Жалпы орта білім беретін мектептердің
8-сыныбына арналған оқулық
Өзбекстан Республикасы Халыққа білім беру
министрлігі баспаға ұсынған
Қайта өңделген және толықтырылған 4-басылымы
ГЕОМЕТРИЯ 8
ТАШКЕНТ
“O‘ZBEKISTON”
2019
А.А.РАХЫМҚАРИЕВ, М.А.ТУХТАХУЖАЕВАhttp:eduportal.uz

© А.А.Рахымқариев, М.А.Тухтахужаева
Барлық құқықтар қорғалған. 2014, 2019.
© “O‘zbekiston” БПШҮ, 2019.
Республикалық мақсатты
кітап қорының қаржылары
есебінен басылды.
Пікір жазғандар:
Н.А.Умарова – Ташкент облысы ХБҚҚД және МОХМ аға оқытушысы;
Г.А.Фозилова – Ташкент қаласы Юнусабад ауданындағы №274 жалпы білім
беретін мектептің математика пәні оқытушысы.
Оқулық Республикалық білім орталығының 2018 жылғы 25 қарашадағы “Анық
пәндердің блок модулі бойынша жалпы орта білімнің оқу бағдарламасы (VIII сынып)” негізінде жазылған. Оқулықта жалпы орта білім бойынша математика пәнін оқытудың белгіленген мақсаты мен міндеттері, оқу қызметі нәтижесінде оқушыларға қойылатын талаптар айқындалған. Оқулық оқушылардың бойында қалыптастырылатын тірек компоненттердің элементтерін қамтып алған.
Қайта дайындау үдерісінде эксперттер мен рецензенттердің ұсыныстары
ескерілді. Әрбір тараудың соңында жазба түрдегі бақылау жұмыстарының үлгілері мен тестер келтірілді, олар оқушылардың бақылау жұмысына тиянақты дайындалуына көмектеседі. Тарихи мәліметтер айдарынан еліміздің және дүние жүзі ғалымдарының бұл пәнге қосқан салмақты үлестері мен тарихи-ғылыми жетістіктері орын алған.
“Ағылшын тілін үйренеміз” айдарында тақырыптарда кездесетін маңызды
геомет
­риялық ұғымдардың ағылшын тіліндегі аудармасы берілген.
Қайталауға ұсынылған мысалдарды жыл бойы пайдалана беруге болады. Тақырыптарда қамтылған білімдерді тыңғылықты игеру жолында Сендерге
жетістіктер тілейміз!
– ереже, қасиет, сипаттар;
– белсенділікті арттыратын сұрақтар мен тапсырмалар; – сыныпта орындалатын жаттығулар;
– біліктілікті дамытатын жаттығулар
;
– есептер шешу үлгілері;
– үй тапсырмасына арналған жаттығулар.
ОҚУЛЫҚТАҒЫ ШАРТТЫ БЕЛГІЛЕР
?
УЎK 514(075)
KBK 22.151
R 24
ISBN 978-9943-25-814-3http:eduportal.uz

3
1. Үшбұрыштың ауданы, медианасы, биіктігі және биссектрисасы деп
нелерді айтады?
2. Ауданы 18 см-ге тең үшбұрыштың биссектрисасы оны ауданы 12 см-
ге және 15-см-ге тең болатын үшбұрыштарға бөледі. Үшбұрыштың
биссектрисасын тап (1-сурет).
3. Үшбұрыштың табанына түсірілген медианасы оны ауданын 18 см-
ге және 24 см-ге тең болатын екі үшбұрышқа бөледі. Берілген үшбұ­
рыштың кіші бүйір қабырғасы 6 см-ге тең. Оның үлкен бүйір қабыр­
ғасын тап (2-сурет).
4. АВС үшбұрышында АВ = ВС және ВD медианасы 6 см-ге тең.
АВD
үшбұрышының периметрi 24 см-ге тең. Берiлген үшбұ
­рыштың периметрiн
табыңдар (3-сурет).
Берілген: ABC-дa: AB = BC, BD = 6 cм – медиана, P
ABD
= 24 cм.
Табу керек: Р
АВС = ? Шешiмi: 1) P
ABD
= AB
+ BD + AD, бұдан:
24 = AB + AD + 6, AB + AD = 24 – 6, AB + AD = 18 (cм).
2) AB = BC және AC = 2AD, бұл жағдайда
P
ABC
= AB + BC + AC = 2(AB + AD) = 2 · 18 = 36 (cм). Жауабы: P
ABC
= 36 cм.
5. ­Үшбұрыштың екi қабырғасы 0,5-ке және 8,7-ге тең. Үшiншi қабыр­
ғасының ұзындығы натурал сан екендiгiн бiле тұрып, сол қабырғаны
табыңдар.
6. Периметрi 30-см-ге тең үшбұрыштың биссектрисасы оны 16-см-ге
және 24-см-ге тең екi үшбұрышқа бөледi. Берiлген үшбұрыштың бис- сектрисасын табыңдар.
Сұрақтар, есептер мен тапсырмалар
1. Үшбұрыштың ауданына, биссектрисасы
мен биіктігіне қатысты есептер
A C A
D C A D C
B B B
D
l
A m
b
m
b
1 2 3
7-СЫНЫПТА
ӨТІЛГЕНДЕРДІ
ҚАЙТАЛАУhttp:eduportal.uz

4
7. Периметрi 36-см-ге тең үшбұрыштың биiктiгi оны периметр-
лерi
18 см-ге және 24-см-ге тең үшбұрыштарға бөледi. Берiлген
үшбұрыштың биiктiгiн табыңдар.
8. Тең бүйірлі үшбұрыштың ауданы 22,5 см, ал бүйір қабырғасы 0,6 дм.
Бұл үшбұрыштың табанын тап.
Үшбұрыштар теңдігінің белгілеріне, үшбұрыш
бұрыштарының қосындысына және сыртқы
бұрыштарының қасиеттеріне қатысты мәселелер
  9.
АВС DЕF үшбұрыштарында: АВ = DЕ, АС= DF, ∠ А = ∠ D.
Бұл үшбұрыштар өзара тең бе?
10. Үшбұрыштың 117°-тық сыртқы бұрышына сыбайлас емес iшкi бұ­
рыш­тарының қатынасы 5 : 4. Осы iшкi бұрыштарды табыңдар.
11. Тең бүйiрлi АВС үшбұрышының АD және ВЕ биссектрисалары О
нүктесiнде қиылысады. АВС үшбұрышының бис­сектрисалары арасын­
дағы АО Е бұрышын табыңдар.
12. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрышы доғал болуы мүмкін бе?
Шешуі. Бізг е белгілі болғанындай, тең бүйірлі үшбұрыштың таба­нын­
дағы бұрыштары тең. Бірақ екі доғал бұрыштың жиындысы 180º-тан
үлкен болады. Бұл үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы
туралы теоремаға қайшы. Жауабы: жоқ, мүмкін емес.
13. Үшбұрыштың 108°-тық сыртқы бұрышына сыбайлас емес iшкi
бұрыштарының қатынасы 2 : 7. Сол iшкi бұрыштарды табыңдар.
14. Бiр үшбұрыштың екi қабырғасы мен бұрышы сәйкес түрде екiншi үш­
бұрыштың екi қабырғасы мен бұрышына тең. Бұдан сол үшбұ­рыш­
тардың теңдiгi келiп шыға ма?
15. ABC және A
1
B
1
C
1
үшбұрыштарындa AB жә
­
не A
1
B
1
, BC және B
1
C
1
қабырғалары тең және
сәйкесінше AB және A
1
B
1
қабырғаларына
жүргізілген CD және C
1
D
1
медианалары да тең.
Осы үшбұрыштардын теңдігін дәлелдеңдер.
16.
4-суреттегі AB = AC және AE = AD. BD = CE
екенін дәлелдеңдер.
17. 5-суреттегі AD = CF, AB = FE және CB = DE.
1 = 2 екенін дәлелдеңдер.
18. АВС үшбұрышының В бұрышы 42°-қа, ал А
төбесiндегi сыртқы бұрышы 100°-қа тең. АСВ
бұрышын табыңдар.
19­­. Тiк бұрышты АВС үшбұрышының С бұрышы
— тiк, ал А төбесiндегi сыртқы бұрышы 136°-
қа тең. В бұрышын табыңдар.
B
E
D
4
C
B E
AD CF
1 2
5
Ahttp:eduportal.uz

5
1. Көпбұрыштар. A
1
A
2
, A
2
A
3
, ..., A
n – 1
A
n
, A
n
A
1
кесінділерден түзілген
фигураны қарастырамыз. Кесінділердің орналасуы сондай, көршілес екі
кесінді (олардың төбесі ортақ) ешқашан бір түзудің бойында жатпайды,
ол көрші емес кесінділердің ортақ нүктелері болмайды (1-сурет).
Бұндай пішін көпбұрыш деп аталады A
1
, A
2
, ..., A
n
нүктелер (төбелер)
көпбұрыштың төбелері, ал A
1
A
2
, A
2
A
3
, ..., A
n –
1
A
n
, A
n
A
1
кесінділер көп­
бұрыштың қабырғалары деп аталады.
Көпбұрыштың қабырғаларының саны оның төбе
­ле­­
рінің санына, яғни бұрыштарының санына тең. Көп­бұ­
рыштар төбелерінің (қабырғаларының) санына қарай үш­
бұрыштарға, төртбұрыштарға, бесбұрыштарға және бас­
қаларға бөлінеді.
Егер тұйық сынық сызық өзімен -өзі қиылыспаса, онда
бұндай сынық сызық жай тұйық сынық сызық деп ата­
лады. Ол жазықтықтың сол сынық сызыққа тиесілі емес
нүктелерін екі аймаққа – ішкі және сыртқы аймаққа бөле­ді, сөйтіп, ортақ
шекара міндетін атқарады. 1-суретте ішкі аймақ боялып көрсе­тілген.
1-анықтама. Егер көпбұрыш оның кез келген жағын өзінің ішіне
алатын түзумен бір жарты жазықтықтың бойында жатса, ол дөңес
көпбұрыш деп аталады. Бұнда түзудің өзі де сол жарты жазықтыққа тиесілі болып саналады.
§ 1.
НЕГІЗГІ ТӨРТБҰРЫШТАР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ
ҚАСИЕТТЕРІ
1. Көпбұрыштың ішкі және сыртқы
бұрыштарының қасиеттері
1
A
1
A
2
A
3
A
n
A
B C
3
a
B
A E A
C
D
B
D
E
C
2
ә
І тарау.
ТӨРТБҰРЫШТ АРhttp:eduportal.uz

6
2 - теорема.
1 - теорема.
2- а және 3-суретте дөңес көпбұрыш, ал 2-б-суретте дөңес емес көпбұ­
рыш бейнеленген. Ерікті үшбұрыш – дөңес көпбұрыш болып табылады
(3-сурет).
2. Көпбұрыштың ішкі және сыртқы бұрыштарының қасиеті.
2-анықт
ама.
Көпбұрыштың берілген төбеде түйісетін қабыр­
ғаларын түзетін бұрыш көпбұрыштың ішкі бұрышы деп аталады.

