Нақты сандарды жуықтаудың кейбір қарапайым әдістері

Курстық жұмыс

Нақты сандарды жуықтаудың кейбір қарапайым әдістері
















Орындаған: Шындәулет Ф.Ш













Мазмұны


1 Нақты сандарды жуықтаудың кейбір қарапайым әдістері
1.1. Дирихле принципі
1.2. Фарей қатары.
2 Нақты сандарды үздіксіз бөлшектермен жуықтау
2.1. Үздіксіз бөлшектердің лайықты бөлшектері және олардың
негізгі қасиеттері
2.2 Ең жақсы жуықтау
Қорытынды
Пайдаланған әдебиеттер тізімі
HYPER15































Кіріспе

Курстық жұмыста нақты сандарды рационал сандармен жуықтау теориясы мен олардың практикада қолданылуы қарастырылады. Кез келген нақты санды алдын ала берілген дәлдікпен рационал бөлшектер арқылы өрнектеуге және де әрбір нақты санды бір ғана үздіксіз бөлшек түрінде көрсетуге мүмкіндік тудырады. Бұл жағынан алғанда үздіксіз бөлшектердің маңызы ондық бөлшектерден кем түспейді. Сонымен қатар үздіксіз бөлшектердің лайықты бөлшектері және негізгі қасиеттері қамтылады. Үздіксіз бөлшектердің таза практикалық қолданылуымен қатар теориялық маңызы да зор. Олардың әдістері негізінен алғанда сандар теориясында, алгебрада, ықтималдықтар теориясында, тіпті анализ бен механикада да қолданылады. Нақты сандарды рационал сандармен жуықтау сандар теориясы курсын оқу үшін аса қажетті болып табылады.
Курстық жұмыс кіріспеден, екі тараудан және қорытындыдан тұрады. Бірінші тарауда нақты сандарды жуықтаудың кейбір қарапайым әдістерінің қолданулары көрсетілген. Екінші тарауда нақты сандардың үздіксіз бөлшектермен жуықталуы, ақырлы және ақырсыз үздіксіз бөлшектер анықтамасы, жазылуы, мәндері және ең жақсы жуықтау әдістері сипатталған.





























1 Нақты сандарды жуықтаудың кейбір қарапайым әдістері

1.1. Дирихле принципі

Айталық, саны нақты сандар жиынынан алынған сан болсын. Белгілеп алынған α нақты саны үшін рационал санын қарастырайық, мұндағы р мына
(1)
айырымының абсолют шамасын анықтау өте маңызды. Нақты сандар ішінде рационал сандар жиыны тығыз орналасқаны белгілі. Сондықтан (1)-нің шамасын кез келген алдын ала берілген аз оң нақты саннан кіші етіп алуға болады, мұндағы p, q сандарын қалауымызша таңдап алынған.
Көбіне (1)-ні бағалау үшін рационал санның бөлімінен тәуелді функцияны алады, яғни
< φ(q) (2)
Бұл теңсіздіктің оң жағындағы функция α нақты санының рационал санымен жуықталудың ретін көрсетеді.
Егер α санынан және φ(q) функциясынан тәуелді с>0 саны табылып, мына
<сφ(q) (3)
теңсіздігі үшін р сандары шексіз көп орын алса, онда α нақты саны рационал санмен жуықталады деп айтады. Ал (3)-ші теңсіздіктің шешулері ақырлы болса (α), онда α санының ең жақсы рационал жуықтауы бар деп айтамыз. Бұл жерде >сφ(q) теңсіздігі кез келген үшін орындалатындай α санымен φ(q) функциясынан тәуелді с тұрақтысы табылады.
Көп жағдайларда φ(q) функциясы ретінде
φ(q) = (4)
өрнегін алсақ, онда α санының жуықтауы ретті дәрежелік жуықтау деп аталады. Мұндағы және с сандарының әртүрлі мәндерінде (3)-нң ақырлы немесе ақырсыз шешулер саны болуы мүмкін.
Егер , онда (1) айырымын анықтау оңай шешіледі. болсын. Егер тек болса, онда
(5)
Бұдан
(6)
теідеуінің кез келген , кезінде шешімі болмайды.
Бір жағынан сандар теориясынан келесі екі айнымалылы анықталған теңдеуінің

х немесе у бүтін сандарында шексіз шешімдері бар болады. Сондықтан (5) теңсіздігіндегі теңдік белгісі болғанда шексіз көп сандар үшін орындалады.. Осылайша (6) теңсіздігінің кез келген кезінде және сандарында шексіз көп шешімі болады.
Әр түрлі нақты сандар үшін рационалды сандармен жуықтау реті әр түрлі болады. Әрі қарай дегі барлық иррационалдық сандар = 2 жуықтау ретін береді, сонымен қатар олардың арасында жақсы жуықтау ретін беретін сандар бар болатынын көрсетеді.
Дирихле принципі қарапайым тұжырымға негізделген:
Егер заттарды жәшік бойынша таратсақ, онда болғанда жәшіктердің ең болмағанда біреуіне екі зат түседі. Тұжырымның қарапайымдылығына қарамастан, бұл әдіс сандар теориясының әр түрлі бөлімдеріндегі көптеген қажетті теоремаларды дәлелдеуге мүмкіндік береді.
Дирихле теоремасы.
болсын. Онда келесі теңсіздік орындалатындай
(7)
және бар болады.
Дәлелдеуі: Ең алдымен болсын дейік. және түрінде санының сәйкес бөлшек және бүтін бөліктері белгіленсін.
(8)
сандарының сандарын қарастырайық. Бөлшек үлесінің қасиеті бойынша
(9)
жарты интервалында ұзындығымен бірдей кіші интервалдарға бөлейік.
(10)
(9) теңсіздігіне сәйкес (8) теңсіздіктің сандарының әрбіреуі (10) кіші интервалының біріне жатады. Бірақ (8) сандары тура , ал (10) кіші интервалы тура болады. Сондықтан (10) жарты интервалдар арасынан (8) сандарынан екеуін құрайтын жарты интервал табылады. Ол келесі сандар болсын
,
онда
(11)

