Подготовка к олимпиаде

Подготовка к олимпиадам                                

                                           Часто бывает так, что серьёзное увлечение математикой начинается с решения какой-либо понравившейся нестандартной задачи. Такая задача может встретиться на уроке в школе, на занятии математического кружка, в журнале или книге. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады – от школьных, районных и городских до международных.

   Решение олимпиадных задач обычно не требует знаний, выходящих за рамки школьной программы. Такие задачи, как правило сформулированы так, что они не принадлежат ни к одному из стандартных типов задач школьного математического курса. Поэтому решение каждой такой задачи требует особого подхода, наличие способности к интенсивному творческому труду. Умение решать нестандартные задачи свидетельствует о глубоком владение математическим аппаратом и развитой культуре математического мышления, а владение предметом гораздо важнее, чем просто «чистые знания», которые всегда можно пополнить с помощью хороших справочников. 

   Ниже приведены ссылки на источники с задачами олимпиадного уровня. Задачи распределены по тематикам, но деление это условно – часто одна и та же задача может быть отнесена к различным рубрикам, поэтому имеет смысл не ограничиваться просмотром только одной. Каждая страница начинается с небольшого теоретического материала. Иногда это несколько предложений, иногда – неплохой справочник, на который стоит обратить внимание. По каждой теме предложено 10 задач с достаточно подробными решениями, иногда несколькими способами, и 5 задач без решений для самостоятельного разбора.

Олимпиадные задачи по темам

Логические задачи                                

Цифры и десятичная система счисления

Делимость целых чисел и остатки

Простые и составные числа

Суммы и произведения

Уравнения в целых числах

Рациональные и иррациональные числа

Метод математической индукции

Квадратный трёхчлен

Алгебра многочленов

Уравнения

Доказательство неравенств

Принцип Дирихле 

Графы, отображения 

Чётность. Раскраска. Задачи на решётках 

Инварианты и операции

Оценки для наборов чисел и таблиц. Принцип крайнего

Расстановки цифр и целых чисел, их преобразования

Комбинаторная геометрия

Игры, преследования, стратегии и алгоритмы

Элементы теории вероятностей

Принципы решения нестандартных задач

При решении нестандартных задач могут помочь следующие общие принципы:

• преобразовать задачу к виду, удобному для решения;

• решить задачу для частного, наиболее простого случая, а затем обобщить идею решения;

• предположить, что утверждение задачи – ложное; если из этого предположения получим противоречие, то утверждение задачи верно – доказательство от противного;

• разбить задачу на несколько простых подзадач;

• обобщить задачу; часто исследования более общей проблемы требует меньших усилий, чем исследование её частного случая – «парадокс изобретателя». 

Советы участнику олимпиады         

• Внимательно прочитайте условия задач и определите порядок, в котором будете их решать (лучше начинать с легких задач, которые, как правило, размещены в начале).

• Если условие задачи можно понять по разному, то не выбирайте удобную для себя трактовку, а обратитесь за консультацией к членам жюри.

• Если неясно, верно ли некоторое утверждение, попробуйте его доказать или опровергнуть.

• Не зацикливайтесь на одной задаче. Если нет идеи решения, то задачу лучше (хотя бы на время) отложить.

• Решив задачу, сразу оформляйте решение. Это поможет проверить его правильность и освободит внимание для других задач.

• Каждый, даже очевидный, шаг решения нужно записывать. Громоздкие решения лучше записывать в виде нескольких утверждений (лемм).

• Перед тем, как сдать работу, перечитайте её «глазами членов жюри» – смогут ли они в ней разобраться.