*
«НАЗАРБАЕВ ЗИЯТКЕРЛІК МЕКТЕПТЕРІ» ДББҦ
АОО «НАЗАРБАЕВ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ ШКОЛЫ»
AEO «NAZARBAYEV INTELLECTUAL SCHOOLS»

БІЛІМ БЕРУ БАҒДАРЛАМАЛАРЫ ОРТАЛЫҒЫ
ЦЕНТР ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ
CENTRE FOR EDUCATIONAL PROGRAMMES
Мҧғалім мен оқушыға кӛмек

В помощь учителю и ученику

Help for the teacher and student

МАТЕМАТИКАДАН
ФОРМУЛАЛАР
ЖИНАҒЫ
Сборник формул
по математике

Нҧр-Сҧлтан
2020

Анықтама: «МАТЕМАТИКАДАН ФОРМУЛАЛАР ЖИНАҒЫ»

ӘОЖ: 51(083)
КБЖ: 22.1я2
М ***
«Назарбаев Зияткерлік мектептері» ДББҰ Білім беру бағдарламалары орталығы
Әдістемелік кеңесі ұсынған
Рекомендовано Методическим советом Центра образовательных программ
АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы»
Рецензенты:
Т. У. Аубакиров – физика-математика ғылымдарының докторы, ТОО «Назарбаев
Интеллектуалды мектептері» білім бағдарламалар Орталығының бас менеджері, Нұр-Сұлтан
қаласы.
Р.Н. Жумабаев – жаратылыстану ғылымдарының магистрі, математика мұғалімісарапшы, Павлодар қаласындағы химия-биология бағытындағы Назарбаев Зияткерлік
мектебінің директоры.
Д.Т. Ниязов – жаратылыстану ғылымдарының магистрі, математика мұғалімісарапшы, Тараз қаласындағы физика-математика бағытындағы Назарбаев Зияткерлік
мектебінің директорының оқу ісі жӛніндегі орынбасары.
Маделханов С.С., Урынбаев А.О.
Математикадан формулалар жинағы: анықтама / С.С. Маделханов, А.О. Урынбаев
– Нұр-Сұлтан: «Назарбаев Зияткерлік мектептері» ДББҰ Білім беру бағдарламалары
орталығы, 2020. – 176 б.
Бұл жинақта элементар және жоғары математиканың формулалары, сондай-ақ QRкодтар, иллюстрациялар және кейбір 2D-3D анимациялардың иллюстрацияларына
сілтемелер енгізілген. Анықтамалық құрал математика пәні мұғалімдері мен жалпы білім
беретін және зияткерлік мектептердің 9-12 сынып оқушыларына арналған, 12-жылдық білім
беру бағдарламасында оқытатын «NIS-Program» бағдарламасына сәйкес келеді.
Сборник включает в себя основные формулы элементарной и высшей математики,
QR-коды, а также иллюстрации и ссылки на 2D-3D анимации некоторых иллюстраций.
Справочник разработан в соответствии с программой 12 летнего образования «NIS-Program»,
адресован учителям математики и учащимся 9-12 классов общеобразовательных и
интеллектуальных школ.

ISBN: _________________________________
ӘОЖ: 51(083)
КБЖ: 22.1я2
М ***
© Маделханов С.С.,
© Урынбаев А.О.,
© «Назарбаев Зияткерлік мектептері» ДББҰ
Білім беру бағдарламалары орталығы
© АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы»
Центра образовательных программ, 2020
2

Анықтама: «МАТЕМАТИКАДАН ФОРМУЛАЛАР ЖИНАҒЫ»

МАЗМҦНЫ
Кіріспе…………………………………...……………………………………………….......

15

Математикалық белгілер…………................……..……………………………………..

16

1. Сандар жиыны………………...………..………………………………………………...

16

2. Белгілердің аталуы...……………………..………………………………………………

16

3. Қосымша белгілер................……………………………………………………………..

18

І– бӛлім. АРИФМЕТИКА
Екі таңбалы сандардың квадраты………………………………………….

19

1. Кесте ……………………………………………………………………………….........

19

Негізгі формулалар…………………………………………………………

19

1. ЕКОЕ және ЕҮОБ.......…………………………………………………………………..

19

2. Квадрат түбірден құтылу (Герон әдісі)...…............……………………………………

19

3. Орта мәндер...........………………………………………………………………………

19

4. Процент…………………………………………………………………………………..

