдеудің нәтижесінде адамның ұсынған пікірі дұрыс немесе жалған болуы
мүмкін. Графикалық ақпаратты талдау нәтижесінде алуға болатын екі тұжырымның
мысалын қарастырайық:

[81].
Классикалық формалды логикада ойлаудың негізгі үлгілері: тұжырымдама, пайымдау,
қорытынды болып табылады. Логикалық ойлау – осы формаларды логика заңдарына сәйкес
қолдану: тепе-теңдік, қайшылықсыздық, үшінші нұсқаға жол берілмеуі және т.б.
Логикалық тапсырма – бұл сұраққа жауап іздеу пайымдау негізінде жүзеге асырылатын
тапсырма (Логикалық есептерді шешудегі есептер қосалқы рөл атқарады, кейде қажет
болмауы да мүмкін).
Логикалық есептердің түрлері:
• заңдылықтарды табу;
• жиындардың арасындағы сәйкестікті белгілеу;
• жиынты ретке келтіру;
• нашар жағдайды анықтауға негізделген дәлел;
• Дирихле принципін қолдана отырып дәлелдеу;
• іс-әрекеттерді жоспарлау (өлшеу, құю, өткізу және т.б.).
Шешу жолдары: пайымдаудың, кестенің, сәуленің, графиктің, ең қиын жағдайды
анықтаудың көмегімен.
Ең қиын жағдайды анықтауға негізделген дәлелдерге арналған тапсырмалар
Белгілі бір тұжырымды дәлелдеуді қажет ететін логикалық тапсырмаларда ең қиын не ең
нашар жағдайды қарастыруға болады. Егер ең қиын жағдайда тұжырымның әділдігін
дәлелдеуге болатын болса, онда ол басқа жағдайларда да дұрыс болады. Сондықтан бұл
жерде ең бастысы – ең қиын жағдайды дұрыс анықтау болып табылады.
Тапсырма. Ішіндегілер көрінбейтін сөмкеде 5 ақ және 2 қара шар бар. Олардың ішінде
мыналар болуы үшін сөмкеден шарлардың қандай ең аз санын алу керек:
а) кем дегенде бір ақ шар;
б) кем дегенде бір қара шар;
в) кем дегенде бір ақ және кем дегенде бір қара шар?
Шешімі:
а) Әрдайым тек қара шарлар шығатын болса, бұл ең нашар жағдай болып табылады.
Бұл жағдайда тіпті 2 шарды шығарсақ та, біз ақ шарларды алмаймыз. Ал егер үш шарды

шығарсақ, онда үш шардың кем дегенде біреуі ақ болады.
б) Мұндағы ең нашар жағдай біз әрдайым тек ақ шарларды шығарған кездегі жағдай
болып табылады, сондықтан алты шарды шығару керек.
в) Мұндағы ең нашар жағдай, біздің барлық уақытта тек ақ шарларды (олар көп)
шығаратынымыз болып табылады, сондықтан алты шарды да шығару керек.
Жиындар арасындағы өзара бір мәнді сәйкестікті белгілеу тапсырмалары
Тапсырма. Үш дос – Айдын, Берік және Мағжан бір сыныпта оқиды. Олардың бірі
мектептен үйге автобуспен, біреуі трамваймен, біреуі троллейбуспен қайтады. Сабақтан
кейін бір күні Алеша досын автобус аялдамасына дейін шығарып салуға кетті. Троллейбус
олардың жанынан өтіп бара жатқанда, үшінші досы терезеден: «Боря, сен мектепте
дәптеріңді ұмытып кеттің!» деп айқайлады. Достардың қайсысы үйіне немен қайтады?
Шешімі. Тапсырмада екі жиын қарастырылады: оқушылар жиынтығы және көлік
жиынтығы. Осы жиындар арасында өзара бір мәнді сәйкестік орнату қажет. Мұны кестенің
көмегімен жасаған ыңғайлы. Тапсырманың шарттарын бөлеміз. Олар екеу:
1. Алеша досын автобус аялдамасына дейін шығарып салады.
2. Троллейбустан «Боря, сен дәптерді ұмытып кеттің!» деп айқайлады.
Осы жағдайдан біз салдарын шығарып, нәтижелерін кестеде «+» және «–» белгілерін
қолдана отырып белгілейміз.

