«КГУ
«Общеобразовательная школа села Мадениет отдела образования по
Сандыктаускому району управления образования Акмолинской
области»
Учитель математики Сабитова Айгуль
Аманжоловна
Теория вероятностей в задачах.
«Математику уже затем учить надо, что она ум в
порядок приводит» - известные слова Михаила Ломоносова.
Действительно, математика является основой всех наук, необходимым
инструментом для познания окружающих нас процессов. Умение
применять математические знания в реальных жизненных ситуациях,
является составной частью функциональной грамотности. В школьной
математике есть много разделов, в которых мы можем развивать этот
навык. Одним из таких разделов является «Теория
вероятностей». Стоит сказать, что многие задачи международных
исследований функциональной грамотности учащихся относятся к
данному разделу. Задачи из раздела «Теория вероятностей» часто
вызывают трудности у учащихся, поэтому темы этого раздела я
предлагаю изучать на дополнительных занятиях.
За время своей педагогической практики, на
протяжении многих лет, я проводила прикладные курсы в 10 и 11
классах, на которых старалась рассмотреть разделы, вызывающие
затруднения и темы, необходимые для сдачи ЕНТ. Программы,
составленные к ним, объединены в авторском сборнике прикладных
курсов по математике для 10-11 классов. В этот сборник входит
программа курса «Теория вероятностей в задачах».
В данной статье предлагаю программу курса «Теория
вероятностей в задачах» и решение задач из этого курса. Задачи
взяты из раздела «Элементы теории вероятностей и комбинаторики»
учебника «Алгебра» для 9 класса, автор
Шыныбеков А. Н., издательство «Атамұра»,
2005 г.
Цель
курса:
Учащиеся смогут решать задачи теории вероятностей
и комбинаторики, проводить испытания повторяющихся событий и
предоставлять результат.
Задачи курса:
-
интеграция знаний по изучению методов решения
задач теории вероятностей;
-
формирование навыков и умений проведения
эксперимента;
-
повышение информационной и коммуникативной
компетентности учащихся;
-
развитие навыков работы учащихся с табличными
данными;
-
обеспечение условий для развития творческого
потенциала школьника.
Содержание курса
-
Классическое определение
вероятности;
-
Элементы теории вероятностей;
-
Элементы комбинаторики;
-
Повторение испытаний. Формула
Бернулли;
-
Практический опыт.
Ожидаемые результаты
Учащийся умеет:
-
Определять вероятность событий;
-
Решать задачи комбинаторики;
-
Решать задачи с помощью формулы
Бернулли;
-
Проводить испытания повторяющихся
событий;
-
Предоставлять результаты
испытаний.
Тематическое планирование учебного
материала
№
п/п
|
Тақырып
Тема
|
Сағат
Часы
|
Мерзім
Дата
|
Ескерту
Коррект.
|
|
Классическое определение
вероятности
|
14
|
|
|
1
|
История возникновения науки «Теория
вероятностей».
|
2
|
|
|
2
|
Роль теории вероятностей в различных областях
деятельности человека
|
2
|
|
|
3
|
Понятие вероятности
|
2
|
|
|
4
|
События. Виды событий
|
2
|
|
|
5
|
Вероятность событий
|
2
|
|
|
6
|
Сложение и умножение
вероятностей
|
2
|
|
|
7
|
Решение задач на вероятность
событий
|
2
|
|
|
|
Элементы комбинаторики
|
12
|
|
|
8
|
Исторические
комбинаторные задачи. Задача Дирихле. Для чего нужна
комбинаторика
|
2
|
|
|
9
|
Комбинации
элементов
|
2
|
|
|
10
|
Общие правила комбинаторики
|
2
|
|
|
11
|
Совокупности без повторений и с
повторениями.
|
2
|
|
|
12
|
Перестановки.