Дөңес
n бұрыштың iшкi бұрыштарының қосындысы 180° (n - 2)-ге
тең, мұнда n — қабырғалар саны.
Д
әлелдеу. А
1А
2А
3...А
n
— б n-­
б ұ­­р ыш ж ә н е n > 3 болсын (4-сурет). Бiрер тө­
бе­сiнен, мысалы А
1-ден көпбұрыштың бар
­­
лық диагональдарын жүргiземiз. Бұл диа­го­
нальдар оны (n - 2) үшбұрышқа бөледi. Шын­
дығында да екi шеткi

үшбұрыштар (
А
1А
2А
3

және А
1А
n-1A
n) көпбұрыштың екi қабырғасы
және бiр диагоналiнен, ал қалған үшбұрыш­
тар көпбұрыштың бiр қабырғасы және екi диаго­налiнен құралған.
Сондықтан үшбұрыштардың саны ( n - 2), яғни көпбұрыштың қа­
бырғалары санынан екеуге кем болады. Көпбұ­рыштың бұрыштарының
қосындысы оны құрайтын үшбұрыш бұрыш­тарының қосындысына,
яғни 180°(n - 2)-ге тең болады. Теорема дәлелденді.
3-анықтама. Көпбұрыштың берiлген төбедегi сыртқы бұрышы деп,
көпбұрыштың сол төбедегi iшкi бұрышымен сыбайлас бұрышты атай­­ды.
Дөңес n бұрыштың әрбiр төбесiнен бiр-бiрлеп алынғандағы
сырт­­қы бұ­рыштарының қосындысы 360°-қа тең болады.
Дәлелдеу. Көпбұрыштың әрбiр төбе­сiне бiр-
бiр
ден сыртқы бұрыш саламыз. Көпбұрыштың
iшкi бұрышы және онымен сыбайлас сыртқы
бұрышының қо
­сындысы 180° -қа тең болады
(5-сурет). Сол себептi барлық iшкi және әр­бiр
тө­бесiнен бiр-бiрден алынған сыртқы бұрыш­
тарының қосындысы 180° n-ге тең. Бiрақ көп­
бұ­­рыш­тың барлық iшкi бұрыштарының қосындысы 180°(n - 2)-ге тең. Ол
жағ­дай­да әрқайсы төбе­сiнен бiр-бiрлеп алынған сыртқы бұрыштардың
қосын­дысы
180
°n
– 180° (n –2) = 180°n –180°n + 360° = 360° болады.
Теорема дәлелденді.
A
2
A
n – 1
A
n
A
1
A
34
A E
D
B
C5http:eduportal.uz

7
1-есеп. Қабырғалары тең п бұрыштың әрбiр iшкi бұрышы (a
п) неге
тең?
Шешуi. Кез келген дөңес п бұрыштың бұрыштарының қосындысы 180° -
қа (п – 2) тең екенi белгiлi. Дұрыс көпбұрыштың бұрыштары тең болғандығы
себептi олардың‚ әрқайсысы төмендегiлерге тең болады:
.
2-есеп. Қабырғалары тең п бұрыштың әрбiр сыртқы бұрышы (β
n) неге
тең?
Шешуi. Кез келген дөңес п бұрыштың‚ әрбiр төбесiнен бiр-бiреуден
алынған сыртқы бұрыштардың қосындысы 360° -қа тең екендiгi белгiлi.
Сонымен қабырғалары тең п бұрыштың әрбiр сыртқы бұрышы төменде­
гiлерге тең болады: .
Сұрақтар, есептер мен тапсырмалар
1. 1) Көпбұрыштың берiлген төбесiндегi iшкi бұрышы дегенiмiз не?
Сыртқы бұрышы дегеніміз ше?
2) Дөңес n бұрыштың iшкi бұрыштарының қосындысы неге тең?
2. Көпбұрыш бұрыштарының қосындысы: 1) 1080°-қа; 2) 1620°-қа; 3)
3960°-қа тең. Көпбұрыштың қанша қабырғасы бар?
3. 1) Төртбұрыштың; 2) онекiбұрыштың; 3) отызбұрыштың; 4) елу­
бұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысын тап.
Үлгі. 1) S
13
= 180° · (13 − 2) = 180° · 11 = 1980°.
4. Егер төртбұрыштың үшеуден алынған бұрыштарының қосындысы
сәйк
есінше 240º, 260º және 280º болса, онда оның ең кіші бұрышы
нешеге тең болады? 5. Ішкі бұрыштарының әрқайсысы: 1) 150º -қа; 2) 170º -қа; 3) 171º -қа
тең дөңес көпбұрыштың неше қабырғасы бар?
6. Көпбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы оның әрбір төбесінен біреуден алынған сыртқы бұрыштарының қосындысынан үш есе үлкен. Сонда бұл көпбұрыштың қабырғаларының саны нешеу болғаны? Бос орындарға сәйкес сандарды орналастырыңдар.
Шешуі. Есептің шартына орай, 180°(n − 2) = ... · 360°. Бұдан
180°(n − 2) = ... · 2 · 180°, n − 2 = 6, n = ... . Жа уабы: n = ... .
7. Сыртқы бұрыштарының әрқайсысы: 1) 15°-қа; 2) 45°-қа; 3) 60°-қа тең
дөңес көпбұрыштың неше қабырғасы бар?
8. Егер төртбұрыштың үш бұрышы доғал болса, ондай жағдайда төр­
тінші бұрышы сүйір болады. Осыны дәлелдеңдер.
9. Сыртқы бұрыштарының әрқайсысы: 1) 15º-қа; 2) 45º -қа; 3) 72º -қа
тең болған дөңес көпбұрыштың неше қабырғасы бар?
10. Дөңес төртбұрыштың бұрыштары 1, 2, 3 және 4 сандарына пропор­
ционал. Сол бұрыштарды табыңдар.
?http:eduportal.uz

8
1 - теорема.
1. Параллелограмм. Жазықтықтағы екі параллеь түзудің басқа екі параллель
түзумен қиылысуынан туындаған төртбұрышты қарастырайық (1-сурет).
Бұл төртбұрыштың параллелограмм деген арнайы атауы бар.
Анықтама.
Қарама-қарсы қабырғалары
өзара параллель болатын төртбұрыш па­
рал­­лелограмм деп аталады.
Егер ABCD параллелограмм болса, AB || DC
және
AD
|| BC болады (1-сурет).
1-есеп. 2-суретте ABC = CDA. ABCD
төрт­бұрышының палаллелограмм екендігін дә­
лел­­деңдер.
Шешуі.
АВС және СДА үшбұрыштарының
теңдігінен мына жағдай келіп шығады:
1 = 3 және 2 = 4. 1 және
3-бұрышт
ар – АВ мен СD параллель түзулер және АС қиюшы түзген ішкі
айқыш бұрыштар болғандықтан, өзара тең. Нақ сол сияқты 2- және 4-бұ
­
рыштар ВС және АD параллель түзулері мен АС қиюшы сызы­ғынан түзіл­
ген ішкі айқыш бұрыштар болғандықтан, өзара тең болады. Парал­лель
түзу
лердің белгілеріне орай мыналарға ие боламыз: AB
|| DC және BC || AD.
Д
емек, АВСD төртбұрышындағы қарама-қарсы жақ
­тар жұп-жұ­бымен бір-
біріне пара
ллель, яғни анықтамаға орай, АВСD – парал
­лелограмм.
Параллелограмның
бір жағында жатқан нүктеден қарама-қарсы жа
­
ғын өз ішіне қамтитын түзуге түсірілген перпендикуляр түзу парал­ле­
лограмның биіктігі деп аталады. Параллелограмның бір жағына шек­сіз
көп биік
тіктер жүргізуге болатыны айдан анық (3-сурет), олар параллель
түзулер арасындағы қашықтықтар болғандықтан, өзара тең болады. Парал
­
лелограмның бір ұшынан оның түрлі жақтарына бір-бірінен ерекшеленіп
тұратын екі биіктік жүргізуге болады. Мысалы, 4-суреттегі ВР мен ВҒ –
осындай биіктіктер.
2. Параллелограмның қасиеттері.

(1-қасиет).
Параллелограмның бір қабырғасында
орналасқан бұрыштардың қосындысы 180º-қа тең.
2. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ
A D
B C
441
B
A D
C
1
4
2
3
A P D
B C
F
2
4
A D
B C
h
3
h hhttp:eduportal.uz

9
2-теорема.
3-теорема.
Дәлелдеу. Параллелограмның бір қабырғасында орналасқан бұрыштар
ішкі бір қабырғалы бұрыштар болып табылады. Сондықтан да олардың
қосындысы 180º-қа тең. Теорема дәлелденді.