деп белгілейік. болатыны анық. Сондықтан (11) теңсіздігінен қарастырылып отырған жағдайдағы теорема тұжырымы шығатын
, (12)
теңсіздігі шығады. Жалпы жағдайда кез келген нақты сан болғанда дәлелдеу едәуір қиындай түседі. Онда бүтін санын және үшін сандарын қарастыру керек. Содан кейін кесіндісін бөлікке бөлеміз. Бірінші жағдайдағыдай тұжырымдай отырып алатын теңсіздігіміз
(13)
болады. Осыдан, егер қарастырылып отырған нүктелердің екеуі бөліктік кесіндіде жатады, .

болғандықтан, онда (13) теңсіздігінен теореманы анықтайтын (12) теңсіздігі шығады[1].
Екінші дәлелдеуде болғандағы жағдай бар болатынын ескере кетейік.
Егер ,
болса , онда кез келген және кезінде келесі теңсіздік орындалады:

Сондықтан кезінде (7) теңсіздігінің тек тривалды шешімі болады. Сондықтан (7) теңсіздігінің барлық тривалды емес шешімінің бөлімдері шектеулі. Бұл кезінде Дирихле теоремасы өз бөлімдерімен рационал сандарды рационал сандар жуықтау жөнінде мәлімет беретін тұжырым болып табылады.
Егер иррационалды болса, онда өсуімен (7) теңсіздігінің бөлімдер шешімі де өседі.

мұнда . Онда кез келген және кезінде келесі теңсіздік орындалады.

Бірақ жеткілікті үлкен кезіндегі соңғы теңсіздік (7) теңсіздігіне қарама-қарсы. Бұдан , иррационал сан болғанда мүмкін мәні үшін (7) теңсіздігінің барлық бөлімдер шешімдері шектеусіз.
ескере отырып (7) теңсіздігінен келесі теңсіздікті аламыз.
(14)
Жоғарыда дәлелденгеннен, иррационалдық саны үшін (14) теңсіздігінің алдын-ала берілген саннан үлкен бөліммен шешімі бар болады.
Теорема 1. Кез келген иррационал саны үшін (14) теңсіздігінің және сандарында шексіз шешімдері бар.
Бұл теорема барлық иррациолнал сандар рационал сандармен жуықтаудың дәрежелік реті 2 ге тең екенін көрсетеді. дан кез келген сандармен жуықтау дәрежелік ретін жіберетін иррационалды сандар бар болады. Мұндай сандардың мысалын тез жинақталатын қатарлар арқылы құруға болады.
, (15)
Қатардың алғашқы -қосындысын алып,

белгілейік Онда,

Бірақ

Сондықтан

Соңғы теңсіздіктен кез келген кезінде
(16)
теңсіздігінің және сандарында шешімі бар. Бірақ мәнімен берілген (16) теңсіздігінің әрбір шешімі кез келген дан кіші мәнімен тағы басқа сол теңсіздіктің шешімі болып табылады. Бұдан кез келген кезінде (16) теңсіздігінің және сандарында шексіз көп шешімі бар екені шығады.
1-теоремадан - иррационалды сандарын келесі түрде жазуға болады.
(17)
мұнда бөлімі дегі кез келген емес сан, бірақ қалауымыз бойынша үлкен қылдырып алуға болады. (17) түріндегі иррационал сандары сандар теориясында кең қолданылады. иррационалды сандарының келесідей ондық жіктелуі болсын делік.

Әдетте ны ға жуық санмен ауыстыра отырып, оны ондық жіктелудің кесіндісіне ауыстырады.
,
белгілейік , онда

Бірақ
,
және сондықтан

Бұдан ауыстыру кезіндегі қателік нен аспайтыны шығады. ауыстыруы , мұнда (14) теңсіздігінің шешімі болып табылады, дегенмен қателігі тан аспайды[2].

1.2. Фарей қатары.

Бұл параграфта рационал бөлшектерді қарастыра отырып, олардың ішінен оң бөлшектерін аламыз.
екі бөлшектің медиантасы деп бөлшегі аталады Лемма 1. Әр түрлі екі бөлшектің медиантасы екеуінің әр біреуінен өзгеше және олардың арасында жатады.
Дәлелдеуі: болсын. Анықтылық үшін дейік. Онда
және шарты бойынша

ал, тұжырымы бойынша теңсіздігі орындалады. Сондықтан

Егер екі бөлшектеі үшін орындалса, онда оларды бөлшектердің нормалдық жұбы деп атаймыз[3].
Лемма 2. Егер және бөлшектердің нормалды жұптары болса, онда олардың әрқайсысы қысқарылмайтын болып табылады.
Дәлелдеуі: Лемма шарты бойынша теңсіздігі орындалады, бұдан және шығатыны анық.
Лемма 3. Егер және бөлшектердің нормалды жұптары болса, онда , және жұптардың әр біреуі бөлшектердің нормалды жұптары болып табылады.
Дәлелдеуі: деп белгілейік. Онда 1-лемма бойынша теңдігі орындалады. Әрі қарай және бөлшектердің нормалды жұптарына қарай

ұқсас түрде

Лемма дәлелденді.
Лемма 4: және бөлшектердің нормалды жұптары, ал келесі теңсіздікті
(18)
қанағаттандыратын қысқармайтын бөлшек болсын. Онда және болады.
Дәлелдеуі: Лемма шарты бойынша болады. Сондықтан
(19)
бұдан (19) теңсіздігінің екі жағын да ға көбейте отырып болатынын, немесе
(20)
болатынын табамыз.
Бірақ (18) шартынан теңдігі орындалатыны шығады. Онда
(21)
болады. (20) және (21) теңдігінен және болатынын аламыз.
айырымын қарастыра отырып болатынын дәлелдейміз.
Анықтама: үшін -ретті Фарей қатары деп және бөлшектерінің арасындағы бөлімдері нен аспайтын қысқарылмайтын дұрыс бөлшектердің өсу ретімен жасалған жиынды айтамыз.
-ретті Фарей қатарын арқылы белгілейтін боламыз, ал Фарей қатарын құру қиын емес. Мысалы,