20

Ӛлшем бірліктері ..………………………………………………………….

20

1. Ұзындық ӛлшемдері…………………………………………………………………......

20

2. Аудан ӛлшемдері ……………………………………………………………………......

20

3. Салмақ ӛлшемдері ………………………………………………………………………

20

4. Уақыт ӛлшемдері ………………………………………………………………………..

20

1.1

1.2

1.3

ІІ – бӛлім. АЛГЕБРА
Негізгі формулалар …………………………………………..……………

21

1. Санның стандарт түрі.…………………………………………………..………………

21

2. Абсолют және салыстырмалы қателіктер......................................................................

21

3. Қысқаша кӛбейту формулалары................……………………….....………………….

21

4. Ньютон биномы. Паскаль үшбұрышы………………………....……………………….

21

5. (

) екі ӛрнектің қосындысының дәрежесі………………………………………

21

6. Дәреженің қасиеттері....…………………………………………………………………

22

7. Арифметикалық түбірдің қасиеттері…………………………………………………..

22

8. Күрделі радикал формуласы……………………………………………………………

22

Прогрессия…………………………………………………………………..

23

1. Арифметикалық және геометриялық прогрессия…………………………………….

23

2. Шексіз кемімелі геометриялық прогрессия................…………………………………

23

Логарифм……………………………………………………………………

23

1. Негізгі формулалар………………………………………………………………………

23

Теңдеу және теңсіздік…………………………………….......……………..

24

2.1

2.2

2.3

2.4

3

Анықтама: «МАТЕМАТИКАДАН ФОРМУЛАЛАР ЖИНАҒЫ»

1. Модульі таңбасы бар теңдеулерді шешу.................................…………………………

24

2. Модульі таңбасы бар теңсіздіктерді шешу ……..............................…………………..

24

3. Квадрат теңдеу.............……………………………………………………..…………….

25

4. Виет теоремасы.....................................................…………………………..……………

26

5. Кубтық теңдеулер (Кардано формуласы)…....…………………………………………

26

6. Иррационал теңдеу…………………………….................………………………………

27

7. Иррационал теңсіздік………………….............…………...…………………………….

28

8. Кейбір теңсіздіктер………………………………………………………………………

28

9. Кӛрсеткіштік және логарифмдік теңдеу………………………………………………..

29

Кӛрсеткіштік және логарифмдік теңсіздік…………………………………………

29

10.

ІІІ– Бӛлім. ПЛАНИМЕТРИЯ
3.1

Планиметрия аксиомалары…………………………………………………

30

1. Аксиома–1.1 және Аксиома–1.2…………………………………………………………

30

2. Аксиома–2………………………………………………………………………………..

30

3. Аксиома–3………………………………………………………………………………..

30

Үшбұрыш және оның ауданы……………………………………………….

31

1. Герон формуласы…………………………………………………………………………

31

2. Пифагор теоремасы. Сүйір бұрыштың sin, cos, tg, ctg-сі................……………………

31

3. Синустар теоремасы және косинустар теоремасы..……………………………………

32

4. Медиана. Биіктік. Биссектриса…………………………………………………………

33

5. Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер.........………………………………………….

33

6. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер ……………………………………………….....

34

Тӛртбұрыш және оның ауданы……………………………………………..

34

1. Квадрат……………………………………………………………………………………

34

2. Тіктӛртбұрыш..…………………………………………………………………………..

34

3. Ромб……………………………………………………………………………………….

35

4. Параллелограмм………………………………………………………………………….

35

Трапеция және оның ауданы………………………………………………..

35

3.2

3.3

3.4

1. Трапеция ауданы.………………………………………………………………………..

35

2. Трапецияның тең бӛліктері……………………………………………………………..

35

3. Шеңберге сырттай сызылған трапецияның қасиеттері……………………………….

36

4. Шеңберге іштей сызылған теңбүйірлі трапецияның қасиеттері ……………………

36

Кез келген тӛртбұрыш және оның ауданы………………………..............

36

3.5

1. Кез келген тӛртбұрыш …………………………………………………...…...................

36

2. Ромбоид………………………………………………………………………………........

37

4

Анықтама: «МАТЕМАТИКАДАН ФОРМУЛАЛАР ЖИНАҒЫ»

3. Кез келген тӛртбұрыштың қасиеттері..............................................................................

37

4. Птолемей теоремасы……………………………………………………………………..

37

Дұрыс кӛпбұрыштар………………………………………………….............

38

1. Центрлік, ішкі және сыртқы бұрыштар…………………………………………............

38

2. Шеңберге сырттай сызылған кӛпбұрыштың қабырғасы мен ауданы…………………

38

3. Шеңберге іштей сызылған кӛпбұрыштың қабырғасы мен ауданы …………………..

38

4. Кӛпбұрыштардың ауданы........................………………………………………………..

38

Шеңбер. Сектор. Сегмент……………………………………………………

39

1. Диаметр. Радиус. Ауданы. Шеңбер ұзындығы………………………………………….

39

2. Сектор ауданы. Доғаның ұзындығы……………………………………………………..

39

3. Хорда ұзындығы. Сегмент биіктігі. Сегмент ауданы..………………………………...

39

4. Сақина ауданы…………………………………………………………………………….

40

5. Центрлік және іштей сызылған бұрыштар……………………………………………..

40

6. Хорда мн жанама арасындағы бұрыш. Қиюшы мен жанама арасындағы бұрыш……

40

7. Екі хорда арасындағы бұрыш. Екі қиюшы арасындағы бұрыш………………….……

40

8. Дӛңгелектегі пропорционал кесінділер………………………………………….……..

40

9. Дӛңгелектегі пропорционал кесінділер …………………………………………….….

40

Дӛңгелектегі пропорционал кесінділер ……………………………...…………….

40

3.6

3.7

10.

IV – Бӛлім. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Стереометрия аксиомалары…………………………………………………

41

1. Аксиома–1…………………………………………………………………………………

41

2. Аксиома–2 (Жазықтық аксиомасы)……………………………………………………..

41

3. Аксиома–3 (Түзу мен жазықтық аксиомасы)……………………………………..…….

41

4. Аксиома–4 (Жазықтықтың қилысу аксиомасы)………………………………………..

42

Кӛпжақтар. Ауданы, кӛлемі және 3D иллюстрациясы………………..…..

43

1. Призма……………………………………………………………………………………..

43

2. Куб………………………………………………………………………………………….

44

3. Параллелепипед…………………………………………………………………………..

45

4. Призма түрлері…………………………………………………………………………...

46

5. Пирамида………………………………………………………………………………….

47

6. Тетраэдр…………………………………………………....………………………………

48

7. Қиық пирамида………………………………..............…………………………………..

49

8. Пирамида түрлері………………………………………………………..……………….

50

9. Дӛңес кӛпжақтар. Эйлера теоремасы ..........................................................……………

51

Кӛпжақтардың жазбасы 3D иллюстрациясымен…………………………….……

52

4.1

4.2

10.

5

Анықтама: «МАТЕМАТИКАДАН ФОРМУЛАЛАР ЖИНАҒЫ»

Айналу денелері. Ауданы, кӛлемі және 3D иллюстрациясымен…………

55

1. Сфера. Шар………………………………………………………………………………..

55

2. Шар сегменті………………………………………………………………………………

56

3. Шар секторы……………………………………………………………………..………..

57

4. Шар белдігі………………………………………………………………………….….....

58

5. Цилиндр……………………………………………………………………………………

59

6. Қиық цилиндр……………………………………………………………………………..

60

7. Конус……………………………………………………………………………………….

61

8. Қиық конус………………………………………………………………………………..

62

9. Эллипсоид. Тор. Параболоид……………………………………………………....…….

63

Айналу денелерінің жазбасы 3D иллюстрациясымен…………………………….

64

Кӛпжақтар мен айналу денелерінің комбинациясы……………………….

66

1. Денелердің комбинациясы……………………………………………………………....

66

4.3

10.

4.4

V – Бӛлім. КОМПЛЕКС САНДАР
Комплекс сандарға амалдар қолдану………………………………..……..

71

1. Комплекс сандар. Комплекс сандарды қосу...................................................................

71

2. Комплекс сандарды азайту және кӛбейту........................................……………….…..

71

3. Комплекс сандарды бӛлу. Комплекс сандардың түйіндесі. ............………………….

71

Комплекс санның алгебралық түрі……...........................…………….……

71

1. Комплекс санның алгебралық түрі .........................………………….………………...