(2-қасиет). Параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары
мен қарама-қарсы бұрыштары өзара тең.
Дәл
елдеу. ABCD – берілген параллелограмм, яғни AB||CD және
BC||AD. Параллелограмның АС диагоналін жүргіземіз (2-суретке қара)
де, ABC және CDA үшбұрыштарын қарастырамыз. Оларда AC қабырғасы
– ор
­тақ, 1- және 3-бұрыштар – AB және CD параллель түзулер және АС
қию­шы түзу түзген ішкі айқыш бұрыштар болғандығы үшін өзара тең,
ал 2- және 4-бұрыштар AD және BC параллель түзулері мен АС қиюшы
түзу түзген ішкі айқыш бұрыштар болғандығы үшін өзара тең болады.
Демек, үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісіне орай ABC және CDA
үшбұрыштары өзара тең. Жалпы алғанда, бұдан AB = CD, AD = BC және
B = D сондай-ақ 1 + 4 = 2 + 3, яғни A = C екені келіп шығады.
2-есеп. Параллелограмның екі бұрышының қосындысы 172º-қа тең.
Оның өзге бұрыштарын табыңдар.
Шешуі. ABCD параллелограмы берілген делік. Паралллелограмның
сыбайлас бұрыштарының қосындысы 180º-қа тең болғандықтан, беріл
­
ген бұрыштар сыбайлас бұрыштар бола алмайды, яғни олар – қарама-
қарсы бұрыштар. A + C = 172° болсын. Параллелограмның қарама-қар­
сы бұрыштары тең болғандықтан, бұл жағдайда бұрыштардың әр­қай­
сысы A = C = 172° : 2 = 86° болады. Параллелограмның барлық бұ­рыш­
тарының қосындысы 360º-қа тең, сондықтан да оның қалған екі бұры­шы
B = D = (360° – 172°) : 2 = 94°-тан болады. Жауабы: 86°, 94°, 86°, 94°.
(3-қасиет). Параллелограмның диагональдары қиылысады
және қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді.
Дәлелдеу. ABCD берілген параллелограмм және O – AC және BD
диагональдарының қиылысу нүктесі болсын (5-сурет). Енді AO = OC
және DO = OB екенін дәлелдейміз.
Алдымен AOD және COB үшбұрыштарын қарастырамыз. Бұл үш
­
бұрыштарда AD=BC (парал­лело­грам­
ның 2-қасиетіне орай, оның қа­ра­­ма-
қарсы
қабырғалары тең),
1 = 2 жә­не
3 = 4 (AD және BC параллель тү­­­зу­­
лерінің, сәйкесінше AC және BD қию­
шылармен қиылысуынан түзілген ішкі
айқыш бұрыштар болғандығы себепті). Демек, үшбұрыштар теңдігінің екінші
A D
O
B C5
1
24
3http:eduportal.uz

10
70° 50°
α
O
α
B
3
4
3
3
a
C B B C
A 5 D A D A E D
C
α
2
ә
б
7
белгісіне орай, AOD = COB. Бұдан AO = CO және DO = OB, яғни AC
және BD диагональдарының әрқайсысы қиылысу нүктесі О-да тең
екіге бөлінетіні келіп шығады. Теорема дәлелденді.
3-есеп.
3-қасиетті пайдаланып, параллелограмм жасаңдар.
1-қадам. Екі қиюшы
түзу жүргіземіз және олардың қиылысу нүктесін
О әрпімен белгілейміз (6- а сурет).
2-қадам. Циркульдің көмегімен түзулердің біреуіне өзара тең ОА және
ОС кесінділерін, ал екіншісіне өзара тең OB және OD кесінділерін қоямыз
(6-б сурет).
3-қадам. A, B, C және D нүктелерін бірінен соң бірін тұтастырып,
іздес
­тіріліп жатқан ABCD параллелограмын жасаймыз (6- д сурет).
Сұрақтар, есептер мен тапсырмалар
1. 1) Қандай төртбұрыш параллелограмм деп аталады? Паралле­лограм­ның
бір қабырғасына орна
ласқан бұрыштарының қосындысы неге тең? 2) Параллелограмның диагональдары туралы не деуге болады?
2. Параллелограмның ауданы 152 см, ал қабырғаларының бірі екінші­
сінен 25 см артық. Параллелограмның қабырғаларын табыңдар.
3. Параллелограмның екі бұрышының қосындысы: 1) 70º-қа; 2) 110º-қа;
3) 170º-қа тең болса, оның барлық бұрыштарын табыңдар.
4. ABCD параллелограмында: AB = 7 см, BC = 11 см, AC = 14 см,
BD = 12 см; O – диагональдардың қиылысу нүктесі екені белгілі. ABO
және BOC үшбұрыштарының ауданын табыңдар.
5. Параллелограмның сыбайлас қабырғаларының қосындысы 20 см-ге,
ал айырмасы 12 см-ге тең. Осы параллелограмның қабырғаларын та­
быңдар.
6. Параллелограмның екі қабырғасының қатынасы 5 : 3-ке, ал ауданы 6,4
дм-ге тең. Параллелограмның қабырғаларын табыңдар.
7. 7-суретте параллелограмның кейбір элементтерінің шамасы көрсе­
тілген. Тағы қандай шамаларды табуға болады?
?
O O O
A
B
C
D A D
B C
6
a
ә
бhttp:eduportal.uz

11
2-теорема.
1-теорема.
Өткен тақырыпта қарастыр­ғанымыздан белгiлi болғанындай, парал­ле­
ло­грам­ның қарама-қарсы бұ­рыш­тары мен қабырғалары тең. Сондай-ақ
па­рал­лелограмда оның екi iргелес бұрышының қосын­ды­сы 180°-қа тең бо­
латынын, параллелограмның диагоналi оны екi тең үшбұрышқа бөлетiнiн
дәлелдедiк. Ендi параллелограмның белгiлерiмен танысамыз.
(1-белгi). Егер төртбұрыштың екi қабырғасы тең және параллель
болса, онда бұл төртбұрыш параллелограмм болып табылады.
Дәлелдеу. ABCD төртбұрышында AB
|| CD және AB = CD болсын. Оның BD
диагоналін жүргізейік (1-су
­рет). Нәтижеде
екi тең
ABD және CDB үшбұрыштарға
ие боламыз (екi қабырғасы және
олар арасын
­дағы бұры­шы бойынша),
себебi оларда
(АС қабыр
­ғасы — ор­
тақ, ал теореманың шарты бойынша AB
= CD
(шартқа сәйкес), BD қа
­бырға — ортақ, 1 =2 (AB мен CD п а­р а л л е л ь
т
үзулер, сондай-ақ
BD қию
­шы­мен қиылысуынан пайда болған iшкi ай­
қыш бұрыштар бол­ғандықтан). Үшбұрыштардың теңдiгiнен

3 = 4 бұ­
рыш­тарының теңдігі келіп шығады. Ал бұл бұрыштар AD және BC тү­зу­­лері
мен АС
қиюшы түзген ішкі айқыш бұрыштар болып табылады. Тү
­зу
­­
лердің
параллельдік белгілеріне орай AD || BC.
Сөйтiп, ABCD төртбұрыштың
қарама-қарсы қабырғалары жұп-жұбымен параллель. Сондықтан паралле
­
лограмның анықтамасы бо­йынша
ABCD төртбұрыш
— параллелограмм
болып табылады. Теорема дәлелденді.
1-есеп. ABCD п араллелограмының BC және AD қабырғаларына тең ке­
сiндiлер қойылған: BE = DF (2-сурет). BEDF
төрт­бұрышы паралле­ло­грамм бола ма?
Шешуi. BEDF төртбұрышының
BE жә
­
не DF қ арама-қарсы қабырға­лары тең‚ жә­
не параллель. Сондықтан парал­лело­г­
­
рам­
ның 1-белгiсiне орай, BEDF төрт­бұ­рышы
— параллелограмм.
Жауабы: Иә, болады.
(2-белгi). Егер
төртбұрыштың диагональдары қиылысса жә­
не қиылысу нүктесiнде қақ бөлiнетiн болса, онда бұл төрт­бұ­
рыш — параллелограмм.
Дәле
лдеу. ABCD төртбұрышында AB = CD және BC = DA болсын.
3. Параллелограмны Ң белгiлерi
A
1
4
3
2
1 B C
D
A D
2
F
EB Chttp:eduportal.uz

12
3-теорема.
Оның AC диагоналін жүргізейік (3-сурет). Бұ­
ның нәтижесінде ABC және CDA үшбұ­рыш­
тары пайда болады. Үшбұрыштар тең­ді­гі­нің
3-белгісіне
орай, бұл үшбұрыштар өзара тең
(АС қабырғасы – ортақ, ал теореманың шарты
бойынша AB = CD және BC = DA). Үшбұрыштар
теңдігінен CAB және ACD бұрыш
­тарының тең­
дігі келіп шығады. Ал бұл бұрыштар AB жә­не
DC түзу
лері мен AC қиюшы түзген ішкі ай
­қыш
бұрыштар
болып табылады. Түзулердің па
­рал­
лельдік белгілеріне орай, AB || CD. Сөйтiп, ABCD
төртбұрышта АВ мен CD қабырғалары тең және
параллель, демек, параллелограмның 1-бел­гiсi
бойынша, ABCD
төртбұрыш
– парал­лелограмм. Теорема дәлелденді.
2-есеп. Берiлген нүктеден өтетiн және берiлген түзуге параллель түзу
салыңдар.
Шешуi. а – түзу, В – оның‚ бойында жатпайтын нүкте делiк. А тү­
зуiнiң бойынан А және D нүктелерiн белгiлейiк (34-сурет). В, D нүкте­
ле­­рiнен радиустары сәйкес түрде АD және АВ болатын шеңберлер сы­­
за­мыз. Олардың қиылысу нүктесiн С деп белгiлеймiз. Сосын ВС т ү­з уi н
жүргiземiз, ол iздестiрiлiп жатқан түзу болып табылады. Расында да
АВСD төртбұрышының қарама-қарсы қабыр­ғалары тең болып шық­­ты.
Параллелограмның 3-белгiсiне орай АВСD төртбұрышы – параллелограмм.
Сол себептi ВС || АD.
(3-белгі).
Егер төртбұрыштың диагональдары қиылысу нүктесінде
тең екіге бөлінсе, онда бұл төртбұрыш – параллелограмм.
Дәлелдеу. O
– ABCD төртбұрышының диаго­
наль­дары қиылысатын нүкте болсын. Шартқа
орай, AO = OC және BO = DO (5-сурет). Енді
AOB және COD үшбұрыштарын қарастырамыз.
Бұл үшбұрыштарда: 1 = 2 (вертикаль бұрыш­
тар), AO = CO және BO = DO (шартқа орай).
Демек, үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісіне
орай AOB және COD үшбұрыштары тең. Бұл үшбұрыштар теңдігінен
олардың сәйкес қабырғалары мен бұрыштарының теңдігі келіп шығады: AB
= 3 = 4. Түзулердің параллельдік белгілеріне орай, AB || CD, өйткені 3-
және 4-бұрыштар AB және CD түзулері мен АС қиюшы түзген ішкі айқыш
бұрыштар болып табылады. ABCD төртбұрышында AB = CD және AB || CD
бо
лғандықтан, параллелограмның 1-белгісіне орай, ABCD төртбұрышы
параллелограмм болады. Теорема дәлелденді.
A
3
D
B C
A D a
B C4
A
3
D
O
B C
4
2
1
5http:eduportal.uz