Егер келесі мәндер үшін осы қатарды құра беретін болсақ, онда әр қадам бойынша есеп қиындай түседі.
Фарей қатарын рекурентті құруға мүмкіндік беретін әдісті көрсетейік және олардың кейбір қасиеттерін қарастырайық. Өлшемдері өсу ретімен орналасқан бөлшектер жиынының

рекурентті шексіз жиынын анықтайық.
бөлшегі және екі бөлшектен тұрсын. Әрі қарай, егер жиыны анық болса, онда келесі түрде анықталады. нен болатын барлық және көрші бөлшектер жұптарын алайық және олардың медиантасын ге қосайық. 1-лемма бойынша бұл медианталар және сәйкес бөлшектер арасында орналасады.
Берілген анықтамадан дегі барлық бөлшектер бөлгіші нен аспайтыны, ал кез келген 2 көрші бөлшектер бөлгіштердің қосындысы - ден аз емес екені шығатыны айқын[4].
Егер жиынын тізбектей құрып отырсақ, онда олар Фарей қатарымен сәйкес келетінін көруге болады. Енді осы фактының кез келген кезінде орны болатынын дәлелдейік. Онда Фарей қатарын рекуренттік құру әдісімен аламыз.
Лемма 5: жиынында кез келген үшін әрбір көрші бөлшектер жұбы бөлшектердің нормалды жұбы болып табылады.
Дәлелдеуі: Лемманы бойынша индукциямен дәлелдейік. кезінде тұжырым айқын. Бұл үшін дұрыс деп қабылдаймыз, және ол үшін де орындалатынын дәлелдейік. ді анықтау бойынша 3 жағдай болуы мүмкін.
1). және дегі көрші бөлшектер болып табылады. Онда олар үшін лемма тұжырымы индукция бойынша орындалады.
2). теңсіздігі орындалады, мұнда және дегі екі көрші бөлшектер, ал бөлшегі және бөлшектерінің медиантасы болып табылады.
3). теңсіздігі орындалады, мұнда және дегі екі көрші бөлшектер, ал бөлшегі және бөлшектерінің медиантасы болып табылады.
Осылайша лемманың тұжырымы мәні үшін орындалады, ал индукция бойынша барлық мәндер үшін орындалады.
Лемма 6: Кез келген үшін
Дәлелдеуі: ді қарастырайық. кезінде лемма тұжырымы айқын. болсын . 5-лемма бойынша дегі екі көрші бөлшектердің нормалды бөлшектер жұбы бар болады. Сондықтан 2-лемма бойынша олар қасқармайды. анықтау бойынша бұл жиын болғанда ге тең бөлгіштер қосындысымен -ге тізбектей қосу жолы арқылы алынады, және сондықтан нен аспайтын бөлімдері бар бөлшектерден тұрады, яғни және бөлшектерден тұрады және 1-лемма бойынша нен аспайтын бөлгішімен оң қысқармайтын дұрыс бөлшектерден тұрады. Барлық осындай бөлшектер құрамына кіретінін дәлелдейік. Онда анықтау бойынша .
кез келген бөлшек болсын. Егер десек, онда де , мұнда және болатындай және екі көрші бөлшектер табылады. 5-лемма бойынша және бөлшектердің нормалды жұптары бар болса, онда 3 және 2 –леммалар бойынша болатындай болады, ал яғни , немесе

немесе

болады.
3-лемма бойынша , және әрбір жұп бөлшектердің нормалды жұбы бар болса, онда 4-лемма бойынша қарама-қарсы болады. Алынған қарама-қайшылық дәлелденді.
Салдар: ретті Фарей қатарындағы кез келген екі көрші бөлшектер нормалды бөлшектер жұбы болады.
Дирихле теоремасын дәлелдеу: кезіндегі жағдайды қарастырған жеткілікті, кері жағдайда

онда

, ал болсын. - ретті Фарей қатарын қарастырамыз. -де болатындай және екі көрші бөлшектер табылады. Онда

немесе

болады.
Сондықтан Фарей қатарының қасиеті бойынша

немесе

Бірақ . Онда

немесе

болады.
Бірінші жағдайда қоямыз, ал екінші жағдайда қоямыз. Сонда келесі теңсіздік орындалады.

Теорема дәлелденді.
Фарей қатарының көмегімен рационалды бөлшектермен нақты сандарды жуықтау жөніндегі есептермен байланысты диофанттық жуықтау теориясынан басқа да теоремалар тізімі дәлелденеді. Олардың дәлелдеулерінде берілген иррационал санына жеткілікті тез жиналатын Фарей қатарынан тізбекті бөліп алуға болатын факт қолданылады[5].
саны болатындай иррационал сан болсын. дегі кез келген кезінде

болатындай және көрші бөлшектер жұбы табылады.
және сандары өсуімен кемімейтіні анық, және және тізбектері

болатындай ға оңынан және солынан жақсы жуықтау болып табылады[6].



















