Түркістан облысының білім беру басқармасы

Шардара ауданы білім бөліміне қарасты

«Достық жалпы білім беретін мектеп»коммуналдық мемлекеттік мекемесі

Әдістемелік құрал

«Математикалық сауаттылық есептерін шығару тәсілдері»

ТҮСІНІК ХАТ

Қазіргі білім беру жүйесінде математикалық сауаттылық оқушылардың негізгі дағдыларының бірі ретінде қарастырылады.
Бұл әдістемелік құрал оқушылардың математикалық сауаттылығын дамытуға, олардың логикалық ойлау қабілетін жетілдіруге
және Ұлттық бірыңғай тестілеуге (ҰБТ) тиімді дайындалуға көмектесуге арналған.

Әдістемелік құралдың мақсаты:
- Оқушыларды математикалық сауаттылыққа бағытталған есептерді шешудің тиімді тәсілдерімен таныстыру;
- Логикалық ойлауды дамыту және математикалық модельдеу әдістерін меңгеруге көмектесу;
- Күнделікті өмірде кездесетін сандық мәліметтерді талдау, салыстыру және шешім қабылдау дағдыларын қалыптастыру.

Әдістемелік құралдың мазмұны:
Бұл құралда математикалық сауаттылық есептерін шешудің негізгі тәсілдері жан-жақты қарастырылған.
Әрбір бөлімде теориялық түсініктемелер, есептерді шешудің үлгілері, тиімді әдістер және оларды қолдану жолдары қамтылған.
Сонымен қатар, құралда практикалық жаттығулар мен тест тапсырмалары берілген.
Құралдың құрылымы:
1. Проценттік есептерді шешу әдістері
2. Пропорция және пайыздық қатынастар
3. Қаржы және банк есептері
4. Қоспалар мен концентрацияға байланысты есептер
5. Орташа жылдамдық пен орташа мәнді табу
6. Логикалық және өмірлік жағдаяттық есептер
7. ҰБТ-ға арналған типтік тапсырмалар
Бұл әдістемелік құрал мектеп оқушылары мен мұғалімдерге, сонымен қатар, математикалық сауаттылық дағдыларын жетілдіруді
көздейтін кез келген адамға пайдалы болмақ.
Әдістемелік құралды қолдану:
Оқушылар бұл құралды өз бетімен дайындалу үшін, ал мұғалімдер оқыту процесінде қосымша көмекші материал ретінде пайдалана алады.
Әрбір есептің шешімдері жан-жақты талданып, тиімді әдістер ұсынылғандықтан, бұл құрал оқушыларға өзіндік жұмыс істеуге
және тест тапсырмаларын жылдам әрі дұрыс орындауға үйретеді.
Бұл әдістемелік құрал математикалық сауаттылық дағдыларын дамытуға, ҰБТ мен халықаралық тесттерге сапалы дайындық жүргізуге мүмкіндік береді.

Барша оқушыларға сәттілік тілейміз!

Мазмұны:

Пропорцияға байланысты есептерді шығару тәсілдері ..........................................4

Өзіңді тексер!..................................................................................................................................................7

Процентке байланысты есептерді шығару тәсілдері................................................11

Өзіңді тексер!................................................................................................................................................14

Санның бөлігін және бөлігі бойынша санды табуға арналған есептерді шығару тәсілдері .............................................................................................................................20

Өзіңді тексер!................................................................................................................................................23

Жиындарға байланысты есептерді шығару тәсілдері...............................................25

Өзіңді тексер!................................................................................................................................................26

Комбинаторикаға байланысты есептерді шығару тәсілдері ..................................31

Өзіңді тексер!................................................................................................................................................32

Пропорцияға байланысты есептерді шығару тәсілдері

1. Пропорцияның негізгі анықтамасы

Егер екі қатынас тең болса, онда олар пропорция құрайды:

a / b = c / d

Мұндағы: a және d –шеткі мүшелер, b және c – ортаңғы мүшелер.

2. Пропорцияның негізгі қасиеттері

Пропорциядағы ортаңғы мүшелердің көбейтіндісі шеткі мүшелердің көбейтіндісіне тең:

a * d = b * c

3. Пропорцияға байланысты есептер

Есеп 1: Белгісіз мүшені табу

Берілген пропорция:

5 / x = 15 / 24

Пропорцияның негізгі қасиеті бойынша көбейтіп аламыз:

5 * 24 = 15 * x

120 = 15x

x = 120 / 15 = 8

Есеп 2: Тура пропорция

24 кг ұннан 30 бөлке нан пісіріледі. 40 кг ұннан неше бөлке нан пісіруге болады?

Тура пропорция қолданамыз:

24 / 30 = 40 / x

Көбейтеміз: 24 * x = 30 * 40

24x = 1200

x = 1200 / 24 = 50

Есеп 3: Кері пропорция

10 жұмысшы жұмысты 12 күнде аяқтайды. Егер жұмысшылар саны 15 болса, олар жұмысты неше күнде аяқтайды?

Кері пропорция қолданылады:

10 * 12 = 15 * x

120 = 15x

x = 120 / 15 = 8

4. Күрделі есептер (ҰБТ деңгейі)

Есеп 4: Қатынас табу

Егер x : y = 3 : 5 және y : z = 10 : 7 болса, x : z қатынасын табыңыз.

Берілген қатынастарды жазамыз:

x : y = 3 : 5 және y : z = 10 : 7

y мәндері бірдей болуы үшін x : y қатынасын 2-ге көбейтеміз:

x : y = 6 : 10

Енді y : z қатынасымен біріктіреміз:

x : z = 6 : 7

Есеп 5: Қоспа концентрациясы

100 литр ерітіндіде 20% тұз бар. Егер оған тағы 50 литр су қосылса, жаңа концентрация қандай болады?

1. Бастапқы ерітіндідегі тұз мөлшері:

100 * 0.2 = 20 литр

2. Жалпы көлем:

100 + 50 = 150 литр

3. Жаңа концентрация:

(20 / 150) * 100% = 13.33%

Есеп 6: Жұмысшылар өнімділігі

3 жұмысшы 12 күнде жұмысты бітіреді. Егер 5 жұмысшы болса, жұмысты неше күнде бітіреді?

