*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

Анықталу облысы
1) Көпмүше түрінде берілген функция
? = ?? ? ? + ??−1 ? ?−1 + ⋯ + ?2 ? 2 + ?1 ? + ?0 (?? ≠ 0)
n - теріс емес бүтін сан
Көпмүше түрінде берілген функцияның анықталу облысы барлық нақты
сандар жиыны болады.
Мысалы:
?=7
? = 2? + 5
? = 3? 2 − 2? + 1
Анықталу облысы: ?(?) = (−∞; +∞)
2) Бөлшек- рационал функция
y=

g(x)
f(x)

мұндағы g(x) және f(x) − көпмүшеліктер
Бөлшек −
рационал функцияның анықталу облысы бөлімінің түбірлерінен басқа б
арлық нақты сандар жиыны болады.
Яғни, y =

g(x)
f(x)

, f(x) ≠ 0

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

3) Иррационал функия

?

? = √? , мұндағы ? ∈ ?, ? ≥ 2
? − тақ сан
Анықталу облысы: ?(?) = (−∞; +∞)

?

? = √? , мұндағы ? ∈ ?, ? ≥ 2
? − жұп сан
Анықталу облысы: ?(?) = [0; +∞)

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

Жұп дәрежелі иррационал функцияның анықталу облысы барлық теріс емес
сандар жиыны болады.
Яғни,
2?

? = √?(?) , ?(?) ≥ 0
Егер түбір бөлшектің бөлімінде тұрса, онда
?=

1
2?

√?(?)

, ?(?) > 0

4) Көрсеткіштік функция

? = ? ? , мұндағы ? > 0, ? ≠ 1
Анықталу облысы: ?(?) = (−∞; +∞)

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

Егер 0 < ? < 1
Анықталу облысы: ?(?) = (−∞; +∞)
Көрсеткіштік функцияның анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны
болады:
? = 3? + 5

1 ?

? =8−( )
7
?=⋯

Анықталу облысы: D(f)= (−∞; +∞)
5) Логарифмдік функция

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

? = log ? ? , мұндағы ? > 0, ? ≠ 1
Анықталу облысы: ?(?) = (0; +∞)

Анықталу облысы: ?(?) = (0; +∞)
Логарифмдік функцияның анықталу облысы барлық оң сандар жиыны
болады.
Яғни, ? = log ? ?(?) , ?(?) > 0
6) Тригонометриялық функциялар

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

3) Тангенс функциясының анықталу облысы:

?

? = tg ? − −→ ? ≠ + ??, ? ∈ ?
2

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

4) Котангенс функциясының анықталу облысы:

? = ctg ? − −→ ? ≠ ??, ? ∈ ?

Кері тригонометриялық функциялар
1) Арксинус функциясының анықталу облысы:

? = arcsin ? − −→ − 1 ≤ ? ≤ 1

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

2) Арккосинус функциясының анықталу облысы:

? = arccos ? − −→ − 1 ≤ ? ≤ 1

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

ЖАЛПЫ ФОРМУЛАЛАР:
1) Көпмүше түрінде берілген функцияның анықталу облысы барлық нақты
сандар жиыны болады.
?=7
? = 2? + 5
?(?) = (−∞; +∞) {
? = 3? 2 − 2? + 1
y = ⋯……

2) Көрсеткіштік функцияның анықталу облысы барлық нақты сандар
жиыны болады.
? = 3? + 5
?

?(?) = (−∞; +∞) {? = 8 − (1)
7
? = ⋯……
3) ? =

?(?)
?(?)

− −→ ?(?) ≠ 0

2?

4) ? = √?(?) − −→ ?(?) ≥ 0
5) ? =

1
2?

√?(?)

− −→ ?(?) > 0

6) ? = log ? ?(?) − −→

?(?) > 0

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

7) ? = tg ? − −→

?

? ≠ + ??, ? ∈ ?
2

8) ? = ctg ? − −→ ? ≠ ??, ? ∈ ?
9) ? = arcsin ? − −→

−1≤? ≤1

10) ? = arccos ? − −→ − 1 ≤ ? ≤ 1
ЕСКЕРТУ
y = f(g(x)) күрделі функциясының және
y = f(x) + g(x)

y = f(x) ⋅ g(x)

y = f(x) − g(x)

y=

f(x)
g(x)

түрінде берілген функциялардың анықталу облыстары
f(x) және g(x) функцияларының анықталу облыстарының қиылысуы болады.