13
1. 1) Егер төртбұрыштың екi қабырғасы тең және параллель болса, он­­-
да б
ұл төртбұрыш параллелограмм болатынын дәлелдей аласың ба? Параллелограмның 2- және 3-белгілерін бейнелеңдер.
2. (Белсенділікті арттыратын есеп). 1) Екі тең және параллель кесінділер
берілген. Олардың соңы өзара қиылыспайтын кесінділермен тұтасты­
рылған. Түзілген төртбұрыш параллелограмм бола ма?
3. ABCD тө ртбұрышындағы AB және CD қабырғалары параллель, AB =
=CD = 11 см, AD = 5 см. Осы төртбұрыштың ауданын табыңдар.
4. Егер: 1) ∠ 1 = 70°, ∠3 = 110°, ∠2 ≠ ∠4; 2) ∠1 = ∠2 = 60°, ∠3 = ∠115° болс а
(6-сурет), ол жағдайда ABCD төртбұрыш паралле­лограмм бо­ла ма?
Шешуi. 1) ABCD төртбұрышта екi AB мен CD қабырғалары парал­
лель, себебi ∠1 + ∠3 = 70° + 110° = 180°. Бұл бұрыштар — AB ме н
DC түзулер, сондай-ақ AD қиюшы шығарған iшкi бiр жақты бұ­
р ы ш­т а р . AB || DC болғандықтан, ∠1 = ∠4 болады (сәйкес бұрыш­тар).
ABCD төртбұрыштың қал­ған екi AD мен BC қабырғалары па­раллель
емес, себебi iшкi айқыш 1- және 2- бұрыштар тең емес (∠1 = ∠4 ≠ ∠2 ).
Демек, ABCD төртбұрыш параллелограмм болмайды. 2) Дәл жоғары­
дағыға ұқсас талқылау жасап, шешудi өзде­рiңе тапсырамыз.
5. АВСD параллелограмының ВС қабырғасының ортасы Е нүк­тесi­нен,
АD
қабырғасының ортасы F нүктесiнен тұрады. ВЕDF төрт
­бұ­ры­шы­
ның параллелограмм екенiн дәлелдеңдер (7-сурет).
6. ABCD төртбұрышында: AD = BC, ∠1 = ∠2 (8-сурет). ABCD төртбұ­
рышының параллелограмм екенін дәлелдеңдер.
7. ABCD төртбұрышында AB және CD қабырғалары параллель, AB =
=CD = 9 см, AD = 4 см. Осы төртбұрыштың ауданын табыңдар.
8. ABCD төртбұрышында: AB = CD, AD = BC, A бұрышы В бұрышынан
үш есе үлкен. Осы төртбұрыштың бұрыштарын табыңдар.
9. Параллелограмм бұрыштарының біреуінің биссектрисасы өзі қиып
өтетін қабырғаны 4 см-лік және 5 см-лік кесінділерге бөледі. Парал­
лело­грамның ауданын табыңдар.
A
B C
D
1
34
2
6
A D
B C
F
E
7
1
2
A D
B C
8
?
Сұрақтар, есептер мен тапсырмаларhttp:eduportal.uz

14
Керi теорема.
Теорема.
Анықтама. Барлық бұрыштары тiк болатын параллелограмм тiк
төртбұрыш деп аталады (1-сурет).
Тiк төртбұрыш параллелограмның дербес
жағ­дайы болғандықтан, ол параллелограмның
бар­лық қасиеттерiне ие болады: тiк төртбұ­
рыш­­тың қарама-қарсы қабырғалары тең;
диа­го­нальдары қиылысу нүктесiнде тең екiге
бө­лi­недi: тiк төртбұрыштың диагоналi оны екi
тең тiк бұ­рышты үшбұрышқа бөледi.
Тiк төртбұрыштың өзiне тән қасиеттерiн
қа­растырамыз.
Тiк төртбұрыштың диагональдары өзара тең.
Дәлелдеу. ABCD тiк
төртбұрышында
АС және BD диагональдар берiл
­ген болсын.
AC = BD болатынын дәлел­деймiз (2-сурет).
Тiк
бұрышты АСD және DBA үшбұ
­
рыштардың екi катетi (AD — катетi ортақ, AB=
= CD) бойынша тең. Бұдан бұл үшбұрыштар
гипотенуза­ларының теңдiгi, яғни AC = BD
к
елiп шығады. Бұл теоремадан төмендегi керi
теорема туындайды (тік
төртбұрыш белгісі).
Егер параллелограмның диагональдары тең болса, онда ол тiк
төртбұрыш болып табылады.
Дәлелдеу. АВСD параллелограмындағы АС және ВD диагональдары тең‚
делiк (2- суретке қараңдар). АВD және DСА үшбұрыштары үш қабыр
­ғалары
бойынша тең‚ (АВ = DС, ВD = СА, АD – ортақ қабырға). Бұдан ∠А = ∠D
келiп шығады. Параллелограмның‚ қарама-қарсы бұрыштары тең болады,
сондықтан ∠А = ∠С және ∠В = ∠D. Сонымен ∠А = ∠В =∠С =∠D. Па­рал­­
лелограмм — дөңес төртбұрыш, сол себептi: ∠А + ∠В + ∠С + ∠D = 360° .

Бұдан ∠А = ∠В =∠С = ∠D = 90°, яғни АВСD параллелограмының‚ тік
көпбұрыш екенi келiп шығады.
Теорема дәлелденді. 1-есеп. АВСD тiк төртбұрышының периметрi 24 см-ге, ал оның ВD
диагоналi 9 см-ге тең. АВD үшбұрышының периметрiн табыңдар.
4. Тiк тӨртбҰрыш ЖӘне оныҢ ҚасиеттерI
B C1
FA = FB = FC =
= FD = 90°;
P = 2(
a + b)
b
A Da
A D
B C 2http:eduportal.uz

15
Шешуi. АВ + АD = РАВСD : 2 = 24 : 2 = 12 (см) — сыбайлас бұрыштардың
қосындысы (2-суретке қараңдар).
Р
АВD = АВ + АD + ВD = 12 + 9 = 21 (см). Жауабы: Р
АВD = 21 см.
2-есеп. ABCD тiк төртбұры
­
шындағы В бұрышының биссектрисасы
AD қа­быр­ғасын Р нүктеде қияды,
сонымен қатар оны АР = 17 см және
PD = 21 см-­лiк ке­сiндiлерге бөледi
(3-сурет). Сол тiк төрт­бұрыштың
периметрiн т
ап.
Шешуi. 1) ABCD
— тiк төртбұрыш
бол­ғандықтан, AD ||BC және сол үшiн
∠2 = ∠3. Бiрақ, шарт бойынша ∠2 = ∠1, демек, ∠1 = ∠3, сондай-ақ
DABP — табаны BP болған тең бүйiрлi үшбұрыш. Сөйтiп, AВ = AP = 17 см.
2) AD = AP + PD = 17 + 21 = 38 см;
P
ABCD

= 2(AB + AD) = 2
.
(17 + 38) = 2
.
55 = 110 см.
Жа
уабы: P
ABCD

= 110 см.
1. 1) Қандай параллелограмм тiк төртбұрыш деп аталады?
2) Тік төртбұрыштың қандай қасиеттері бар?
3) Тік төртбұрыштың белгілерін айт.
2. ABCD тік төртбұрышында: AB = 9 cм, BC = 7 cм.
1) C нүктесінен AD қабырғасына дейінгі арақашықтықты табыңдар.
2) AB және CD түзулері ортасындағы қашықтықты табыңдар.
3. Тік төртбұрыштың ауданы 24 см. Тік төртбұрыштың кез келген ішкі
нүктесінен оның қабырғаларына дейінгі арақашықтықтар қосындысын
табыңдар.
4. ABCD тік төртбұрышының ауданы 24
см-ге тең. Р нүктесі – ВС қабырға­сы­
ның ортасы, ∠APD = 90° (4-сурет). Тік
төртбұрыштың қабырғаларын табың­
дар.
5. Егер төртбұрыштың диагональдары
тең болса және олар қиылысу нүкте
­сінде тең екіге бөлінсе, бұл
төртбұрыш тік төртбұрыш болатынын дәлел­деңдер.
6. Параллелограмның қабырғалары 4 см және 7 см. Бұл параллелограмның
диагональдары: 1) 12 см және 5 см; 2) 10 см және 3 см болуы мүмкін бе?
7. Тік төртбұрыштың ауданы 42 см, ал қабырғаларының бірі екінші қа­
быр­ға­сынан екі есе үлкен. Тік төртбұрыштың қабырғаларын табыңдар.
?
A
B3
P D
C
1
2
3
A
B
4
D
CP
Сұрақтар, есептер мен тапсырмаларhttp:eduportal.uz

16
Теорема.
1. Ромб және оның қасиеттері.
Анықтама. Қабырғалары тең параллелограмм ромб деп аталады (1-сурет).
Ромб пiшiндi параллелограмның жалпы қасиеттерiнен тыс төмендегi
қасиет­терi де бар:
Ро
мбының
диагональдары өзара перпендикуляр және ромбының
бұрыштарын тең екiге бөледi.
Дәлелдеу. ABCD ромб берiлген болсын (2- сурет). О – оның диагональда­рын
қиятын нүкте. AC ⊥ BD және әрбiр диагональ ромбының сәйкес бұрыштарын
тең екiге бөлетiндiгiн (мысалы, ∠ ВAС = ∠DAC) дәлелдеймiз.
Ромбының анықтамасы бойынша AB = AD, сондықтан BAD үшбұрышы
тең бүйiрлi. Ромб параллелограмм болғандықтан, оның диагональдары
қиылысу нүктесiнде тең екiге бөлiнедi, яғни BO = OD. Демек, АО — тең
бүйiрлi BAD үшбұрыштың медианасы. Тең бүйiрлi үшбұрыштың қасиетi
бойынша оның табанына жүргiзiлген медиана әрi биссектриса, әрi биiктiк болады. Сондықтан, AC
⊥ BD және ∠ВAС = ∠DAC. Осыны дәлелдеу талап
етiлген едi.
1-есеп. АВСD ромбының ВD диагоналi қабырғасымен 35°-тық бұрыш
жасайды. Оның бұрыштарын табыңдар.
Шешуi. ∠АВD = 35° делiк (3-сурет). Ондай жағдайда ∠СВD = 35°
(ромбтың қасиеттерiне орай) болады. ∠АВС = 2 ∠ АВD = 2
•35°= 70° ,
∠АDС = ∠ АВС = 70° (параллелограмның 2-қасиетiне орай), ∠DАВ = 180° –
– ∠АВС (параллелограмның‚ 1-қасиетiне орай). Демек, ∠ DАВ = 180° – 70°
= 110°, ∠ВСD =∠DАВ = 110° (параллелограмның‚ 2-қасиетiне орай).
Жауабы: 70°, 110°, 70°, 110° .
2-есеп. Әр түрлi ромбылардың‚ периметрлерi тең болуы мүмкiн бе?
Шешуi. Периметрлерi тең ромбылар бiр-бiрiнен бұрыштарымен ерек
­
ше­ленiп тұрады. Егер ромбының сүйiр бұрыштары: 1) 40° -қа тең болса,
онда өзге бұрыштары да сәйкесiнше 140° , 40°, 140° болады; 2) 15° -қа тең
5–6. РОМБ ПЕН КВАДРАТТЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ
A D A D A D
B C B CB C
O
35°
1 2 3http:eduportal.uz