Кері пропорция қолданамыз:

3 * 12 = 5 * x

36 = 5x

x = 36 / 5 = 7.2 күн

Есеп 7: Орташа жылдамдық

Автомобиль бірінші жарты жолды 60 км/сағ, екінші жартысын 90 км/сағ жылдамдықпен жүрді. Орташа жылдамдық қандай?

Орташа жылдамдық формуласы:

V_орташа = (2 * V1 * V2) / (V1 + V2)

Берілгендер: V1 = 60 км/сағ, V2 = 90 км/сағ

Орташа жылдамдықты есептейміз:

V_орташа = (2 * 60 * 90) / (60 + 90)

V_орташа = 10800 / 150 = 72 км/сағ

Есеп 8: Картадағы қашықтықты табу

Картада екі қаланың ортасын қосатын кесіндінің ұзындығы 3 см. Картаның масштабы 1 : 1 000 000. Екі қаланың арақашықтығын тап.

Шешуі:

Карта масштабы: 1 : 1 000 000
Картадағы ұзындық: 3 см
Нақты қашықтықты табу үшін картадағы ұзындықты карта масштабына бөлу керек:
3 × 1 000 000 = 30 км
Жауабы: 30 км

Есеп 9. Картадағы қашықтықты табу

Масштабы 1 : 2 000 000 болатын картада Семей мен Тараз қалаларын белгілейтін кесіндінің ұзындығын тап (Семей мен Тараз қалаларының арақашықтығы 1 600 км-ге тең).

Масштаб: 1 : 2 000 000
Нақты қашықтық: 1 600 км
Картадағы ұзындық:
(1600 × 100 000) / 2 000 000 = 80 см
Жауабы: 80 см

Есеп 10: Қоспадағы қола массасын табу

Салмағы 120 кг болатын қоспаның құрамында сәйкесінше 2 : 4 : 6 қатынасындай алтын, күміс және қола бар. Қоспадағы қоланың салмағы қанша кг екендігін тап

Қоспаның жалпы массасы: 120 кг
Қоспа құрамындағы металдар қатынасы: 2 : 4 : 6
Қола массасы:
(6/12) × 120 = 60 кг
Жауабы: 60 кг

Есеп 11: Жаңа күмістегі мыс массасын табу

Жаңа күмістің құрамында сәйкесінше 2 : 5 : 13 қатынасындай никель, мырыш және мыс қорытпасы бар. Осындай 8 кг жаңа күмісте қанша кг мыс болатынын тап

Күмістің жалпы массасы: 8 кг
күміс құрамындағы никель,мыс және мырыш қатынасы сәйкесінше: 2 : 5 : 13
Мыс массасы:
(13/20) × 8 = 5.2 кг
Жауабы: 5.2 кг

Есеп 12: Ойлаған сандардың қосындысы

Ыдырыс төрт сан ойлады. Ол ойлаған сандардың қатынасы – 2 : 3 : 7 : 8. Бірінші және үшінші сандардың қосындысы 153-ке тең. Ыдырыс ойлаған сандардың қосындысын тап

Есеп шартына сай қатынас: 2 : 3 : 7 : 8
2x + 7x = 153
x = 17
х-ті орнына қойып жауабын табамыз:
(2+3+7+8) × 17 = 340
Жауабы: 340

Есеп 13: Қауын мен қарбыз массасы

Қауын, қарбыз және асқабақтың массасы 19 кг. Қарбыз қауыннан 4 кг ауыр. Қауын мен асқабақтың массаларының қатынасы 2 : 1 қатынасындай. Қауын мен қарбыздың массаларының қосындысын тап

Қауын мен асқабақ қатынасы: 2 : 1
Қарбыз қауыннан 4 кг ауыр
Барлығы: 19 кг
Есеп шартына сай теңдеу құрамыз:
x + 2x + (2x+4) = 19
x = 3
Қауын + қарбыз:
2x + (2x+4) = 16
Жауабы: 16

Өзіңді тексер!

1. Сенбілікте үш сынып 24 ағаш көшеттерін отырғызу керек. 11 «А» сыныбында 32 оқушы, 11 «Ә» сыныбында 28 оқушы, 11 «Б» сыныбында 36 оқушы бар. Көшеттерді әр сыныпқа оқушылардың санына пропорционал болатындай етіп бөліп берді. 11 «Ә» сыныбының отырғызған көшеттер саны

А) 7

В) 8

С) 10

Д) 11

Е) 9

2. Үш серіктес сауда-саттықтың жаңа жобасын іске асыру үшін 3700, 4200 және 5000 доллар салды. Олардың алған өнімі 14964 долларды құрады. Серіктестер салымына пропорционал есептегенде әрқайсысы алатын пайданың көлемі

А) 583; 670; 811

В) 601; 666; 797

С) 595; 670; 799

Д) 592; 672; 800

Е) 603; 666; 795

3. Шиеден қайнатылған тосаптың 2 бөлігі шие, 3 бөлігі құмшекер. 8 кг тосап қайнату үшін неше килограмм құмшекер қосу керек?

A) 3,5 кг

B) 5 кг

C) 1,6 кг

D) 3,2 кг

E) 4,8 кг

4. Салатқа 100 мл тұздық жасауға арналған керекті заттар тізімі көрсетілген. 250 мл тұздық жасау үшін қанша сірке қышқылы қажет екендігін тап

A) 90

B) 95

C) 80

D) 70

E) 75

5. Принтер бір бет қағазды 3 секундта басып шығарады. Осы принтерде 3 минутта қанша бет қағазды басып шығаруға болады?

A) 27

B) 54

C) 60

D) 36

E) 45

6. Тест тапсырмасында математика, физика және тарих пәндері бойынша сұрақтардың диаграммасы кескінделген. Егер барлығы 72 сұрақ болса, математика пәнінен қанша сұрақ болғанын тап

A) 12

B) 38

C) 18

D) 48

E) 42

7 . Егер мен Асланға 2 алма берсем, онда ол маған велосипедін 3 сағатқа береді, ал егер 12 кәмпит берсем, онда ол 2 сағатқа береді. 1 алма және 3 кәмпитке велосипедті неше сағатқа алар едім?

