открытый урок "Иррациональные уравнения"

Ход урока

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Начало

урока

Организационный этап:

- приветствие,

- проверка готовности студентов к занятию,

- проверка посещаемости.

Проверка домашнего задания

Свойства арифметического корня натуральной степени:

Если а ≥ 0, b ≥ 0 и n, m – натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥ 2, то справедливо следующее:

1. .

Примеры:

.

.

1. .

Примеры:

.

.

1. .

Пример:

.

1. .

Пример:

.

Повторение пройденной темы

Примеры решения линейного и квадратного уравнений:

1. 3х+1=х+3 (студент 1)

2. х² -9х+14=0 (студент 2)

Актуализация знаний

Нам известно, что в математике одним из важнейших умений является умение решать уравнения. С понятием уравнения вы уже знакомы со школы. Научились решать линейные и квадратные уравнения. Сегодня на уроке мы продолжим работу в этом направлении и рассмотрим еще один вид уравнений.

Даны уравнения, посмотрите внимательно и определите, какие уравнения вы знаете и умеете решать, а какие вам не знакомы и вызывают затруднения.

1)  =10;

2) 

3) (квадратное уравнение);

4)  (квадратное уравнение);

5)  (линейное уравнение);

6)  ;

7)  (тригонометрическое уравнение);

8)  ;

Что объединяет уравнения 1, 2, 6, 8? (неизвестная переменная находится под знаком корня). Правильно. Такие уравнения называются иррациональными.

Итак, тема нашего урока «Иррациональные уравнения». Давайте мы вместе сформулируем цель нашего урока. (узнать какие уравнения называются иррациональными и научиться решать иррациональные уравнения) А теперь составим план урока. На доске даны формулировки плана. Ваша задача расставить их в правильном порядке.

1. Узнать какие уравнения называются иррациональными,

2. Выделить наиболее рациональные способы решения иррациональных уравнений,

3. Научиться решать иррациональные уравнения различными способами.

Сегодня на уроке мы все вместе постараемся реализовать поставленные цели.

У всех возник вопрос: зачем нам изучать решение иррациаональных уравнений.

Ответ простой: иррациональным уравнением выражаются формулы, описывающие многие физические процессы: равноускоренное движение, первая и вторая космические скорости, среднее значение скорости теплового движения молекул, период радиоктивного полураспада и другие.

Эйнштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения по – моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». Вот мы и займемся сегодня уравнениями.

Маршрутный лист

Середина

урока

Изучение новой темы

Определение. Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.

Существует множество методов решения иррациональных уравнений. Методы:

1. Возведение в степень

2. Введение вспомогательного неизвестного

3. Разложения на множители

4. Графический

5. Переход к модулю

6. Умножение на сопряженное выражение

Решим данные иррациональные уравнения

№ 1. ,

ОДЗ: 3х+1>0

3x> - 1

x> - 1/3

,

Возведём обе части уравнения в квадрат, получим:

,

,

Д= 81-32=49

Х₁ = 1, Х₂ = 8 

Проверка:

Если  , то  , Если  , то  ,

5 = 1 -–неверно. 8 = 8 -–верно.

Значит,  посторонний корень. Тогда,  корень уравнения.

Ответ:  .

Следующие уравнения студенты решают самостоятельно (студент у доски) с последующей проверкой.

№ 2.

ОДЗ: х⁴ +19>0

Возведём обе части уравнения в квадрат, получим:

;

;

, 

Проверка:

Если  , то  , Если , то  ,

10=10-верно. 10=10-верно.

Значит,  корень уравнения. Значит, корень уравнения.

Ответ. -3;3.

№ 3.

Ответ. 

Вывод:

1) Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путём возведения в степень обеих частей уравнения.

2) При возведении обеих частей уравнения в чётную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение.

Метод решения иррациональных уравнений заключается в следующем:

1. Если иррациональное уравнение содержит только один радикал, то надо записывать так, чтоб в одной части равенства оказался только один радикал. Затем обе части уравнения возводят в одну и ту же степень, чтобы получилось рациональное уравнение;

2. Если в иррациональном уравнении и содержится два или более радикала, то сначала изолируют один из радикалов, затем обе части уравнения возводят в одну и ту же степень, и повторяют операцию возведения в степень до тех пор, пока не получится рациональное уравнение.

Физпауза

А теперь, ребята, встать

Руки медленно поднять

Пальцы сжать, потом разжать

Руки вниз и так стоять

Наклонитесь вправо, влево

И беритесь вновь за дело!

Маршрутный лист

Конец

урока

Закрепление новой темы

«Аукцион идей» (студентам предлагаются разноуровневые задания на отдельных карточках, цвет карточки определяет уровень задания)

Красный – 100 %

Зеленый – 75 %

Желтый – 50 %

Задания: