Абай облысы білім басқармасы

КМКҚ «Рымбек Байсеитов атындағы Семей қаржы- экономикалық колледжі»

Жарыс сабақ

Тақырыбы: «Сызықтық теңдеулер жүйесін шешуде Крамер әдісін қолданады»

Пән: «Өндірістік және экономикалық үрдістерді модельдеу»

Дайындаған: Нұрғалиева Т.Т.

2023-2024 оқу жылы

Курс тақырыбы: Баланстық модельді біледі

Сабақ тақырыбы: Сызықтық теңдеулер жүйесін шешуде Крамер әдісін қолданады

Білімділікке қойылатын талаптар: Сызықтық теңдеулер жүйесін есептеу әдісі, кері матрица әдісі және Крамер формулалары

Іскерлікке қойылатын талаптар: Сызықтық теңдеулер жүйесін есептей білу

Сабақ мақсаты:

Оқытушылық: Сызықтық теңдеулер жүйесі туралы түсінік беру. Анықтауыштарды есептеу жолдарын бекіту. Крамер формуласын қолдана білуге үйрету

Тәрбиелік: ой қорытуға үйрету

Дамытушылық: ойлау логикасын дамыту

Сабақ типі: аралас сабақ

Сабақ түрі: жарыс

Әдебиет: Н.Ш.Кремер, Высшая математика для экономистов, М.:- Юнити, 2007г.

Көрнекілік: плакаттар, катачкалар

Пәнаралық байланыс: Арнайы цикл математикасы

Қамтамасыз етуші: Алгебра және анализ бастамалары

Қамтамасыз етілуші: Экономистерге арналған математика

Сабақ мазмұны:

1. Ұйымдастыру кезеңі (2 минут)

2. Үй тапсырмасын тексеру (10 минут)

3. Жаңа сабақ түсіндіру (30 минут)

4. Сабақты бекіту. Есептер шығару (30 минут)

5. Сабақты қорытындылау (5 минут)

6. Үйге тапсырма (3 минут)

Сабақ барысы:

1. Ұйымдастыру кезеңі:

• Оқушылармен амандасу;

• Аудиторияның тазалығы мен сабаққа даярлығын тексеру;

• Журнал тізімі бойынша сабаққа қатысуды тексеру;

• Сабақ мақсаты мен міндетін қою.

2. Үй тапсырмасын тексеру: № 1.39, 1.45. Н.Ш.Кремер. Высшая математика для экономистов, М.:- Юнити, 2007г.

3. Жаңа сабақты түсіндіру

Сабақ№6. Сызықтық теңдеулер жұйесі. Кері матрица әдісі.

Сызықтық теңдеулер жүйесі мынадай түрде жазылады:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2n x_n = b₂, (5.1)

... ... ... ...

a_m1 x₁ + a_m1 x₂ +... + a_mn x_n = b_m.

Мұндағы а_{i j} және b_i (i = ; j = ) - берілген, ал x_j – белгісіз нақты сандар. Матрица ұғымын пайдаланып, берілген жүйені мынадай етіп жазуға болады:

AX = B, (5.2)

Мұндағы A = (а_{i j}) - (5.1) жүйенің белгісіздер коэффициентінен құралған матрица. X = (x₁, x₂,..., x_n)^T- x_j- белгісіздерден, ал,
B = (b₁, b₂,..., b_m)^T - b_i-бос мүшелерден құралған вектор-бағандар.

(c₁, c₂,..., c_n)- реттелген нақты сандар жиыны (5.1) жүйенің шешімі деп аталады, егер если ол сандарды сәйкес x₁, x₂,..., x_n белгісіздер орнына қойғанда, жүйенің әр теңдеуі арифметикалық тепе- теңдікке айналса, басқаша айтқанда, егер AC  B теңдігі орындалатындай C= (c₁, c₂,..., c_n)^T векторы бар болса.

(5.1) жүйе үйлесімді немесе анықталған деп аталады, егер оның ең болмағанда бір шешімі бар болса. Жүйе үйлесімсіз немесе анықталмаған деп аталады, егер оның шешімі жоқ болса.

A = матрицасы берілген жүйенің кеңейтілген матрицасы деп аталады, ол берәлне матрицаның оң жағына бос мүшелер векторын тіркеп жазудан пайда болады.

Кронекер- Капелли теоремасы. Сызықтық теңдеулер жүйесі үйлесімді болады, егер A жәнеA матрицалар рангі тең болса,яғни
r(A) = r(A) = r.

М шешімдер жиыны үшін үш жағдай орынды:

1) M =  (жүйе үйлесімсіз);

2) M жиыны бір элементтен тұрады, онда жүйе анықталған жүйе.

3) M бір элементтен көп жиын, онда жүйе анықталмаған, шексіз көп шешімдерден тұрады.

Жүйенің бір ғана шешімі бар, егер
r(A) = n болса және (mn); егер m>n, онда m-n теңдеулер қалғандарының салдары болады. Егер 0<r<n болса, онда жүйе анықталмаған.

Егер жүйедегі теңдеулер саны белгісіздер санына тең болса, онда ол жүйе крамер типтегі жүйе деп аталады:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2n x_n = b₂, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a_n1 x₁ + a_n1 x₂ +... + a_nn x_n = b_n.