71

2. Геометриялық интерпретациясы…………………………………………………..……

71

3. Комплекс санның модулі………….......………………………………………….…...…

72

4. Комплекс санның аргументі..............................................................................................

72

5. Комплекс санның түйіндесінің кӛбейтіндісі..………………………………………….

72

6. Комплекс санды түбірден шығару......................................................……………….…..

72

5.1

5.2

Комплекс санның тригонометриялық түрі......................…………………

73

1. Комплекс санның тригонометриялық түрі .....................……………………………...

73

2. Аргументінің негізгі мәні. Комплекс санның аргументінің қасиеттері……………..

73

3. Комплекс санның тригонометриялық түрі …………………………………………….

73

4. Тригонометриялық түрдегі комплекс сандарды кӛбейту және бӛлу………………….

73

5. Муавр формуласы................ …………………………………………………………......

73

6. Комплекс санды түбірден шығару..................………………………………………..…

74

7. Ньютон биномы арқылы Муавр формуласын қолдану……………………………..…

74

8. nφ аргументі бойынша синус пен косинустың бірнеше бұрыштарының ӛрнегі...

74

5.3

VI –Бӛлім. ТРИГОНОМЕТРИЯ
6

Анықтама: «МАТЕМАТИКАДАН ФОРМУЛАЛАР ЖИНАҒЫ»

Тригонометриялық функцияның формулалары……………………..….…

75

1. Сүйір бұрыштың тригонометриялық функциялары……………………………….......

75

2. Тригонометриялық функциялардың таңбалары…………………………………….…

75

3. Негізгі тепе-теңдіктер……………………………………………………………….…..

75

4. Келтіру формулалары…………………………………………………………………….

76

5. Периодтылығы. Тақ және жұптылығы…………………………………………………..

76

6. Тригонометриялық функциялардың кӛбейтіндісі………………………………….….

76

7. Аргументтерінің қосындысы мен айырмасының формулалары………………………

76

8. Тригонометриялық функциялардың қосындысы мен айырмасы…………………..…

76

9. Тригонометриялық функциялардың кӛбейтіндісі……………………………………..

77

10.

Қос бұрыш формуласы……………………………………………………………...

77

11.

Дәрежені тӛмендету формуласы……………………………………………………

78

12.

Қосымша аргумент енгізу формуласы.………………………………………….….

78

6.1

Кері тригонометриялық функциялардың формулалары ..………………..

78

1. Кері тригонометриялық функциялардың қасиеттері……………………………….…

78

2. Кері тригонометриялық функция арасындағы байланыс.........………………………..

78

3. Сүйір бұрыштың кері тригонометриясы...................………………………………..….

79

4. Кері тригонометриялық функциялардың формулалары………………………………

79

Тригонометриялық теңдеу мен теңсіздік……………………………….…

80

1. Тригонометриялық теңдеу………………………………………………………………

80

2. Қарапайым тригонометриялық теңсіздік………………………………………….…..

80

6.2

6.3

VII – Бӛлім. СЫЗЫҚТЫҚ АЛГЕБРА ЭЛЕМЕНТТЕРІ
7.1

Матрица………………………………………………………………………

82

1. Матрица. Матрицаның негізгі қасиеттері……………………………………………..

82

2. Бірлік матрица…………………………………………………………………………..

82

3. Матрицаларды қосу және азайту……………………………………………………….

82

4. Матрицаны санға кӛбейту. Матрицаларды кӛбейту…………………………………..

82

5. Матрицаны транспонирлеу………………………………………………………….…..

83

6. Кері матрица……………………………………………………………………………..

83

Анықтауыштар ………………………………………………………………

83

1. I-ретті, II- ретті және III- ретті анықтауыштар……………………………………….…

83

2. Саррюс ережесі……………………………………………………………………………

84

3. Қатар мен баған бойынша анықтауыгты табу…………………………………………..

84

4. n- ретті анықтауыш……………………………………………………………………..…

85

5. Крамер ережесі……………………………………………………………………….….

85

7.2

7

Анықтама: «МАТЕМАТИКАДАН ФОРМУЛАЛАР ЖИНАҒЫ»

VIII – Бӛлім. ЖАЗЫҚТЫҚТАҒЫ АНАЛИТИКАЛЫҚ ГЕОМЕТРИЯ
Жазықтықтығы нүкте. Векторларға амалдар қолдану……………………..