2 Нақты сандарды үздіксіз бөлшектермен жуықтау

2.1. Үздіксіз бөлшектердің лайықты бөлшектері және олардың негізгі қасиеттері

Анықтама. Ақырлы үздіксіз бөлшектер деп келесі өрнекті айтамыз:
(1)

сандары үздіксіз бөлшектің элементтері, ал (1) үздіксіз бөлшегінің ұзындығы деп аталады.
болғанда 0- мүшелі үздіксіз бөлшегі а0 түрінде болады. (1) үздіксіз бөлшегін тағы да келесі түрде бейнелейді:

Ақырлы үздіксіз бөлшегін төменнен жоғары қарай бөлшегін алдымен ортақ бөлімге келтіріп одан кейін аударып отырып жиырсақ, онда рационал сан болады.
Анықтама. Ақырсыз үздіксіз бөлшек деп келесі өрнекті айтамыз:
(2)
сандарын ақырсыз үздіксіз бөлшектің элементтері деп атайды.
Ақырсыз үздіксіз бөлшек (2) келесі түрмен бейнелейді:

натурал элементтерімен. Ақырлы және ақырсыз үздіксіз бөлшектердің кластары кеңінен қарасақ, бұлардың элементтері бір немесе бірнеше айнымалылардың функциялары және комплекс немесе нақты сандар болып табылады. (2) ақырсыз үздіксіз бөлшектің лайықты бөлшектері деп ақырлы үздіксіз бөлшектерді айтады.

1-теорема. Кез келген рационал санды ақырлы, ал иррационал санды ақырсыз үздіксіз бөлшек түрінде көрсетуге болады.
Шынында да, айталық а рационал сан болсын, ға бөліп,
(3)
екенін табамыз. Мұндағы саны дан аспайтын ең үлкен бүтін сан, яғни екені түсінікті.
(3) теңдікті
(4)
түрінде қайта жазып, ні ге бөлеміз:
(5)
Мұндағы саны ден аспайтын ең үлкен бүтін сан болады, яғни (5)-ден мәнін тауып, (4)-ге қоямыз.
Сонда
(6)
Енді ді ге бөлеміз:

Мұндағы Бұндан -нің мәнін

Тауып, (6)-ге қойсақ, мынау шығады:
(7)
Тағыда ді ге бөлеміз:


-нің мәнін (7)-ға қойып,
(8)
аламыз.
Бұдан әрі қатынасын тауып,



Жоғарыдағы сияқты, (8) –ге қоямыз және осы процесті соза береміз. Бұл процесс ақырлы және ол Евклид алгоритмін береді:

Теңдіктер мен теңсіздіктердің саны ақырлы болғандықтан, міндетті түрде алдыңғысы соңғысына қалдықсыз бөлінетін қалдықтары шығатынын көрсетеді:

Олай болса, рационал санын көрсететін үздіксіз бөлшек саны ақырлы толымсыз бөлінділерін ғана қамтиды, яғни

Айталық енді, иррационал сан болсын. а0 арқылы дан аспайтын ең үлкен бүтін санды белгілейік, яғни сонда
(9)
Мұнда саны нің бөлшек бөлігі және ол иррационал сан болады, әйтпесе рационал сан болған болар еді. Айтадық нің бүтін бөлігі болсын, сонда
мұнда (10)
Дәл осы сияқты, егерде нің бүтін бөлігі болса, онда
(11)
Жоғарыдағыдай, төмендегі теңдіктерді табамыз:

(12)
. . . . . . . . . . . . .
Мұндағы иррационал сандар

иррационал сан болғандықтан, сандардың бүтін бөлігін бөлу процесі шектеулі бола алмайды[7].
(9), (10), (11) және (12) теңдіктерінен біртіндеп;

табамыз.
Сөйтіп, а үшін ақырсыз үздіксіз бөлшек аламыз. Теорема дәлелденді.
Тағы да ақырлы (1) үздіксіз бөлшегін қайта қарастырамыз. Үздіксіз бөлшектегі
(13)
Ақырлы үздіксіз бөлшекті (1) үздіксіз бөлшектің -шы ретті лайықты бөлшегі деп атайды.
(1) үздіксіз бөлшектің n-ретті лайықты бөлшегі осы бөлшекке сәйкес келеді.
(14)
Әр қарай рекурентті түрде анықтаймыз.
(15)
(15) теңсіздігінен анық түрде мынау шығады немесе
Индукциямен индексі бойынша дәлелдейміз
(16)
болғанда (14) және (15) теңсіздіктерінен мынау шығады:

Айталық, (15) теңсіздігі қандайда бір мәні үшін және ол мәні үшін де дұрыс.
Теңсіздіктерден
(17)
Осыдан, егер соңғы теңсіздіктің оң жағындағы ны ге өзгертсек, онда үшін -өрнек шығады.
-дан тәуелсіз (рекурентті құрылымда олар тек арқылы анықталады), онда


(14) теңсіздігін қолдана отырып мынаны аламыз

Бұл (16) теңсіздігі мағынасы үшін дұрыс, ал индукция бойынша барлық мағыналары үшін дұрыс. Сонымен, мына теңдіктер орындалады.
(18)
Осындағы немесе (14) және (15) теңсіздіктерімен анықталады.
болғанда
Осымен (1) әрбір ақырлы үздіксіз бөлшек дан алынған сан және үздіксіз бөлшектің элементтері бойынша оның мәндерін табуға мүмкіндік береді.
2-теорема. Тетелес үш лайықты бөлшектің алымдары мен бөлімдері өз ара
(19)
қатысы арқылы байланысады, мұндағы
Шынында да, айталық, ақырлы ақырсыз үздіксіз бөлшек берілсін:
.
Егер болса,

болғандықтан,
Сөйтіп, болғанда (19) қатыс орынды болады. айталық (19) қатыс болғанда дұрыс болсын
(20)
Енді (19) қатыстың үшін орынды екендігін көрсетейік. Ол үшін нөмірлі лайықты

бөлшекті алып, қосындысын деп белгілейік. Сонда біз толымсыз бөлінділерден тұратын

