Программа прикладного курса "Теория вероятностей в задачах"

«КГУ «Общеобразовательная школа села Мадениет отдела образования по Сандыктаускому району управления образования Акмолинской области»

Учитель математики Сабитова Айгуль Аманжоловна

Теория вероятностей в задачах.

«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит» - известные слова Михаила Ломоносова. Действительно, математика является основой всех наук, необходимым инструментом для познания окружающих нас процессов. Умение применять математические знания в реальных жизненных ситуациях, является составной частью функциональной грамотности. В школьной математике есть много разделов, в которых мы можем развивать этот навык. Одним из таких разделов является «Теория вероятностей». Стоит сказать, что многие задачи международных исследований функциональной грамотности учащихся относятся к данному разделу. Задачи из раздела «Теория вероятностей» часто вызывают трудности у учащихся, поэтому темы этого раздела я предлагаю изучать на дополнительных занятиях.

За время своей педагогической практики, на протяжении многих лет, я проводила прикладные курсы в 10 и 11 классах, на которых старалась рассмотреть разделы, вызывающие затруднения и темы, необходимые для сдачи ЕНТ. Программы, составленные к ним, объединены в авторском сборнике прикладных курсов по математике для 10-11 классов. В этот сборник входит программа курса «Теория вероятностей в задачах».

В данной статье предлагаю программу курса «Теория вероятностей в задачах» и решение задач из этого курса. Задачи взяты из раздела «Элементы теории вероятностей и комбинаторики» учебника «Алгебра» для 9 класса, автор Шыныбеков А. Н., издательство «Атамұра», 2005 г.

   Цель курса:

Учащиеся смогут решать задачи теории вероятностей и комбинаторики, проводить испытания повторяющихся событий и предоставлять результат.

Задачи курса:

• интеграция знаний по изучению методов решения задач теории вероятностей;

• формирование навыков и умений проведения эксперимента;

• повышение информационной и коммуникативной компетентности учащихся;

• развитие навыков работы учащихся с табличными данными;

• обеспечение условий для развития творческого потенциала школьника.

Содержание курса

• Классическое определение вероятности;

• Элементы теории вероятностей;

• Элементы комбинаторики;

• Повторение испытаний. Формула Бернулли;

• Практический опыт.

Ожидаемые результаты

Учащийся умеет:

• Определять вероятность событий;

• Решать задачи комбинаторики;

• Решать задачи с помощью формулы Бернулли;

• Проводить испытания повторяющихся событий;

• Предоставлять результаты испытаний.

Тематическое планирование учебного материала

Практическая часть:

Основные формулы, необходимые для решения задач:

1. Сложение несовместимых событий: P (A + B) = P (A) + P (B)

Сложение совместимых событий: P (A + B) = P (A) + P (B) — P (A ⋅ B)

2. Умножение событий: P (A * B) = P (A) * P (B)

3. Вероятность события Р =

4. 

Перестановки

Размещения без повторений

Размещения с повторениями

Сочетания без повторений

Сочетания с повторениями

P(k) = C_n^kp^kq^n-k, k=0, 1, 2 … n - формула Бернулли

Задача 1(А. 859).

Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Один из стрелков может поразить мишень с вероятностью, равной 0,7, а второй – с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что:

1. Оба стрелка попали в мишень;

2. Оба стрелка промахнулись;

3. В мишень попал только один стрелок;

4. В мишень попал, по крайней мере, один стрелок;

5. По крайней мере, один из стрелков промахнулся?

Решение:

Пусть А_n означает событие «n- ый стрелок попал в мишень», n=1,2. Тогда Ᾱ_n означает «n- ый стрелок не попал в мишень».

Р(А₁)= 0,7; Р(А₂) = 0,8; Р(Ᾱ₁)=1-0,7=0,3; Р(Ᾱ₂)=1-0,8=0,2.

А₁ А₂ – означает «оба стрелка попали в мишень»,

Ᾱ₁ Ᾱ₂ – «оба стрелка промахнулись»

А₁ Ᾱ₂- «первый стрелок попал, а второй промахнулся»,

Ᾱ₁ А₂ – «первый стрелок промахнулся, а второй попал в мишень»

1) оба стрелка попали в мишень: Р (А₁ А₂) = 0,7*0,8 = 0,56

2) оба стрелка промахнулись: Р (Ᾱ₁ Ᾱ₂) = 0,3*0,2 = 0,06

3) в мишень попал только один стрелок: Р (А₁ Ᾱ₂+ Ᾱ₁ А₂) = 0.7*0.2+0.3*0.8= 0.14+0.24=0,38

4) по крайней мере один попал в мишень Р (А₁₊ А₂) = 0,7+0,8-0,7*0,8= 1,5-0,56=0,94;

5) по крайней мере один промахнулся Р (Ᾱ₁ +Ᾱ₂) = 0,3+0,2 – 0,3*0,2 = 0,5 – 0,06=0,44;

Задача 2(А. 862).