А) 1

В) 2

С) 3

Д) 4

Е) 5

8.Шаруашылық бірлестігінде әрбір 30 бас малдың 12-і жылқы. Жалпы мал басы 220. Әрбір 11 жылқы 15 га жайлымдық жердің шөбін жейді. Шаруашылық бірлестігінде барлық жылқы қанша гектар жердің шөбін жейді?

A) 125

B) 100

C) 130

D) 120

E) 115

9. Бірдей 5 жүк машинасы 100 тонна болатты 4 ретте тасып бітіреді, осындай 7 жүк машинасы 105 тонна болатты неше ретте тасып бітіреді?

А) 5

В) 4

С) 3

Д) 2

Е) 6

10. 10 бала 20 үйді 30 күнде аралайды. 15 бала 15 үйді неше күнде аралайды?

A) 12

B)9

C) 15

D) 25

E) 17

11. 8 қоян 8 сәбізді 4 минутта жесе, 18 қоян 45 сәбізді неше минутта жейді?

А) 10 минут

В) 12минут

С) 18 минут

Д) 27 минут

Е) 36 минут

12. 8 жұмысшы 3 күнде жұмыстың 2/5 бөлігін бітірді. Қалған жұмысты 2 күнде бітіру үшін неше жұмысшы керек?

А) 9

В) 10

С) 18

Д) 6

Е) 8

13. Дақылдарды себу жұмыстарын жүргізу үшін егістік алқабының жерін жырту жұмыстары жүргізілді. Былтырғы жылы Арман жерді 4 трактор жалдап, олар жұмысты 9 сағатта аяқтаған еді. Бірақ, 4 трактор жалдау Арманды шығынға ұшыратқандықтан, биыл ол 3 трактор жалдады. Жұмыс неше сағатта бітеді?

А) 12

В) 10

С) 11

Д) 13

Е) 15

14. 5 жұмысшы берілген тапсырманы жоспар бойынша 6 сағатта орындайды. Тапсырманы жоспарлаған уақыттан 3 есе тез орындау үшін тағы қанша жұмысшы қабылдау керектігін тап

А) 6

В) 2

С) 15

Д) 10

Е) 5

15. Құрылысшылар бригадасы тапсырманы 6 күнде орындай алады. Алайда олар бригадаға қосымша 3 жұмысшы алып, тапсырманы 5 күнде аяқтады. Бригададағы бастапқы адамдар саны

А) 30

В) 15

С) 14

Д) 13

Е) 27

Дұрыс жауаптары:

1. А) 7	6. C) 18	11. A) 10 минут
2. D ) 592; 672; 800	7. В) 2	12. C) 18
3. Е) 4,8 кг	8. D) 120	13. A) 12
4. E) 75	9. С) 3	14. D) 10
5. С) 60	10. C) 15	15. B) 15

Процентке байланысты есептерді шығару тәсілдері

1. Проценттің негізгі анықтамасы

Егер бүтін сан x болса, оның p% мөлшері:

× x

Мысалы, 500-дің 20%-ын табу: ( ) × 500 = 100

2. Саны белгілі болғанда процентті табу

Кейде бір санның екіншісінен қанша пайыз екенін табу қажет болады. Формуласы:

p = × 100%

Мысал: 50 сұрақтың 40-ына дұрыс жауап берсе, нәтижесі қандай процент?

× 100 = 80%

3. Процент бойынша санды табу

Егер санның белгілі бір проценті берілсе, онда бастапқы санды табу үшін:

x =

Мысал: 30 саны бір санның 20%-ы болса, ол санды табыңыз:

x = (30 × 100) / 20 = 150

4. Проценттік өсім немесе кему

Бір сан белгілі бір пайызға артса немесе кемісе, жаңа санды табу үшін:

Жаңа сан = Бастапқы сан × (1 ± p/100)

Мысал: Киім бағасы 5000 теңге, оған 20% жеңілдік жасалды. Жаңа бағасы:

5000 × (1 - 0.2) = 5000 × 0.8 = 4000

5. Құрама пайыздар (Банк салымы, өсім)

Егер жыл сайынғы өсім немесе пайызбен көбейту болса, құрама пайыз формуласы қолданылады:

A = P × (1 + r/100)^t

Мұнда:

- A – соңғы сома

- P – бастапқы сома

- r – жылдық пайыз

- t – жыл саны

Мысал: 100 000 теңге банкке 3 жылға 10% жылдық өсіммен салынса:

A = 100000 × (1.1)^3 = 100000 × 1.331 = 133100

Процентке байланысты есептерге мысалдар

1. Жалақының өсуі

Қызметкердің жалақысы алдымен 20%-ға өсті, содан кейін тағы 10%-ға өсті. Егер бастапқы жалақысы 200 000 теңге болса, соңғы жалақыны табыңыз.

Шешімі:

1) 20%-ға өсірейік:
200 000 × 1.2 = 240 000
2) Енді 10%-ға өсірейік:
240 000 × 1.1 = 264 000
Жауабы: 264 000 теңге

2. Бағаның өзгеруі

Бір тауар бағасы алдымен 30%-ға төмендеді, содан кейін 20%-ға қымбаттады. Егер бастапқы баға 50 000 теңге болса, соңғы бағаны табыңыз.

Шешімі:

1) Алдымен 30%-ға арзандату:
50 000 × 0.7 = 35 000
2) Кейін 20%-ға қымбаттату:
35 000 × 1.2 = 42 000
Жауабы: 42 000 теңге

3. Пайызбен жұмыс

Марат өзінің жинаған ақшасының 40%-ын смартфонға, ал қалған ақшаның 25%-ын сағатқа жұмсады. Егер сағатқа 15 000 теңге кеткен болса, бастапқы соманы табыңыз.

Шешімі:

1) Смартфоннан кейін қалған ақша: 100% - 40% = 60%
2) Сағатқа кеткен ақша: 60% × 25% = 15%
3) Бастапқы соманы табамыз:
x × 0.15 = 15 000
x = 15 000 / 0.15 = 100 000
Жауабы: 100 000 теңге

4. Қоспа концентрациясы

200 г ерітіндіде 25% тұз бар. Егер оған 100 г таза су қосса, жаңа концентрация қандай болады?