Мұндағы -ның орнына оның мәні

қосындыны қойып,

табамыз, немесе (3) теңдікті алсақ,

шығады. Онда (20) теңдіктер кез келген үшін орындалады. Осымен теорема толық дәлелденді.
(19) формулалар нің өсуіне байланысты лайықты бөлшектің алымы да, бөлімі де өсетіндігін көрсетеді, яғни
барлық үшін.
(19) формулалардың қолданылуын мысал арқылы көрсетейік:

Алғашқы екі лайықты мәні олардың анықтамаларынан тікелей шығады:

мен мәндері бойынша (19) қатысты пайдаланып әуелі -нің мәнін, содан соң мәндерін оп – оңай тауып алуға болады. атап айтқанда:

3-теорема. Егерде мен кез келген тетелес тұрған екі лайықты бөлшек болса, онда


немесе
(21)
қатысы орынды.
Шынында да, мен лайықты бөлшектері үшін (21) қатыстың орынды екендігін тікелей тексеру арқылы байқаймыз:

Айталық,
(22)
Онда өрнегіне (19) қатыстан мен нің мәнін алып қойсақ:

немесе (22) –ге сүйенсек:

Екенін табамыз. Дәлелдеу керегі де осы еді. (21) қатыстың біріншісі екіншісін ге бөлуден шығады[8].
4-теорема. Лайықты бөлшектер – қысқармайтын бөлшектер.
Шынында, айталық мен (18) үздіксіз бөлшектің көршілес екі лайықты бөлшектері болсын. онда 3-теоремадағы (21) қатыстың екіншісі бойынша:

Бұл қатыстан лайықты бөлшегінің алымы мен бөлімі -нің 1-ден басқа ортақ бөлгіші жоқ екендігі көрініп тұр.
5-теорема. Барлық сандары үшін

немесе
(23)
қатысы орынды.
Дәлелдеу үшін өрнегіндегі мен бөлімі -нің (19)-ден мәндерін қояйық. Сонда

Бұдан (22) –ге сүйенсек:
.
Мұны ге мүшелеп бөлсек, (23) қатыстың екіншісін аламыз.
Дәлелденген (23) қатыстан жұп және тақ ретті лайықты бөлшектердің өзара орналасуына байланысты маңызды бір салдар шығады. Айталық, -жұп сан болсын, онда (23) қатыстан:

немесе


шығады. Мұнда дей отырып, индексі жұп болып келген лайықты бөлшектердің өспелі тізбек құрастыратынын байқаймыз:
(24)
Егерде тақ сан болса, онда (23)-дан

.
Мұндағы ге мәндер бере отырып, индекстері тақ сан болып келген лайықты бөлшектер кемімелі тізбек құрастырады деген қорытындыға келеміз:
(25)
Егерде (21) –дегі десек,

яғни

шығады. Сөйтіп, қандай болса да, тақ ретті лайықты бөлшек өзінің алдында тұрған жұп ретті лайықты бөлшектен үлкен болады. мәселен,
(26)
(24), (25) және (26) теңсіздіктерден, әрбір тақ ретті лайықты бөлшек (яғни индексі тақ болып келген лайықты бөлшек) жұп ретті лайықты бөлшектердің кез келгенінен үлкен болатындығын шығарып алу оңай.
Сөйтіп ,

Жасалған қорытындыны мынандай теорема ретінде тұжырымдауға болады:
6-теорема. Жұп ретті лайықты бөлшектер өспелі, ал тақ ретті лайықты бөлшектер кемімелі тізбек құрастырады. Әрбір тақ ретті лайықты бөлшек кез келген жұп ретті лайықты бөлшектен үлкен болады.
шынында, айталық
Үздіксіз бөлшегі берілсін. Толық бөліндіні арқылы белгілейік:

Сонда ні -нөмірлі лайықты бөлшек ретінде қарастыруға болады. демек, 2-теорема бойынша
(27)
Мұндағы
(27)-дан лайықты бөлшегін шегеріп,

екенін табамыз, немесе (21)-ге сүйенсек
(28)
шығады.
Егер жұп сан болса, онда (28)-ден, кез келген үшін
(29)
аламыз, ал тақ болса, онда
(30)
(29) мен (30) теңсіздіктері

береді, яғни үздіксіз бөлшегінің мәні әрбір жұп ретті лайықты бөлшектен артық, бірақ тақ ретті лайықты бөлшектен кем болады.
айырмасын табайық. Ол үшін нің (27)-дағы мәнін пайдаланайық. Сонда
(31)
Егерде

екенін ескерсек, (28) мен (31) теңдіктерінен
(32)
теңсіздігіне келеміз. Бұл теңсіздік бізді қажетті келесі теоремаға әкеледі.
7-теорема.
Үздіксіз бөлшектің мәні әрқашанда кез келген тетелес екі лайықты бөлшектің арасында болып, алдыңғысына қарағанда келесісіне жақын жатады.
Теорема бойынша үздіксіз бөлшегі , лайықты бөлшектерінің аралығында жатады, сондықтан да

Бірақ

болғандықтан, соңғы теңсіздік

түріне келеді. Сөйтіп, мына теорема дәлелденді.
8-теорема.
Әрбір нақты санды бір ғана әдіспен үздіксіз бөлшек түрінде көрсетуге болады.
Айталық, ны
(33)
түрінен басқа, екінші
(34)
түрінде көрсетуге болсын делік. Анықтама бойынша мұндағы саны -дан аспайтын ең үлкен бүтін санды өрнектейді. Демек,
.
Айталық, екендігі белгілі болсын.
Онда
(35)
теңдігі орындалады.
(33) және (34) үздіксіз бөлшектерінің толық бөлінділерін арқылы белгілесек:

Сонда:

Бұдан

теңдігінен (35) қатысты ескерсек,

шығады, яғни

Алайда болғандықтан,

Сонымен теорема дәлелденді.
9-теорема. қысқармайтын бөлшегінің нақты санының үздіксіз бөлшекке жіктелуіндегі лайықты бөлшектердің біреуі болуы үшін,
(36)
теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.
Шынында, айталық бөлшегі