17
болса, онда өзге бұрыштары да сәйкесiнше 165°, 15°, 165° болады т.с.с.
Сондай-ақ сүйiр бұрыштың орнына басқа түрлi доғал бұрыштарды да алуға
болады. Жауабы: Иә, мүмкiн.
2. Квадрат және оның қасиеттері.
Анықт
ама.
Барлық қабырғалары тең тік төртбұрыш квадрат деп
аталады.
Квадрат пен ромбының анықтамаларынан квадрат бұрыштары тiк
болған ромбыдан тұратындығы келiп шығады (4-а сурет). Квадрат – әрi
параллелограмм, әрi тiк төртбұрыш, әрi ромб болғандықтан, бұлардың
барлық қасиеттерiне ие. Квадраттың негiзгi қасиеттерiн келтiремiз:
1. Квадраттың барлық бұрыштары тiк.
2. Квадраттың диагональдары өзара тең.
3. Квадраттың диагональдары өзара перпендикуляр және қиылысу
нүктесiнде қақ бөлiнедi, сонымен қатар квадраттың бұрыштарын тең
екiге бөледi (4-б сурет).
Осы қасиеттердi өз бетiңмен дәлелде.
3-есеп. Егер ромбтың диагональдары тең болса, онда бұндай ромбтың
квадрат екенiн дәлелдеңдер.
Дәлелдеу. Ромб параллелограмм болғандықтан, тiк төртбұрыштың бел­
гi­лерiне орай диагональдары тең болған ромбтың тiк төртбұрыш екенi
келiп шығады. Демек, ол — квадрат.
4-есеп. Төртбұрыштың диагональдары перпендикуляр және өзара
бiр-бiрiмен тең. Бұл төртбұрыш квадрат бола ма?
Шешуi: Есептiң шартын қанағаттандыратын төртбұрыштардың бi­
реуi 5-суретте бейнеленген. Онда диагональдардың бiреуi тең екiге
бөлiнген. Әйтсе де бұл квадраттың 2-қасиетiн және 3-қасиетiнде кел­тi­
рiлген шарттың бiр бөлiгiн, яғни өзара перпендикулярлық шар­тын ғана
қанағаттандырады. Келтiрiлiп отырған жағдайда тек диаго­нальдардың
бiреуi ғана тең екiге бөлiнген, сол себептi бұл төртбұрыш квадрат бола
алмайды. Белгiлi бiр жағдайда төртбұрыштың екi диа­гоналi де қиылысу
нүктесiнде тең екiге бөлiнуi мүмкiн. Тек сол жағдайда ғана төртбұрыш
квадрат бола алады. Жауабы: төртбұрыш квадрат болуы шарт емес.
A
B
a
CB C
DA D
AB = BC = CD = DA
FA
= FB = FC =
=
FD = 90°
O
ә
A
AC
= BD, AC ⊥ BD
C
B
D
4 5
2 – Геометрия, 8-сыныпhttp:eduportal.uz

18
1. 1) Ромб дегенiмiз не? Ромбтың қасиеттерiн айт.
2) Квадрат деп нені айтады? Оның қасиеттерін айт.
3) Квадратқа: 1) «параллелограмм»; 2) «ромб; 3) «тiк төрт­бұрыш»
түсiнiгi бойынша анықт
ама бер. 2. Квадраттың қабырғасы 20 см-ге тең. Диагональдарының қиы­лысу нүк­
тесiнен қабырғаларының бiреуiне дейiнгi қашық­тықты тап.
3. АВСD ромбысының қабырғасы 24 см-­ге, ал А бұрышы 30° -қа тең. D
тө­бе­сiнен оған қарама-қарсы АD қа­быр­
ғасына дейiнгi қашықтықты табың­­дар
(6-сурет).
Бас орындарға сәйкес сандарды
қойыңдар.
Шешуi: В нүктесiнен АD түзуiне де
­
йiн­гi қа­шықтық В нүктесiнен сол
түзуге түсi­рiлген перпендикулярдың
ұзындығына, яғни ВР кесiндiсiнiң ұзын­дығына тең. АВР үшбұрышын
қарас­тырайық. Онда ∠ АРВ = ...°, ∠А = ...°, АВ = ... . Ондай жағдайда
ВР = 0,5 · ... = 0,5 · ... = ... (см) (...° -тық бұ­рыштың қарсысында жатқан
катеттiң қасиетiне орай). Жауабы: ВР = ... см.
4. 1) (Практикалық тапсырма). 1) Екі тең үшбұрыштан; 2) Төрт тең үшбұ­
рыштан қалайша ромб және квадрат жасауға болады? Барлық ықтимал
ше­шімдерді көрсетіңдер.
5. Тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыштың ішіне квадрат салынған. Оның
екі төбесі гипотенузада, ал қалған екеуі катеттерде жатады. Егер ги­по­
тенузаның 21 см-ге тең екені белгілі болса, квадраттың қабыр­ғаларын
т
абыңдар. 6. Ромбының диагональдары мен қабырғалары арасында пайда болған бұ­
рыштардың қатынасы 2 : 7 қатынасындай. Ромбының бұрыштарын тап.
7. Квадрат қабыр­ға­ла­рының ортасы бiрiнен соң бiрi қиы­лыс­қан түзу
кесiн­дiлерiмен тұтастырылса, қандай пiшiн пайда болады?
8. Ромбының барлық биiктiктерi өзара тең екенiн дәлелде.
9. Төртбұрыштың қабырғалары 2 : 4 : 5 : 7 қатынастарында, ал ауданы
108 см-ге тең. Осы төртбұрыштың қабырғаларын табыңдар.
10. Бұрыштарының бiреуi 60 °, кiшi диагоналiнiң ұзындығы 16 см бола-
тын ромбының периметрiн тап.
11. Ромбының: диагональдары ортасында түзілген бұрыштардың қаты­насы
4 : 5-ке тең. Ромбының бұрыштарын тап.
12. Тiк төртбұрыштың ұзындығы 32 см, ал енi 28 см-ге тең. Осы тiк
төртбұ­рыштың периметрiне тең квадраттың қабырғасын тап.
13. Төртбұрыштың ең кіші қабырғасы 5 см-ге тең, қалған қабырға­ла­
рының әрқайсысы алдыңғысына сәйкес түрде 2 см-ге үлкен. Осы
төртбұрыштың периметрін табыңдар.
A P D
B C
30 °
6
Сұрақтар, есептер мен тапсырмалар
?http:eduportal.uz

19
1. Трапецияның анықтамалары. Бізге мәлім болғанындай, кез кел­
ген параллелограмда екі жұп параллель қабырғалар болады. Енді біз тек
бір жұп параллель қабырғалы төртбұрыштарды ғана қарастырамыз.
1-анықтама. Екі қабырғасы параллель, өзге екі қабырғасы параллель
емес төртбұрыш трапеция деп аталады.
Трапецияның параллель қабырғалары – оның табандары, ал парал­
лель емес қабырғалары – бүйірлері деп аталады. 1-суреттегі ABCD трапе­­
циясында AD және BC
қабырғалары – табандар, ал AB және CD қабыр­
ғалары – бүйірлер болып саналады.
2-анықтама. Қабырғаларының біреуі табанына перпендикуляр болған
трапеция тік бұрышты трапеция деп аталады (2
-сурет).
3-анықтама. Бүйір қабырғалары тең болған трапеция тең бүйірлі
трапеция деп аталады.
3-суретте тең бүйірлі ABCD трапециясы бейнеленген: AB = CD.
2. Трапецияның белгілері. Енді ABCD төртбұрышының трапеция
болуы үшін қандай шарттарды қанағаттандыратынын қарастырайық.
Егер төртбұрыштың бір жағына ауытқыған екі бұрыштың қо­
сындысы 180º-қа тең және оған сыбайлас қабырғаларға жанас­қан
екі бұрышының
қосындысы 180º-тан өзгешелеу болса, бұндай төрт
­
бұрыш трапеция болады.
Дәлелдеу. ABCD төртбұрышында:
∠A
+ ∠B = 180°, ∠A + ∠D ≠ 180°
болсын. Енді ABCD
төртбұрышының трапеция екенін дәлелдейміз.
Біріншіден, бір жұп қарама
-қарсы қабырғалардың бір-біріне парал­лель
ек
енін көрсетеміз. AB, BC ( l
1
) және AD (l
2
) түзулерін жүргіземіз (4
-сурет).
Шартқа
орай ∠A
+ ∠B = 180°, олай болса, AD және BC түзулері па­рал­лельдік
б
елгілері бойынша өзара параллель болады. (Екі а және б түзулерін үшінші
с түзуі қиып өткенде, ішкі бір төбелі бұрыштардың қо
­сындысы 180º-қа тең
болса, бұл жағдайда а және б түзулері параллель болады.)
7–8. ТРАПЕЦИЯ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ
Теорема
B C
A D
AD мен
BC– табандар,
AB мен DC – бүйір
қабырғалар

∠A = 90°,
тік бұрышты
трапеция
A
B C
D
A
B
AB
= DC,
тең бүйірлі трапеция
C
D
AD | | BC
AB || DC
1 2 3http:eduportal.uz