Шешімі:

1) Бастапқы тұз мөлшері:
200 × 0.25 = 50 г
2) Жалпы ерітінді массасы:
200 + 100 = 300 г
3) Жаңа концентрация:
(50 / 300) × 100 = 16.67%
Жауабы: 16.67%

5. Банк салымы

Банкке 1 000 000 теңге 3 жылға 12% жылдық өсіммен салынды. 3 жылдан кейінгі соманы табыңыз.

Шешімі:

Құрама пайыз формуласы:
A = P (1 + r/100)^t
A = 1 000 000 × (1.12)^3
A = 1 000 000 × 1.404928 = 1 404 928
Жауабы: 1 404 928 теңге

6. Автокөліктің құнсыздануы

Автокөліктің бастапқы бағасы 5 000 000 теңге. Ол жыл сайын 15%-ға арзандайды. 2 жылдан кейінгі бағасын табыңыз.

Шешімі:

1) Формула: A = 5 000 000 × (1 - 0.15)^2
2) Есептеу:
A = 5 000 000 × (0.85)^2
A = 5 000 000 × 0.7225 = 3 612 500
Жауабы: 3 612 500 теңге

7. Халық санының өзгеруі

Қала халқы жыл сайын 3%-ға өседі. Егер қазір қалада 500 000 адам болса, 4 жылдан кейін қанша болады?

Шешімі:

1) Формула: P = 500 000 × (1.03)^4
2) Есептеу:
P = 500 000 × 1.1255 = 562 750
Жауабы: 562 750 адам

8. Төлемнің пайыздық бөлінуі

Айжан жалақысының 35%-ын азық-түлікке, 20%-ын пәтерақыға, 15%-ын көлік шығындарына жұмсайды. Егер Айжанның жалақысы 600 000 теңге болса, қалған соманы табыңыз.

Шешімі:

1) Жалпы шығын пайызы:
35% + 20% + 15% = 70%
2) Қалған ақша:
600 000 × (1 - 0.7) = 600 000 × 0.3 = 180 000
Жауабы: 180 000 теңге

9. Жол жүру уақыты

Жүргізуші 300 км қашықтықты орташа жылдамдықпен жүрді. Алғашқы 60%-ын 90 км/сағ, ал қалған бөлігін 60 км/сағ жылдамдықпен өтті. Орташа жылдамдықты табыңыз.

Шешімі:

1) Бірінші бөліктің уақыты:
(300 × 0.6) / 90 = 2 сағ
2) Екінші бөліктің уақыты:
(300 × 0.4) / 60 = 2 сағ
3) Жалпы уақыт = 4 сағ
Орташа жылдамдық = 300 / 4 = 75 км/сағ
Жауабы: 75 км/сағ

10. Тауар сатылымы

Дүкенде тауардың бағасы 15%-ға қымбаттап, кейін 10%-ға арзандады. Егер бастапқы баға 80 000 теңге болса, соңғы бағасын табыңыз.

Шешімі:

1) Алдымен 15%-ға қымбаттату:
80 000 × 1.15 = 92 000
2) Кейін 10%-ға арзандату:
92 000 × 0.9 = 82 800
Жауабы: 82 800 теңге

Өзіңді тексер!

1. Бір ыдыстың 60%-ін теңіз суымен, қалғанының 50%-ін құдықтың суымен толтырды. Ыдыстың неше пайызы бос қалды?

A) 30%

B) 50%

C) 15%

D) 45%

E) 20%

2. Ыдыстың 3/5-і сумен толтырылған. Судың жартысы алынған соң қалған бос бөлігінің процентін тап

A) 47%

B) 56%

C) 70%

D) 68%

E) 63%

3. Компот қайнату үшін алынған алма, алмұрт және қараөріктің массаларының қатынасы 12 : 5 : 3 қатынасындай. Компот қайнату үшін алынған қараөрік осы жемістердің неше проценті?

А) 15%

В) 16%

С) 28%

Д) 18%

Е) 12%

4. Диаграммада барлық ауланған балықтар саны туралы мәлімет берілген. «Алтын балық» барлық ауланған балықтардың жуық мөлшермен қанша бөлігін құрайтынын тап

A) 2/5

B) 1/20

C) 3/10

D) 3/20

E) 1/10

5. Шаруа қожалығындағы тракторлардың 25%-і Павлодар трактор зауытынан шығарылған. Кездейсоқ таңдалған трактордың Павлодар зауытынан шықпағандығының ықтималдығын тап

A) 0,35

B) 0,75

C) 0,25

D) 0,45

E) 0,65

6. 0,3 санын 0,3 санына көбейтті. Шыққан сан 0,3 санының қанша пайызын құрайды

А) 90%

В) 30%

С) 3%

Д) 9%

Е) 0,3%

7. 36 оқушының 75%-і үйірмеге қатысады. Неше оқушы үйірмеге қатыспайды?

А) 8

В) 6

С) 5

Д) 7

Е) 9

8. Көктемгі ағаш отырғызу кезінде жалпы 200 ағаш көшетін отырғызу жоспарланған. Төмендегі диаграмманы қолданып, Айдос пен Азамат неше түп көшет отырғызғанын анықта

А) 70

В) 100

С) 80

Д) 85

Е) 72

9. Кестеде цирк көрсетіліміне кіретін билеттер құны және жеңілдіктер көрсетілген.