үздіксіз бөлшегінің

лайықты бөлшегі болсын,

өрнегі -нің толық бөліндісі. Онда, бұрыннан

екендігін белгілі.
Бұдан

Өйткені

Осымен, (36) теңсіздіктің қажеттілігі дәлелденді. (36) теңсіздіктің жеткіліктілігін дәлелдеу үшін, болғанда ны жұп деп санап, ал болғанда тақ деп, әрқашан
(37)
Орындалатынын алдын ала ескерте кетейік. Өйткені, болып және тақ болса, немесе болып, жұп болса, онда

дей аламыз. Мұнда болғанда, жұп сан болады, болса, тақ болады [9].
(36) теңдіктің жеткіліктілігін дәлеледеуге көше отырып, саны

тендігінен анықталады деп жорылық. Бұдан

немесе екі жақ бөлігін де не көбейтсек,
(38)
болады. (40) мен ескерсек (41)-ден

теңсіздігіне келеміз, немесе

Бұл соңғы теңсіздік орындалуы үшін, болғанда, шарты орындалуы керек. екінші жағынан, жеткілікті шарт бойынша (38)-ден

шығады. Бұл теңсіздік тек қана шарты орындалғанда ғана жүзеге асады. Ал бұл дің ның үздіксіз бөлшекке жіктелуіндегі толық бөліндісі және нің ға лайықты бөлшек екендігін көрсетеді.
Лайықты бөлшектердің алымы мен бөлімі өзара жай сандар.

Дәлелдеуі: болғандықтан үшін тұжырым орындалады.
болсын. Егер , онда ны және -ға бөледі және осыған сәйкес бөледі. Ал бірінші қасиет бойынша 1 ді бөледі. Сондықтан .
Біріншісінен бастап лайықты бөлшектер бөлгішінен өспелі тізбек құрайды.

Дәлелдеуі: . Келесі қатыныстан

Барлық шығады, сондықтан

Тұжырым дәлелденді.
Кез келген үшін

Дәлелдеуі: үшін қасиет айқын. болғанда теңдігімен индукция бойынша дәлелденеді.
Лайықты бөлшектер

теңсіздіктерін қанағаттандырады, ал қарастырылып отырған ақырлы бөлшектің мәні соңғы лайықты бөлшекпен өрнектеледі.

2.2 Ең жақсы жуықтау

Осы параграфта саны егер мен (1) ақырлы үздіксіз бөлшек түрінде берілсін дейік, немесе (2) ақырсыз үздіксіз бөлшек түрінде берілсін. осы үздіксіз бөлшектің лайықты бөлшектерні болсын.
Лемма 1: Егер санының үздіксіз бөлшегінің -ші лайықты бөлшегі болса, онда келесі теңсіздік орындалады.
(39)
ал егер болса, онда келесі теңсіздік орындалады.
(40)
Негізінде, егер иррационал болса, онда (40) теңсіздік орындалады.
Дәлелдеу: Ең алдымен (39) және (40) теңдеулерінің үстіңгі жағын бағалайық. Қасиет бойынша лайықты бөлшектердің санының құрамында санының тақ немесе жұптығынан тәуелді болатын оң және сол жағынан шектеулі кесіндіде болуы және немесе және салдары болып табылады. Сондықтан (39) теңсіздігі орындалады. Егер де болса, онда берілген кесіндінің ішкі нүктесі болып табылады. Бұл жағдайда (40) теңсіздігі орындалады.
Енді (39) және (40) теңсіздігінің төменгі бағасын орнатайық. Үш жағдай болуы мүмкін:
1). . Онда лайықты бөлшектердің салдарының қасиеті бойынша

2). және бар болсын. Онда қасиетінің салдарының лайықты бөлшектері және (15) формула бойынша

болады.
3). және бар болсын. Бұл жағдайда лайықты бөлшектердің қасиеті бойынша ның бір жағында жатады. Сондықтан екі жағдайдағыдай келесісі болады.

Лемма 2: Келесі теңсіздік орындалады
(41)
Дәлелдеуі: болғанда , ал болатындай лемма тұжырымы айқын. үшін егер болса, онда

ал, егер болса, онда бар болады және 1-лемма бойынша үшін лайықты бөлшектер бойынша

болады.
Үздіксіз бөлшектер көмегімен Дирихле теоремасының дәлелдеуін жүргізе аламыз.
санының үздіксіз бөлшегінің лайықты бөлшектер тізбегін құрастырайық. Қасиет бойынша келесі теңсіздік орындалады.

сондықтан қарастырылып отырған үздіксіз бөлшек ақырлы немесе ақырсыз болғанына қарамастан және қойып және осы сандар Дирихле теоремасының тұжырымын қанағаттандыратынын дәлелдейміз.
Егер болса, онда

Егер болса, онда Егер бар болады және лемма бойынша

болады.
саны болатындай етіп таңдалынып алынады. Сондықтан

Қарастырылып отырған екі жағдайды қоса отырып Дирихле теоремасының дәлелдеуін аламыз. нақты санына рационалды бөлшектермен жақсы жуықтау түсінігін енгіземіз.
Егер кез келген бөлшегі ден гөрі дан алыс кетсе, яғни келесі теңсіздік

орындалса, онда бөлшегі ең жақсы жуықтау деп аталады,
Теорема 1. санының кез келген лайықты бөлшегі ға ең жақсы жуықтау болады.
Дәлелдеуі: Егер болса, онда - ға ең жақсы жуықтау болатыны анық. болсын. және лайықты бөлшектерді қарастырайық. Лайықты бөлшектер қасиеті бойнша және нүктелеріндегі шектермен интервалына жатады. Егер екі соңғы бөлшектерді өлшемі бойынша жинақтасақ, онда лайықты бөлшек қасиеті бойынша нормалды бөлшектер жұбын тудырады. Онда 4-лемма (І-тарау 1.2) бойынша . Бұл бойынша бөлшегіне қарағанда ға жақын жататын кез келген бөлшегі және нүктелерінің аралығында жататын болғандықтан бөлшегі ға ең жақсы жуықтау болып табылады[10].
Егер және санының үздіксіз бөлшегінің лайықты бөлшегі болса, онда (14) және (15) теңдеулеріне сәйкес алатынымыз:

бұдан келесі теңдік шығады.
(42)
мұнда иррационалдығы үшін оң жағы қатаң теңсіздік болып табылады.
Тез жинақталатын қатарлар көмегімен рационалды бөлшектермен жақсы дәрежелік жуықтау ретін жіберетін (15) иррационал саны көрсетілген, яғни кез келген болғанда

теңсіздігінің сандарында шексіз көп шешімі болса.
кез келген деп ала отырып, қалғандарын
шартымен рекурентті
(43)
ақырсыз үздіксіз бөлшегін анықтайық. Онда (43) теңсіздігінен

болатынын аламыз. Бұдан (28)теңсіздігінен (43) құрылған саны үшін болғанда шексіз көп шешімі болады.
Теорема 2: натурал аргументінің функциясы қандай болғанымен

теңсіздігінің шексіз көп шешімдері бар болғанына қарай иррационалды саны бар болады.
Дәлелдеуі:

теңсіздікті қанағаттандаратын кез келген деп, ал қалған элементтерін рекурентті дей отырып (43) ақырсыз үздіксіз бөлшекті анықтаймыз. Онда (42) теңсіздігін қолдана отырып алатынымыз:

Бұл теорема тұжырымын дәлелдейді.
Теорема 3: Жеткілікті аз үшін
(44)
теңсіздігінің үздіксіз бөлшектің шектелген элементі бар болғанда кез келген иррационалды сан үшін сандарында шешімі болмайды. Кез келген үшін (44) теңсіздігінің үздіксіз бөлшектің шектелмеген элементтері бар болған кезде кез келген иррационалды сан үшін сандарында шексіз көп шешімі болады.
Дәлелдеуі: (43) - санының үздіксіз бқлшегі болсын.
1). Онда қарастырып отырған бөлшектің (42) теңсіздігінен алатынымыз:
(45)
және кез келген сандар болсын. ні шартынан алайық. Лайықты бөлшектер ең жақсы жуықтау болса, онда (45) теңсіздік көмегімен және (14) және (15) теңдігінен

болатынын аламыз, мұнда
(46)
Алынған шама (46) теңсіздігін кез келген үшін қанағаттандыратын (44) теңсіздігінің және сандарында шешімі болмайтынын көрсетеді.
2). элементтерінің тізбегі шектелмеген. Бұл жағдайда кез келген болғанда болатын шексіз көп мәні табылады. Онда (42) теңсіздігінен шексіз көп мәні үшін келксі теңсіздік орындалады.

Бұдан екі жағдайда теореманың тұжырымы шығады. Теорема-1 (1.1) және теорема-3 (2.2) –ларынан шектелген үздіксіз бөлшектің толық емесдербес иррационалды сандардың 2 ге тең рационалды сандармен ең жақсы дәрежелік жуықтау реті бар екені шығады.
Өзіндік жуықтаулар.
Өткен параграфтарда диофанттық жуықтау теориясында және сандар теориясының басқа бөлімдерінде қажетті мәндері бар үш аппаратты қарастырған едік.: Дирихле принципі, Фарей қатары және Үздіксіз бөлшектер. Мысалы, Дирихле теоремасын дәлелдеу үшін ең алдымен үздіксіз бөлшектер немесе Фарей қатарының аппаратын құру керек; егер осы аппараттар құрастырылған болса, онда Дирихле теоремасы оңай шешіледі. Дирихле принципі бұл теореманы тура және өте оңай шешуге мүмкіндік береді. Бір жағынан Дирихле принципінің қарапайымдылығынан гөрі диофанттық жуықтауда қажетті мәндері бар басқа да қасиеттері болады. Дирихле принципі өзінің қарапайымдылығымен ұқсас есептерді шешуге мүмкіндік береді. Әрине, осы жағдайда конструкцияның қиын есептері кезінде Дирихле принципі қолданылмайды. Дирихле принципінің көмегімен дәлелденетін осыған ұқсас екі теорема қарастыратын боламыз.
Кронекер теоремасы
гі , кез келген сан болсын, ал . Онда
(47)
теңсіздігін қанағаттандыратын және де сандары бар болады.
Дәлелдеуі. гі нүктелерінің жиынтығын қарастырайық.
(48)
Онда
(49)
болады.
Енді гі бірлік кубты, яғни нүктелер жиынын
(50)
қарастырамыз.
Әрбір координаталық осьтерде жарты интервалын тең бөлікке бөлейік. Онда сәйкес гипержазықтықтар көмегімен аз кубтарына бөлінеді, яғни координаталары
(51)
шартын қанағаттандыратын нүктелер жиыны (49) теңсіздігіне сәйкес (48) әрбір нүктесі (50) бірлік кубына жатады. Бірақ (51) кіші кубының жұп жалпы нүктелері болмайды. Сондықтан (48) нүктелерінен әрбіреуі (51) кіші кубтарының біреуіне түседі. Бірақ (48) барлық нүктелер саны ге тең, ал (51) барлық кіші кубтар саны -ге тең. Бұл дегеніміз, ең болмағанда (51) кіші кубтарына (48) нүктелерінің ең болмағанда біреуі түседі. Олар келесі нүктелер болсын:
(52)
(52) нүктелері (51) кіші кубтарының біреуінде жатса, онда абсалюттік өлшем бойынша олардың сәйкес айырымдық координаталары ға қарағанда кіші болады.. Бұдан

немесе (49) теңдігіне сәйкес
(53)
-ді
қоямыз. болатыны анық. Онда (53) теңсіздігі келесі түрге келеді.