86

1. Нүктеден координата басына дейінгі арақашықтық(радиус вектор)…………………

86

2. Екі нүкте арасындағы қашықтық......…………………………………………………….

86

3. Кесінді ортасының координатасы………………………………………………………

86

4. Кесіндіні берілген қатынаста бӛлу………………………………………………….…..

87

5. Бірлік вектор………………………………………………………………………….…..

87

6. Векторларға амалдар қолдану……………………………………………………..…….

87

7. Үшбұрыш, параллелограм және кӛпбұрыш ережесі..............…………………………

88

Жазықтықтағы түзу……………………………………………………….…

89

1. Түзудің теңдеуі…………………………………………………………………………...

89

2. Екі түзудің орналасуы………………………………………………………………..…..

89

Жазықтықтағы нүкте мен түзу. Шеңбердің теңдеуі.....…………………..

90

1. Бағыттаушы вектор……………………………………………………………………….

90

2. Екі нүкте арқылы ӛтетін түзудің теңдеуі.........................……………………………….

90

3. Нормаль вектор.……………………………………………………………………..……

90

4. Екі түзу арасындағы бұрыш………………………………………………………….…..

90

5. Нүктеден түзуге дейінгі арақышықтық………………………………………………….

91

6. Шеңбердің теңдеуі.......……………………………………………………………….…..

91

8.1

8.2

8.3

ІХ– Бӛлім. КЕҢІСТІКТЕГІ АНАЛИТИКАЛЫҚ ГЕОМЕТРИЯ
Кеңістіктегі нүкте. Векторларға амалдар қолдану…………………….…..

92

1. Нүктеден координата басына дейінгі арақышықтық (радиус вектор)………….……

92

2. Екі нүктенің арақашытығы………………………………………………………………

92

3. Кесінді ортасының кооординатасы……………………………………………………..

93

4. Кесіндіні берілген қатынаста бӛлу………………………………………………….…..

93

5. Бірлік вектор……………………………………………………………………………..

94

6. Кеңістіктегі вектрларға амалдар қолдану…………………………………………..….

94

7. Параллелепипед ережесі…………………………………………………………………

95

Сфераның теңдеуі. Векторлық және аралас кӛбейтінді..............................

95

1. Сфераның теңдеуі……………………………………………………………………..….

95

2. Векторлардың векторлық кӛбейтіндісі………………………………………………….

96

3. Векторлардың аралас кӛбейтіндісі………………………………………………….…..

96

Кеңістіктегі жазықтық………………………………………………………

97

1. Жазықтықтың кесінділік теңдеуі………………………………………………………..

97

2. Үш нүкте арқылы ӛтетін жазықтықтың теңдеуі.....……………………………………..

97

9.1

9.2

9.3

8

Анықтама: «МАТЕМАТИКАДАН ФОРМУЛАЛАР ЖИНАҒЫ»

3. Нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық……………………………………………

98

4. Екі жазықтық арсындағы бұрыш……………………………………………………...…

98

Кеңістіктегі түзу……………………………………………………………...

99

9.4

1. Екі нүкте арқылы ӛтетін түзудің теңдеуі………………………………………………

99

2. Түзудің параметрлік теңдеуі…………………………………………………………….

99

3. Екі жазықтықтың қилысуынан пайда болған түзудің теңдеуі…………………..……

100

4. Екі түзу арасындағы бұрыш……………………………………………………………..

100

5. Нүктенің түзудегі проэкциясының координатасы……………………………………..

101

6. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық………………………………………………….….

102

7. Параллель түзулердің арқашықтығы………………………………………………..…..

102

8. Айқас түзулердің арақышықтығы……………………………………………………….

103

Кеңістіктегі түзу мен жазықтық……………………………………………

104

1. Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш………………………………………………..

104

2. Түзу мен жазықтықтың қилысу нүктесі…………………………………………….…

104

3. Түзу мен жазықтықтың ӛзара орналасуы……………………………………………….

105

Кеңістіктегі жазықтық теңдеулерінің түрлері……………………………..

106

1. Кеңістіктегі жазықтық теңдеуінің орнаасуы…………………………………………...

106

ІІ-ші ретті беттер.............................................................................................

109

9.5

9.6

9.7

1. Үшосьті эллипсоид. Бір жолақты гиперболоид…………………………..……

109

2. Екі жолақты гиперболоид. ІІ-ші ретті конус…………………………………….…..