МӘНДЕР ЖИЫНЫ
Тәуелді айнымалының қабылдайтын барлық мәндері функцияның мәндер
жиынын құрайды.
*Функцияның мәндер жиыны −−→ E(f)
1) Тақ дәрежелі көпмүше түрінде берілген функция
? = ?? ? ? + ??−1 ? ?−1 + ⋯ + ?2 ? 2 + ?1 ? + ?0 (?? ≠ 0)
? − теріс емес бүтін сан

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

Тақ дәрежелі көпмүше түрінде берілген функцияның мәндер жиыны барлық
нақты сандар жиыны болады.
? =?+5
? = 3? 3 − 2? 2 + 1
? = ? 5 − 2? 4 + 1
Мәндер жиыны: ?(?) = (−∞; +∞)

2) Квадраттық функция
Квадраттық функцияның мәндер жиыны: ? = ?? 2 + ?? + ?(? ≠ 0)

?(?) = [?? ; +∞)

*?0 = −

?(?) = (−∞; ?0 ]

?
2?

парабола төбесінің координаталары

?0 = ?(?0 )

3) Көрсеткіштік функция
Көрсеткіштік функцияның мәндер жиыны:
? = ? ? (? > 0, ? ≠ 1)

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

?(?) = (0; +∞)
4) Логарифмдік функция
Логаримфдік функцияның мәндер жиыны:
? = log ? ? (? > 0, ? ≠ 1)

?(?) = (−∞; +∞)

5) Иррационал функция
Иррационал функцияның мәндер жиыны:
?
? = √? (? ∈ ?, ? ≥ 2)

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

?(?) = (−∞; +∞)

?(?) = [0; +∞)

6) Бөлшек- сызықтық функция
Бөлшек-сызықтық функцияның мәндер жиыны:
?=

?1 ?+?1
?2 ?+?2

7) Тригонометриялық функциялар
Тригонометриялық функциялардың мәндер жиындары:

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

? = sin ??
1) ? ∈ [−1; 1] {
? = cos ??
? = sin2 ??
2) ? ∈ [0; 1] {
? = cos 2 ??

3) ? = a ⋅ sin ?? + ? ⋅ cos ??
? ∈ [−?; ?] , мұндағы ? = √?2 + ? 2

ЖҰП/ ТАҚ

1) Егер ?(−?) = −?(?) болса, онда функция тақ функция деп аталады.

Тақ функцияның графигі координаталар басына қарағанда симметриялы
болады.

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

Тақ функцияның анықталу облысы нөлге қарағанда симметриялы болады.
Негізгі тақ функциялар:
1) ? = ? 2?+1 , ? ∈ ?
2) ? = sin ? , ? = ???, ? = ctg ?
3) ? = arcsin ? , ? = arctg ?

2) Егер ?(−?) = ?(?) болса, онда функция жұп функция деп аталады.

Жұп функцияның графигі ордината осіне қарағанда симметриялы болады
Жұп функцияның анықталу облысы нөлге қарағанда симметриялы болады

Негізі жұп функциялар:
1) ? = ?
2) ? = ? 2? , ? ∈ ?
3) ? = |?|

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

4) ? = cos ?

3) Егер функция жұп та емес, тақ та емес болса, онда ондай функция жалпы
түрдегі функция деп аталады.

Тақ функция - Т
Жұп функция - Ж
Жалпы түрдегі функция - ЖТФ
1) Жұп
Ж+Ж=Ж
Ж⋅Ж=Ж
Т⋅Т=Ж
Т
=Ж
Т

2) Тақ
Т+Т=Т
Ж⋅Т=Т
Ж
Т

=Т

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

3) ЖТФ
Ж+Т=ЖТФ
Ж⋅ЖТФ=ЖТФ
Ж
= ЖТФ
ЖТФ
Т⋅ЖТФ=ЖТФ
Т
= ЖТФ
ЖТФ

ПЕРИОДТЫЛЫҚ
Синус пен Косинустың периоды
1) Егерт ? − тақ болса, онда:
2?

? = |?| →

? = sin? ??
{
? = cos ? ??