В среднем одна из 100 лампочек, имеющихся в магазине бывает бракованной. Какова вероятность того, что из двух купленных лампочек:

1. Обе бракованные;

2. Обе не бракованные;

3. Только одна бракованная?

Решение.

1)А_n – «Купленная лампочка бракованная», n=1,2. Р(Аn) = 0,01

Обе бракованные: 0,01*0,01=0,0001

Ᾱ_n = «купленная лампочка не бракованная», Р (Ᾱ₁) = 1-0,01=0,99

2) Обе не бракованные 0,99*0,99 = 0,9801;

3) Только одна бракованная: Р (А₁ Ᾱ₂+ Ᾱ₁ А₂) = 0,01*0,99+0,99*0,01=

0,0099+0,0099=0,0198.

Задача 3. (В. 927)

Сколькими способами можно составить четырехзначное число, в котором 1) цифры не повторяются, 2) цифры могут повторяться?

Решение. Всего имеется 10 цифр. Первая цифра не должна быть нулем, поэтому ее можно выбрать 9 способами

1. Если цифры не повторяются, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся девяти, третью – из оставшихся восьми и четвертую - из оставшихся 7 цифр. По правилу произведения, без повторения цифр четырехзначное число можно составить 9*9*8*7=6174.

2. Если цифры повторяются, то каждую из остальных трех цифр можно выбрать 10 различными способами и это равно 9*10³=9000.

Задача 4(С. 942).

Сколько можно написать четных чисел, меньших, чем 10⁴, с помощью цифр 0; 4 и 5?

Решение:

1. Однозначные – 2 числа, двузначные (4,5) * (0,4) = 2*2=4

2. Трехзначные: (4,5)*(0,4,5)*(0,4) = 2*3*2= 12

3. Четырехзначные: (4,5)*(0,4,5)*(0,4,5)*(0,4)= 2*3*3*2=36

Всего: 2+4+12+36= 54

Задача 5 (В. 866).

На районной математической олимпиаде среди 9 классов 5 из 12 учеников являются отличниками. Какова вероятность того, что все три призера окажутся отличниками? Здесь считается, что все 12 учеников имеют равные возможности.

Решение: первые три места можно распределить А₁₂ ³= 12*11*10.

Первые три места среди пяти отличников можно распределить А₅³=5*4*3.

Р= А₅³ /А₁₂ ³=12*11*10/5*4*3=1/22

Задача 6(В. 960).

Из имеющихся отрезков длиной 2, 5, 6 и 10, случайно отобраны три отрезка. Какова вероятность того, что из отобранных отрезков можно составить треугольник?

Решение: из четырех отрезков три можно выбрать С₄³= 4!/(3!*1!)=4 способами: (2,5,6), (2,5,10), (2,6,10), (5,6,10) - это число всевозможных исходов. Из них треугольник можно составить из двух троек (2,5,6) и (5,6,10), так как сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны – это число благоприятствующих исходов. Следовательно Р=2/4=0,5

Задача 7(А.915).

Сколькими способами можно посадить 6 человек 1) в один ряд; 2) за круглым столом?

Ответ: 1) 6! =720 ; 2) 5!=120

Задача 8 (С. 966).

За круглым столом случайно расселись 6 учеников. Какова вероятность того, что 2 определенных ученика сядут рядом?

Решение: За круглым столом 6 учеников можно рассадить 5! Способами (см. задача 915). Определенные два человека всегда сидят рядом, поэтому их места можно объединить, считая их два места за одно. В таком случае нужно рассадить не пять человек, а четыре. Тогда число способов =4! Два определенных человека на своих двух соседних местах могут пересаживаться двумя способами. Следовательно, 6 человек можно рассадить так, чтобы определенные два человека всегда сидели рядом, 2*4! способами – это число благоприятствующих исходов. Тогда искомая вероятность равна (2*4!)/5!=2/5=0,4. Ответ: Р=0,4

Задача 9 (В. 958).

Игральная кость подбрасывается три раза. Какова вероятность того, что все три раза выпадут разные очки?

Решение: при трехразовом бросании всего 6*6*6 всевозможных исходов.

Пусть выпали разные очки n, m, k. Число таких различных троек А₆³=6*5*4.

Р=(6*5*4)/(6*6*6)=5/9

Литература:

1) Учебник «Алгебра» для 9 класса, автор Шыныбеков А. Н., издательство «Атамұра», 2005

2) Решение задач по учебнику «Алгебра» за 9 класс по теме «Теория вероятностей», Кокшетау 2006.