20
Теорема.
Екіншіден, ABCD төрбұрышының қалған екі қабырғасы параллель
емес­тігін көрсетеміз. Шартқа орай, ∠A +∠D ≠ 180°, ондай жағдайда AB
және DC кесінділері параллель бола алмайды (Эвклидтің параллель
түзулер туралы 5-аксиомасына орай, яғни түзулер параллельдігінің
тиісті шарты орындалады). Демек, ABCD төртбұрышы трапеция болып
шықты. Біз осыны дәлелдеуге тиіс едік.
Бұл теоремадан төмендегі салдар туындайды.
Салдар. Трапецияның бір бұрышы 90º болса, оның тағы бір 90º-тық
бұ­рышы болуға тиіс.
4-анықт
ама. Трапецияның табандарының бірінде жатқан нүкте
­
ден екінші табанды қамтитын түзуге түсірілген перпендикуляр
трапецияның биіктігі деп аталады.
Трапецияның табандарына перпендикуляр болған кез келген ке­сін­­
діні оның
биіктігі ретінде алуға болады. Кез келген трапецияда қала­
ғанымызша биіктік жүргізуімізге болады (5
-сурет).
3. Тең бүйірлі трапецияның қасиеті.
Тең бүйірлі ABCD трапециясын қарастырайық. Бұнда AD = а – үлкен
табаны, BC = b – кіші табаны болсын. Кіші табанның B төбесінен BP
биіктік жүргізейік (6-сурет). Биіктіктің P табаны AD табанды AP және PD
кесінділерге бөледі.
Тең бүйірлі трапецияның доғал бұрышы төбесінен жүргізілген
биіктік үлкен табанын ұзындықтары табандары айырмасының жар
­тысына және табандары қосындысының жартысына тең бөлік­
тер­ге бөледі, яғни:
2
ba
AP
−
=
,
2
ba
PD
+
=
.
Дәлелдеу. С төбесiнен CF⊥AD-ны жүргiземiз. Тiкбұрышты АВР және
DСF үшбұрыштар тең: AB = DC — шарт бойын­ша, ал BP = CF болса
BC мен AD параллель түзулер арасындағы қашықтық болған­дықтан.
Үшбұрыштар теңдiгiнен AP = FD келiп шығады. Түзуге перпендикуляр
екi түзу өзара параллель болады: BP || CF, өйткені, BP ⊥ AD, CF ⊥ AD.
Пара
ллель түзулердiң арасындағы қашықтық тең болғандықтан,
BC
= PF = b. Демек,
B
A Dl
2
l
1
4
C B C
A D AP F D
B C
5 6
h h h h hhttp:eduportal.uz

21
22
baPFAD
FDAP
−−
===
,
22
baba
aAPADPD
+−
=−=−=
.
Сөйтiп,
2
ba
AP
−
=
және
2
ba
PD
+
=
екен. Теорема дәлелденді.
1-есеп. Тең бүйiрлi трапецияның таба­нын­дағы бұрыштары тең екенiн
дәлелдеңдер.
Шешуі. ABCD – тең бүйірлі трапеция, яғни AB = DC және AD || BC.
Тең бүйірлі трапецияның AD және BC табандарындағы бұрыштардың
теңдігін дәлелдейміз (
∠A
= ∠D, ∠B = ∠C).
Трапецияның доғал бұрыштарының (В мен С) төбелерінен табанына
перпен­дикуляр түзу жүргiземiз: BP ⊥ AD, CF ⊥ AD (6-суретке қараңдар).
Тiк бұрышты ABP және DCF үшбұрыштары (гипотенузасы мен катетi
бойынша) тең: AB = DC – шартына орай, ал BP = CF болса BC және AD
параллель түзулерi арасындағы қашықтық болғандығы үшiн үшбұрыштар
теңдiгiнен
∠A
= ∠D келiп шығады.
А және В, С және D бұрыштары АD және ВС параллель түзулерiн
сәйкесiнше АВ және СD түзулерiнiң қиып өтуiнен пайда болған iшкi бiр
қабырғалы бұрыштар болып табылады. Сондықтан
∠A
+ ∠B = 180° және
∠C + ∠D = 180°. Бұдан ∠B = ∠C келiп шығады.
Сөйтiп, тең бүйiрлi трапецияның табанындағы бұрыштары тең екен:
∠A
= ∠D және ∠B = ∠C. Осыны дәлелдеу талап етiлген болатын.
2-есеп. Тең бүйірлі трапецияның кіші табаны бүйір қабырғасына тең,
ал диагоналі бүйір қабырғасына перпендикуляр. Трапецияның бұрыш­ тарын тап.
Шешуі. Тең бүйірлі ABCD трапециясы берілген. Онда AD
|| BC,
AB = BC = CD, AC ⊥ CD болсын (7-сурет). Есептің шартына орай, AC – тең
бүйірлі АВС үшбұрышының табаны. Демек,
∠BCA
= ∠CAB. Бірақ ∠A = ∠D,
өйткені тең бүйірлі трапецияның табанындағы бұрыштары тең болады, ал CAD және BCA бұрыштары AD || BC мен AC қиюшы түзген ішкі айқыш
бұрыштар болғандықтан өзара тең, яғни
∠CAD = ∠BCA.
Демек, ∠A = 2∠CAD. Шартқа орай, ACD – тік бұрышты, сондықтан
∠CAD
+ ∠D = 90°, бірақ ∠D = ∠A, ондай
жағдайда 90° = 3∠CAD, демек, ∠CAD = 30°
және бұл
жағдайда
∠D
= ∠A = 60°,
∠C = ∠B = 120°.
Жауабы:
∠A
= ∠D = 60°, ∠ B = ∠C = 120°.
3-есе
п. Тең бүйірлі трапецияның қабыр­
ғаларының қатынасы 1 : 1 : 1 : 2 сияқты бол­ сын. Осы трапецияның бұрыштарын табың­дар.
Шешуі.
ABCD трапециясында AB = BC = CD
= 1
және AD = 2 болсын. AD қабырғасының
ор
­тасын Р-мен белгілейміз (8-сурет). ABCP
төрт­бұрышының АР және ВС қабырғалары
өзара тең және параллель.
A D
B C7
8B C
A P Dhttp:eduportal.uz

22
Демек, параллелограмның белгілеріне орай, бұл төртбұрыш паралле­
ло­грамм болады. Сол себепті PC = AB = 1. PCD үшбұрышының барлық
қабырғалары 1-ге тең, сондықтан
∠PDC =
60°. Сонымен ABCD трапе­ция­
сындағы
∠A
= ∠D = 60° және ∠B =∠C = 120°.
Жауабы
:
∠A
= ∠D = 60°, ∠B = ∠C = 120°.
?
A D
B C
9
Сұрақтар, есептер мен тапсырмалар
1. 1) Қандай төртбұрыш трапеция деп аталады?
2) Қан­дай трапеция: а) тең бүйiрлi; б) тiкбұрышты трапеция деп ата­
лады?
2. Трапецияның төбесiнен өтпеген биiктiгi оны екi тiк трапе­цияға бөледi.
Соны сызып көрсет.
3. Тiк бұрышты трапецияның бүйiр қабырғаларының ара қаты­насы 1 : 2.
Трапецияның ең үлкен бұрышын табыңдар.
4. Трапецияның табандары 12 см және 20 см, ал бүйiр қабырғалары 4 см
және 11 см. Кiшi та­банының төбесiнен кiшi қабырғасына парал­лель түзу
жүргiзiлген. Осы параллель түзу бөлген үшбұрыш­тың пери­метрiн тап.
5. AD және BC табандары бар ABCD трапеция­ның B және С бұрыш­тарын
тап, мұнда ∠А = 75° және ∠ D = 55° (9-сурет). Бос орындарды толтыр.
Шешуi. А мен В, С мен D бұрыштар AD мен BC параллель түзу­лердi
... және ... қиюшылармен қиғанда пайда болған..., сондықтан ∠А +∠В
= ...° және ∠С + ∠D = ...°. Шарт бойынша ∠А = 75° және ∠D = 55°, ол
жағдайда ∠В = = ...° – ∠А = ...° – ...° = .. ° және ∠С = ...°– ∠D = ...° – –...°
= ...°.
Жауабы. ∠В = ...°, ∠C = ...°.
6. Тең бүйiрлi трапецияның сүйір
бұрышта­рының бiрi 60°-қа, бүйiр қабыр­ғасы 16
см-ге тең. Егер табандарының қосындысы 38
см-ге тең болса, трапецияның табандарын тап.
7. Тең бүйiрлi трапецияның доғал
бұрышы тө­бесiнен жүргiзiлген би­iктiк үлкен
табанын 3 см-лiк және 17 см-лiк ке­сiндiлерге
бөледi. Осы тра­пецияның табандарын тап.
8. тең бүйiрлi трапецияның диагональдары тең екенiн дәлелде.
9. Трапецияда: 1) үш тік бұрыштың; 2) үш сүйір бұрыштың; 3) үш бұ­
рыштың қосындысы 180º-қа тең бола ала ма? Жауаптарыңды не­
гіздеңдер.
10. Тік бұрышты трапецияның ең үлкен және ең кіші бұрыштарының
қатынасы 5 : 4 -ке тең. Осы трапецияның бұрыштарын табыңдар.
11. ABCD трапециясының кіші табаны 6 см-ге, ABE үшбұрышының
(BE||CD) периметрі 36 см-ге тең. Осы трапецияның периметрін табыңдар.
12. Тең бүйірлі трапецияның диагоналі доғал бұрышын тең екіге бө­
леді. Трапецияның табандары 10 см және 20 см. Оның периметрін
табыңдар. http:eduportal.uz

23
Теорема.
Егер бұрыштың қабырғаларын қиып өтетiн параллель түзулер оның
бiр қабырғасынан тең кесiндiлер қиып түсетiн болса, онда ол түзу­лер
бұрыштың екiншi қабырғасынан да тең кесiндiлер қиып түседi.
Дәлелдеу. О бұрыштың төбесiнен бастап
қабырғада (a сәуледе) өзара тең A
1A
2, және A
2A
3
кесiндiлерге бөлiнген және олардың ұштары (A
1,
A
2, A
3,) арқылы екiншi қабырғаны (b сәуленi)
B
1, B
2
, B
3, ... нүктелерде қиюшы A
1B
1, A
2B
2, A
3B
3
параллель түзулер жүргiзiлген болсын (1- сурет).
Ендi пайда болған B
1B
2, B
2B
3 кесiндiлердiң
өзара теңдiгiн, егер А
1A
2 = A
2A
3 болса, B
1B
2=
B
2B
3 болатынын дәлелдеймiз.
Бұл үшін B
2
нүктесінен а сәулеге параллель
CD түзуін жүргіземіз (2-сурет). Бұл түзу A
1
B
1

және A
3
B
3
түзулерімен сәйкес түрде C және
D нүктелерінде қиылыссын. A
1
CB
2
A
2
және
A
2
B
2
DA
3
төртбұрыштары – параллелограмм
(анық
­тама­сына орай), өйткені олардың
қарама-қарсы қа­быр­ғалары, шартына және
жасалуына орай, параллель болып табылады. Сон­дықтан A
1
A
2
= A
2
A
3
және
параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары болғаны себепті, A
1
A
2