110

3. Эллипстік параболоид. Гиперболалық параболоид………………………….……….

110

4. Гиперболалық цилиндр. Эллипстік цилиндр……………………………

111

5. Параболалық цилиндр. Қилысатын екі жазықтық…………..……..…….

111

6. Параллель екі жазықтық. Сәйкес екі жазықтық. …………………………….……….

112

Х – Бӛлім. КЕЙБІР ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ ГРАФИКТЕРІ МЕН ҚАСИЕТТЕРІ
10.1

Сызықтық функция………………………………………..………………..

1. Функция түрі:

.........................................................................................................

113

.....................................................................................

113

Бӛлшек-рационал функция………………………………………………...

114

2. Сызықтық функция:
10.2

1. Функция түрі:

.........................................................................................................

2. Бӛлшек-рационал функция:
10.3

113

……………………………………………...

Дәрежелік функции………………………………………………….…….

1. Функция түрі:
a) Функция түрі:

(

114
114
115

……………………………………………...

115

………………………….…..

115

)

9

Анықтама: «МАТЕМАТИКАДАН ФОРМУЛАЛАР ЖИНАҒЫ»

2. Функция түрі:

……………………………………….…..

116

……………………….…..

116

)..................................................................

117

)…………………………...

117

)...............................................................

118

)…………………………

118

)..................................................................

119

)……………………..……

119

)...............................................................

120

)……………………..…..

120

Кӛрсеткіштік функция……………………………………………………..

121

(

b) Функция түрі:

(

3. Функция түрі:

(

c) Функция түрі:

)

(

(

4. Функция түрі:
(

d) Функция түрі:

)

(

(

5. Функция түрі:

(

e) Функция түрі:

)

(

(

6. Функция түрі:
(

f) Функция түрі:
10.4

)

)

(

1. Функция түрі:

(

)...........................................................................

121

2. Функция түрі:

(

)...................................................................

121

(

3. Функция түрі:

)

(

)…………………………………………………………………………………..

121

Логарифмдік функция……………………………………………………..

122

10.5

1. Функция түрі:

(

)......................................................

122

2. Функция түрі:

(

)...............................................

122

(

3. Функция түрі:
(
10.6

(

(

122

Тригонометриялық функция…………………………………………..…

123

................................................................................................
(

a) Функция түрі (синусоида):
2. Функция түрі:
3. Функция түрі:

(

………………………………
)

123
123
124

…………………………..

124

................................................................................................

125

(

c) Функция түрі (тангенсоида):
4. Функция түрі:

)

...............................................................................................

b) Функция түрі (косинусоида):

)

……………………………

125

................................................................................................

126

(

d) Функция түрі (котангенсоида):
10.7

)
)………………………………….

1. Функция түрі:

)

)

)

…………………………

126

Кері тригонометриялық функция………………………………………..

127

1. Функция түрі:
a) Функция түрі:

...........................................................................................
(

)

……………………………………….…

10

127
127

Анықтама: «МАТЕМАТИКАДАН ФОРМУЛАЛАР ЖИНАҒЫ»

2. Функция түрі:

...........................................................................................
(

b) Функция түрі:
3. Функция түрі:

………………………………………...

128

…………………………………………………………...

129

(

c) Функция түрі:
4. Функция түрі:

)

………………………………………...

129

…………………………………………………………...

130

(

d) Функция түрі:
10.8

)

128

)

………………………………………...

130

Кейбір функциялар………………………………………………………..

131

1. Функция түрі:

| |

| |

( )..................................................

131

ХІ – Бӛлім. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕР
Шектер ……………………………………………………………………….

132

1. Функцияның нүктедегі шегі. Шектердің қасиеттері…………………………………..

132

2. Бірінші тамаша шек. Екінші тамаша шек......................................……………………..

132

3. Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі……………………………………………………..

132

4. І-ші ретті үзіліс нүктесі. ІІ-ші ретті үзіліс нүктесі.................…………………..……..

133

5. Вертикаль, горизонталь және кӛлбеу асимптоталары…………………………………

134

Туынды ……………………………………………………………………....

134

1. Қарапайым туынды………………………………………………………………..…….

134

2. Кейбір функциялардың туындысы..................................................................................