2) Егер ? − жұп болса, онда:
?

? = |?| → {

? = sin? ??
? = cos ? ??

3) Егер функция модуль таңбасының ішінде болса, онда:
? = |sin ??|
?
? = |?| → {
? = |cos ??|
Тангенс пен Котангенстің периоды
4) Тангенс пен котангенстің негізгі периоды өзгермейді:
? = ????
?
? = |?| → {
? = ctg ??

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

5) ? =

?
2|?|

? = sin2 ?? + cos 4 ??
? = sin4 ?? + cos 2 ??
→
? = sin2? ?? + cos 2? ??
{ мұндағы ? ∈ ?, ? ≥ 2

ТУЫНДЫ
Тұрақты шаманың туындысы:
?′ = ?
Дәрежелік функцияның туындысы:
(?? )′ = ? ⋅ ??−?
?′ = ?
′
?
(√?) = ? ?
√
? ′

?

( ? ) = − ??
Көрсеткіштік функцияның туындысы:
(?? )′ = ?? ⋅ ?? ?
(?? )′ = ??
Логарифмдік функцияның туындысы:

(???? ?)′ =
′

(?? ?) =

?
?

?
?⋅?? ?

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

Тригонометриялық функциялардың туындылары:
(??? ?)′ = ??? ?
(??? ?)′ = − ??? ?
?
(?? ?)′ = ?
??? ?

′

(??? ?) = −

?

???? ?

Дифференциалдау ережесі
u мен v - функциялар, c - тұрақты шама
(? ⋅ ?)′ = ? ⋅ ?′
(? ± ?)′ = ?′ ± ?′
(? ⋅ ?)′ = ?′ ⋅ ? + ? ⋅ ?′
? ′

(?) =

?′ ⋅?−?⋅?′
??

Жанаманың теңдеуі
? = ?(?? ) + ?′ (?? )(? − ?? )

Негізгі анықталмаған интегралдар:
1. ∫ 0 ⋅ ⅆ? = ?
2. ∫ ⅆ? = ∫ 1 ⋅ ⅆ? = ? + ?
3. ∫ ? ? ⅆ? =
4. ∫

ⅆ?
?

? ?+1
?+1

+ ?, ? ≠ −1, ? > 0

= ln |? | + ?

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

??

5. ∫ ? ? ⅆ? =
+?
ln ?
6. ∫ ⅇ? ⅆ? = ⅇ? + ?
7. ∫ sin ? ⅆ? = − cos ? + ?
8. ∫ cos ? ⅆ? = sin ? + ?
9. ∫

ⅆ?
sin2 ?

10. ∫
11. ∫
12. ∫
13. ∫
14. ∫

= − ctg ? + ?

ⅆ?
cos2 ?

= tg ? + ?

ⅆ?

?

√?2 −? 2
ⅆ?
?2 +? 2
ⅆ?
?2 −? 2

= arcsin + ?, |?| < |?|
?

1

?

?

?

= arctg + ?
=

ⅆ?
√? 2 ±?2

1
2?

ln |

?+?
?−?

| + ? , |?| ≠ ?

= ln |? + √? 2 ± ?2 | + ?

Интегралдау ережесі
∫ ? ⋅ ?(?) ⅆ? = ? ⋅ ∫ ?(?) ⅆ?
∫(?(?) ± ?(?)) ⅆ? = ∫ ?(?) ⅆ? ± ∫ ?(?) ⅆ?
1

∫ ?(?? + ?) ⅆ? = ? ⋅ ?(?? + ?) + ?

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

Анықталған интеграл
?

∫? ?(?) ⅆ? = ?(?)|?? = ?(?) − ?(?)
(Ньютон- Лейбниц формуласы)

Дененің көлемі

?

V = ? ⋅ ∫? ? 2 (?) ⅆ?
Фигураның ауданы

?

? = ∫? ?(?) ⅆ?

*Материалды дайындаған JUZ40_ONLINE білім беру орталығының Математика пәні
оқытушысы: Нұрдин Нұрдаулет (Instagram: @nurdavlet.nurdin)

?

S = ∫ (?(?) − ?(?)) ⅆ?
?

?

?

S = ∫? ?(?) ⅆ? + ∫? ?(?) ⅆ?