Адамдар	Бір билеттің құны	Топқа арналған жеңілдіктер
		5-10 адамға дейін 5%	10 адамнан артық болса 10%
Үлкендер (18-жастан бастап)	1200 тг
Балалар (5 жасқа дейін тегін)	300 тг

2 үлкен адам және 11 мектеп жасындағы балалардан тұратын топ үшін қанша ақша төленгенін анықта

А) 5000 тг

В) 5370 тг

С) 5415 тг

Д) 5720 тг

Е) 5130 тг

10. Мекеме құрылыс жұмыстарына 14 000 кірпішті екі фирманың бірінен сатып алып, өз қоймасына жеткізуі керек. Кестеде осы қаладағы екі фирмадағы кірпіштің бағалары туралы мәлімет берілген. Бағасына қарай арзан нұсқаны таңдап, тасымалдау бағасын анықта

Фирма	Бір кірпіштің бағасы (теңгемен)	Жеңілдіктер	Жеткізу бағасы (теңге)
Сәттілік	60	10 000 кірпіштен асса 2% жеңілдік	2000
Көксу	62	10 000 кірпіштен асса 5% жеңілдік	Тегін

А) 826 700 тг

В) 982 500 тг

С) 780 400 тг

Д) 824 600 тг

Е) 852 000 тг

11. Ертастың ұялы телефонында 120 минут тегін сөйлесу уақыты бар, ол осының 20% -ін достарымен сөйлесті, 66 минутын әке-шешесімен сөйлесуге, қалған минутын ата-әжесімен сөйлесуге жұмсады. Ертастың ата-әжесімен сөйлескен уақытын тап

А) 24 мин

В) 30 мин

С) 32 мин

Д) 54 мин

Е) 20 мин

12. Бағанды диаграммада жұмыртқа шығаратын 5 шаруашылықтың бір жылдағы өнімі көрсетілген. Дөңгелек диаграммада шаруашылықтар шығарған өнімінің қанша процентін басқа өңірге шығарып сатуға болатындығы көрсетілген. Күз мезгілінде «В» шаруашылығы басқа өңірге қанша өңірге қанша жұмыртқа сатқанын тап. Жұмыртқа саны мың есебімен

A) 6756

B) 6750

C) 6670

D) 5756

E) 5650

13. 60 санының 60%-ын тауып, шыққан санның 60%-ын тап

A) 20,6

B) 21,4

C) 21,5

D) 20,5

E) 21,6

14. Диаграммада кондитер фабрикасының бес жылда шығарған өнім саны көрсетілген (тонна есебімен). Фабрика 2018 жылдың жазында қыс айларына қарағанда қанша тонна артық өнім шығарғанын тап

A) 9

B) 6

C) 10

D) 12

E) 8

15. Қоймадағы ұнның 40%-і нан зауытына, қалғаны 3 : 25 : 8 қатынасымен үш дүкенге бөлінді. Егер бірінші дүкенге үшінші дүкенге қарағанда 40 т ұн кем түсірілгені белгілі болса, онда қоймада барлығы қанша ұн бар екендігін тап

А) 900

В) 48

С) 72

Д) 480

Е) 240

Дұрыс жауаптары:

1. Е) 20%	6. С) 3%	11. B) 30 мин
2. C) 70%	7. E) 9	12. B) 6750
3. А) 15%	8. C) 80	13. E) 21,6
4. В) 1/20	9. B) 5370 тг	14. D) 12
5. B) 0,75	10. D) 824 600 тг	15. D) 480

Санның бөлігін және бөлігі бойынша санды табуға арналған есептерді шығару тәсілдері

1. Санның бөлігін табу тәсілі

Егер бүтін сан белгілі болса және оның a/b бөлігі сұралса, онда оны табу үшін:

Бөлік = Толық сан × (a/b)

Мысал: 400 литр судың 2/5 бөлігі жұмсалды. Жұмсалған су мөлшерін табайық:

400 × (2/5) = 160 литр

2. Бөлігі бойынша толық санды табу тәсілі

Егер санның белгілі бір бөлігі a/b берілсе және оның нақты мәні белгілі болса, онда толық санды табу үшін:

Толық сан = (Берілген бөлік × b) / a

Мысал: Егер қоймада 75 тонна астық оның 3/8 бөлігі болса, қоймадағы бастапқы астық мөлшерін табайық:

(75 × 8) / 3 = 200 тонна

Мысалдар

1. Қоймадағы қант мөлшері

Қоймада 600 кг қант бар. Оның 5/12 бөлігі сатылды. Қанша қант сатылғанын табыңыз.

Шешімі:

Шешуі:
600 × (5/12) = 250 кг
Жауабы: 250 кг қант сатылды.

2. Егіннің жалпы көлемі

Фермер 120 гектар жерге бидай екті. Бұл жалпы егістік жердің 3/8 бөлігі. Барлық егістік жердің аумағын табыңыз.

Шешімі:

Шешуі:
(120 × 8) / 3 = 320 гектар
Жауабы: Барлық егістік жер 320 гектар.

3. Жұмысшылардың өндірген бөлшектері

Бір зауытта бір күнде 4/9 бөлігі 180 бөлшек жасалды. Зауыттың толық өндірістік қуатын табыңыз.

Шешімі:

Шешуі:
(180 × 9) / 4 = 405 бөлшек
Жауабы: Толық өндірістік қуат 405 бөлшек.

4. Сүт өндіру

Сүт зауыты бір айда 1500 литр сүт өндірді. Бұл зауыттың айлық өнімінің 5/12 бөлігі. Барлық өнімді табыңыз.

Шешімі:

Шешуі:
(1500 × 12) / 5 = 3600 литр
Жауабы: Толық өнім 3600 литр.

5. Сыныптағы оқушылар саны

Сыныпта 3/7 бөлігі қыздар, ал қалған 18 оқушы – ұлдар. Сыныпта барлығы қанша оқушы бар?

Шешімі:

Шешуі:
1) Ұлдардың үлесі: 1 - (3/7) = 4/7
2) Толық сынып оқушыларын табамыз: (18 × 7) / 4 ≈ 32
Жауабы: Шамамен 32 оқушы.

6. Қоймадан тауар тарату

Қоймада 720 тонна астық бар. Оның 5/12 бөлігі бірінші айда, 1/4 бөлігі екінші айда сатылды. Ал қалған астықтың 2/3 бөлігі үшінші айда сатылды. Қоймада қанша тонна астық қалды?