= CB
2

және A
2
A
3

= B
2
D-лардан CB
2
= B
2
D-ға ие бо­ламыз.
B
1
B
2
C және B
3
B
2
D үшбұрыштарында CB
2
= B
2
D (дәлелдеуге орай), сон­
дай-ақ ∠1 = ∠2 (вертикаль бұрыштар), ∠3 = ∠4

(A
1
B
1
және A
3
B
3
па­раллель
түз
улер), сонымен қатар CD қиюшы кесіндісінен түзілген ішкі айқыш
бұрыштар болғандығы үшін.
Үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісіне орай, бұл үшбұрыштар өзара
тең:
∠B
1
B
2
C
= ∠B
3
B
2
D. Бұдан B
1
B
2
= B
2
B
3
келіп шығады.
Сонымен, егер A
1
A
2
= A
2
A
3
болса, онда B
1
B
2
= B
2
B
3
болатыны дәлелденді.
Бізден осыны дәлелдеу талап етілген болатын.
Ескерту! Фалес теоремасы шартында бұрыштың қабырғасының орнына
кез келген екi түзудi алуға болады, сондықтан да теореманың қорытын­дысы
сол күйiнде қала бередi.
Салдар. Берiлген екi түзудi қиып өткен және бiр түзуден тең
кесiндiлер қиып түсiретiн параллель түзулер екiншi түзуден де тең
ке­сiндiлер қиып түседi.
§ 2.ФАЛЕС ТЕОРЕМАСЫ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ
9. ФАЛЕС ТЕОРЕМАСЫ
1
O
A
1 A
2 A
3
B
1
B
2
B
3
a
b
1
2
3
4
A
1 A
2 A
3
B
1
B
2
B
3
C D
2
b
aOhttp:eduportal.uz

24
1-есеп. (Кесiндiнi тең бөлiкке бөлу.) Берiлген AB кесiндiсiн тең n
бөлiкке бөліңдер.
Шешуi. AB кесiндi берiлген. Оны тең n бөлiкке бөлудi көрсетемiз.
А нүктеден AB түзуде жатпайтын AC сәуленi жүргiземiз және онда
А нүктеден бастап n тең AA
1, A
1A
2, A
2A
3, ..., A
n—1A
n
кесiндiлердi, яғни
берiлген AB кесiндiнi есептiң шартына қарай неше бөлiкке бөлу қажет
болса, сонша тең кесiндi саламыз (3- сурет, n = 6). Содан соң A
n
B түзудi
жүргiземiз (A
n
нүкте – соңғы кесiндiнiң соңы) және A
1
, A
2
, A
3
, ..., A
n—1

нүктелер арқылы A
nB түзуге параллель түзулер жүргiземiз. Бұл түзулер
AB кесiндiнi B
1, B
2, B
3, ..., B
n—1 нүктелерiнде қияды және оны Фалес
теоремасы бойынша тең n бөлiкке бөледi:
AB
1
= B
1
B
2
= ... = B
n—1
B.
Демек, кез келген кесіндіні қалағаныңша тең бөліктерге бөлуге
болады.
2-есеп. АВС үшбұрышының ВС қабырғасы тең төрт кесiндiге бөлiнген
және бөлiну нүктелерi арқылы ұзындығы 18 см-ге тең АВ қабырғасына
параллель түзулер жүргiзiлген. Осы түзулердiң үшбұрыш iшiнде қалған
кесiндiлерiнiң ұзындығын табыңдар.
Берілгені:
∠ABC-дa:
BB
1
= B
1
B
2
= B
2
B
3
= B
3
C, AB = 18 cм; B
1
C
3
|| B
2
C
2
|| B
3
C
1
|| AB.
Т
абу керек:
B
1
C
3
, B
2
C
2
, B
3
C
1
(4-сурет).
Шешуi. 1) A
1
B
3
|| A
2
B
2
|| A
3
B
1
|| AC өткіземіз.
2) Фа
лес теоремасына орай:
AA
1
= A
1
A
2
= A
2
A
3
= A
3
B = AB : 4 = 18 : 4 = 4,5 (cм).
2) Анықт
амаға орай AA
1
B
3
C
1
төртбұрышы – параллелограмм , өйткені
AA
1
||C
1
B
3
(шартына орай) және A
1
B
3
|| AC
1
(жасалуына орай).
Демек, AA
1
= C
1
B
3
= 4,5 (cм).
3) Анықт
амаға орай, AA
2
B
2
C
2
төртбұрышы – параллелограмм, өйткені
AA
2
|| C
2
B
2
(шартына орай) және A
2
B
2
|| AC
2
(жасалуына орай). Демек,
AA
2
= C
2
B
2
= 2AA
1
= 2 · 4,5 = 9 (cм).
4) Анықт
амасына орай, AA
3
B
1
C
3
төртбұрышы – параллелограмм, өйт
­
A
B
A 1
A
n − 1 A
n
B
n − 1
B
1
B
2
B
3
A
2
A
3 ...
...
C
B
1
B
2
B
3
A
3
A
2
3
A
1
B
A
C
C
3
C
2
C
1
4http:eduportal.uz

25
кені AA
3
||C
3
B
1
(шартына орай) және A
3
B
1
|| AC
3
(жасалуына орай). Демек,
AA
3
= C
3
B
1
= 3AA
1
= 3 · 4,5 = 13,5 (cм).
Жауабы:
C
1
B
3
= 4,5 cм, C
2
B
2
= 9 cм, C
3
B
1
= 13,5 cм.
B
B
1
B
3
A
3
A
2
A
1
A
B
2
B
4
a
b
O
A
5
C E
B
D
5
7
7
A N D
B M C
A
4
?
6 7
A K
B C
D
8
a4 b
3
3
x
9
Сұрақтар, есептер мен тапсырмалар
1. 1) Фалес теоремасын айтыңдар.
2) Фалес теоремасы тек бұрыштар үшін ғана орынды ма?
3) Берілген кесінді қалайша n бөлікке тең бөлінеді?
2. (Практикалық тапсырма). Циркуль мен сызғышты пайдалана отырып,
бе­рілген АВ кесіндіні: 1) екі; 2) үш; 3) алты; 4) жеті тең бөлікке бө­
лің­дер.
3. Берілген:
∠A, AB
= BD = 7 cм, BC || DE, CE = 5 cм (5-сурет).
Табу керек: AC.
 4. Берілген: ∠aO b, OA = AA
1
= A
1
A
2
=A
2
A
3
= A
3
A
4
,
AB || A
1
B
1
|| A
2
B
2
|| A
3
B
3
|| A
4
B
4
, OB
4
= 8 cм (6-сурет).
Табу керек: OB
1
, OB
2
, OB
3
.
5.
ABCD М нүктесі – ВС қабырғаның, N нүктесі
AD қабырғаның ортасы. BN және MD түзулері параллелограмның АС
диагоналін теңдей үш бөлікке бөлетінін дәлелдеңдер (7-сурет).
6. ABCD трапециясында В төбесі арқылы CD қабырғасына параллель ВК
түзуі жүргізілген (8-сурет).
1) KBCD – параллелограмм екенін дәлелдеңдер.
2) Егер BC = 4 cм, P
ABK
= 11 см болса, онда трапе­
цияның периметрін табыңдар.
7. Циркуль мен сызғышты пайдаланып, берілген
АВ кесіндісін: 1) төрт; 2) бес тең бөліктерге бө­
лің­дер.
8. a || b екені белгілі. 9-суретте берілген мәлімет­
терді пайдаланып, х-ті табыңдар.
9. Берілген: ∠aOb, OA = AA
1
= A
1
A
2
= A
2
A
3
= A
3
A
4
,
AB || A
1
B
1
|| A
2
B
2
|| A
3
B
3
|| A
4
B
4
, OB
4
– B
3
B
4
= 18 cм
(6-суретк
е қараңдар). Табу керек: OB
1
, OB
2
, OB
3.http:eduportal.uz

26
1-теорема.
1. Үшбұрыштың орта сызығының қасиеті.
Анықтама. Үшбұрыштың екі қабырғасының орталарын қосатын
кесіндіні үшбұрыштың орта сызығы деп атайды.
ABC үшбұрышта AD = DB және CE = EB болсын, онда DE орта сы­зығы
болады (анықтама бойынша). DE орта сызығына қарағанда AC қ а­б ыр ғ а
табаны деп аталады (1- сурет). Кез келген үшбұрыштың үш орта сызығы
болады (2- сурет).
Үшбұрыштың берiлген екi қабырғасының орталарын қосатын орта
сызығы оның үшiншi қабырғасына параллель және оның жартысына
тең болады.
Берiлген: ABC да: AD = DB және CE = EB, DE орта сызық (3- сурет).
Дәлелдеу керек:
1) DE ||
AC; 2)
1
2
DE AC=
.
Дәлелдеу. 1) DE кесінді АВС үшбұрышының орта сызығы болсын.
D нүктесі арқылы AC қабырғасына параллель түзу жүргіземіз. Бұл түзу
Фалес теоремасына орай ВС кесіндіні ортасынан қиып өтеді, яғни DE орта
сызығын өзіне қаптып алады. Жасалуына орай DE || AC.
2) Енді ЕҒ орта сызығын жүргізейік. 1-бапта дәлелденуіне орай,
ол АВ қабырғасына параллель болады: EF || AB, бұдан EF || AD.
ADEF төртбұрышының қарама-қарсы қабырғалары өзара параллель
болғандықтан, сондай-ақ анықтамаға орай, параллелограмм болады. Параллелограмның қасиеттеріне орай DE = AF, Фалес теоремасына орай,
АҒ = ҒС болғандықтан,
1
2
DE AC=
. Теорема дәлелденді.
1-есеп. Үшбұрыштың периметрi р-ге тең. Төбелерi берiлген қабырға­
ларының ортасындағы үшбұрыштың периметрін табыңдар.
10–11. ҮШБҰРЫШТЫҢ ОРТА СЫЗЫҒЫНЫҢ ҚАСИЕТІ.
ТРАПЕЦИЯ ОРТА СЫЗЫҒЫНЫҢ ҚАСИЕТІ
A
B
1
C A F C A F C
B B
D EEDD E
2 3http:eduportal.uz