Сочетания. Размещения.
|
2
|
|
|
13
|
Решение задач
комбинаторики
|
2
|
|
|
|
Повторение
испытаний
|
8
|
|
|
14
|
Повторение испытаний. Формула
Бернулли
|
2
|
|
|
15
|
Решение задач с помощью формулы
Бернулли
|
2
|
|
|
16
|
Проведение испытаний - подбрасывание
игрального кубика. Обработка и анализ данных
|
2
|
|
|
17
|
Решение задач
|
2
|
|
|
|
Всего часов
|
34
|
|
|
Практическая часть:
Основные формулы, необходимые для решения
задач:
-
Сложение несовместимых событий: P (A + B) = P (A)
+ P (B)
Сложение совместимых событий: P (A + B) = P (A) +
P (B) — P (A ⋅ B)
-
Умножение событий: P (A * B) = P (A) * P
(B)
-
Вероятность события Р = ![](https://api.ust.kz/storage/files/materials/docx/image/2024/july/d09/172051862588_html_6dd34b87115a4812.gif)
-
![](https://api.ust.kz/storage/files/materials/docx/image/2024/july/d09/172051862588_html_2dbb3a8dd828f908.jpg)
Перестановки
![](https://api.ust.kz/storage/files/materials/docx/image/2024/july/d09/172051862588_html_5d9b4041a2675a2.jpg)
Размещения без повторений
![](https://api.ust.kz/storage/files/materials/docx/image/2024/july/d09/172051862588_html_6e6b09091e1b6aef.jpg)
Размещения с повторениями
![](https://api.ust.kz/storage/files/materials/docx/image/2024/july/d09/172051862588_html_db9a30f39634740.jpg)
Сочетания без повторений
![](https://api.ust.kz/storage/files/materials/docx/image/2024/july/d09/172051862588_html_4c26b61d9bd28569.jpg)
Сочетания с повторениями
P(k)
= Cnkpkqn-k, k=0, 1, 2
… n
- формула
Бернулли
Задача 1(А. 859).
Два стрелка произвели по одному выстрелу по
мишени. Один из стрелков может поразить мишень с вероятностью,
равной 0,7, а второй – с вероятностью 0,8. Какова вероятность того,
что:
-
Оба стрелка попали в мишень;
-
Оба стрелка промахнулись;
-
В мишень попал только один
стрелок;
-
В мишень попал, по крайней мере, один
стрелок;
-
По крайней мере, один из стрелков
промахнулся?
Решение:
Пусть Аn
означает событие «n- ый стрелок попал в мишень»,
n=1,2. Тогда Ᾱn
означает «n- ый стрелок не попал в
мишень».
Р(А1)=
0,7; Р(А2) =
0,8; Р(Ᾱ1)=1-0,7=0,3; Р(Ᾱ2)=1-0,8=0,2.
А1 А2 –
означает «оба стрелка попали в мишень»,
Ᾱ1 Ᾱ2 –
«оба стрелка промахнулись»
А1 Ᾱ2-
«первый стрелок попал, а второй промахнулся»,
Ᾱ1 А2 –
«первый стрелок промахнулся, а второй попал в
мишень»
1)
оба стрелка попали в мишень: Р (А1 А2) =
0,7*0,8 = 0,56
2) оба стрелка промахнулись: Р
(Ᾱ1 Ᾱ2) =
0,3*0,2 = 0,06
3) в мишень попал только один стрелок: Р
(А1 Ᾱ2+
Ᾱ1 А2) =
0.7*0.2+0.3*0.8= 0.14+0.24=0,38
4) по крайней мере один попал в мишень Р
(А1+ А2) =
0,7+0,8-0,7*0,8= 1,5-0,56=0,94;
5) по крайней мере один промахнулся Р
(Ᾱ1 +Ᾱ2) =
0,3+0,2 – 0,3*0,2 = 0,5 – 0,06=0,44;
Задача 2(А. 862).
В
среднем одна из 100 лампочек, имеющихся в магазине бывает
бракованной. Какова вероятность того, что из двух купленных
лампочек:
-
Обе
бракованные;
-
Обе
не бракованные;
-
Только одна бракованная?
Решение.
1)Аn
– «Купленная лампочка бракованная»,
n=1,2. Р(Аn) =
0,01
Обе бракованные:
0,01*0,01=0,0001
Ᾱn =
«купленная лампочка не бракованная», Р
(Ᾱ1) =
1-0,01=0,99
2) Обе не бракованные 0,99*0,99 =
0,9801;
3) Только одна бракованная: Р
(А1 Ᾱ2+
Ᾱ1 А2) =
0,01*0,99+0,99*0,01=
0,0099+0,0099=0,0198.