Шешімі:

1) Бірінші айда сатылған астық:
720 × (5/12) = 300 тонна
2) Екінші айда сатылған астық:
720 × (1/4) = 180 тонна
3) Қалған астық:
720 - (300 + 180) = 240 тонна
4) Үшінші айда сатылған астық:
240 × (2/3) = 160 тонна
5) Соңында қалған астық:
240 - 160 = 80 тонна
Жауабы: 80 тонна астық қалды.

7. Бригада жұмысы

Бригада 84 күнде жұмыстың 2/3 бөлігін орындады. Қалған жұмысты бітіретін жаңа жұмысшылар саны 1,5 есе көбейтілсе, қалған жұмыс неше күнде аяқталады?

Шешімі:

1) Бір күнде атқарылған жұмыс:
(2/3) ÷ 84 = 2/252
2) Қалған жұмыс:
1 - (2/3) = 1/3
3) Егер жұмысшылар саны 1,5 есе көбейсе, олардың өнімділігі 1,5 есе артады.
4) Қалған жұмысты орындау уақыты:
(84 × 1/3) ÷ 1.5 = 18 күн
Жауабы: 18 күнде аяқталады.

8. Қаланың тұрғындары

Қаланың тұрғындарының 3/5 бөлігі жұмыс істейді, ал қалғандарының 2/3 бөлігі оқушылар. Егер жұмыс істемейтін оқушылар саны 18 000 болса, қала тұрғындарының жалпы санын табыңыз.

Шешімі:

1) Жұмыс істемейтін халық саны:
1 - (3/5) = 2/5
2) Олардың 2/3 бөлігі оқушылар болғандықтан:
(2/3) × (2/5) = 4/15
3) Осы бөлік 18 000 адамға тең:
(4/15) × X = 18 000
4) Толық халық санын табамыз:
X = (18 000 × 15) ÷ 4 = 67 500
Жауабы: 67 500 адам.

9. Бензин шығыны

Жүк көлігі бірінші күні 360 литр бензиннің 1/4 бөлігін, екінші күні қалғанының 1/3 бөлігін жұмсады. Үшінші күні тағы 90 литр бензин жұмсалды. Қалған бензин мөлшерін табыңыз.

Шешімі:

1) Бірінші күні жұмсалған бензин:
360 × (1/4) = 90 литр
2) Қалған бензин:
360 - 90 = 270 литр
3) Екінші күні жұмсалған бензин:
270 × (1/3) = 90 литр
4) Қалған бензин:
270 - 90 = 180 литр
5) Үшінші күні жұмсалған бензин:
180 - 90 = 90 литр
Жауабы: 90 литр бензин қалды.

10. Қор жинау

Жұмысшылар 60 күнде жоспарланған жұмыстың 2/5 бөлігін орындады. Қалған жұмысқа 30 күн қалғанда, жоспарды орындау үшін бригаданың өнімділігін қанша пайызға арттыру керек?

Шешімі:

1) 60 күнде атқарылған жұмыс:
2/5
2) Қалған жұмыс:
1 - (2/5) = 3/5
3) Егер өнімділік өзгермесе, қалған жұмысқа қажет уақыт:
60 × (3/2) = 90 күн
4) Бірақ жұмысты 30 күнде аяқтау керек, сондықтан өнімділікті арттыру коэффициенті:
90 ÷ 30 = 3
5) Яғни өнімділік 3 есе артуы керек, бұл 200% өсім дегенді білдіреді.
Жауабы: Өнімділікті 200%-ға арттыру керек.

Өзіңді тексер!

1. Сыныптың 28 оқушысы бар. Оның 3/7-сі қыз. Ұлдар қанша?

А) 12

В) 14

С) 16

Д) 15

Е) 10

2. Кітап үшін 200 тг және оның құнының 1/3-ін төледі. Кітап қанша тұрады?

А) 310

В) 250

С) 300

Д) 320

Е) 200

3. Бірінші жәшікте 72 кг алма бар, екінші жәшіктегі алма бірінші жәшіктегі алманың 5/18-ін, ал үшінші жәшіктегі алма алғашқы екі жәшіктегі алмалардың қосындысының 1/4-ін құраса, онда үш жәшіктегі барлық алмалардың санын тап

A) 115 кг

B) 110 кг

C) 150 кг

D) 140 кг

E) 120 кг

4. Дүкенде бір айда 4500 кг ұн сатылды. Бұл барлық қордың 3/8 бөлігіне тең. Дүкенде бастапқыда қанша кг ұн болған?

A) 10 500 кг

B) 12 000 кг

C) 14 000 кг

D) 15 000 кг

E) 12 500 кг

5. Бір бригада 2/7 бөлігін 6 күнде аяқтады. Барлық жұмысты аяқтау үшін оларға неше күн қажет?

A) 18 күн

B) 21 күн

C) 24 күн

D) 27 күн

E) 20 күн

3. Мектептің жоғарғы сынып оқушыларының 3/5 бөлігі қыздар, ал қалған 192 оқушы – ұлдар. Мектепте барлығы қанша оқушы бар?

A) 400

B) 420

C) 450

D) 480

E) 380

4. Қаланың 4/7 бөлігі жұмыс істейді, ал қалғандарының 5/9 бөлігі оқушылар. Егер оқушылар саны 25000 болса, қаланың жалпы халқын табыңыз.

A) 85 000

B) 95 000

C) 105 000

D) 115 000

E) 120 000

5. Су қоймасындағы судың 2/5 бөлігі ауыл шаруашылығына жұмсалды, ал қалған судың 3/4 бөлігі өндірісте қолданылды. Егер өндірісте 18 000 м³ су пайдаланылса, бастапқыда қоймада қанша су болған?

A) 35 000 м³

B) 40 000 м³

C) 45 000 м³

D) 50 000 м³

E) 28 000м³

Дұрыс жауаптары:

1. С) 16	5. B) 21 күн
2. C) 300	6. D) 480
3. А) 115 кг	7. C) 105 000
4. B) 12 000 кг	8. B) 40 000 м³

Жиындарға байланысты есептерді шығару тәсілдері

1. Жиындар және олардың амалдары

Жиын – белгілі бір элементтерден тұратын топ. Жиындарды латын әріптерімен белгілейміз: A, B, C.