(5.3) жүйе мына әдістердің бірімен шешіледі: 1) Гаусса әдісі немесе белгісіздерді жою; 2) Крамера формулалары арқылы;
3) матрицалық әдіс;

Мысал. Жүйені зерттеп, егер үйлесімді болса шешу керек:

5x₁ - x₂ + 2x₃ + x₄ = 7,

2x₁ + x₂ + 4x₃ - 2x₄ = 1,

x₁ - 3x₂ - 6x₃ + 5x₄ = 0.

Шешуі. Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазамыз:

A = .

Негізгі матрица рангін анықтаймыз, мысалы, жоғарғы сол жақ минор = 7  0; ол минор құрамында бар үшінші ретті минорлар

M₃ = = 0, M₃ = = 0.

Сондықтан, негізгі матрица рангі 2- ге тең немесе r(A)=2. A- кеңейтілеген матрица рангін есепесек,

= = -35  0,

демек, кеңейтілген матрица рангі r(A) = 3. у r(A)  r(A) болғандықтан, жүйе үйлесімсіз.

2. Кері матрица әдісі.

Егер сызықтық теңдеулер жүйесінің А матрицасы ерекше болмаса, яғни det A  0, А матрицасының кері матрицасы бар және (5.3) жүйенің шешімі C = A^1B векторымен сәйкес болады. Басқсша айтқанда, берілген жүйенің жалғыз ғана шешімім бар болады. Жүйенің шешімін табу келесі формула арқылы жүзеге асады: X=C, C=A^1B. Осы әдісті жүйені шешудің матирицалық әдісі деп атайды.

Мысал. Мартицалық әдіспен мына жүйені шеш.

x₁ - x₂ + x₃ = 6,

2x₁ + x₂ + x₃ = 3,

x₁ + x₂ +2x₃ = 5.

Шешуі:Белгілеулер жасаймыз:

A = , X = (x₁, x₂, x₃)^T, B = (6, 3, 5) ^T.

Онда берілген жүйе матрицалық түрде былай жазылады: AX=B.

 = det =5  0 болғандықтан, A матрицасы ерекше емес, сондықтан кері матрицасы бар болады:

А^1 = 1/ .

X- шешімді табу үшін B вектор-бағанды А матрицасына сол жағынан көбейту керек A: X = A^1B. Мұндағы

A^1 =

және = .

Матрицалық амалдарды орындай отырып, алатынымыз:

x₁ = 1/5(16+33-25) = 1/5 (6+9-10) = 1,

x₂ = 1/5 (-36 +13 - 15) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,

x₃ = 1/5 (16 - 23 + 35) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.

Сонымен, С = (1, -2, 3)^T.

Крамер әдісінің ерекшелігі (5.3)жүйесінің матрицасына сәйкес бас анықтауышты

 = det (a_{i j})

және n көмекші анықтауыштарды табуда  _i (i= ),  _i- тер бас анықтауыштың i- бағанын бос мүшелер бағанымен ауыстырғаннан пайда болады.

Крамер формулалары мынадай:

  x _i =  _i (i = ). (5.4)

(5.4) формуласынан (5.3) жүйенің үйлесімділік мәселесін шешетін Крамер ережесі шығады: егер жүйенің бас анықтауышы нөлден өзгеше болса, онда жүйенің жалғыз ғана шешімі болады, ол шешім Крамер формулаларымен анықталады:

x _i =  _i / .

Егер жүйенің - бас анықтауышы және  _i (i= ) көмекші анықтауыштары бір мезгілде нөлге тең болса, онда жүйенің шексіз көп шешімі болады.

Егер жүйенің бас анықтауышы  = 0, ал көмекші анықтауыштарының ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше болса, онда жүйе үйлесімсіз болады.

Мысал. Крамер әдісімен жүйені шеш:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 5,

x₁ + 2x₂ - x₃ + 4x₄ = -2,

2x₁ - 3x₂ - x₃ - 5x₄ = -2,

3x₁ + x₂ +2x₃ + 11 x₄ = 0.

Шешуі: Жүйенің бас анықтауышы

 = = -142  0,

демек, жүйенің жалғыз шешімі бар. Кқмекші анықтауыштарды есептейік:  _i (i= ). Олар - бас анықтауыштың x_i бағандарын бос мүше бағанымен ауыстырғанда пайда болады:

 ₁ = = - 142,  ₂ = = - 284,

 ₃ = = - 426,  ₄ = = 142.

Осыдан x₁ =  ₁/ = 1, x₂ =  ₂/ = 2, x₃ =  ₃/ = 3, x₄ =  ₄/ = -1, шешімі- баған- вектор С=(1, 2, 3, -1)^T.

4. Сабақты бекіту. Аукцион есептер:

1) ; 2)

3) 4)

Аукцион сұрақтар:

- Матрица анықтамасы

- Квадрат матрица дегеніміз не?

- Жол матрица дегеніміз не?

- Баған матрица дегеніміз не?

- Нольдік матрица дегенімз не?

- Диагональдік матрица дегеніміз не?

- Үшбұрышты матрица дегеніміз не?

- Матрицаның ізі дегеніміз не?

- Матрицаны транспондау дегеніміз не?

- Қандай матрица бірлік матрица деп аталады?

- Матрицаларға қолданылатын негізгі амалдарды атаңдар

5. Сабақты қорытындылау. Оқушылар білімін бағалау.

6. Үйге тапсырма беру. № 2.10, 2.11, 2.12. Н.Ш.Кремер. Высшая математика для экономистов, М.:- Юнити, 2007г.

Оқытушы: Нұрғалиева Т.Т.