ПАРАБОЛА БОЙЫНДАҒЫ ТҮЗУІНЕ ДЕЙІНГІ АРАЛЫҒЫ ЕҢ ҚЫСҚА НҮКТЕНІ ТАБУ

ПАРАБОЛА БОЙЫНДАҒЫ   ТҮЗУІНЕ ДЕЙІНГІ АРАЛЫҒЫ ЕҢ ҚЫСҚА НҮКТЕНІ ТАБУ

Қысқаша мазмұны：кез келген бір түзуге дейінгі аралығы ең қысқа болатын, параболаның бойындағы бір нүктені табу тәсілі мектеп математика оқулығында айтылмаған болса да, бағдарламалық білімдерді пайдаланып, шындыққа жанасатын ой пікірлерді ортаға қоямын.

Егер парабола мен  （  сандары бір уақытта нөлге тең болмайды） түзуі қилыспайтын болса, онда түзуіне дейінгі аралығы ең қысқа болатын, параболаның бойындағы бір нүктені төмендегі теоремалар бойынша өте оңай табуымызға болады.

1 – теорема:   ( ) түзуіне дейінгі аралығы ең қысқа болатын,  ; ( ) параболасының бойындағы бір нүктені  деп, ал ең қысқа аралықты десек, онда мынадай болады.

         ( мұндағы  ，  )

1 – ші дәлелдеу тәсілі: бұл қорытындыны туындыны қолданып дәлелдесек өте оңай болады. 

    параболасын  түрінде жазып алып, осы параболаның   түзуіне параллель болатын  нүктесіндегі жанамасының бұрыштық кооэффициентін қарастырайық. Яғни

болып,  болады. Ал   теңдеуін, түзу теңдеуінің бұрыштық кооэффициентімен берілген түріне келтірсек  болып,   шығады. Сондықтан   болып,   болады.  дің бұл мәнін   теңдеуіндегі орынына қойсақ  шығады. Сонымен   болады. Енді ең қысқа аралықты табайық. Нүктеден түзуге дейінгі арақашықтықты табу формуласы бойынша   нүктесінен   түзуіне дейінгі қашықтықты табамыз.

 болғандықтан,   шығады. Сондықтан теорема оңай дәлелденеді. Яғни

( мұндағы   болады.)

Төменде осы теореманы алгебралық әдіспен дәлелдейік. (Туындыны үйренбеген 8 – 9 – шы сынып оқушылары үшін өте қажетті.)

 2 – ші дәлелдеу： нүктесі  ; ( ),

параболасының бойындағы бір нүкте болғандықтан,   теңдігі орындалып   болады.

Сондықтан болады да, нүктеден түзуге дейінгі ара қашықтықты табу формуласынан мынау шығады.

 нүктесінен  ( ) түзуіне дейінгі аралық ең қысқа болады деген шартқа сүйенсек, онда өрнек  — дің ең кіші мәнін табуымыз қажет болады.

    болатындықтан,   тұрақты сан екенін ескерсек,   өрнегі ең кіші мән қабылдауы керек. Оны мына екі түрлі жағдайға бөліп талқылауға болады.

 болса,  болғандықтан,

 өрнегі ең кіші мән қабылдауы үшін   болу шарты бойынша   болуы тиіс.

Бұдан   болып,   шығады.

болса,   болғандықтан,

 болып, ең кіші мән қабылдауы үшін  болу шарты бойынша   болуы керек. Бұдан       шығады.

- пен  -тан  ; ( ) болады.  - дің бұл мәнін   өрнегіндегі орынына қойсақ,   болады. Ал,   шығады. ( Бұлардағы  ，  )

2 – теорема：  ( ) түзуіне дейінгі аралығы ең қысқа болатын,  ; ( ) параболасының бойындағы бір нүктені  деп, ал  ең қысқа аралықты десек, онда мынадай болады.

(мұндағы   )

3 – теорема：  ( ) түзуіне дейінгі аралығы ең қысқа болатын,  ; ( ) параболасының бойындағы бір нүктені   деп, ал ең қысқа аралықты десек, онда мынадай болады.

(мұндағы, ;   )

4 – теорема：  ( ) түзуіне дейінгі аралығы ең қысқа болатын,  ; ( ), параболасының бойындағы бір нүктені   деп, ал ең қысқа аралықты десек, онда мынадай болады.

                   (мұндағы, ,   )

5 – теорема：  ( ) түзуіне дейінгі аралығы ең қысқа болатын,     параболасының бойындағы бір нүктені  деп, ал ең қысқа аралықты  десек, онда мынадай болады.

( Мұндағы  ,  ）

Салдар：5 – теоремада, егер  болса, онда мынадай болады.

(Мұндағы   болады.)

теоремалардың дәлелденуі 1 – теоремының дәлелденуімен ұқсас (екі түрлі дәлелдеу тәсілі болады) болғандықтан олардың дәлелелденуі қалтырылды.

Енді жоғарыдағы теоремалар бойынша, мына есептерді шешіп көрейік.

1-мысал：

(1) түзуіне дейінгі аралығы ең қысқа болатын,   параболасының бойындағы бір нүктені табайық?

(2)  параболасының бойынан бір нүкте табайық.Сол нүктеден  түзуіне дейінгі аралық ең қысқа болсын?

Шешуі：

(1)  болғандықтан, табылатын нүктені   десек,1- теорема бойынша мынау шығады.

Сондықтан  болады.

(2) болғандықтан, табылатын нүктені   десек, 3-теорема  бойынша

    шығады.

Сондықтан іздеген нүкте   болады.

2-мысал：  параболасының бойындағы бір нүктеден,   түзуіне дейінгі ең қысқа аралықты табайық?

Шешуі：  болатындықтан, 4-теорема бойынша  мынаған тең болады.

3-мысал:

 (1)   түзуіне дейінгі қашықтығы ең қысқа болатын,   параболасының бойындағы бір нүктені табайық?

 (2)  түзуіне дейінгі, аралығы ең қысқа болатын

 параболасының бойындағы бір нүктені табайық?

Шешуі:

 (1)  болатындықтан, табылатын нүктені десек, 5-теорема бойынша мынау шығады.

Сондықтан   болады.

(2)  болатындықтан, табылатын нүктені   десек 5-теореманың  салдары бойынша мынау шығады.

Сондықтан   болады.

Жоғарыдағы теоремаларды қолданғанда берілген парабола теңдеуі қайсы түрдегі параболаның нормал (қалыпты) түрі екендігіне, сонымен бірге берілген түзудің теңдеуі сөзсіз түзу теңдеуінің жалпы түріне келтірілген болуы қажет екендігін есте сақтап, есептерді шешуде оған назар аудару керек. Сөзіміз дәлелді болуы үшін мына бір есепті  шешіп көрейік.

Мысалы:   параболасының бойынан бір нүкте табыңдар. Сол нүктеден   түзуіне дейінгі аралық ең қысқа босын?

Шешуі：Берілген парабола теңдеуін нормал (қалыпты) түрге келтірсек   болады. Бұл   параболасы болып   болады.  теңдеуін түзу теңдеуінің жалпы түріне

келтірсек,   болып,   болады. Табылатын нүктені десек, 1-теорема  бойынша мынау шығады.

Сондықтан біз іздеген нүкте   болады.