Жиындарға қолданылатын негізгі амалдар:

• 1) Біріктіру: A ∪ B – екі жиынның барлық элементтерінен құралған жиын.

• 2) Қиылысу: A ∩ B – екі жиынға ортақ элементтерден құралған жиын.

• 3) Айырма: A \ B – A жиынының B жиынына кірмейтін элементтері.

2. Жиындардағы элементтер санын есептеу

Жиындардағы элементтер санын табу үшін келесі формуланы қолданамыз:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Бұл формула екі жиынның бірігуіндегі элементтер санын есептеуге көмектеседі.

3. Есептерді шығару тәсілдері

1-мысал:

Мектепте 50 оқушы шахмат ойнайды, 30 оқушы баскетбол ойнайды, ал 10 оқушы екі спорт түрімен де айналысады. Футбол немесе баскетбол ойнайтын оқушылар санын табыңыз.

Шешуі: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

|A ∪ B| = 50 + 30 - 10 = 70

2-мысал:

Сыныптағы 40 оқушының 25-і футбол ойнайды, 20-сы волейбол ойнайды, ал 10-ы екі спорт түрімен де айналысады. Футбол немесе волейбол ойнайтын оқушылар санын табыңыз.

Шешуі: |A ∪ B| = 25 + 20 - 10 = 35

3-мысал

Мектепте 50 оқушы шахмат ойнайды, 30 оқушы баскетбол ойнайды, ал 10 оқушы екі спорт түрімен де айналысады. Тек бір ғана спорт түрімен айналысатын оқушылар санын табыңыз.

Шешуі:

Шахмат ойнайтындар: 50, Баскетбол ойнайтындар: 30, Екі спорт түрімен айналысатындар: 10.

Тек шахмат ойнайтындар: 50 - 10 = 40

Тек баскетбол ойнайтындар: 30 - 10 = 20

Жауабы: 40 + 20 = 60 оқушы.

4-мысал

Сыныптағы 40 оқушының 25-і футбол ойнайды, 20-сы волейбол ойнайды, ал 10-ы екі спорт түрімен де айналысады. Футбол немесе волейбол ойнайтын оқушылар санын табыңыз.

Шешуі:

Футбол ойнайтындар: 25, Волейбол ойнайтындар: 20, Екеуінде де ойнайтындар: 10.

Жиындардың бірігу формуласы: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Ортақ оқушыларды алып тастағанда: 25 + 20 - 10 = 35

Жауабы: 35 оқушы.

Өзіңді тексер!

1. Диаграммада сыныптағы оқушылардың би үйірмесіне, ән үйірмесіне және екі үйірмеге де қатысатын оқушыларының саны берілген. Сыныпта тек қана би үйірмесіне қатысатын неше оқушы бар?

А) 35

В) 5

С) 20

Д) 25

Е) 30

2. Диаграммада сыныптағы оқушылардың би үйірмесіне, ән үйірмесіне және екі үйірмеге де қатысатын оқушыларының саны берілген. Сыныпта барлығы қанша оқушы бар?

А) 35

В) 47

С) 37

Д) 45

Е) 44

3. Сыныптағы 32 оқушының әрқайсысы не шахмат, не тоғызқұмалақ ойнау біледі. Шахмат ойнау білетіні 20 оқушы, ал он оқушы шахмат та, тоғызқұмалақ ойнауды да біледі. Неше бала тоғызқұмалақ ойнауды біледі?

А) 20

В) 10

С) 22

Д) 12

Е) 2

4. Сыныпта 35 оқушы бар. Диаграммада оқушылардың математика және физика үйірмесіне қатысуы көрсетілген. Неше оқушы екі үйірмеге де қатысады?

A) 5

B) 6

C) 4

D) 10

E)

5. Төмендегі диаграммада берілген мәліметтер бойынша сыныпта қанша оқушы барын тап

А) 20

В) 24

С) 28

Д) 22

Е) 25

6. Мектепте 23 оқушы қытай тілі үйірмесіне, 28 оқушы корей тілі үйірмесіне, 9 оқушы осы екі үйірмеге де қатысады. Екі үйірмеге қатысатын барлық оқушылар саны

А) 37

В) 41

С) 32

Д) 42

Е) 51

7. Асель тақтаға сандар жазды. Олардың 28-і екіге, 37-сі үшке, ал 11-і алтыға бөлінетін сандар. Асель тақтаға қанша сан жазды?

A) 53

B) 54

C) 50

D) 56

E) 48

8. Жаңа Жылға дайындалған силық салынған сөмкелердің 15-інде мандарин бар, 10-ында лимон бар, 18-інде банан бар, 3-еуінде мандарин де, лимон да бар, 2-еуінде мандарин де, банан да бар, 1-еуінде лимон да, банан да бар. Ал силық салынған сөмкелердің ешқайсысында үш жемістің барлық түрі кездеспейді. Силық салынған қанша сөмкеде тек лимон бар?

А) 10

В) 4

С) 8

Д) 5

Е) 6

9. Балабақшада 52 бала бар. Олардың әрқайсысы тәтті нанды немесе балмұздақты жақсы көреді. Балалардың жартысы тек қана тәтті нанды жақсы көреді, ал 20 бала тәтті нанды да, балмұздақты да жақсы көреді. Қанша бала тек қана балмұздақты жақсы көретінін тап

А) 6

В) 9

С) 8

Д) 5

Е) 7

10. Мерей қағазға бірнеше сандарды жазды. Жазылған сандардың 22-сі 3-ке, 23-і 5-ке, 26-сы 7-ге қалдықсыз бөлінеді. 5 сан 3-ке де, 5-ке де, 7 сан 5-ке және 7-ге, 9 сан 3-ке және 7-ге де қалдықсыз бөлінеді. Ал екі сан 3-ке, 5-ке және 7-ге де қалдықсыз бөлінеді. Мерей барлығы қанша сан жазғанын тап

А) 82

В) 48

С) 61

Д) 52

Е) 64

11. Эйлер – Венн дөңгелектерінде ағылшын, неміс және қытай тілдерін білетін туристердің саны көрсетілген. А дөңгелегі – ағылшын тілін, В – дөңгелегі – неміс тілін және С дөңгелегі – қытай тілін білетін туристердің санын білдіреді. Ағылшын тілін де, қытай тілін де білетін туристердің санын анықта

А) 8

В) 21

С) 7

Д) 26

Е) 5

12. Суретте сыныптағы барлық 41 оқушының әртүрлі үш үйірмеге қатысуы жайлы мәліметтер кескінделген. Барлық үш үйірмеге де қатысатын оқушылар санын Х деп белгілесек, Х – ті анықта

А) 4

В) 6

С) 2

Д) 3

Е) 5

Дұрыс жауаптары:

1. С) 20	5.D)22	9.A)6
2. А) 35	6.D)42	10.D)52
3. D) 12	7.B)54	11.A)8
4. A) 5	8.E)6	12.E)5

Комбинаторикаға байланысты есептерді шығару тәсілдері

Комбинаторика – белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын объектілерді санау әдістерін зерттейтін математика бөлімі. Негізгі тәсілдері:

- Қосу ережесі: Егер бір оқиға m тәсілмен, ал екінші оқиға n тәсілмен орындалатын болса және олар бір уақытта болмайтын болса, онда екі оқиғаның орындалу тәсілдерінің саны m + n.

- Көбейту ережесі: Егер бір оқиға m тәсілмен, ал екінші оқиға n тәсілмен орындалатын болса және олар бірінен кейін бірі орындалатын болса, онда барлық мүмкін жағдайлардың саны m × n.

- Факториал: n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 – элементтерді толық ретпен орналастыру саны.

- Қайталанбайтын теру (Комбинация): C(n, k) = – n элементтен k элемент теру тәсілдерінің саны.

- Қайталанбайтын алмастыру :P(n) = n! – барлық элементтерді белгілі бір тәртіппен алмастыру тәсілдерінің саны.

- Қайталанбайтын орналастыру : A(n, k) = – n элементтің ішінен k элементті орналастыру тәсілдерінің саны.

Есеп шығару үлгілері

1-мысал

Мектепте 3 түрлі математика кітабы және 4 түрлі физика кітабы бар. Егер оқушы тек бір кітап алғысы келсе, қанша таңдау мүмкіндігі бар?

Шешуі: 3 + 4 = 7

Жауабы: 7 түрлі әдіс.

2-мысал

5 түрлі кітапты бір сөреге қанша тәсілмен орналастыруға болады?

Шешуі: P(5) = 5! = 120

Жауабы: 120 әдіс.

3-мысал

8 оқушының ішінен 3 оқушы таңдап, команда құру керек. Қанша тәсіл бар?

Шешуі: C = 56

Жауабы: 56 тәсіл.

4-мысал

10 адамнан 4 адамды таңдап, оларды орындыққа отырғызу керек. Қанша тәсіл бар?

Шешуі:A(10,4) = 5040

Жауаб: 5040 тәсіл.

5-мысал

6 түрлі футболкадан 2 футболканы кездейсоқ таңдау керек. Барлығы неше түрлі жұп құруға болады?

Шешуі: C(6,2) = 15

Жауабы: 15 түрлі жұп.

Өзіңді тексер!

1. Қанша тәсілмен 5 түрлі кітапты бір сөреге орналастыруға болады?

A) 25

B) 100

C) 120

D) 60

E) 150

2. 10 адамнан 3 адамды таңдап, команда құрудың қанша жолы бар?

A) 120

B) 60

C) 45

D) 30

E) 10

3. 7 түрлі футболкадан 2 футболканы қанша тәсілмен таңдауға болады?

A) 14

B) 21

C) 28

D) 35

E) 42

4.Сыныпта 18 ұл және 14 қыз бар. Сыныптан кезекшілікке 1 ұл және 1 қыз болатындай етіп 2 адамды қанша тәсілмен алуға болатындығын көрсет.

А) 242

В) 260

С) 252

Д) 250

Е) 248

5. Математикадан бақылау жұмысында 2 әртүрлі жеңіл есептер, 3 әртүрлі орташа деңгейдегі және 2 әртүрлі қиын есептер ұсынылды. Құрамында қиындығы әртүрлі деңгейдегі 3 есеп болатын бақылау жұмысының әртүрлі нұсқаларын қанша тәсілмен құруға болатынын тап

А) 14

В) 7

С) 10

Д) 12

Е) 9

6. 3, 4 және 5 цифрларын қолданып, цифрлары қайталанбайтындай етіп, неше әртүрлі үштаңбалы сандар құрастыруға болады?

А) 8

В) 24

С) 3

Д) 12

Е) 6

7.Тек 1; 2; 0; 5; 4 цифрларын бір рет қолдану арқылы қанша төрт таңбалы жұп сан құрастыруға болады?

А) 50

В) 48

С) 44

Д) 75

Е) 60

8. Қанша тәсілмен бір қатарға қызыл, көк, қара және ақ шарларды қоюға болады?

А) 16

В) 18

С) 20

Д) 24

Е) 12

9. 6 түрлі қаламды қатарынан қанша тәсілмен орналастыруға болады?

A) 720

B) 360

C) 120

D) 60

E) 30

10.Мектепте 28 сынып құрылды. Әр сыныпқа бір сынып жетекшісін тағайындау керек. Барлығы 28 мұғалім бар. Мұғалімдерді сынып жетекшілігіне неше тәсілмен тағайындауға болады?

А) 30!

В) 56!

С) 21!

D) 28!

Е) 14!

11. 8 адамның ішінен 4 адамды таңдап, олардың орындарын белгілеу керек. Қанша тәсіл бар?

A) 1680

B) 40320

C) 6720

D) 20160

E) 30240

12.Әріптерін ауыстыру арқылы «ТАЛАПКЕР» сөзінен алуға болатын сөздер санын тап (сөздердің мағыналы болуы міндетті емес).

А) 40320

В) 20160

С) 5040

Д) 10080

Е) 80640

Дұрыс жауаптары:

1. C) 120	7. Е) 60
2. C) 120	8. D )24
3. B) 21	9. A) 720
4. С) 252	10. D )28!
5. D ) 12	11.А)1680
6. Е) 6	12.В)20160