135

3. Функцияның дифференциалы ………………………………………………………….

135

Дифференциалдау ережесі…………………………………………..……..

135

1. Аргумент ӛсімшесі. Функция ӛсімшесі..........……………………………………..…..

135

11.1

11.2

11.3

2. Туындының

анықтамасы.

Берілген

нүктедегі

жанаманың

бұрыштық

коэфиценті................……………………………………………………………………..

135

3. Лопиталь ережесі. Жанаманың теңдеуі. Нормаль теңдеуі.....……………………..…

136

4. Екі түзудің перпендикулярлық шарты………………………………………………….

136

Функцияны зерттеу……………………………………………………….….

136

1. Функцияны зерттеу алгоритмі…………………………………………………………...

136

11.4

ХІІ – БӚЛІМ. ИНТЕГРАЛДЫ ЕСЕПТЕУЛЕР
Анықталмаған интеграл……………………………………………..……..

137

1. Интеграл анықтамасы. Қарапайым қасиеттері………………………………………..

137

2. Рационал функцияның интегралы.....…………………………………………………..

137

3. Иррационал функцияның интегралы …………………………………………………..

138

4. Тригонометриялық функцияның интегралы …………………………………………..

139

5. Трансцендентті функцияның интегралы ……………………………………………….

140

12.1

11

Анықтама: «МАТЕМАТИКАДАН ФОРМУЛАЛАР ЖИНАҒЫ»

Интегралдау әдісітері………………………………………………………..

140

1. Айнымалы алмастыру әдісі................................…………………………………….…..

140

2. Бӛліктеп интегралдау әдісі (LIATE)………………………………………………........

140

12.2

Анықталған интеграл………………………………………………………..

141

1. Ньютон–Лейбниц формуласы………………………………………………………..….

141

2. Полярлық координатадағы аудан…………………………………………………….…

141

3. Айналу денелерінің кӛлемі………………………………………………………………

141

4. Айналу денесінің бетінің ауданы………………………………………………………..

142

5. Доғаның ұзындығы……………………………………………………………………….

142

6. Меншіксіз интеграл………………………………………………………………………

142

12.3

7. Үзіліссіз функция мен түзудің графиктері арқылы шектелген фигураның ауданы
мен кӛлемі …………………………………………………………………………..……

143

ХІІІ – Бӛлім. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ
I-ші ретті дифференциалдық теңдеу………………………………………..

145

1. Қарапайым I-ші ретті дифференциалдық теңдеу ……………………………………...

145

2. I-ші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі. Жалпы шешімі………..……….

145

3. Айнымаласы ажыратылатын дифференциалдық теңдеу ………………………………

145

4. Біртекті дифференциалдық теңдеу. Алмастыру әдісімен шешу……………………..

145

5. Біртекті сызықтық теңдеу............………………………………………………….……

146

6. Біртекті сызықтық теңдеу алмастыру әдісімен шешу. (И. Бернулли әдісі)……..…..

146

ІI-ші ретті дифференциалдық теңдеу …………………………………..…

146

13.1

13.2

1. ІІ-ші ретті сызықтық (біртекті) тұрақты коэффициентті ДТ. Характеристикалық
теңдеуге келтіріп шешу…………………………………………………………………..

146

2. ІІ-ші ретті сызықтық (біртекті емес) тұрақты коэффициентті ДТ …...........................

146

Дифференциалдық теңдеуге келтірілетін есептер........................…………

146

13.3

1. ІІ-ші ретті (біртекті) дифференциалдық теңдеулер. Гармоникалық тербеліс
дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімі. Дәлелдеуі ................………………..…

146

2. Экспоненциальды ӛсім мен ыдырау. Дәлелдеуі……………………………………..…

147

3. Ньютонның салқындау заңы. Дәлелдеуі ……………………………………………….

147

4. Күрделі процент формуласы………………………………………………………….….

148

5. Ӛзгеру жылдамдығы………………………………………………………………...……

148

6. Сұйықтық ағынның жылдамдығы (Торричелли формуласы)……………………..…..

148

XIV – Бӛлім. ҚАТАРЛАР
Сандық қатар…………………………………………………………….…..

149

1. Сандық қатар. Қатардың жинақтылығының шарты……………………………..…….

149

14.1

12

Анықтама: «МАТЕМАТИКАДАН ФОРМУЛАЛАР ЖИНАҒЫ»

2. Даламбер белгісі. Кошидің интегралдық белгісі. ........................................………..…

149

Функционалдық қатар ………………………………………………..…….

149

14.2

1. Функционалдық қатар. Жинақтылық шарты (
14.3

)……………………………..…...

149

Дәрежелік қатар………………………………………………………………

150

1. Дәрежелік қатар. Дәрежелік қатарды интегралдау және дифференциалдау……..….

150

2. Тейлор қатары. Маклорен қатары……………………………………………………….

150

3. Биномиальды қатар. Биномиальды жіктеу....…………………………………………..

150

Дәрежелік қатардың дербес жағдайлары……………………………..……

150

14.4

1. Жинақтылық шарты (

)………………………………………………………

150

2. Жинақтылық шарты (

)………………………………………………………

150

Элементар функциялардың дәрежелік қатарға жіктелуі………………….

151

1. -тің барлық мәні үшін жинақтылық шарты ..................................................................

151

2. Жинақтылық шарты .| |

/..........................................................................................

151

3. Жинақтылық шарты (| |

)..........................................................................................

151

4. Жинақтылық шарты (| |

)..........................................................................................

151

тің барлық оң мәні үшін жинақтылық шарты...........................................................

151

14.5

5.

6. Жинақтылық шарты (| |

)............................................................................................

151

XV – БӚЛІМ. КОМБИНАТОРИКА. СТАТИСТИКА. ЫҚТИМАЛДЫҚ
Комбинаторика элементтері…………………………………………………

152

1. Қайталанбайтын алмастырулар, орналастырулар, терулер……………………..……..

152

2. Қайталанатын алмастырулар, орналастырулар, терулер ……………...........................

152

Статистика элементтері……………………………………………………..

153

1. Варианта. Абсолюттік және салыстырмалы жиілік……………………………………

153

2. Кӛлем . Медиана. Арифметикалық орта. Ӛзгеріс ауқымы. Мода……………………..

153

3. Математикалық күтімі. Дисперсиясы. Стандартты ауытқуы……………………..…..

154

4. Абсолюттік және салыстырмалы жиілік полигоны……………………………………

155

5. «Мұртты жәшік» диаграммасы …………………………………………………………

156

6. «Сабақ-жапырақ» диаграммасы…………………………………………………….…..

157

7. Кумулята……………………………………………………………………………..…...

157

8. Гистограмма…………………………………………………………………………..….

158

15.1

15.2

15.3

Ықтималдықтар теориясы. Кездейсоқ оқиға……………………………….

1. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы. Ықтималдықтың негізгі қасиеттері......

159

оқиғасының қосындысы мен кӛбейтіндісі……………………………….…

159

3. Үйлесімсіз оқиғалардың қосындысы. Толық ықтималдық жүйесі.....................……..

159

2.

және

159

13

Анықтама: «МАТЕМАТИКАДАН ФОРМУЛАЛАР ЖИНАҒЫ»

4. Кері оқиғаның ықтималдығы…………………………………………….......................

160

5. Шартты ықтималдық. Ықтималдықтарды кӛбейту ережесі……………………….…

160

Ықтималдықтар үлестірімі……………………………………………..…..

160

1. Биномиальды үлестірім …………………………………………………………………

160

2. Пуассон үлестірімі ………………………………………………………………………

162

3. Нормаль үлестірімі (Гаусс үлестірімі)………………………………………………….

163

4. Үлестірімдерді жуықтау (Аппроксимация)…………………………………………......

165

Ықтималдықтар үлестірімінің жиынтық кестесі ……………………….....

167

1. Нормаль ықтималдық үлестірімінің жиынтық кестесі ..........................………………

167

2. Биномиаль ықтималдық үлестірімінің жиынтық кестесі ………………………..……

168

3. Пуассон ықтималдық үлестірімінің жиынтық кестесі…………………………………

174

15.4

15.5

14

Анықтама: «МАТЕМАТИКАДАН ФОРМУЛАЛАР ЖИНАҒЫ»

КІРІСПЕ
«Математикалық формулалар жинағы» анықтамалық кітабы «НЗМ-Бағдарлама» 12
жылдық білім беру бағдарламасына сәйкес жасалған. Жинаққа келесі бӛлімдердегі элементар
математиканың және жоғары математиканың негізгі формулалары кіреді: ариф