Жиындардың тепе-теңдігі бір-біріне сәйкес келетіндіктен, кестенің әр жолында және
әр бағанында «+» белгісінің болуы керек және оның біреуі ғана болуы керек. Мынадай
жағдай аламыз:

Әдістемелік ұсынымдар:
− оқушыларға күрделіден қарапайымды айыруды, қарапайым пайымдардан күрделі
сөздер құрастыра білуді үйрету керек;
− талдауды және жинақтауды үйрету;
− оны шешу кезінде ойлау процесінің барысын анықтай алатын тапсырмалар мәтінінің
ерекшеліктерін қолдану;
− күрделілігін біртіндеп арттыра отырып, белгілі бір жүйеде оқу процесіне
тапсырмаларды енгізу керек (шамадан тыс күрделі тапсырма оқушылардың дамуына аз
ықпал етеді);
− тапсырмаларды орындауда оқушыларға көбірек дербестік беру қажет;
− оқушыларға шешімін табудың бірқатар тәсілдерін, әдістерін, жалпы тәсілдемелерін
түсінуге көмектесу керек;
− оқушылардың алдын ала талдау сызбаларын жасай алуы үшін тапсырмалардың
шешу жолдарын үйрету.
Комбинаторика – белгілі бір шарттарға бағынатын, шекті жиын элементтерінен
әртүрлі қанша комбинациялар құрастыруға болатыны туралы мәселелерді зерттейтін
математиканың саласы.
Комбинаторлық міндет дегеніміз – белгілі бір операцияның, оқиғаның мүмкін
нұсқаларын іріктеу немесе осындай нұсқалар санын табу қажет болатын тапсырма. Осыған
орай, комбинаторлық міндетті тапсырманың сұрағы бойынша айқындауға болады!
Комбинаторлық тапсырмаларды орындау барысында нұсқаларды іріктеуді кестелер мен
графиктерді қолдану арқылы жүзеге асыруға болады.

Кескін (граф) – бұл осы нүктелердің бірқатарын біріктіретін жазықтық нүктелері мен
кескіндерінің түпкілікті жиынтығынан тұратын фигура. Нүктелер кескіннің төбелері, ал
кесінділер кескіннің қабырғалары деп аталады. Егер бір төбені қабырғаның басы, ал
екіншісін ұшы деп санаса, кескіннің қабырғалары бағытталған деп аталады. Суретте
бағытталған қабырғаны нұсқармен (стрелка) бейнелейді. Барлық қабырғалары
бағытталған кескінді бағытталған кескін деп те атайды.
Тапсырмада үш немесе одан да көп элементтердің комбинациясы қарастырылған
жағдайда, кескін дарағын пайдалануға болады.
Тапсырма. «Жазбадағы сандар қайталанбаған жағдайда 3, 4 және 5 сандарынан қанша
үш таңбалы сандар құрастыруға болады?» кескін дарағы мынадай болады:

Тапсырма. «1, 2 және 3 сандарынан қанша екі таңбалы сандар құрастыруға болады?»
нұсқаларды іріктеуді мыналардың көмегімен іске асыруға болады:
-іріктеу әдістері: 11, 22, 33, 12, 21, 13, 31, 23, 32 еркін іріктеу;
-немесе кестенің не бағдарланған кескіннің көмегімен жүйелеп іріктеуге болады.

Бастауыш сынып оқушыларына комбинаторлық тапсырмаларды шешуді үйрету
әдістемесінің ерекшеліктері мыналармен байланысты: 1) балалардың жас ерекшеліктері
мен ойлау қабілетінің даму деңгейіне байланысты (сондықтан комбинаторлық
тапсырмаларды шешудің негізгі әдісі – нұсқаларды іріктеу әдісі, сонымен қатар ойын
түрлерін, ойын сюжеттерін қолдану); 2) оқыту кезеңдеріне байланысты: нұсқаларды ретсіз
іріктеуден бастап жүйелеуге дейін – алдымен тікелей, содан кейін графикалық құралдарды
қолдана отырып іріктеу.
Оқыту кезеңдері: 1. Дайындық кезеңі: нұсқалардың ретсіз іріктелуі жүзеге асырылады
және барлық ықтимал нұсқаларды табудың қажеті жоқ;
2. Саны көп емес барлық ықтимал нұсқаларды тікелей іріктеу белгілі бір жүйе бойынша