27
2-теорема
Шешуі. Пайда болған үшбұрыштың қабырғалары берілген үшбұ­
рыш­тың орта сызықтары болады (2-сурет). Демек, олар сәйкес қабыр­
ғаларының жартысына тең. Сол себепті іздестіріліп жатқан пери­метр
берілген үшбұрыш периметрінің жартысына тең болады:
P
DEF
= DE + EF + FD = 0,5(AC + +AB + BC) = 0,5 p. Жауабы: 0,5 p.
2. Трапеция орта сызығының қасиеті.
Анықтама. Трапецияның бүйір қабырғаларының ортасын қосатын
кесінді трапецияның орта сызығы деп аталады.
ABCD трапеция берiлген болсын, онда AD және BC – трапецияның та­
бандары; AB және DC оның бүйiр қабырғалары, E және F нүктелер бүйiр
қабырғаларының орталары болсын (4- сурет). Мұнда EF – трапецияның
орта сызығы болады.
Трапецияның орта сызығы оның табандарына параллель және
олардың жарым қосындысына тең болады.
Дәлелдеу. ЕF табандары АD және ВС
болған АВСD трапециясының орта сызығы
болсын делік (АD ||ВС). ВF түзуін жүргіземіз
де, оның АD түзуімен қиы­­лысатын нүктесін
Р деп белгілейміз (5-су­рет). Үшбұрыштар
теңдігінің екінші белгісіне орай, ВСF
және РDF үшбұрыштары тең (СF = DF
шарты бойынша ∠1= = ∠ 2 — вертикаль
бұрыштар және ∠3 = ∠ 4 — және АD
параллель түзулері мен СD қиюшы түзген
ішкі айқыш бұрыштар болғандығы себепті).
Бұл үшбұрыштардың теңдігінен қабырғалар
тең деген қорытынды шығады: ВҒ = РҒ
және ВС = DР. Демек, трапецияның ЕҒ
орта сызығы – АВР үшбұрышының да орта
сызығы екен. Үшбұрыш орта сызы
­­ғының
қасиетіне орай: EF || AP және
1
2
EF AP=
келiп
шығады. AD || BC болғаны үшін ЕҒ екі табанға да параллель болады және
ол төмендегідей өрнектелуі мүмкін
11 1
((
22 2
))EF AP AD DP AD BC==+=+
.
Демек, EF || AD || BC және
1
(
2
)EF AD BC=+
. Теорема дәлелденді.
Салдар. Трапецияның бүйір қабырғасының ортасынан өтетін
және табандарына параллель болатын түзу екінші бүйір қабырғаны тең екіге бөледі.


Бұны өздерің дербес дәлелдеңдер.
A D
B C
E F
B
A D P
E F
4
5 C
3
1
2
4http:eduportal.uz

28
1. 1) Үшбұрыштың орта сызығы деп нені айтады?
2) Үшбұрышта неше орта сызық салуға болады?
2. Үшбұрыштың қабырғалары 5 см, 7 см және 11 см-ге тең. Төбелері
осы үшбұрыш қабырғаларының ортасында жататын үшбұрыштың
қабырғаларын табыңдар.
3. Үшбұрышщтың орта сызықтары 6 см, 7 см және 9 см-ге тең болатын
үшбұрыштың қабырғаларын табыңдар.
4. Трапецияның диагональдары оның
орта сы­зы­ғы ЕҒ-ті Е төбесінен бастап 5 см, 7
см және 4 см-лік кесінділерге бөледі (6-сурет). Трапецияның табандарын табыңдар. 5.
ABC үшбұрышы қабырғаларының
әрқайсысы үш тең кесіндіге бөлінген және бөліну нүк
­телері кесінділермен тұтастырылған.
АВС үш­бұрышының периметрі р-ге тең болса,
7-су­ретте пайда болған пішіннің периметрін
табыңдар.
6. Трапецияның табандары: 1) 4,5 дм және 8,2 дм-ге; 2) 9 см және 21
см-ге тең. Оның орта сызығының ұзындығы қанша болады?
7. ABCD трапециясында (8-сурет) ЕҒ кесіндісі CD қабырғасына парал­
лель, ал Е нүктесі – АВ-ның ортасы. EF = 0,5CD екенін дәлелдеңдер.
8. 9-суреттегі белгісіз ұзындықты есептеңдер.
9. Трапецияның диагональдары оның орта сызығын әрқайсысы 6 см-лік
кесінділерге бөледі. Осы трапецияның табандарын табыңдар.
10. Тең бүйірлі трапецияның ұзындығы 6 см-ге тең диагоналі табанымен
60º-тық бұрыш жасайды. Трапецияның орта сызығын табыңдар.
11. Трапецияның үлкен табаны кіші табанынан 3 есе үлкен және оның
орта сызығы 20 см-ге тең. Трапецияның табандарын табыңдар.
12. Трапецияның периметрі 40 см-ге, ал параллель емес қабырғаларының
қосындысы 16 см-ге тең. Осы трапецияның орта сызығын табыңдар.
ABCD – трапеция.
Табу керек:
x, y, z.
B C4
A 8 D
P
F
E
P
1
F
1
E
1
x
y
z
A D
B C
E F
P T
6
9
B
CA
7 B C
A D
E
F
8
?
Сұрақтар, есептер мен тапсырмаларhttp:eduportal.uz

29
Зерттеуге арналған есептер.
1-е
сеп. Қабырғаларының саны n болған көпбұрышты салыңдар және
оның диагональдарын жүргізіңдер. Онда: 1) n = 5; 2) n = 7; 3) n = 8. Көп
­
бұ­рыш­тың түрлі диагональдарының санын (d
n
) есептеу формуласын ойла
­
нып табыңдар.
Шешуі.
1) n = 5. А төбесінен 2 AC және AD,
B төбесінен 2 BD және BE диагональдары шығады
және т.б. Көпбұрыштың бес төбесінің әрқай
­
сысынан 2-еуден диагональ шығады (1-сурет).
Бұдан дөңес бесбұрыштардың әрбір төбесінен
шыққан диагональдары санының қабырғалары са­
ны­нан 3-еуге аздығы, яғни 5 – 3 = 2-ге тең екені
келіп шығады. Барлық төбелерден шыққан диа­
го­нальдар санын табу үшін қабырғалардың санын
2-ге көбейтеміз: 5 · (5 – 3) = 5 · 2 = 10.
Бұл көбейтіндіде әрбір диагональ екі реттен есепке алынған. Бірақ
АС және CA, BD және DB т.б. – бір диагональдің екі түрлі белгіленуі
болып табылады, яғни олар жаңа диагональдар емес. Сол себепті шыққан
көбейтіндіні 2-ге бөліп, түрлі диагональдардың жалпы санын табамыз:
5 · 2 : 2 = 5.
Демек, дөңес бесбұрыштардың түрлі диагональдарының жалпы саны
төмендегіге тең:

1
5
1
5 (5 3) 5 2
22
.
⋅− ⋅
= ==
d 5
Жауабы: 5-еу.
2) n = 7. Дөңес жетібұрыштың түрлі диагональдарының жалпы
саны жоғарыда көрсетілген мәселе сияқты етіп табылады. Жасалған талқылаулар барысында анықталған заңдылықтарға сүйеніп, дөңес жеті
­
бұрыштың диагональдары санын төмендегідей табамыз (2-сурет):

2
7
1
7 (7 3) 7 4
22
.
⋅− ⋅
= ==
d 14
Жауабы: 14.
E
A
B
C
D
1
A
B
C
B
C
D
E
F
G
H
AD
E
F
G
2
3
12. ПРАКТИКАЛЫҚ ЖАТТЫҒУЛАР ЖӘНЕ ҚОЛДАНУhttp:eduportal.uz

30
3) Дөнес сегізбұрыштың барлық диагональдарының саны жоғарыда
көрсетілген есептің шешуі сияқты табылады. Есептеулер бойынша
анықталған заңдылықтар негізінде дөнес көпбұрыштардың диагональдары
санын табамыз (3-сурет):

4
8
1
8(8 3) 85
22
.
⋅− ⋅
= ==
d 20
Жауабы: 20.
Демек, кез келген дөңес көпбұрыштың түрлі диагональдарының
жалпы саны төмендегі формула бойынша табылады:

()
n
nn
d
−
=
3
2
.
Ескерту! Дөңес n бұрыштың бір төбесінен шыққан диагональдары
оны (n – 2) үшбұрышқа бөледі.
2-есеп. Көпбұрыштың 25 диагоналі болуы мүмкін бе?
Шешуі. n бұрыштың түрлі диагональдарының жалпы саны
( 3)
2
−
=
n
nn
d -ға тең. Демек,
( 3)
2
25
nn−
=
. Ондай жағдайда n(n − 3) = 50
немес
е n(n
− 3) = 2 · 5 · 5. Бұдан көрініп тұрғанындай, 50 санын бір-бірінен
айырмасы 3-ке тең болатын екі натурал санның көбейтіндісі көрінісінде
өрнек­теуге болмайды. Сондықтан да түрлі диагональдарының жалпы саны
25 болатын көпбұрыш жоқ. Жауабы: жоқ, болуы мүмкін емес.
3-есеп. Математика бөлмесіндегі суреттерде бейнеленген үшбұрыштар
мен көпбұрыштардың саны 15. Бұл пішіндердің қабырғаларының жалпы саны 53. Сонда суреттерде неше үшбұрыш және неше төртбұрыш бейне
­
ленген?
Шешуі.
Төртбұрыш қабырғаларының саны натурал санның ерікті
мәнінде төрт еселі, яғни жұп сан болады. Үшбұрыштың саны тақ сан болғанда ғана қосынды тақ болады.
Есептің шартына орай, теңдік түземіз: 3x + 4y = 53.
Төменде мүмкін болған варианттарды қарастырамыз. Теңдіктегі белгі­
сіздердің орнына тиісті мәндерді қойып, оны қанағаттандыратын шешімді
табамыз. 1-жағдай. х = 1 және у = 14 болсын. Онда 3 · 1 + 4 · 14 = 53, яғни 59 ≠ 53. 2-жағдай. х = 3, у = 13; 3 · 3 + 4 · 12 = 53, яғни 57 ≠ 53. 3-жағдай. х = 5, у = 10; 3 · 5 + 4 · 10 = 53, яғни 55 ≠ 53. 4-жағдай. х = 7, у = 8; 3 · 7 + 4 · 8 = 53, яғни 53 = 53.
4-жағдай есептің шартын қанағаттандырады, сондықтан басқа жағ
­
дайлар қарастырылмайды. Жауабы: 7 үшбұрыш, 8 төртбұрыш.
Нығайтуға арналған қосымша жаттығулар.
1. Дөңес көпбұрыштың бір төбесінен шыққан диагональдардың саны
13. Осы көпбұрыштың қабырғаларының саны нешеу? Барлық диаго­
нальдарының саны ше?
2. Диагональдарының саны: 1) қабырғаларының санына тең; 2) қабырға­ла­
ры­ның санынан аз; 3) қабырғаларының санынан артық көпбұрыш бола ма? http:eduportal.uz