Задача 3. (В. 927)
Сколькими способами можно составить
четырехзначное число, в котором 1) цифры не повторяются, 2) цифры
могут повторяться?
Решение. Всего имеется 10 цифр. Первая цифра не
должна быть нулем, поэтому ее можно выбрать 9
способами
-
Если цифры не повторяются, то вторую цифру можно
выбрать из оставшихся девяти, третью – из оставшихся восьми и
четвертую - из оставшихся 7 цифр. По правилу произведения, без
повторения цифр четырехзначное число можно составить
9*9*8*7=6174.
-
Если цифры повторяются, то каждую из остальных
трех цифр можно выбрать 10 различными способами и это равно
9*103=9000.
Задача 4(С. 942).
Сколько можно написать четных чисел, меньших, чем
104, с
помощью цифр 0; 4 и 5?
Решение:
-
Однозначные – 2 числа, двузначные (4,5) * (0,4) =
2*2=4
-
Трехзначные: (4,5)*(0,4,5)*(0,4) = 2*3*2=
12
-
Четырехзначные: (4,5)*(0,4,5)*(0,4,5)*(0,4)=
2*3*3*2=36
Всего: 2+4+12+36= 54
Задача 5 (В. 866).
На
районной математической олимпиаде среди 9 классов 5 из 12 учеников
являются отличниками. Какова вероятность того, что все три призера
окажутся отличниками? Здесь считается, что все 12 учеников имеют
равные возможности.
Решение: первые три места можно распределить
А12 3=
12*11*10.
Первые три места среди пяти отличников можно
распределить А53=5*4*3.
Р=
А53 /А12 3=12*11*10/5*4*3=1/22
Задача 6(В. 960).
Из
имеющихся отрезков длиной 2, 5, 6 и 10, случайно отобраны три
отрезка. Какова вероятность того, что из отобранных отрезков можно
составить треугольник?
Решение: из четырех отрезков три можно выбрать
С43=
4!/(3!*1!)=4 способами: (2,5,6), (2,5,10), (2,6,10), (5,6,10) - это
число всевозможных исходов. Из них треугольник можно составить из
двух троек (2,5,6) и (5,6,10), так как сумма двух сторон
треугольника должна быть больше третьей стороны – это число
благоприятствующих исходов. Следовательно
Р=2/4=0,5
Задача 7(А.915).
Сколькими способами можно посадить 6 человек 1) в
один ряд; 2) за круглым столом?
Ответ: 1) 6! =720 ; 2) 5!=120
Задача 8 (С. 966).
За
круглым столом случайно расселись 6 учеников. Какова вероятность
того, что 2 определенных ученика сядут рядом?
Решение: За круглым столом 6 учеников можно
рассадить 5! Способами (см. задача 915). Определенные два человека
всегда сидят рядом, поэтому их места можно объединить, считая их
два места за одно. В таком случае нужно рассадить не пять человек,
а четыре. Тогда число способов =4! Два определенных человека на
своих двух соседних местах могут пересаживаться двумя способами.
Следовательно, 6 человек можно рассадить так, чтобы определенные
два человека всегда сидели рядом, 2*4! способами – это число
благоприятствующих исходов. Тогда искомая вероятность равна
(2*4!)/5!=2/5=0,4. Ответ: Р=0,4
Задача 9 (В. 958).
Игральная кость подбрасывается три раза. Какова
вероятность того, что все три раза выпадут разные
очки?
Решение: при трехразовом бросании всего 6*6*6
всевозможных исходов.
Пусть выпали разные очки
n, m, k.
Число таких различных троек
А63=6*5*4.
Р=(6*5*4)/(6*6*6)=5/9
Литература:
1)
Учебник «Алгебра» для 9 класса, автор Шыныбеков А. Н., издательство
«Атамұра»,
2005
2)
Решение задач по учебнику «Алгебра» за 9 класс по теме «Теория
вероятностей», Кокшетау 2006.