жүзеге асырылады;
3. Графикалық құралдарды (кестелер мен кескіндерді) пайдалана отырып, барлық
ықтимал нұсқаларды жүйелі түрде іріктеу жүзеге асырылады [82].
Комбинаторлық тапсырмалар шартты түрде «ресми» және «бейресми» болып бөлінетін
әртүрлі әдістермен шешіледі. «Ресми» шешім әдісі кезінде таңдау сипатын анықтау керек,
тиісті формуланы таңдау керек (орналастыру санын, комбинацияларды, қайталануларын
және қайталаусыз анықтау үшін) немесе комбинаторлық ережені (қосындылар,
көбейтінділер) анықтау керек, сандарды ауыстыру және нәтижені ықтимал әдісімен таңдау
нұсқаларының санымен есептеу керек, нұсқалардың өздері қарастырылмайды.
Тапсырмаларды шешудің «бейресми» әдісі кезінде әртүрлі нұсқаларды құрастыру
процесі маңызды. Бұл жерде бастысы – құрастырылған таңдау нұсқаларының саны ғана
емес, сонымен қатар таңдаудың қандай нұсқаларын жасауға болатындығы. Ықтимал
нұсқаларды таңдау әдісі «бейресми» болып табылады. Ол бастауыш сынып оқушыларына
қолжетімді және нақты тапсырмаларды шешу тәжірибесін жинақтауға мүмкіндік береді,
бұл әрі қарай оқытуда тапсырмаларды шешудің комбинаторлық принциптерін енгізуге
және тиісті формулаларды қолдануға негіз болады. Тәжірибе жүзінде әрекет ету барысында
адам таңдаудың ықтимал нұсқаларының санын анықтап қана қоймай, сонымен қатар жүйелі
сұрыптау әдістеріне ие бола отырып, осы нұсқалардың барлығын тікелей құрастыруына
тура келеді, мұны ұтымды түрде іске асыруға болады.
Комбинаторлық есептер мен комбинаторлық сипаттағы тапсырмаларды шешуді
үйрету әдістемесі жұмыстың үш кезеңін қарастырады. Бірінші кезеңде комбинаторлық
сипаттағы тапсырмаларды орындау кезінде бастауыш сынып оқушылары ретсіз іріктеуді
жүзеге асыра отырып, жаңа объектілерді құрастырады. Бұл кезеңде мұғалім барлық
нұсқаларды табуды мақсат етпейді. Жеке элементтерден тұратын объектілерді салыстыруға
ерекше назар аудару керек. Салыстыру келесі критерийлер бойынша жүргізіледі:
− құрастырылған объектілердің саны бойынша;
− элементтердің объектісіне кіретін құрам бойынша;
− объектідегі элементтердің орналасу тәртібі бойынша.
Осындай тапсырмалардың мысалдарын келтірейік.
1. Майраның добы бар. Доптың жартысы қызыл, екінші жартысы сары, ортасында екі
түсті – көк және жасыл жолақ бар. Осы түстердің көмегімен допты басқаша қалай бояуға
болатындығын сызып көрсетіңіз.
1. Дария раушан, қызғалдақ және түймедақ гүлдерін отырғызуды шешті. Гүлдерді бір
қатарға қалай отырғызуға болатынын сызып көрсетіңіз.
2. «Лего» конструкторының 3 текшесі бар: ақ, сары, жасыл. Осы текшелерден бірнеше
түрлі пішін құрастырыңыз.
3. 1, 3, 8, 9 сандарын пайдаланып, үш таңбалы сандардың барлық түрлерін
құрастырыңыз.
Ретсіз іріктеу дағдыларын игеру қызметті ұйымдастырудың жоғары деңгейі –
тапсырмаларды шешуде жүйелі түрде сұрыптаудың комбинаторлық сипатын қолданудың
пайда болуына ықпал етеді.
Келесі кезең оқушылардың комбинаторлық тапсырмаларды шешудің барлық ықтимал
нұсқаларын табуын қамтиды. Бұл кезеңнің мақсаты – мектеп оқушыларын барлық ықтимал
нұсқаларды жүйелі түрде сұрыптауға үйрету. Осы кезеңдегі тапсырмаларды шешу кезінде
толық және қысқартылған іріктеу жүргізілуі мүмкін. Оларды шешу кезінде оқушылар
толық іріктеуді жүзеге асыратын тапсырмалардың мысалдарын келтіреміз.
1. Самғатта мультфильмдері бар 3 бейнекассета және Гарри Поттер туралы фильмдері
бар 2 кассета бар. Бір кассетаны көру үшін ол қанша тәсілмен таңдай алады?
2. Барби қуыршағының 3 түрлі балға киетін көйлегі мен 2 шляпасы бар: біреуі
пердешемен және біреуінде қауырсынмен. Барбиге арналған сәнді киім топтамасын қанша
түрлі тәсілмен жасауға болады?
3. 1, 3, 8, 9 сандарын пайдаланып, үш таңбалы сандардың барлық түрлерін