Соңғы теңсіздіктен (47) теңсіздігі шығады.
болғанда Кронекер теоремасы Дирихле теоремасына келеді. Осылайша Кронекер теоремасынан оңай түрде Дирихле теоремасы жағдайын аламыз. Салдар. Егер Кронекер теоремасы шарттарында сандарының біреуі иррационалды болса, онда келесі теңсіздік

және сандар жиынтығындағы шексіз жиынды қанағаттандырады.
Теорема 4: , , кез келген сан болсын, ал . Онда
(55)
сызықтық форма
(56)
теңсіздігін қанағаттандыратын
(54)
сандары бар болады, мұнда,егер барлық (54) сандары нақты болса және біреуі комплексті болса онда , ал

болады.
Дәлелдеуі: болғанда теорема тұжырымы тривиалды орындалады. Енді болсын

теңсіздігін қанағаттандыратын мүмкін мәндерінен бір бірінен тәуелсіз саны өткендегі (55) түрінің барлық мүмкін жуықтау формаларын қарастырайық. Осы шарттармен формальды ерекше формалар
(57)
түрінде болады, ал оның мәндері
(58)
теңсіздігін қанағаттандырады.
тривалды жағдайды алып тастап, екі жағдайды қарастырайық.
1). барлық сандар -де жатады. Онда қарастырылып отырған барлық формалар мәні ұзындығымен және нүктелеріндегі шеттерімен шектелген кесіндісінде болады. Осы кесіндіні
(59)
тең бөлшектік кесінділерге бөлейік. (57) санының барлық қарастырылып отырған формасы (59) барлық бөлшектік кесінділерден көп. Сондықтан қарастырылып отырған екі формасынан бөлшектік кесінді табылады. Ол формалар келесі болсын
(60)
ал, онда

болады. Егер жұп сан балса, онда және

болады. Ал егер тақ сан балса, онда және

болады. Осылай әрқашан

болады.
қояйық. Онда келесі форма үшін

бізде

және

болады.
2). Ең болмағанда сандарының бірі С да жатады. Онда (58) теңсіздігінен қарастырып отырған формалардың мәндері жағы тең координаталар басында центрімен квадратта жататыны шығады.
(61)
болатындай осы квадраттың жақтарын тең кескіндерге бөлейік. Онда әрқашан келесі теңсіздік орындалады.
(62)
Нүкте арқылы параллель квадраттың бөліну жақтарының координаталар осьтеріне бөлшектік квадраттың алғашқы квадраттарын жартылай квадраттарға бөлейік. (61) теңдіктен,

шығады. Бұл теңсіздік жартылай квадраттардың саны қарастырылып отырған сызықтық форманың санынан кіші екенін көрсетеді. Сондықтан (60) екі әртүрлі сызықтық форманың мәні бір жарты квадрат болып табылады. Осыдан жартылай квадраттың диогналынан үлкен болмайды. Осы түрге және (62) теңсіздігіне сәйкес кез келген және болғанда
(63)
теңсіздігі орындалады.
Егер жұп сан болса, онда , ал болса, онда (63) теңсіздігінен

теңсіздігін аламыз.
Егер тақ сан болса, онда және (68) теңсіздігінен сәйкесінше

теңсіздігін аламыз.
Әрі қарай бірінші жағдайдағыдайталқылап, (56) теңсіздігін аламыз[11].


































Қорытынды

Айырымдық өрнекті алу әдісі – алдымен тордың торабында мәндері бойынша құрылып, кейін аналитикалы дифференциалданатын тәуелсіз параметрлі аналитикалық аппроксимацияланатын (жуықталатын) функцияларға қолдануға негізделген. Аппроксимацияланушы функцияның түрі жуықтау шешімінен анықталуы керек, бірақ аппроксимацияланушы функция ретінде көпмүшелік қолданылады.
фукциясының мәні және нүктелерінде берілсін деп ұйғарайық және аппроксимация функциясын (64) формуласы арқылы 2-ші ретті көпмүшеге келтіреміз.

, (64)

ыңғайлы болу үшін нүктесін координаталар басы деп аламыз. Сонда нүктелерінде жазылған теңдеу сәйкесінше (65) формуласында көрсетілген

, (65)

береді.
Онда (65) формуласы арқылы келесі (66) қатынасты аламыз:

, (66)

- нүктесінде бірінші және екінші ретті туындылар сәйкесінше (67) арқылы өрнектеледі

, (67)

түрінде болады.
(67) есеп – қитаппен (66) формулалары дәлдіктерімен 2 – ретті орталық айырымдық формулаларымен дәл келеді.






Пайдаланған әдебиеттер тізімі

1. Шидловский А. Б. Диофантовы приближения и транцендентые числа: Учеб. Пособие. – М.: Изд-во МГУ, 1982г.
2. Оразбаев Б. М. Сандар теориясы. Педагогикалық институт арналған оқулық-Алматы : Мектеп баспасы, 1970ж.
3. Асенова А. Е. , Асен. Е. Қ. Сандар теориясына кіріспе. Қарағанды, 2007ж.
4. Бухштаб А. А. Теория чисел. – М.: Изд-во Просвещение, 1966г.
5. Қ. Жетпісов, Қ. Сексенбаев, А. О. Башеева. Сандар теориясына кіріспе. Қарағанды, 2007ж.
6. Гельфонд А. О., Линник Ю. В. Элементарные методы в аналитической теории чисел. – М.: Физматкиз, 1962г.
7. Виноградов И. М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972г.
8. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972г.
9. Избранные труды. – М.: Наука, 1973г.
10. Транценденные и алгебрические числа. – М.: Гостехиздат, 1952.
11. Сушкевич А. К. Теория чисел. – Харьков: Изд-во Харьковского Гос. Ун-та, 1954г.












HYPER13PAGE HYPER15