құрастырыңыз. Санның жазбасындағы сандардың қайталанбауы үшін үш таңбалы
сандардың барлық түрлерін жазыңыз.
Оқушылар есепті шығару кезінде қысқартылған іріктеуді жүзеге асыратын
тапсырмаларға мысалдар келтіреміз.
1. Ондықтардың саны бірліктердің санынан үлкен болатындай етіп, 3, 4, 5, 6
сандарынан тұратын барлық екі таңбалы сандарды жазыңыз.
2. 4 фигура бар: үлкен және кішкентай үшбұрыштар, үлкен және кішкентай шеңберлер.
Егер бірінші орынға үлкен үшбұрышты және бірдей пішінді фигуралардың қатарын қойса,
осы фигураларды қатарға орналастырудың қанша әдісін қолдануға болады?
3. 3, 4, 5, 6 сандарынан тұратын барлық екі таңбалы жұп сандарды жазыңыз.
Үшінші кезеңде орындау үшін ұсынылатын тапсырмалардың ерекшелігі ықтимал
іріктеу нұсқаларын арттырудан тұрады. Ықтимал нұсқалардың ұлғаюына байланысты
іріктеуді ұйымдастыру құралдары да өзгереді: мұндай есептерді шығару кезінде ойлау
барысын логикалық түрде құруға, ешқандай нұсқаларды жіберіп алмастан толық
сұрыптауды нақты жүргізуге мүмкіндік беретін кестелерді, кескіндерді және «мүмкіндіктер
ағашын» қолданған жөн. Бастауыш сынып оқушыларына комбинаторлық тапсырмаларды
орындауды үйретудегі үшінші кезеңнің негізгі құрамы кескіндерді қолдана отырып
тапсырмаларды шешу болып табылады.
Кескіндердің көмегімен есептер шығаруды үйрену процесі бірнеше кезеңді қамтиды.
Дайындық кезеңінде оқушылар тапсырмалардың шартын графикалық символдардың тіліне
аударады, сондай-ақ белгілі бір тақырыптан оның моделіне өту қабілеті, объектілер
арасындағы байланыстарды символдық түрде бейнелеу қабілеті қалыптасады. Мұғалім
объектілерді және олардың арасындағы байланыстарды шартты түрде енгізе білуі, барлық
осы тапсырмаларды қамтитын графикалық модель құрастыра білуі керек. Келесі кезең
бірқатар объектілерді және олардың арасындағы байланыстарды қамтитын
тапсырмалармен жұмыс істеуді қамтиды. Оқытудың екінші кезеңінің өзіне тән ерекшелігі
қарастырылатын объектілер санының біртіндеп артуы; объектілер арасындағы байланыстар
санының артуы; тапсырмаларды шешу үшін кескіндердің бір түрінен көбірек түрлерін
пайдалану қажеттілігі болып табылады [83].